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2C
A. Généralités sur les fonctions numériques
(exercices et corrigés)
Exercice 6
condition
dom f
ensemble des racines
9
\{0; }
4
7
]−∞ ; ]
3
[−2 ; 3]
]−∞ ; −2[  ]2 ; +∞[
\{2}

5
{ }
3
\{0;6}
1)
4x2 – 9x ≠ 0
2)
7 – 3x ≥ 0
3)
4)
5)
6)
(x + 2)(3 – x) ≥ 0
x2 – 4 > 0
x2 – 4x + 4 > 0
aucune
7)
−9x2 + 30x – 25 ≥ 0
8)
x2 ≠ 0 et |x − 6| ≠ 0
9)
x2  5x  6
0 
15x  3x3
]−∞ ;− 5 [  [−1 ; 0[  ] 5 ; 6]
10)
5 – 3|x|≥ 0
[−
Ø
7
}
3
{−2 ; 3}
Ø
Ø
{1}
5
{ }
3
Ø
{
5 5
; ]
3 3
{−1 ; 6}
{−
5 5
; }
3 3
Exercice 8
dom f = B, dom g = C, dom h = D, dom i = A
Exercice 12
a) 1) S = {−5,7 ; 7}
2) S = {6,2 ; −5}
b) 1) S = [−8 ; −5,7[  ]7 ; 8]
3) S = {−7 ; −2 ; 3 ; 8 }
4) S = {−4 ; 7,3}
2) S = [−8 ; −7,5[  [−2,7 ; 2]
c) f(x) < 1 si x  ]−6,3 ; 7,5[
g(x) ≥ 1 si x  [−6,5 ; −2,6]  [3,8 ; 7,7]
5) S = { −6,4 ; 0 ; 7,6}
3) S = ]−8 ; −6,4[  ]7,6 ; 8[
4) S = [−6,4 ; 7,6]
donc S = ]−6,3 ; −2,6]  [3,8 ; 7,5[
Exercice 26
1) f ≠ g, car f(x) = |x| ≠ g(x)
2) f ≠ g, car dom f =  et dom g = [0 ; +∞[
 x  32  x  3  f(x)
3) f = g, car dom f = dom g =  et g(x) = x2  6x  9 
4) f ≠ g, car dom f = [ 23 ; +∞[ et dom g = 
5) f ≠ g, car dom f = ]−∞ ; - 12 ]  [1 ; +∞[ et dom g = [1 ; +∞[
6) f ≠ g, car dom f =  \ {1} et dom g = 
x2  5x  4  x  1 x  4 

remarque : sur  \ {1} : f(x) =
= x – 4 = g(x)
x 1
x 1
7) f ≠ g, car dom f = ]−∞ ; −3[  [2 ; +∞[ et dom g = [2 ; +∞[
8) f = g, car dom f = dom g = ]0 ; +∞[ et f(x) 
x 1 x


x
x


x 1  x
x x

x x
 g(x)
x
9) f ≠ g, car dom f = [2 ; 3[  ]3 ; +∞[ et dom g = [2 ; +∞[
remarque : sur [2 ; 3[  ]3 ; +∞[ :
f(x) 
x 3
x 2 1


x 2 1 x 2 1
10) f ≠ g, car f(x) ≠ g(x)
Exercice 29
a) dom f = [−4 ; 4]

 x  3  x  2  1
x 2 1

x 2 1


 x  3  x  2  1  x  3  x  2  1
2
x  2  12

x 3
 x  2  1  g(x)
E1
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A. Généralités sur les fonctions numériques
E2
(exercices et corrigés)
b) 1) f est positive sur [4 ; −1]  [2 ; 3]
2) f(x) < 0 sur ]−1 ; 2[  ]3 ; 4]
3) f(x) + 2 ≥ 0  f(x) ≥ −2 sur [−4 ; 4]
Exercice 31
a) f < g sur ]−3 ; 1,5[
b) f(x) ≥ g(x) sur [−4 ; −3]  ]1,5 ; 4]
Exercice 33
1) f est minorée, majorée et donc aussi bornée (plus petit majorant : 3 ; plus grand minorant : −1)
2) f est majorée (plus petit majorant : 2)
3) f est minorée (plus grand minorant : -2)
4) f est minorée, majorée et donc aussi bornée (plus petit majorant : 1 ; plus grand minorant : −1)
5) f est minorée (plus grand minorant : -4)
6) f est majorée (plus petit majorant : 0)
Exercice 44
dom f
1) 
2)
*
dom g

3)
[−1 ; +∞[


\{
]−∞ ; −2[  [2 ; +∞[

4)
5)

1
}
2
dom (f  g)

1
\{ }
2
[−2 ; +∞[
\{
dom (g  f)

5 7
; }
2 2
6x  4
2x  1
*
1
}
2
]−∞ ; −
[−1 ; +∞[
(f  g)(x)
4x2 + 5
1
1  2x
2x  4
\{
5
1
[  [− ; +∞[
2
2
]−∞ ; −2[  [2 ; +∞[
4x2  12x  5
Exercice 45
4
 2 
e) 1) dom (f h g) =  \ {1} ; (f h g)(x) = 
  2
 x  1  x  2x  1
2
4 x2 4  x2
 2 
2) dom (g f h) = * ; (g f h)(x) =    1  2  2  2
x x
x
 x 
2
2
2 x 2 2  x 2
1  2  2 
2
x
x
x
x2
2
2
 2
4) dom (h f g) =  \ {1} ; (h f g)(x) =
2
 x  1 x  2x  1
3) dom (g h f) = * ; (g f h)(x) =
Exercice 48
1) f(x) = (h g)(x) avec g(x) = x2 et h(x) = 1 – x
2) f(x) = (h g)(x) avec g(x) = 1 − x et h(x) = x2
3) f(x) = (h g)(x) avec g(x) = 2 − x et h(x) = x
4) f(x) = (i h g)(x) avec g(x) = x2 et h(x) = 4 – x et i(x) =
x
5) f(x) = (k j i h g)(x) avec g(x) = x − 1 et h(x) = x2 et i(x) =
6) f(x) = (i h g)(x) avec g(x) = 2x −
Exercice 51
f1-1 :   

3
x et j(x) =
1
et k(x) = −x
x
et h(x) = cos x et i(x) = x2
f2-1 :   
x  3 x 1
f3-1 : +  [1 ; +∞[
x  x2 +1
(g  f)(x)
16x2 + 40x +25
x 2
x
3+2 x  1
1
2 x 3 1
3+2 x2  4
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A. Généralités sur les fonctions numériques
E3
(exercices et corrigés)
1
5
x
3
3
f4 n’est pas injective, car p.ex. 0 est
l’image de 2 et de −2.
la réciproque n’est pas une fonction
x
f5-1 :  \ {1}   \ {2}
2x  1
x
x 1
f6 n’est pas injective, car p. ex. 2 est
l’image de 2 et de −2.
la réciproque n’est pas une fonction
Exercice 9
a) ① g ② i ③ f ④h
b) dom f = , im f = [−1 ; +∞[ ; dom g = , im g = [−2 ; 1] ; dom h = , im h = [−1 ; 1] ; dom i = , im i = +
c) h est impaire et i est paire
d) i(x) = |x| = |−x|
Exercice 13
a) domaine
1)  \ { k|k  }
2)
3)
4)

 k|k  }
2


 \ {  k |k  }
4
2
 \ { 2 k|k  }
\{
5)
k
6)
k
b) parité
impaire
c) racines
/
d) périodicité
T = 2π
paire
/
T = 2π
impaire


x =  k ,k
8
2
x =   2k,k 
paire
x=
/
x = k, k 
/

 

  2  2k; 2  2k





k; 2  k



 k, k 
2

2
T = 2π
T=
T = 2π
T=π
Quelques exercices supplémentaires
Exercice A1
a) Montrer que le graphe de la fonction f : x  −3x2 + 5x – 1 admet la droite d’équation x =
b) Montrer que le graphe de la fonction g : x 
5
comme axe de symétrie.
6
2x  1
admet un centre de symétrie.
x 1
c) Montrer que le graphe de la fonction h : x  x3 – 2x + x − 2 admet un centre de symétrie d’abscisse
d) Montrer que le graphe de la fonction i : x  cos(3x) − 1 admet un centre de symétrie d’abscisse
2
.
3

.
6
Exercice A2
Dans les cas suivants, déterminer dom f, ainsi que la parité et la périodicité de f.
a) f : x 
|x|
x2  1
e) f : x  x2 – 1 + 2cosx
b) f : x 
x
x2  1
f) f : x  cosx + tan x
En cas de besoin… (remise facultative)
Exercice A3
c) f : x  |x| + x
g) f : x 
sin2x
2  cos2 x
d) f : x 
x
x 3  7x
h) f : x 
tanx  sinx  x
cosx
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A. Généralités sur les fonctions numériques
(exercices et corrigés)
a) Déterminer dom f et im f.
b) Quelle est la valeur de f(5).
c) Que vaut l’image de -3 ?
d) Quelles sont les racines de f ?
e) Résoudre l’équation f(x) = -2.
f) Résoudre l’inéquation f(x) < 2.
g) Résoudre l’équation f(x) – 3 = 0.
h) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est-elle croissante ?
i) Sur quel(s) intervalle(s), la fonction f est-elle positive ?
j) La fonction f est-elle minorée ? majorée ? bornée ?
Exercice A4
Voici les graphes cartésiens de deux fonctions f et g:
a) Déterminer dom f, im f, dom g et im g.
b) Quelles sont les racines de f ?
c) Résoudre l’équation f(x) = g(x).
d) Résoudre l’inéquation f(x) ≥ g(x).
Exercice A5
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1
x
3
5x  4
a) f(x) =  2
d) f(x) =
 2
x x  4x  3 x  1
2x  8
b) f(x) =
x x 1

x 1 x  3
5x  4
2x  8
Exercice A6
Est-ce que dans les cas suivants, f = g ?
c) f(x) =
e) f(x) =
x2  9
2x  7
f) f(x) =
x  2 x  4  5  2x
E4
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A. Généralités sur les fonctions numériques
(exercices et corrigés)
x2  x  6
x 2
x3 x
x 3
et g(x) =
x
x
a) f(x) = x + 3 et g(x) =
b) f(x) =
c) f(x) = |x + 5| et g(x) =
x 2  10x  25
Exercice A7
Soit les fonctions suivantes : f(x) = x2 + 2x
g(x) =
2x
x3
et h(x) =
x.
1) Déterminer dom f, dom g et dom h.
2) Déterminer le domaine de définition et l’expression analytique des fonctions suivantes :
f
a) f g
b) h f
c) h g
d) h g f
e)
g
Exercice A8
Décomposer les fonctions suivantes en composée de fonctions usuelles :
2
4
a) f(x) = 3x 2  8
b) f(x) = 3 x  8
c) f(x) =
5
x 2


d) f(x) =
1
3 x 1
Pour s’autocontrôler… (corrigé dans le livre)
exercices 52, 53, 59, 64, 65, 66, 67
Pour aller plus loin… (remise facultative)
Exercice A9
ax  b
avec a,c  * et b,d  
cx  d
b) Montrer que le graphe de f admet un centre de symétrie dont on déterminera les coordonnées.
a) Déterminer le domaine de la fonction f : x 
Exercice A10
Soit f(x) = 3x + 4 et g(x) = −2x + m
Déterminer m pour que f g = g f.
Exercice A11
Soit f une fonction paire définie sur  et g une fonction impaire définie sur .
Étudier la parité de f g, de f f et de g g.
Exercice A12
Soit f une fonction strictement croissante définie sur  et g une fonction strictement décroissante définie sur .
Étudier le variations de f g, de f f et de g g.
Exercice A13
Soit f(x) = ax + b et g(x) = cx + d
avec a,c  * et b,d  
a) Trouver une relation entre a,b,c et d pour que f g = g f.
b) Si a = 2 et b = 5, trouver trois couples (c ; d) tels que f g = g f.
E5