10. Probabilités sur un ensemble fini.

10.
Probabilités sur un ensemble fini.
10.1. Introduction historique
Les jeux de hasard existe depuis l’antiquité : Les jeux de dés en particulier. C’est de ces
différents jeux que viennent les origines des mots actuellement utilisés en probabilité :
Aléa vient du latin alea qui signifie « coup de dé ».
Hasard vient de l’arabe az-zahr qui signifie « jeu de dé ».
Jusqu’au XVIème siècle Beaucoup de problèmes restaient sans solution. Par exemple le
grand duc de Toscane, grand amateur de jeux de hasard avait remarqué qu’en lançant trois dés
simultanément, le total 10 revenait plus souvent que le total neuf, alors que 10 et 9 se
décomposent de la même manière.
FAIRE LA DECOMPOSITION
C’est Galilée (1564 – 1642) mathématicien physicien et astronome italien qui résolut
le premier ce problème.
Pascal (1623-1662) mathématicien, physicien, philosophe français est considéré
comme le fondateur du calcul des probabilités en généralisant des méthodes issues de cas
particuliers.
Aujourd’hui, les probabilités sont utilisées dans presque tous les secteurs : assurance,
gestion, économie, génétique, médecine, physique des particules…
L’informatique peut même simuler le hasard : La touche Ran # ou RND permet
d’obtenir un nombre pseudo-aléatoire. .
Avant de passer au calcul de probabilité nous allons nous intéresser au dénombrement,
c’est-à-dire au nombre de cas possibles d’une situation.
10.2. Dénombrement
1.
Tableau de résultats – Activité 2
Sur les 50 professeurs d’un lycée, 70% sont des femmes. Parmi tous les professeurs, 42 ont
1
déclaré fumer. On constate de plus que des fumeurs sont des hommes
3
1) Reproduire et compléter le tableau suivant :
Hommes
Femmes
Total
fumeurs
Non fumeurs
Total
2) A l’aide du tableau, déterminer
a) le nombre de fumeurs hommes
b) le nombre de fumeurs ou d’hommes
c) le pourcentage de femmes non fumeurs.
2.
Arbres – Activité 3
Un commercial part de Ploemeur pour visiter 4 clients notés A, B, C, D.
1°) Utiliser un arbre pour déterminer combien d’ordres théoriques de visites il y a.
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2°) Combien reste-t-il de possibilités s’il doit passer chez le client A avant d’aller chez le
client C, sachant qu’il peut visiter un ou deux clients entre A et C
A
B
…
C
…
D
…
10.3. Probabilités sur un ensemble fini
1.
Vocabulaire et loi de probabilité
1.1. Expérience aléatoire
Lorsque dans une situation donnée, nous disposons de certaines informations, mais
nous ne pouvons connaître à l’avance le résultat parmi plusieurs issues possibles car le hasard
intervient, On dit qu’il s’agit d’une expérience aléatoire.
Exemple :
- Situation 1 : Lancer un dé cubique
- Situation 2 : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32.
- Situation 3 : Jouer deux fois à pile ou face en lançant une pièce
1.2.
Univers
Définition :
Dans une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles.
On note souvent cet ensemble Ω.
Exemples :
- Situation 1 : Ω={1,2,3,4,5,6}
- Situation 2 : Ω est l’ensemble des 32 cartes du jeu
- Situation 3 : Ω est l’ensemble des couples suivant : (pile, pile), (pile, face),
(face, pile) (face, face).
1.3.
Loi de probabilité
Définition :
Définir une loi de probabilité sur Ω, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi
positif ou nul de telle façon que p1 + p 2 + ... + p n = 1 .
Ce nombre pi est appelé probabilité de l’issue xi.
Exemple : pour un dé équilibré, on considère que chaque face a autant de chances qu’une
1
autre d’apparaître. Donc : p1 = p 2 = p 3 = p 4 = p5 = p 6 = .
6
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Théorème
Dans le cas où l’on associe à chacune des n issues d’une expérience aléatoire la même
probabilité p, on parle de loi équirépartie ou de situation d’équiprobabilité.
1
La probabilité pi de chaque issue xi. est alors de
n
Démonstration :
p1 + p 2 + ... + p n = 1 et p1 = p 2 = ... = p n , donc p1 + p1 + ... + p1 = 1 soit p1 =
2.
1
n
Modélisation d’une expérience aléatoire
Modéliser une expérience aléatoire dont les issues constituent l’ensemble Ω, c'est choisir
une loi de probabilité sur Ω qui représente au mieux les chances de réalisation de chaque issue
Plus un échantillon est grand, c’est à dire plus le nombre d’expériences effectuées est grand,
plus la fluctuation des fréquences devient faible. La fréquence d’apparition d’une issue A tend
vers un nombre appelé : probabilité d’apparition de cette issue. Cela permet alors de modéliser
une expérience aléatoire.
10.4. Probabilités d’un événement
1.
Notion d’événement
Définition :
• Un événement est une partie de l’univers Ω des issues d’une expérience aléatoire
• Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.
• Deux événement sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅
• L’événement certain est Ω . L’événement impossible est ∅ .
• L’événement contraire d’un événement A est l’événement A constitué des éléments
de Ω n’appartenant pas à A.
Exemples issu de la situation 1 :
- A={1,2,3} est un événement de Ω={1,2,3,4,5,6}
- L’événement « obtenir 3 » est un événement élémentaire.
- L’événement « obtenir un nombre pair est P={2,4,6}
- L’événement contraire à P est l’ensemble P ={1,3,5}
- P et P sont deux événements incompatibles.
1.
Probabilité d’un événement
Définition :
Soit Ω un univers fini.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le constituent.
• La probabilité de Ω est 1. la probabilité de ∅ est 0
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Notation
La probabilité d’un événement A est notée p(A).
Exemples issus de la Situation 2 :
- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet de cœur.
- Déterminer la probabilité d’obtenir un cœur.
- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet.
Théorème : (admis) Dans le cas d’une loi équirépartie, la probabilité d’un événement A est :
Nombre d’éléments de A
Nombre de cas favorables
P(A)=
=
Nombre d’éléments de Ω
Nombre de cas possibles
10.5. Calculs de probabilités
1.
Intersection et réunion d’événement
• L’intersection de A et B est l’événement noté A ∩ B formé des issues réalisant à la
fois l’événement A et l’événement B (on lit A Inter B)
• La réunion de A et B est l’événement noté A ∪ B formé des issues réalisant
l’événement A oul’événement B (on lit A Union B)
Exemple :
Si A={1,2} et B = {2,3,4} A ∪ B ={1,2,3,4 et A ∩ B ={2}
E
2x
1x
5x
4x
A
3x
6x
B
Exemple : Cf situations précédentes.
2.
Propriétés :
2.1.
Evénements complémentaire
2.2.
Réunion et intersection de deux événements
Théorème : Pour tout événement A P ( A) + P (A ) = 1
Théorème : (admis)
Pour tout événement A, B, P( AUB ) + P( A ∩ B ) = P( A) + P(B )
Remarque : si A et B sont deux événement disjoints (incompatibles : A ∩ B = ∅ ) alors
P( AUB ) = P( A) + P( B )
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A∩ B
A
B
Ω
Pour dénombrer, on utilise généralement l’un de ce trois schémas
Diagramme de Venn
Caroll
Arbre des événements
Choix
pour A
A
A∩ B
B
Diagramme
de
Choix
pour B
B
B
Ω
A
A
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