Sujets de Mathématiques, Term S

Sujet 1
Inde, avril 2014, exercice 1
4 points
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au
centième.
1La durée de vie, exprimée en années, d’un moteur pour automatiser un por-
tail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire Xqui suit une loi
exponentielle de paramètre λ, où λest un réel strictement positif.
On sait que P(X>2) = 0,15.
Déterminez la valeur exacte du réel λ.
Rappelez la densité de probabilité d’une variable aléatoire Xsuivant la loi
exponentielle de paramètre λpuis utilisez la propriété du cours donnant
P(X>c).
Dans la suite de l’exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ.
2a) Déterminez P(X>3).
Utilisez la propriété du cours donnant P(X>c).
b) Montrez que pour tous réels positifs tet h,Px>t(X>t+h) = P(X>h).
Utilisez la propriété du cours donnant P(X>c)et la formule des proba-
bilités conditionnelles.
c) Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu’il
fonctionne encore 2 ans ?
Traduisez la probabilité demandée sous la forme d’une probabilité condi-
tionnelle puis appliquez le résultat de la question précédente.
d) Calculez l’espérance de la variable aléatoire Xet donner une interprétation
de ce résultat.
Appliquez la formule, vue en cours, donnant l’espérance d’une variable
aléatoire Xsuivant la loi exponentielle de paramètre λ.
3Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des ré-
sultats à 10−3.
L’entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la pro-
duction est égal à 1 %. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont
prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
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Sujet 1 | Énoncé
Le résultat de ce test remet-il en question l’annonce de l’entreprise A ? Justi-
fiez.
On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation.
Pour une proportion pet un échantillon de taille n, l’intervalle de fluctua-
tion asymptotique au seuil de 95 % est donné par la formule ci-dessous :
hp−1,96pp(1−p)
√n;p+ 1,96pp(1−p) √ni, sous réserve que : n>30,np >5
et n(1 −p)>5.
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Sujet 1 | Corrigé
1D’après le cours, nous savons que si une variable aléatoire Xsuit la loi
exponentielle de paramètre λsur [0 ; +∞[, alors sa densité de probabilité est
définie sur [0 ; +∞[par :
f(x) = λe−λx et P(X>c) = e−λc.
Par conséquent, P(X62) = 1 −P(X > 2) = 1 −e−λ×2= 0,15, donc
0,85 = e−2λet ln(0,85) = −2λ, soit λ=−ln(0,85)
2≈0,081.
2a) D’après le cours, nous savons que P(X>c) = e−λc, donc :
P(X>3) = e−3λ=e−3×0,081 ≈0,78.
b) D’après le cours, nous savons que pour tous réels positifs tet h:
P(X>t) = e−λt et P(X>t+h) = e−λ(t+h).
Donc : PX>t(X>t+h) = P((X>t)∩(X>t+h))
P(X>t)=P(X>t+h) P(X>t)=e−λ(t+h) e−λt =
e−λh =P(X>h).
c) La probabilité demandée correspond à PX>3(X>3 + 2).
On applique alors la formule établie à la question 2. b) et on obtient avec t= 3
et h= 2 :
PX>3(X>3 + 2) = P(X>2) = 1 −P(X<2) = 1 −0,15 = 0,85.
d) Nous savons que si une variable aléatoire Xsuit la loi exponentielle de pa-
ramètre λsur [0 ; +∞[, alors : E(X) = 1
λ.
D’où, dans notre cas : E(X) = 1
0,081 ≈12,35.
Ce qui signifie que la durée moyenne de vie d’un moteur est d’environ 12,35
années.
3Pour une proportion pet un échantillon de taille n, l’intervalle de fluc-
tuation asymptotique Iau seuil de 95 % est, d’après le cours, I=
hp−1,96pp(1−p)
√n;p+ 1,96pp(1−p) √ni, sous réserve que : n>30,np >5et
n(1 −p)>5.
L’échantillon de l’enquête est de taille n= 800 et l’entreprise annonce que le
pourcentage de moteurs défectueux est de 1 % donc p= 0,01. Par ailleurs on
a bien :
n= 800 >30,np = 800 ×0,01 = 8 >5et n(1 −p) = 800 ×0,99 = 792 >5.
L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donc I= [0,01 −
1,96p0,01(1−0,01)
√800 ; 0,01 + 1,96p0,01(1−0,01) √800 ]≈[0,003 ; 0,017].
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Sujet 1 | Corrigé
On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux sur 800, ce qui fait une
proportion de p=15
800 = 0,01875.
Or, 0,01875 6∈ Idonc le résultat de ce test remet en question l’annonce de
l’entreprise A.
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Sujet 2
Amérique du Nord, mai 2013, exercice 3
5 points
Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.
Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de
campagne pesant en moyenne 400 grammes. Pour être vendus aux clients, ces
pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dont la masse est stric-
tement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain
dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable.
La masse d’un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une va-
riable aléatoire Xsuivant la loi normale d’espérance µ= 400 et d’écart type
σ= 11.
Les probabilités seront arrondies au millième le plus proche.
Partie A
Vous pourrez utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies
au millième le plus proche.
x380 385 390 395 400
P(X6x)0,035 0,086 0,182 0,325 0,5
x405 410 415 420
P(X6x)0,675 0,818 0,914 0,965
1Calculez P(390 6X6410).
Utilisez le tableau et le fait que si Xest une variable aléatoire suivant une
loi continue : P(a6X6b) = P(X6b)−P(X6a).
2Calculez la probabilité pqu’un pain choisi au hasard dans la production soit
commercialisable.
Traduisez à l’aide d’une variable aléatoire et d’une probabilité le fait
qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.
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