DL6-1 OPTIQUE GEOMETRIQUE (CCP MP 2007)-corrige

MP – Physique-chimie. Devoir en temps libre
DL n°6-1 : corrigé
Optique géométrique (CCP 2007 MP)
I. DEFINITIONS
1. Systèmes optiques
a. Qu’appelle-t-on système optique centré ?
Un système centré est un système présentant un axe de symétrie que l’on appelle « axe optique ».
b. Qu’est-ce qu’un système catadioptrique ?
Un système optique catadioptrique est un système contenant au moins un miroir.
2. Stigmatisme
a. Stigmatisme rigoureux.
Un point A’ est dit rigoureusement stigmatique d’un point A si le chemin optique AA’ est
rigoureusement le même pour tous les rayons traversant le système optique.
b. Système optique rigoureusement stigmatique pour tout point de l’espace.
Il n’existe qu’un seul système de ce type : le miroir plan.
3. Aplanétisme
a. Aplanétisme rigoureux.
Un point A’ est dit rigoureusement aplanétique d’un point A si l’image B’ d’un point B voisin de
A tel que AB soit transverse est voisine de A’ et telle que A’B’ soit transverse.
b. Système optique rigoureusement aplanétique pour tout point de l’espace.
Il n’existe qu’un seul système de ce type : le miroir plan.
A. Approximation de Gauss
a. Conditions de Gauss.
Deux conditions doivent être réalisées :
1- Les rayons doivent être peu éloignés de l’axe optique.
2- Les rayons doivent être peu inclinés par rapport à l’axe optique.
b. Stigmatisme dans l’approximation de Gauss.
Dans l’approximation de Gauss, tout point A admet une image A’ dans une condition de
stigmatisme approché : les différents chemins optiques (AA’) ne diffèrent que d’une quantité
petite par rapport à la demi longueur d’onde.
II. ETUDE DES MIROIRS SPHERIQUES
1. Caractère convergent ou divergent d’un miroir sphérique
a. Miroir convexe
Un miroir convexe (i.e. plus épais au centre que sur les bords) est divergent.
b. Quel miroir (m1) ou (m2) est-il divergent ?
Le miroir (m2) est convexe, donc divergent.
Jean Le Hir, 14 janvier 2008
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c. Le miroir (m3) est-il convergent ou divergent ?
B
B'
S
A'
A
F
( m3)
Ce miroir est divergent (l’image formée est virtuelle).
2. Relations de conjugaison et de grandissement.
a. Relation de conjugaison de Descartes.
a.1. Relations liant α, α’ et β aux grandeurs algébriques SA , SA' , SC et HI dans
l’approximation de Gauss.
α=−
HI
HI
HI
; α' = −
; β=−
.
SA
SA'
SC
a.2. Exprimer la relation entre α, α’ et β.
D’après la loi de Descartes relative à la réflexion, nous avons β − α = α '− β , ou encore :
α '+ α = 2β .
a.3. En déduire la relation de conjugaison au sommet du miroir.
La relation α '+ α = 2β s’écrit aussi bien :
1
1
2
. On en déduit donc k1 = 2
+
=
SA' SA SC
a.4. Expressions des distances focales.
Le foyer image F’ est l’image d’un objet à l’infini sur l’axe :
déduit : f ' = SF' =
SC
.
2
Le foyer objet F a son image rejetée à l’infini sur l’axe :
f = SF =
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1
1
2
1
+ =
=
. On en
SF' ∞ SC f '
1 1
2
1
+
=
= . On en déduit :
∞ SF SC f
SC
2
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b. Relation de conjugaison de Newton.
b.1. Construction géométrique.
F = F'
A'
I
I'
B'
b.2. Relation de conjugaison de Newton.
Nous obtenons cette relation en exprimant le grandissement de deux façons différentes ;
2
A'B' FA'
SI' FS
γ=
=
et γ =
=
et donc
FA ⋅ FA' = FS = FA ⋅ F'A' = f ⋅ f '
SI
FS
AB FA
c. Relation de conjugaison : origine au centre.
c.1. Relations.
1
1
FA = CA − CF = CA − CS et FA' = CA' − CF = CA' − CS
2
2
c.2. Déduire la formule de conjugaison avec origine au centre.
1
1
1
1


 1 2
FA ⋅ FA' =  CA − CS   CA' − CS  = CS soit : CS ⋅ CA' + CS ⋅ CA = CA ⋅ CA'
2 
2  4
2
2

2
Nous obtenons la relation de conjugaison en multipliant chaque membre par
, ce
CS ⋅ CA ⋅ CA'
1
1
2
qui donne :
+
=
CA CA' CS
Nous retrouvons la formule attendue, avec k2 = 2
d. Grandissement.
d.1. En fonction de SA et SA' .
A'B'
SA'
=−
AB
SA
Observons les triangles SAB et SA’B’ : γ =
d.2. En fonction de FA , FA' et FS .
Nous avons déjà démontré à la question b.2. : γ =
FA' FS
=
FS FA
d.3. En fonction de CA et CA' .
Observons les triangles CAB et CA’B’ : γ =
A'B'
CA'
=+
AB
CA
3. Correspondance objet-image pour des miroirs concaves et convexes.
a. Construction géométrique de l’image A’B’ d’un objet AB transverse.
a.1. Miroir (M1)
B'
A'
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deux quelconques
des quatre rayons
représentés ici
font l’affaire
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a.2. Miroir (M2)
deux quelconques
des quatre rayons
représentés ici
font l’affaire
B'
A'
b. Position de l’image A’B’ et grandissement transversal.
B'
Note : cette construction géométrique n’était pas demandée
B
C3
A
F3
A'
S3
Utilisons la formule de conjugaison avec origine au sommet :
1
2
1
2
2
2
4
2
1
=
−
=−
−
=−
+
=+
donc S3A' = R3 = 10 cm
R3 S3F3
R3 R3
R3
2
S3A' S3C3 S3 A
Le grandissement transversal est donc égal à +2 .
Note : cette construction géométrique n’était pas demandée
B
A'
S4
A
C4
F4
B'
Utilisons la formule de conjugaison avec origine au centre :
−2S4 A + R4
1
2
1
2
1
2
1
=
−
=
−
=−
−
=
R4 − R4 + S4 A R4 S4 A − R4
C4 A' C4S4 C4 A C4S4 C4S4 + S4 A
et donc : C4 A' =
(
R4 S4 A − R4
−2S4 A + R4
Grandissement : γ =
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) = 40 ( 50 − 40 ) = − 20 = −6, 67 cm
−2 × 50 + 40
(
)
3
C A'
C4 A'
A'B'
20
2
=− 4 =−
=−
=−
3 ( 50 − 40 )
3
AB
C4 A
S4 A − R4
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4. Système réflecteur : le télescope de Cassegrain
a. Observation de la Lune
a.1. Image de la Lune
f2
R2
=
0
FA 4 DTL
R
Autant dire que cette image est dans le plan focal du miroir à la position SF =
2
a.2. Diamètre apparent de la Lune
D
3 456
Le disque lunaire est vu sous l’angle ε = L =
= 9 × 10−3 rad = 0,516° = 30,9 '
DTL 384 000
a.3. Dimension de l’image de la Lune
R
D
SA'
60
A'B' = AB
= L SA' = ε
= 9 × 10−3
= 0, 27 cm
2
2
SA DTL
Après réflexion sur ( M) , l’image de la Lune est à une distance FA' =
b. Télescope de type Cassegrain
b.1. Image intermédiaire de la Lune
L’image A'B' de la Lune dans le miroir
M1 doit être virtuelle et située en
( )
arrière du miroir
(M )
2
F1
au point F1
conjugué de l’image A"B" .
b.2. Position du foyer image F'
2 ( 2d + R1 − R2 )
1
1
2
1
2
1
2
1
=
−
=
−
=
+
=
et donc
R2 ( 2d + R1 )
S2 F' S2 F1 S2 C2
S2 F' S2 C2 S2S1 + S1F1 R2 d + R1
2
R2 ( 2d + R1 )
Finalement : S2 F' =
2 ( 2d + R1 − R2 )
Remarque : dans cette formule, les deux rayons sont négatifs.
(
b.3. Grandissement transversal de A'B' à travers M2
γ=
)
R2 ( 2d + R1 )
S A"
S F'
S2 F'
A"B"
=− 2 =− 2 =− 2
=−
A'B'
S2 A'
S2 F1
S2S 1 + S1C 1
( d + R1 )( 2d + R1 − R2 )
b.4. Applications numériques
−40 ( 2 × 18 − 60 )
S2 F' =
= 30 cm ; γ = 2,5 et A"B" = γ A'B' = 2,5 × 0, 27 = 0, 675 cm
2 ( 2 × 18 − 60 + 40 )
b.5. Focale d’une lentille simple équivalente
Une lentille convergente de distance focale image f L donnerait de la Lune une image de
A"B" 0, 675
diamètre f L ε . Nous en déduisons : f L =
=
= 75 cm .
ε
9 ×10−3
Commentaire : Le montage optique de type Cassegrain est bien plus compact (30 cm au lieu
de 75 cm).
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III. ETUDE DES LENTILLES MINCES
1. Caractère convergent ou divergent d’une lentille mince.
a. Formes des lentilles sphériques minces
La lentille biconcave est la lentille ( l2 ) , la lentille ménisque convergent est la lentille ( l4 ) et la
lentille plan concave est la lentille ( l6 ) .
b. Observation d’un objet éloigné.
Comme le montrent les constructions ci-dessous, si l’image d’un objet lointain est inversée, la
lentille est convergente. S’il s’agissait d’une lentille divergente, l’image serait virtuelle et droite.
Lentille convergente :
image réelle inversée
Lentille divergente :
image virtuelle droite
c. Déplacement transversal.
Si l’image se déplace dans le même sens que la lentille, cela veut dire qu’elle se trouve entre
l’objet et la lentille : la lentille ( l8 ) est donc divergente.
2. Relations de conjugaison et de grandissement.
a. Relation de conjugaison de Newton.
Construction de l’image A'B' :
F'
A'
Le foyer image F'
est le symétrique de F
par rapport à O.
B'
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A'B'
OF
F'A'
=−
=−
AB
FA
OF'
Nous en déduisons la relation de conjugaison de Newton : FA ⋅ F'A' = OF ⋅ OF'
Grandissement transversal : Γ =
b. Relation de conjugaison de Descartes.
(
)(
)
FA ⋅ F'A' = OA − OF ⋅ OA' − OF' = OA ⋅ OA' − OF ⋅ OA' − OF' ⋅ OA + OF ⋅ OF' = OF ⋅ OF'
Nous en déduisons la relation −OF' ⋅ OA' + OF' ⋅ OA = OA ⋅ OA' qui devient, en divisant par
OA ⋅ OA' ⋅ OF' , la relation de conjugaison de Descartes :
−
Expression du grandissement : Γ =
1
1
1
+
=
OA OA' OF'
A'B' OA'
=
AB OA
3. Correspondance objet-image pour des lentilles minces convergente et divergente.
a. Construction géométrique.
a.1. Lentille ( L1 )
a.2. Lentille ( L 2 )
B'
B'
A'
A'
b. Position de l’image A’B’ et grandissement transversal
Note : cette construction géométrique n’était pas demandée
F3
O3
B'
B
A'
A
D’après la relation de conjugaison de Newton : F'3 A' = −
Application numérique : F'3 A' = −
F'3
f 3′2
F3 A
=−
f 3′2
O3 A − O3F3
=−
f 3′2
O3 A + f 3′
F' A'
302
2
= −20 cm ; Γ = − 3 = + .
15 + 30
f 3′
3
L’image est réelle et droite.
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Note : cette construction géométrique n’était pas demandée
B
B'
A
F'4
A'
O4
D’après la formule de conjugaison de Descartes :
Et donc O 4 A' =
(
O 4 F'4 O 4 F'4 − AF'4
2 O 4 F'4 − AF'4
F4
1
1
1
=
+
O 4 A' O 4 F'4 O 4 F'4 + F'4 A
) = −30 × ( −30 − 20) = − 75 = −18, 75 cm
−2 × 30 − 20
4
O 4 A'
O 4 A'
−18, 75
=
=
= +0,37
O 4 A O 4 F'4 − AF'4 −30 − 20
L’image est virtuelle et droite.
Grandissement : Γ =
4. Système réfracteur : la lunette de Galilée
a. Nature distances focale des lentilles.
( )
1
= 0, 2 m = 20 cm
V1
1
La lentille L 2 est divergente, de distance focale image f 2′ =
= −0, 05 m = −5 cm
V2
b. La lunette est de type « afocal »
La lentille L1 est convergente, de distance focale image f1′ =
( )
( )
( )
Le foyer image F'1 de L1 doit coïncider avec le foyer objet F2 de L2 .
La distance d est alors : d = f1′ + f 2′ = 20 − 5 = 15 cm
L’intérêt d’une lunette afocale réside dans le confort de l’observation : l’œil doit alors
accommoder à l’infini.
θ
F'1 = F2
O1
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θ
θ'
O2
θ'
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Grossissement : G =
Copernic : θ =
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θ ' f1′
=
= −4
θ f 2′
96
= 2,5 × 10−4 rad < 3 × 10−4 rad , invisible à l’œil nu
384 000
θ ' = Gθ = 10−3 rad > 3 ×10−4 rad , visible à l’aide de la lunette
Clavius :
θ=
240
= 6, 2 × 10−4 rad > 3 ×10−4 rad , visible à l’œil nu
384 000
θ ' = Gθ = 2,5 ×10−3 rad > 3 × 10−4 rad , a fortiori visible à l’aide de la lunette
θ=
12150
= 2, 7 × 10−4 rad < 3 ×10−4 rad : Jupiter sera vu à l’œil nu comme un point.
6
45 × 10
θ ' = Gθ = 10,8 × 10−4 rad > 3 ×10−4 rad : Jupiter sera vu dans la lunette comme un disque.
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