Exercice 10

Exercice 10 :
On considère l’algorithme suivant :
Faites tourner à la main avec epsilon = 10 – 1.
Variable
a est du type nombre
b est du type nombre
c est du type nombre
m est du type nombre
epsilon est du type nombre
début algorithme
lire epsilon
a prend la valeur 0
b prend la valeur 1
tant que ((b – a) > epsilon) Faire
début tant que
m prend la valeur (a+b)/2
si (m3-2*m2+4m-1<0) ALORS
Debut de si
a prend la valeur m
Finsi
Sinon
Debut de sinon
b prend la valeur m
finsi
sinon
Fin de tant que
afficher a=
afficher a
afficher b=
afficher b
fin algorithme
CORRECTION
Etape 0 (initialisation)
a prend la valeur 0
b prend la valeur 1
Etape 1
m prend la valeur (a+b)/2 donc m = 0,5
on calcule m 3 – 2 m 2 + 4 m – 1 = 0,625
m 3 – 2*m 2 + 4 m – 1 > 0 donc b prend la valeur m
b = 0,5
a = 0 ne change pas
b – a = 0,5 donc l’algorithme se poursuit
Etape 2
m prend la valeur (a+b)/2 donc m = 0,25
on calcule m 3 – 2 m 2 + 4 m – 1 ≈ – 0,109
m 3 – 2*m 2 + 4 m – 1 < 0 donc a prend la valeur m
a = 0,25
b = 0,5 ne change pas
b – a = 0,25 donc l’algorithme se poursuit
Etape 3
m prend la valeur (a+b)/2 donc m = 0,375
on calcule m 3 – 2 m 2 + 4 m – 1 ≈ 0,271
m 3 – 2*m 2 + 4 m – 1 > 0 donc b prend la valeur m
a = 0,25
b = 0,375 ne change pas
b – a = 0,125 donc l’algorithme se poursuit
Etape 4
m prend la valeur (a+b)/2 donc m = 0,3125
on calcule m 3 – 2 m 2 + 4 m – 1 ≈ 0,085
m 3 – 2*m 2 + 4 m – 1 > 0 donc b prend la valeur m
b = 0,3125
a = 0,25 ne change pas
b – a = 0,125 donc l’algorithme se poursuit
on recommence jusqu’à ce que b – a < 10 – 1
d’où le résumé :
a
b
m
f (m)
b – a
0
1
0,5
0,625
1
0
0,5
0,25
– 0,109
0,5
0,25
0,5
0,375
0,271
0,25
0,25
0,375
0,313
0,085
0,125
0,25
0,3125
0,281
– 0,011
0,063
0,281
0,313
0,297
0,037
0,031
0,281
0,297
0,289
0,013
0,016
0,281
0,289
0,285
0,001
0,008

Exercice 12
On considère l’algorithme suivant :
Entrée : n un entier naturel.
Initialisation : Affecter à u la valeur 1 ;
Affecter à S la valeur 1 ;
Affecter à i la valeur 0.
Traitement : Tant que i < n
Affecter à u la valeur 2 u + 1 − i ;
Affecter à S la valeur S +u ;
Affecter à i la valeur i + 1.
Sortie : Afficher u ;
Afficher S.
Justifier que, pour n = 3, l’affichage obtenu est 11 pour u et 21 pour S
Reproduire et compléter le tableau suivant :
Valeur de n
0
1
2
3
4
5
Affichage pour u
11
Affichage pour S
21
CORRECTION
Etape 0 (initialisation)
u prend la valeur 1
S prend la valeur 1
i prend la valeur 0 pour n = 0, l’affichage obtenu est 1 pour u et 1 pour S
Etape 1
u prend la valeur 2 u + 1 − i soit 2 1 + 1 – 0 = 3
S prend la valeur S + u soit 1 + 3 = 4
i prend la valeur i + 1 soit 0 + 1 = 1 pour n = 1, l’affichage obtenu est 3 pour u et 4 pour S
i < 5 donc l’algorithme se poursuit
Etape 2
u prend la valeur 2 u + 1 − i soit 2 3 + 1 – 1 = 6
S prend la valeur S + u soit 4 + 6 = 10
i prend la valeur i + 1 soit 1 + 1 = 2 pour n = 2, l’affichage obtenu est 6 pour u et 10 pour S
i < 5 donc l’algorithme se poursuit
Etape 3
u prend la valeur 2 u + 1 − i soit 2 6 + 1 – 2 = 11
S prend la valeur S + u soit 10 + 11 = 21
i prend la valeur i + 1 soit 2 + 1 = 3 pour n = 3, l’affichage obtenu est 11 pour u et 21 pour S
i = 5 donc l’algorithme s’arrête.
Etape 4
u prend la valeur 2 u + 1 − i soit 2 11 + 1 – 3 = 20
S prend la valeur S + u soit 21 + 20 = 41
i prend la valeur i + 1 soit 3 + 1 = 4 pour n = 4, l’affichage obtenu est 20 pour u et 41 pour S
i < 5 donc l’algorithme se poursuit
Etape 3
u prend la valeur 2 u + 1 − i soit 2 20 + 1 – 4 = 37
S prend la valeur S + u soit 41 + 37 = 78
i prend la valeur i + 1 soit 4 + 1 = 5
i = 5 donc l’algorithme s’arrête. pour n = 5, l’affichage obtenu est 37 pour u et 78 pour S
Valeur de n
0
1
2
3
4
5
Affichage pour u
1
3
6
11
20
37
Affichage pour S
1
4
10
21
41
78

Exercice 13
La notation n ! désigne la factorielle de l’entier naturel n, c.a.d. le nombre
n ! = 1 2 3 ... (n – 1) n.
Par exemple :
4 ! =1 2 3 4 = 24 ou 7 ! = 1 2 3 4 5 6 7 = 5040
Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par :
u 0 = 1 et u n + 1 = u n +
1
( 1)!
n
x
n
, alors u n =
2
1 ...
1! 2! !
n
x x x
n
.
On peut montrer que
lim
n
u n = e x.
1. Que calcule « somme » ?
2. Quel est le rôle de p ?
3. Faire tourner l’algorithme en choisissant p = 1, et x = 2.
Pour quelle valeur de n, l’algorithme s’arrête-t-il ?
1 VARIABLES
2 p EST_DU_TYPE NOMBRE
3 x EST_DU_TYPE NOMBRE
4 ex EST_DU_TYPE NOMBRE
5 n EST_DU_TYPE NOMBRE
6 somme EST_DU_TYPE NOMBRE
7 DEBUT_ALGORITHME
8 LIRE p
9 LIRE x
10 ex PREND_LA_VALEUR exp(x)
11 n PREND_LA_VALEUR 0
12 somme PREND_LA_VALEUR 1
13 TANT_QUE (abs(somme-ex)>=pow(10,-p)) FAIRE
14 DEBUT_TANT_QUE
15 n PREND_LA_VALEUR n+1
16 somme PREND_LA_VALEUR somme+F1(x)
17 FIN_TANT_QUE
18 AFFICHER "n"
19 AFFICHER n
20 AFFICHER "Somme"
21 AFFICHER somme
22 FIN_ALGORITHME
Fonction numérique utilisée :
F1(x)=pow(x,n)/ALGOBOX_FACTORIELLE(n)
CORRECTION
Traduction de certaines lignes de l’algorithme
10 ex PREND_LA_VALEUR exp(x) ex = e x
11 n PREND_LA_VALEUR 0 n = 0
12 somme PREND_LA_VALEUR 1 En notant somme = S, S = 1
13 TANT_QUE (abs(somme-ex)>=pow(10,-p)) FAIRE | S – e x | > 10 – p
14 DEBUT_TANT_QUE
15 n PREND_LA_VALEUR n+1 n devient n + 1
16 somme PREND_LA_VALEUR somme+F1(x) S devient S +
!
n
x
n
1. Si x = 0 et p = 1 pour comprendre l’algorithme
Etape 1 : n = 0 S = 1 et | S – e 2 | > 10 – 1 donc l’algorithme continue
Etape 2 : n = 0 + 1 = 1 S devient S +
1
2
1!
= 3 et | S – e 2 | > 10 – 1 donc l’algorithme continue
Etape 3 : n = 1 + 1 = 2 S devient S +
2
2
2!
= 5 et | S – e 2 | > 10 – 1 donc l’algorithme continue
donc la somme calcule
2
1 ...
1! 2! !
n
x x x
n
jusqu’à ce que
2
1 ... e
1! 2! !
nx
x x x
n
< 10 – p
2. p permet de choisir la précision telle que
2
1 ... e
1! 2! !
nx
x x x
n
< 10 – p
3. p = 1 ; x = ; ex = e 2 ≈ 7,39
n
0
1
2
3
4
5
6
7
somme
1
1
2
11!
= 3
2
2
32!
5
3
2
53!
19
3
4
19 2
3 4!
7
5
2
75!
109
15
6
109 2
15 6!
331
45
7
331 2
45 7!
155
21
| somme – ex |
6,389
4,389
2,389
1,056
0,389
0,122
0,034
0,008
On peut remarquer que l’approximation s’effectue par défaut.
L’algorithme s’arrête pour n = 7