Algèbres non associatives et algèbres génétiques

MÉMORIAL DES SCIENCES MATHÉMATIQUES
MONIQUE BERTRAND
Algèbres non associatives et algèbres génétiques
Mémorial des sciences mathématiques, fascicule 162 (1966), p.
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Mme Monique BERTRAND
Agrégée de Mathématiques
ALGÈBRES NON ASSOCIATIVES
ET
ALGÈBRES GÉNÉTIQUES
MÉMORIAL DES SCIENCES MATHÉMATIQUES
Directeur : H. VILLAT
FASCICULE CLXII
PARIS
GAUTHIER-VILLARS ÉDITEUR
1966

© Gauthier-Villars, 1966.
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ALGÈBRES NON ASSOCIATIVES
ET ALGÈBRES GÉNÉTIQUES
Par Mme Monique BERTRAND,
Agrégée de Mathématiques.
Ce travail comprend trois parties :
— une partie purement algébrique;
— une partie donnant quelques notions de génétique;
— une partie intitulée : Algèbres génétiques.
En effet les lois de la génétique ont donné à plusieurs mathématiciens
l'idée de construire certains types d'algèbres, désignées sous le vocable
général d' « algèbres génétiques ». Ces algèbres ne sont pas associatives,
et leur étude théorique fait appel à certaines notions générales de
la théorie des algèbres non associatives.
C'est pourquoi l'on s'est attaché, dans la première partie, à développer
surtout les parties de l'étude des algèbres non associatives qui seront
directement utilisées dans la théorie des algèbres génétiques.
La deuxième partie développe succinctement les notions de génétique
nécessaires à la compréhension de la troisième partie, qui étudie
la construction et la structure des algèbres génétiques. L'étude des
idempotents, en particulier, se trouve avoir un rôle privilégié, car
ceux-ci représentent en génétique des populations ayant atteint
un état d'équilibre, et il est intéressant de savoir si un tel état peut être
atteint, et de quelle manière.
MÉMORIAL DES SO. MATH. — N° 162. 1

2 M. BERTRAND.
Étude des ensembles munis d'une loi non associative :
Définition et propriétés des formes.
INTRODUCTION.
Considérons un ensemble E, non vide, et supposons-le muni d'une loi
de composition. Soit L : à tout couple d'éléments A, B € E, pris dans
cet ordre, nous faisons donc correspondre un élément P bien défini
de E, soit P = ALB.
Rappelons les définitions suivantes : L est dite associative si et
seulement si : V
A, B, CGE, AL(BLC) = (ALB) LC,
L est dite commutative, si et seulement si :
VA, BeE, ALB = BLA.
Prenons quelques exemples :
Exemple I : considérons l'ensemble (O des déplacements plans
de la géométrie euclidienne, et prenons pour loi L la composition
de ces déplacements.
L est associative et non commutative.
Exemple II : considérons l'ensemble 31 des entiers arithmétiques,
et prenons pour L le produit ordinaire.
L est associative et commutative.
Exemple III : prenons pour E l'ensemble dl et pour loi L la loi
ainsi définie :
VA, B€#l, P= \LB = A».
cette loi n'est ni commutative, ni associative : en effet
(ALB) LC = ( \B)C = A»<s \L(BLC) = ABC;
ALB = \B; BLA = BA.
Exemple IV : prenons pour E l'ensemble Q des rationnels et pour L
la loi ainsi définie :
VAeQ, ALA = A,
VA, B€Q, A^B, ALB= i A-+- * B,
L est commutative et non associative : en effet
AL(ALB)= ? A-h 7B; (ALA)LB=
1
A -4- - B.
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2