Exercices portant sur le programme de première année

MP – Cours de physique
MÉCANIQUE
Exercices portant sur le programme de première année
1. Champs newtoniens
A- Orbites circulaires : satellite géostationnaire
1 - Montrer que les orbites géostationnaires sont nécessairement circulaires et équatoriales.
2 - Donner l’expression du rayon Rs de cette orbite et calculer numériquement la valeur de Rs . On donne
la valeur de la pesanteur au sol g 0 = 9,8 m ⋅ s −2 ainsi que le rayon de la Terre RT = 6 380 km .
3 - Déterminer l’énergie d’un satellite de masse ms sur cette orbite. Application numérique pour
ms = 2 tonnes .
4 - Du fait de la rotation de la Terre sur elle-même, l’énergie nécessaire à la satellisation géostationnaire
est fonction de la latitude λ de la base de lancement. Déterminer cette énergie et faire l’application
numérique pour un satellite de masse ms = 2 tonnes pour la base de Kourou ( λ = 5° ) , pour la base de
Cap Canaveral ( λ = 28° ) et pour la base de Baïkonour ( λ = 46° ) .
B- Étude d'une orbite elliptique : calcul d’une orbite de transfert
Un satellite S de masse ms = 2 tonnes est
en orbite circulaire basse (1) de rayon R1
autour de la Terre de centre T. On désire le
faire passer sur une orbite circulaire haute
(2) de rayon R2 . L’orbite de transfert (3)
entre les orbites (1) et (2) est elliptique.
1 - Calculer l’intensité de vitesse v1 et
l’énergie E1 du satellite sur l’orbite
circulaire basse (on assimilera R1 au
rayon de la Terre) .
2 - Calculer l’intensité de vitesse v2 et
l’énergie E2 du satellite sur l’orbite
circulaire haute pour 42 000 km .
3 - Calculer l’énergie E3 du satellite sur son orbite de transfert, en déduire les intensités de vitesse vP au
périgée et vA à l'apogée de l’orbite de transfert.
4 - En déduire l’énergie à communiquer au satellite aux points P et A.
5 - Calculer le temps de transfert pour aller de P à A.
C. Orbite parabolique : passage d’une comète
Une comète est passée en 1843 au voisinage du Soleil sur une orbite que l’on peut considérer en première
approximation comme parabolique. La distance minimale comète-soleil a été 6,1× 10−3 R (où R est le
Jean Le Hir, 3 septembre 2005
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rayon de l’orbite terrestre, la Terre décrivant en première approximation une orbite circulaire autour du
Soleil). On donne R = 150 × 106 km .
1 - Déterminer la vitesse maximale de la comète et calculer le rapport de cette vitesse à la vitesse de la
Terre sur son orbite.
2 - En réalité, l’orbite de la comète est elliptique et son excentricité est e = 0,999906 . En quelle année
reviendra-t-elle ?
3 - En revenant à l’approximation d’une trajectoire parabolique, donner l’équation de la trajectoire en
coordonnées polaires. On appelle K1 et K 2 les points de la trajectoire où la comète est à une distantce
du Soleil égale à R. Déterminer l’angle K
SK .
1
2
4 - à partir de l’expression de la loi des aires pour le mouvement parabolique, déterminer pendant
combien de temps cette comète est restée plus proche du Soleil que la Terre.
On donne la primitive suivante :
dθ
∫ (1 + cos θ )
2
=
sin θ ( 2 + cos θ )
3 (1 + cos θ )
2
D. Champs newtoniens: approche de la Lune
Un vaisseau spatial S de masse ms = 2 tonnes en provenance de la Terre arrive au voisinage de la lune où
l’on supposera qu’il n'est soumis qu'au seul champ d'attraction lunaire. La distance d’impact est b et son
intensité de vitesse loin de la Lune est V0 .
1 - Exprimer l’énergie totale du vaisseau et son moment cinétique ; déduire que la trajectoire du vaisseau
est hyperbolique.
2 - On appelle rm la distance minimale d'approche du vaisseau au centre de la lune (A, sommet de
l’hyperbole est tel que OA = rm ). Établir une relation entre V0 , rm , b, G et M L si G est la constante
d’attraction universelle et M L la masse de la Lune. Exprimer cette relation en introduisant le rayon
RL = 1 740 km de la Lune et l’intensité de la pesanteur à la surface lunaire g L = 1, 62 m ⋅ s −2 ). Calculer
et l’excentricité e de l’hyperbole pour rm = 2 RL et b = 4 RL .
3 - Au point A le vaisseau freine instantanément pour décrire une orbite circulaire de rayon rm autour de
la Lune. Calculer la vitesse V1 du vaisseau satellisé et l’énergie de freinage nécessaire.
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2. Systèmes de deux points matériels : modèles moléculaires
Nous assimilons les atomes à des points matériels et nous modélisons les liaisons inter atomiques dans
une molécule sous la forme d’une interaction élastique harmonique : d étant la longueur de liaison au
repos, pour de petites élongations ( AB − d ≪ d ) , il apparaît une force proportionnelle à l’élongation
AB − d qui tend à rétablir la situation de « repos ». Le coefficient de proportionnalité, ou « raideur » de
la liaison moléculaire, sera noté k.
1. Dans un référentiel galiléen R , on étudie une molécule A–B pour laquelle les masses des atomes
seront notés mA et mB et les positions des atomes rA et rB . Donner l’expression, dans le référentiel
R , des éléments de réduction en I, centre d’inertie de la molécule, du torseur cinétique en fonction de
m m
la position rI et du vecteur r = rB − rA . On notera µ = A B la masse réduite du système et
mA + mB
m = mA + mB la masse totale de la molécule AB.
2. Donner l’expression du torseur cinétique dans le référentiel barycentrique R * associé à R .
3. Montrer que le mouvement des atomes A et B dans R * se déduit par homothétie du mouvement r ( t )
d’une particule fictive de masse µ .
4. Montrer que la trajectoire est plane et déterminer l’équation différentielle à laquelle obéit r ( t ) .
L*
k
(moment cinétique massique) et ω0 =
. Que représente ω0 ?
On posera C =
µ
µ
5. On pose X = r − d . Montrer que dans l’hypothèse de petites élongations, X ( t ) est solution d’une
équation différentielle harmonique de pulsation ω très proche de ω0
6. Montrer que le mouvement de rotation θ* ( t ) est uniforme en l’absence de vibrations et non uniforme
en présence de vibrations.
7. Exprimer l’énergie moléculaire dans les référentiels R * et R dans l’hypothèse harmonique et
montrer que, dans cette énergie peut s’exprimer sous la forme de la somme d’une énergie de vibration,
d’une énergie de rotation et d’une énergie de translation.
8. La théorie quantique montre que l’énergie moléculaire vibratoire et l’énergie moléculaire rotatoire
sont quantifiées par deux nombres entiers n et ℓ selon les formules :
ℓ ( ℓ + 1) ℏ 2
1

avec ℏ = 1, 06 × 10−34 J ⋅ s
Evib =  n +  ℏω0 et Erot =
2
2µd
2

Le tableau suivant donne les valeurs des longueurs de liaison moléculaire, des masses molaires et des
fréquences propres de vibration de halogénures d’hydrogène H–F et H–F.
Masse atomique
H–F
H–Cl
H–Br
H–I
−1
M F = 19, 0 g ⋅ mol
M Cl = 35,5 g ⋅ mol −1
M Br = 79,9 g ⋅ mol−1
M I = 126,9 g ⋅ mol−1
Longueur de liaison
Fréquence propre de vibration
d H–F = 92 pm
d H–Cl = 127 pm
d H–Br = 140 pm
d H–I = 161 pm
ν H–F = 124, 7 × 1012 Hz
ν H–Cl = 86, 6 × 1012 Hz
ν H–Br = 76,8 × 1012 Hz
ν H–I = 66,9 ×1012 Hz
Calculer les raideurs moléculaires correspondantes et interpréter les résultats. Montrer que les quanta
d’énergie de rotation sont toujours très inférieurs aux quanta d’énergie de vibration.
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3. Principe de fonctionnement du cyclotron
Schématiquement les cyclotrons combinent :
— Un intense champ magnétique axial produit par des aimants,
A
— Un champ électrique alternatif radial de haute fréquence entre deux
éléments de forme semi-circulaire nommés « dés ».
Les particules chargées sont introduites au centre du dispositif. Le champ
magnétique leur confère une trajectoire circulaire autour de l’axe du cyclotron
La particule injectée au cœur du cyclotron va être accélérée par le champ
électrique alternatif de haute fréquence entre les « dés ». Puis, elle entre dans le « dé » suivant lorsque le
champ électrique change de sens et elle est donc à nouveau accélérée, et ainsi de suite.
Sa trajectoire devient plus périphérique du fait de son augmentation d’énergie. Elle sera éjectée de
l’accélérateur avec l’énergie adéquate à partir de cette dernière trajectoire, puis guidée et focalisée jusqu’à
sa cible.
1. Représenter, en justifiant, au point A de la trajectoire de l’ion injecté dans le cyclotron, le vecteur
vitesse v de l’ion et la force magnétique Fm qui s’exerce sur l’ion. Représenter le champ magnétique
B , dans l’hypothèse où la charge q de l’ion est positive.
2. Montrer que l’action du champ B ne permet pas d’accroître l’énergie cinétique de l’ion.
3. Démontrer que dans un « D », dans l’hypothèse où le champ magnétique est uniforme et constant, le
mouvement de l’ion est circulaire uniforme et exprimer le rayon de la trajectoire en fonction de m
(masse de l’ion), v (module de la vitesse de l’ion), q et B.
4. Montrer que la durée de passage dans un demi-cylindre, notée tp , ne dépend pas de v.
Pour accroître l’énergie cinétique de l’ion, on utilise l’action du champ électrique E résultant de la
tension u appliquée entre les deux « D ». On considère que pendant la durée très courte de passage de
l’ion d’un « D » à l’autre, la tension u reste constante.
5. Déterminer, en fonction de q et u les expressions des variations de l’énergie cinétique de l’ion lors de
la traversée de l’espace entre les deux « D ».
6. Un ion est injecté dans la zone d’accélération avec une vitesse nulle. Quelle est sa vitesse v1 au
moment de la pénétration dans le premier « D » et quel est le rayon R1 de la première trajectoire
semi-circulaire ?
7. On peut négliger la durée de passage de l’ion dans l’intervalle entre les deux « D » devant la durée tP
de passage de l’ion dans un demi-cylindre. La tension u est une fonction sinusoïdale du temps qui doit
être synchronisée avec le mouvement des particules chargées de telle sorte que le champ électrique
soit inversé à chaque demi-tour. Quelle doit être la fréquence d’oscillation de cette tension u ( t )
permettant d’obtenir une accélération de l’ion à chaque passage dans l’intervalle entre les deux « D ».
8. Après chaque passage dans l’intervalle entre les deux « D », la vitesse de la particule ainsi que le
rayon R de sa trajectoire dans un « D » augmentent. Déterminer les suites vk et Rk , l’indice k étant
incrémenté d’une unité à chaque demi-tour.
9. Lorsque ce rayon finit par atteindre le rayon RD d’un « D », l’ion est alors éjecté du cyclotron.
Exprimer en fonction de m, q, B et RD l’énergie cinétique Ek de l’ion lors de son éjection.
10. Application numérique. Calculer, en joule, puis en MeV, l’énergie cinétique Ek d’un ion zinc Zn11+
(onze plus) sachant que : B = 1, 67 T ; m = 1, 06 × 10−25 kg ; RD = 0, 465 m ; e = 1, 60 × 10−19 C .
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