Exercices de mathématiques

Université Paris Diderot
MI2 Semaine du 31 mars au 4 avril
Année 2007-2008
feuille n◦ 6
Exercices de mathématiques
Exercice 1 Déterminer lesquels des ensembles E1 , E2 , E3 et E4 sont des sous-espaces vectoriels
de R3 . Calculer leurs dimensions.
E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − z = x + y + z = 0}.
E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2 − z 2 = 0}.
E3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; ex ey = 0}.
E4 = {(x, y, z) ∈ R3 ; z(x2 + y 2 ) = 0}.
Exercice 2 Parmi les ensembles suivants reconnaı̂tre ceux qui sont des sous-espaces vectoriels.
E1 = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + a = 0, et x + 3az = 0
E2 = {f ∈ F(R, R); f (1) = 0} ,
E3 = {f ∈ F(R, R); f (0) = 1}
0
E4 = {P ∈ Rn [X]; P = 3} ,
E5 = (x, y) ∈ R2 ; x + αy + 1 > 0 .
Exercice 3 Dans R4 on considère l’ensemble E des vecteurs (x1 , x2 , x3 , x4 ) vérifiant x1 + x2 +
x3 + x4 = 0. L’ensemble E est-il un sous espace vectoriel de R4 ? Si oui, en donner une base.
Exercice 4 Soient les vecteurs e1 = (1, 2, 3, 4), e2 = (1, −2, 3, −4) de R4 . Peut-on déterminer
x et y pour que (x, 1, y, 1) ∈ Vect{e1 , e2 } ? pour que (x, 1, 1, y) ∈ Vect{e1 , e2 } ?
3
Exercice 
5 Soient
sous-espaces
 E etF les 
  vectoriels de R engendrés respectivement par les
2
1
3
5







vecteurs { 3 , −1 } et { 7 , 0 }. Montrer que E et F sont égaux.
−1
−2
0
−7
Exercice 6 Soient E un espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que
F et G sont supplémentaires dans E lorsque F ∩ G = {0} et E = F + G. On note E = F ⊕ G.
 
 
 
 
 
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1

 
 
 
 
1. Soient e1 = 
0 , e2 = 1 , e3 = 0 , e4 = 0 et e5 = 1 des vecteurs de
0
0
1
0
1
4
0
R . Posons F = Vect {e1 , e2 }, G = Vect {e3 , e4 }, G = Vect {e3 , e4 , e5 }. Montrer que
E = F ⊕ G et E 6= F ⊕ G0 .
2. Supposons que E est de dimension finie n, que dim (F ) = p et E = F ⊕ G.
(a) Calculer dim (G).
(b) Montrer que tout élément x de E se décompose d’une manière unique en une somme
x = y + z avec y ∈ F et z ∈ G.
(c) Soient F = {f1 , · · · , fk } une famille libre de F et G = {g1 , · · · , gl } une famille libre
de G. Montrer que la famille F ∪ G est libre.
1
(d) Soit ϕ une application linéaire de E dans Rq , q ∈ N. Construire deux applications
linéaires ψ et ψ 0 de E dans Rq telles que : ∀y ∈ F : ψ 0 (y) = 0, ∀z ∈ G : ψ(z) = 0 et
∀x ∈ E : ϕ(x) = ψ(x) + ψ 0 (x).
Exercice 7 Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de Rn , on définit l’application f :
F × G → Rn par f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
Exercice 8 E1 et E2 étant deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies d’un espace vectoriel E, on définit l’application f : E1 × E2 → E par f (x1 , x2 ) = x1 + x2 .
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de f .
3. Appliquer le théorème du rang.
Exercice 9 Soit E = Rn [X] l’espace vectoriel des polynômes de degré 6 n, et f : E → E
définie par :
0
f (P ) = P + (1 − X)P .
Montrer que f ∈ L(E), donner une base de Im f et de Ker(f ).
Exercice 10 Soient v~1 (1, 2, 3, 4), v~2 (2, 2, 2, 6), v~3 (0, 2, 4, 4), v~4 (1, 0, −1, 2), v~5 (2, 3, 0, 1) dans R4 .
Soient F = V ect{v~1 , v~2 , v~3 } et G = V ect{v~4 , v~5 }. Déterminer une base des sous-espaces F ∩ G,
F, G et F + G.
Exercice 11 On considère dans R4 , F = lin{a, b, c} et G = lin{d, e}, avec a = (1, 2, 3, 4),
b = (2, 2, 2, 6), c = (0, 2, 4, 4), d = (1, 0, −1, 2) et e = (2, 3, 0, 1). Déterminer des bases des
sous-espaces F ∩ G, F , G, F + G.
Exercice 12 Dans R3 , les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace
qu’ils engendrent.
1. v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 0, −1), v3 = (−1, 1, −1).
2. v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 0, −1), v3 = (1, 8, 13).
3. v1 = (1, 2, −3), v2 = (1, 0, −1), v3 = (1, 10, −11).
     
1
1
t
Exercice 13 Déterminer pour quelles valeurs de t ∈ R les vecteurs 0 , 1 , 0
t
t
1
3
forment une base de R .
Exercice 14 Soit (Σ) le système d’équations linéaires :

 x + 3y + 2z = 0
x+y+z+t=0

x−t=0
Montrer que l’ensemble des solutions de (Σ) forme un sous-espace vectoriel F de R4 . Déterminer
la dimension et une base de F .
2
Exercice 15 Soient v1 = (1, 0, 0, −1), v2 = (2, 1, 0, 1), v3 = (1, −1, 1, −1), v4 = (7, 2, 0, −1)
et v5 = (−2, −3, 1, 0). Donner une base du sous-espace vectoriel F =< v1 , v2 , v3 , v4 , v5 >.
Déterminer un supplémentaire de G dans F dans R4 .
Exercice 16 Déterminer pour quelles valeurs de t ∈ R les polynômes X 2 + t/2 , X − t , (X +
t + 1)2 forment une base de R2 [X].
 
 
 
1
1
2






2
1 , e3 = 1 , e4 =
Exercice 17 On considère, dans R4 , les vecteurs : e1 = 
,
e
=
2
3
1
1
4
3
1
 
 
−1
2
0
3
  , e5 =  .
−1
0
2
1
Soient E l’espace vectoriel engendré par e1 , e2 , e3 et F celui engendré par e4 , e5 . Calculer les
dimensions respectives de E , F , E ∩ F , E + F .
3
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1. E1 est un sous-espace vectoriel de R3 . En effet :
(a) 0 0 0 ∈ E1 .
(b) Soient x y z et x0 y 0 z 0 deux éléments de E1 . On a donc x+y−z = x+y+z =
0 et x0 + y 0 − z 0 = x0 + y 0 + z 0 = 0. Donc (x + x0 ) +
(y + y 0 ) − (z + z 0 ) = (x + x0 ) +
(y + y 0 ) + (z + z 0 ) = 0 et x y z + x0 y 0 z 0 = (x + x0 ) (y + y 0 ) (z + z 0 )
appartient à E1 .
(c) Soient λ ∈ R et x y z ∈ E1 . Alors la relation x + y − z = x + y + z = 0 implique
que λx+λy−λz = λx+λy+λz = 0 donc que λ x y z = λx λy λz appartient
à E1 .
Correction 1
Posons F1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+y+z = 0}. F1 est un plan passant par l’origine donc F1 est
un sous-espace vectoriel de R3 . On a les inclusions strictes : {0} ⊂ E1 et E1 ⊂ F1 ⊂ R3 .
Par la première on obtient 0 < dim (E1 ), par la seconde dim (F1 ) < 3 puis dim (E1 ) < 2
c’est à dire dim (E1 ) = 1.
3
2. E2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 − z 2 = 0}
c’est à dire E2 = {(x, y, z) ∈ R ; x = z ou x =
−z}. Donc
1 0 −1 et 1 0 1 appartiennent à E1 mais 1 0 −1 + 1 0 1 =
2 0 0 n’appartient pas à E1 qui n’est en conséquence pas un sous-espace vectoriel de
R3 .
3. 0 0 0 ∈
/ E3 donc E3 n’est pas un sous-espace vectoriel de R3 .
1
0
0
0
0
1
1
0
0
4. Les vecteurs
et
appartiennent
à
E
mais
leur
somme
+
4
0 0 1 = 1 0 1 ne lui appartient pas donc E4 n’est pas un sous-espace vectoriel
de R3 .
Correction 2 – E1 : non si a 6= 0 car alors 0 ∈
/ E1 ; oui, si a = 0 car alors E1 est l’intersection
des sous-espaces vectoriels {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y = 0} et {(x, y, z) ∈ R3 ; x = 0}.
– E2 est un sous-espace vectoriel de F(R, R).
– E3 : non, car la fonction nulle n’appartient pas à E3 .
– E4 : non car le polynôme nul n’appartient pas à E4 .
– E5 : non, en fait E5 n’est même pas un sous-groupe de (R2 , +) car (2, 0) ∈ E5 mais −(2, 0) =
(−2, 0) ∈
/ E5 .
Correction 5 Pour que deux ensembles X et Y soient égaux, il faut et il suffit que X ⊂ Y
et Y ⊂ X.Dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie, la situation est un peu plus
simple : pour que E = F il faut et il suffit que F ⊂ E et dim (E) = dim (F ).Appliquons
ce
  
2
1
critère : E est engendré par deux vecteurs donc dim (E) 6 2. Les deux vecteurs  3  , −1
−1
−2
sont linéairement indépendants donc dim (E) > 2 c’est à dire dim (E) = 2. Un raisonnement
1
 
   
 
3
2
1
5







0 =
identique montre dim (F ) = 2. Enfin, les égalités 7 = 2 3
− −1 et
0
−1
−2
−7
 
 
2
1
 3  + 3 −1 montrent que F ⊂ E c’est à dire E = F .
−1
−2
Correction 17 E est engendré par trois vecteurs et F est engendré par deux vecteurs. Donc
dim (E) 6 3 et dim (F ) 6 2.Clairement
 e4 et e5 ne sont pas liés donc dim (F ) > 2 c’est à
1 1 2
dire dim (F ) = 2. Enfin, det 2 1 1 = −1 6= 0. La famille {e1 , e2 , e3 } est donc libre, soit
3 1 1
dim (E) > 3 i.e. dim (E) = 3.
E ∩ F ⊂ F donc dim (E ∩ F ) 6 2. De plus : dim (E + F ) = dim (E) + dim (F ) − dim (E ∩ F ).
Comme E + F ⊂ R5 , on a dim (E + F ) 6 5 d’où on tire l’inégalité 1 > dim (E ∩ F ). Donc soit
dim (E ∩ F ) = 1 soit dim (E ∩ F ) = 2.
Supposons que dim (E ∩ F ) soit égale à 2. Comme E ∩ F ⊂ F on aurait dans ce cas E ∩ F = F .
En particulier il existerait α, β, γ ∈ R tels que e4 = αe1 + βe2 + γe3 . On vérifie aisément que ce
n’est pas le cas, donc que dim (E ∩ F ) n’est pas égale à 2.
On peut donc conclure : dim (E ∩ F ) = 1 puis dim (E + F ) = 4.
2