Exercices de mathématiques

Universit´e Paris Diderot Ann´ee 2007-2008
MI2 Semaine du 31 mars au 4 avril feuille n◦6
Exercices de math´ematiques
Exercice 1 D´eterminer lesquels des ensembles E1,E2,E3et E4sont des sous-espaces vectoriels
de R3. Calculer leurs dimensions.
E1={(x, y, z)∈R3;x+y−z=x+y+z= 0}.
E2={(x, y, z)∈R3;x2−z2= 0}.
E3={(x, y, z)∈R3;exey= 0}.
E4={(x, y, z)∈R3;z(x2+y2) = 0}.
Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaˆıtre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
E1=(x, y, z)∈R3;x+y+a= 0,et x+ 3az = 0
E2={f∈ F(R,R); f(1) = 0}, E3={f∈ F(R,R); f(0) = 1}
E4={P∈Rn[X]; P0= 3}, E5=(x, y)∈R2;x+αy + 1 >0.
Exercice 3 Dans R4on consid`ere l’ensemble Edes vecteurs (x1, x2, x3, x4) v´erifiant x1+x2+
x3+x4= 0. L’ensemble Eest-il un sous espace vectoriel de R4? Si oui, en donner une base.
Exercice 4 Soient les vecteurs e1= (1,2,3,4), e2= (1,−2,3,−4) de R4. Peut-on d´eterminer
xet ypour que (x, 1, y, 1) ∈Vect{e1, e2}? pour que (x, 1,1, y)∈Vect{e1, e2}?
Exercice 5 Soient Eet Fles sous-espaces vectoriels de R3engendr´es respectivement par les
vecteurs {
2
3
−1
,
1
−1
−2
}et {
3
7
0
,
5
0
−7
}. Montrer que Eet Fsont ´egaux.
Exercice 6 Soient Eun espace vectoriel, Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. On dit que
Fet Gsont suppl´ementaires dans Elorsque F∩G={0}et E=F+G. On note E=F⊕G.
1. Soient e1=
1
1
0
0
, e2=
0
1
1
0
, e3=
1
1
0
1
, e4=
1
0
0
0
et e5=
1
1
1
1
des vecteurs de
R4. Posons F= Vect {e1, e2}, G = Vect {e3, e4}, G0= Vect {e3, e4, e5}. Montrer que
E=F⊕Get E6=F⊕G0.
2. Supposons que Eest de dimension finie n, que dim (F) = pet E=F⊕G.
(a) Calculer dim (G).
(b) Montrer que tout ´el´ement xde Ese d´ecompose d’une mani`ere unique en une somme
x=y+zavec y∈Fet z∈G.
(c) Soient F={f1,· · · , fk}une famille libre de Fet G={g1,· · · , gl}une famille libre
de G. Montrer que la famille F ∪ G est libre.
1

(d) Soit ϕune application lin´eaire de Edans Rq,q∈N. Construire deux applications
lin´eaires ψet ψ0de Edans Rqtelles que : ∀y∈F:ψ0(y) = 0,∀z∈G:ψ(z) = 0 et
∀x∈E:ϕ(x) = ψ(x) + ψ0(x).
Exercice 7 Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de Rn, on d´efinit l’application f:
F×G→Rnpar f(x1, x2) = x1+x2.
1. Montrer que f est lin´eaire.
2. D´eterminer le noyau et l’image de f.
Exercice 8 E1et E2´etant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vec-
toriel E, on d´efinit l’application f:E1×E2→Epar f(x1, x2) = x1+x2.
1. Montrer que fest lin´eaire.
2. D´eterminer le noyau et l’image de f.
3. Appliquer le th´eor`eme du rang.
Exercice 9 Soit E=Rn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e 6n, et f:E→E
d´efinie par :
f(P) = P+ (1 −X)P0.
Montrer que f∈L(E),donner une base de Im fet de Ker(f).
Exercice 10 Soient ~v1(1,2,3,4), ~v2(2,2,2,6), ~v3(0,2,4,4), ~v4(1,0,−1,2), ~v5(2,3,0,1) dans R4.
Soient F=V ect{~v1, ~v2, ~v3}et G=V ect{~v4, ~v5}. D´eterminer une base des sous-espaces F∩G,
F, G et F+G.
Exercice 11 On consid`ere dans R4,F= lin{a, b, c}et G= lin{d, e}, avec a= (1,2,3,4),
b= (2,2,2,6), c= (0,2,4,4), d= (1,0,−1,2) et e= (2,3,0,1). D´eterminer des bases des
sous-espaces F∩G,F,G,F+G.
Exercice 12 Dans R3, les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon d´ecrire le sous-espace
qu’ils engendrent.
1. v1= (1,1,1), v2= (3,0,−1), v3= (−1,1,−1).
2. v1= (1,2,3), v2= (3,0,−1), v3= (1,8,13).
3. v1= (1,2,−3), v2= (1,0,−1), v3= (1,10,−11).
Exercice 13 D´eterminer pour quelles valeurs de t∈Rles vecteurs 
1
0
t
,
1
1
t
,
t
0
1
forment une base de R3.
Exercice 14 Soit (Σ) le syst`eme d’´equations lin´eaires :
x+ 3y+ 2z= 0
x+y+z+t= 0
x−t= 0
Montrer que l’ensemble des solutions de (Σ) forme un sous-espace vectoriel Fde R4. D´eterminer
la dimension et une base de F.
2

Exercice 15 Soient v1= (1,0,0,−1),v2= (2,1,0,1),v3= (1,−1,1,−1),v4= (7,2,0,−1)
et v5= (−2,−3,1,0). Donner une base du sous-espace vectoriel F=<v1,v2,v3,v4,v5>.
D´eterminer un suppl´ementaire de Gdans Fdans R4.
Exercice 16 D´eterminer pour quelles valeurs de t∈Rles polynˆomes X2+t/2, X −t , (X+
t+ 1)2forment une base de R2[X].
Exercice 17 On consid`ere, dans R4, les vecteurs : e1=
1
2
3
4
, e2=
1
1
1
3
, e3=
2
1
1
1
, e4=
−1
0
−1
2
, e5=
2
3
0
1
.
Soient El’espace vectoriel engendr´e par e1, e2, e3et Fcelui engendr´e par e4, e5. Calculer les
dimensions respectives de E , F , E ∩F , E +F.
3

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MI2 Semaine du 31 mars au 4 avril feuille n◦6
Exercices de math´ematiques
Correction 1 1. E1est un sous-espace vectoriel de R3. En effet :
(a) 000∈E1.
(b) Soient x y zet x0y0z0deux ´el´ements de E1. On a donc x+y−z=x+y+z=
0 et x0+y0−z0=x0+y0+z0= 0. Donc (x+x0) + (y+y0)−(z+z0) = (x+x0) +
(y+y0)+(z+z0) = 0 et x y z+x0y0z0=(x+x0) (y+y0) (z+z0)
appartient `a E1.
(c) Soient λ∈Ret x y z∈E1. Alors la relation x+y−z=x+y+z= 0 implique
que λx+λy−λz =λx+λy+λz = 0 donc que λx y z=λx λy λzappartient
`a E1.
Posons F1={(x, y, z)∈R3;x+y+z= 0}.F1est un plan passant par l’origine donc F1est
un sous-espace vectoriel de R3. On a les inclusions strictes :{0} ⊂ E1et E1⊂F1⊂R3.
Par la premi`ere on obtient 0 <dim (E1), par la seconde dim (F1)<3 puis dim (E1)<2
c’est `a dire dim (E1) = 1.
2. E2={(x, y, z)∈R3;x2−z2= 0}c’est `a dire E2={(x, y, z)∈R3;x=zou x=
−z}. Donc 1 0 −1et 101appartiennent `a E1mais 1 0 −1+101=
200n’appartient pas `a E1qui n’est en cons´equence pas un sous-espace vectoriel de
R3.
3. 000/∈E3donc E3n’est pas un sous-espace vectoriel de R3.
4. Les vecteurs 100et 001appartiennent `a E4mais leur somme 100+
001=101ne lui appartient pas donc E4n’est pas un sous-espace vectoriel
de R3.
Correction 2 –E1: non si a6= 0 car alors 0 /∈E1; oui, si a= 0 car alors E1est l’intersection
des sous-espaces vectoriels {(x, y, z)∈R3;x+y= 0}et {(x, y, z)∈R3;x= 0}.
–E2est un sous-espace vectoriel de F(R,R).
–E3: non, car la fonction nulle n’appartient pas `a E3.
–E4: non car le polynˆome nul n’appartient pas `a E4.
–E5: non, en fait E5n’est mˆeme pas un sous-groupe de (R2,+) car (2,0) ∈E5mais −(2,0) =
(−2,0) /∈E5.
Correction 5 Pour que deux ensembles Xet Ysoient ´egaux, il faut et il suffit que X⊂Y
et Y⊂X.Dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, la situation est un peu plus
simple : pour que E=Fil faut et il suffit que F⊂Eet dim (E) = dim (F). Appliquons ce
crit`ere : Eest engendr´e par deux vecteurs donc dim (E)62. Les deux vecteurs 
2
3
−1
,
1
−1
−2
sont lin´eairement ind´ependants donc dim (E)>2 c’est `a dire dim (E) = 2. Un raisonnement
1

identique montre dim (F) = 2. Enfin, les ´egalit´es 
3
7
0
= 2 
2
3
−1
−
1
−1
−2
et 
5
0
−7
=
2
3
−1
+ 3 
1
−1
−2
montrent que F⊂Ec’est `a dire E=F.
Correction 17 Eest engendr´e par trois vecteurs et Fest engendr´e par deux vecteurs. Donc
dim (E)63 et dim (F)62. Clairement e4et e5ne sont pas li´es donc dim (F)>2 c’est `a
dire dim (F) = 2. Enfin, det 
112
211
311
=−16= 0. La famille {e1, e2, e3}est donc libre, soit
dim (E)>3 i.e. dim (E) = 3.
E∩F⊂Fdonc dim (E∩F)62. De plus : dim (E+F) = dim (E) + dim (F)−dim (E∩F).
Comme E+F⊂R5, on a dim (E+F)65 d’o`u on tire l’in´egalit´e 1 >dim (E∩F). Donc soit
dim (E∩F) = 1 soit dim (E∩F) = 2.
Supposons que dim (E∩F) soit ´egale `a 2. Comme E∩F⊂Fon aurait dans ce cas E∩F=F.
En particulier il existerait α, β, γ ∈Rtels que e4=αe1+βe2+γe3. On v´erifie ais´ement que ce
n’est pas le cas, donc que dim (E∩F) n’est pas ´egale `a 2.
On peut donc conclure : dim (E∩F) = 1 puis dim (E+F) = 4.
2