Estimateur d`ordre réduit de la vitesse d`un quadrirotor - GT-UAV

Estimateur d’ordre réduit de la vitesse d’un quadrirotor.
Application à la détection de défaut des
accéléromètres.
GT UAV - Inter GdR MACS-Robotique Paris
Hugues R AFARALAHY
[email protected]
M. Boutayeb, H. Rafaralahy, E. Richard and M. Zasadzinski
Jeudi 26 mars 2009
Plan
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
1
Modèle du quadrirotor
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
2
Position du problème
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
3
Synthèse de l’observateur : estimation de la vitesse linéaire
Simulations
numériques
4
Simulations numériques
5
Estimation simultanée de la vitesse et des défauts de capteur
6
Simulations numériques
Simulations
numériques
Représentation du Quadrirotor
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
w1
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
w2
w4
Simulations
numériques
G
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
w3
Simulations
numériques
~1
E
~2
E
O
Ri
~3
E
~e1
Rb~e2
~e3
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
UAV : modèle dynamique
Angles de Cardan −→ mesurés
8
>
< Φ̇ = p + q tan θ sin Φ + r tan θ cos Φ
θ̇ = q cos Φ − r sin Φ
>
: ψ̇ = q sin Φ + r cos Φ
cos θ
cos θ
Vitesse angulaire −→ mesurée
8
>
> ṗ = − Izz − Iyy qr + τΦ
>
>
Ixx
Ixx
>
<
Ixx − Izz
τθ
q̇ = −
pr +
I
I
>
yy
yy
>
>
>
I − Ixx
τψ
>
: ṙ = − yy
pq +
Izz
Izz
Vitesse linéaire −→ non mesurée −→ accélération mesurée
8
>
< u̇ = −qw + rv − g sin θ
v̇ = −ru + pw + g sin Φ cos θ
>
: ẇ = −pv + qu + g cos Φ cos θ − T
m
(1)
(2)
(3)
Position du problème
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Les variables mesurées
les angles de Cardan η = (Φ , θ , ψ)T ,
→
la vitesse angulaire −
ω = (p , q , r )T ,
l’accélération (u̇, v̇ , ẇ)T
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
−→ Les composantes de l’état des sous-systèmes (1) et (2) sont
mesurées.
Position du problème
Problème 1 : estimer la vitesse x = (u, v , w)T en utilisant la
dynamique de la vitesse (3) et les mesures de trois (observateur 1)
ou deux (observateur 2) composantes de l’accélération (Problème
initialement posé par Benzemrane et al., ACC07).
Problème 2 : utiliser l’estimateur précédent pour détecter, isoler et
estimer les défauts des accéléromètres.
Problème 1 : 3 accélérations mesurées
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Prenant en compte les variables mesurées, le système (3) s’écrit :
Modèle réduit avec mesure des 3 accélérations
ẋ(t)
y (t)
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
avec
=
=
0
A(t)x(t) + b(t)
ẋ(t)
0
A(t) = @ −r
q
Simulations
numériques
et
r
0
−p
(4)
1
−q
p A
0
0
−g sin θ
g sin Φ cos θ
b(t) = @
g cos Φ cos θ −
1
T
m
A
Hypothèses
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Hypothèse 1
−
→
→
→
ω (t), −̇
ω (t) et −̈
ω (t) sont bornés.
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Remark
Si l’hypothèse 1 est vérifiée =⇒ les matrices A, Ȧ et Ä sont bornées. Simulations
numériques
Hypothèse 2
→
→
Au moins une composante du vecteur −
ω ∧ −̇
ω ne tend pas vers zéro
asymptotiquement.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Observateur 1 : 3 composantes accélérations mesurées
Considérons l’observateur suivant
Observateur 1
˙
x̂(t)
= N(t)x̂(t) + M(t)b(t) + K (t)y (t)
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
(5)
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Proposition 1
Si les hypothèses 1 et 2 sont vérifiées, et si les matrices N(t), M(t) et
K (t) sont choisies telles que
N(t)
=
−γAT (t)A(t)
(6a)
M(t)
=
−γAT (t)
(6b)
K (t)
=
I + γAT (t)
(6c)
où γ est un paramètre de synthèse strictement positif, alors l’origine de
l’erreur d’observation est asymptotiquement stable.
Démonstration : observateur 1
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Esquisse de démonstration. La dynamique de l’erreur d’observation
= x − x̂ s’écrit
˙ = N + (A − N − KA)x + (I − M − K )b
(7)
Les conditions de non biais
A − N − KA
=
0
I−M −K
=
0
sont satisfaites si les matrices N(t), M(t) et K (t) sont choisies comme
dans (6) =⇒
Dynamique de l’erreur d’estimation
(t)
˙ = −γA> (t)A(t)(t)
(8)
Démonstration : observateur 1 (suite)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Fonction de Lyapunov candidate
V () = > Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Dérivée de V () le long de (8) =⇒
V̇ () = −2γkAk2 ≤ 0
Simulations
numériques
Stabilité asymptotique de l’erreur d’observation
Utiliser le lemme de Barbalat 2 fois :
1
V̇ () → 0
2
→0
(9)
Démonstration : observateur 1 (suite)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
V̇ () ≤ 0 =⇒ V () → ` pour t → ∞ où ` est une valeur finie.
=⇒ (t) borné.
Dérivée V̇ () le long de (8)
V̈ () = 4γ 2 > A> AA> A − 4γ> Ȧ> A.
Hypothèse 1 et (t) bornée
Simulations
numériques
=⇒
=⇒
V̈ ()
V̇ ()
bornée
(9)
=⇒
=⇒
bornée
uniformément continue.
Lemme de Barbalat
V̈ ()
V̇ () = −2γkAk2 ≤ 0
V̇ () → 0
A(t)(t) → 0
Démonstration : observateur 1 (suite)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Dérivée de ϕ(t) = A(t)(t) :
ϕ̇(t)
=
(Ȧ − γAA> A)
ϕ̈(t)
=
(Ä − 2γ ȦA> A − γAȦ> A − γAA> Ȧ).
A(t) , Ȧ(t) , Ä(t) , (t) bornée
=⇒
=⇒
ϕ̈(t)
ϕ̇(t)
Simulations
numériques
Lemme de Barbalat
ϕ(t) → 0 et ϕ̇(t) uniformément continues =⇒
ϕ̇(t) = (Ȧ − γAA> A) → 0 .
Comme ϕ̇(t) → 0 et A → 0 =⇒ Ȧ → 0.
bornée
uniformément continue.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Démonstration : observateur 1 (suite et fin)
Réécriture des deux conditions A → 0 et Ȧ → 0
8
→ 0
< r (t)2 (t) − q(t)3 (t)
−r (t)1 (t) + p(t)3 (t) → 0
:
q(t)1 (t) − p(t)2 (t)
→ 0
8
→ 0
< ṙ (t)2 (t) − q̇(t)3 (t)
−ṙ (t)1 (t) + ṗ(t)3 (t) → 0
:
q̇(t)1 (t) − ṗ(t)2 (t)
→ 0
(10)
(11)
Relations (10) et (11) =⇒ (q(t)ṙ (t) − q̇(t)r (t))3 (t) → 0.
→
→
Hypothèse 2 : −
ω ∧ −̇
ω 6→ 0 =⇒ q(t)ṙ (t) − q̇(t)r (t) 6→ 0 =⇒ 3 → 0.
3 (t) → 0 et relation (10) =⇒ 1 (t) → 0 et 2 (t) → 0.
Le même raisonnement peut être utilisé pour les autres
→
→
composantes du vecteur −
ω ∧ −̇
ω =⇒ stabilité asymptotique de
l’erreur d’observation.
Problème 1 : 2 composantes accélérations mesurées
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Modèle
Position du
problème
ẋ(t)
y (t)
= A(t)x(t) + b(t)
= C ẋ(t)
„
«
1 0 0
C=
0 1 0
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
(12)
(13)
Observateur 2
˙
x̂(t)
= N(t)x̂(t) + M(t)b(t) + K (t)y (t)
0
1
0
1 A
−q/r
(14)
L(t)
=
1
@ 0
−p/r
K (t)
=
L + γAT (t)C T
(15b)
N(t)
=
A(t) − K (t)CA(t)
(15c)
M(t)
=
I − K (t)C
(15d)
(15a)
Simulations nuériques
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Paramètres du quadrirotor (Benzemrane, Santossuosso, Damm,
ACC07) :
m = 2.5 kg,
Ixx = 224931 10−7 kg.m2 ,
Iyy = 222611 10−7 kg.m2
Izz = 325130 10−7 kg.m2 .
Les figures syuivantes représentent les erreurs d’observation i (ième
composante de ) pour différents cas
cas 1 : Observateur 1, bruit Gaussien sur les mesures (écart type :
1, moyenne : 0) (figures 1 à 3)
cas 2 : Observateur 2, bruit Gaussien sur les mesures (écart type :
1, moyenne : 0) (figures 4 à 6)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Observateur 1 : 3 accélérations mesurées, bruit gaussien
2.5
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
2
1.5
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
1
0.5
Simulations
numériques
0
-0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
time [s]
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F IG .: 1 : Erreur d’observation ε1 (t) avec γ = 100 (dynamique rapide) et γ = 50.
CRAN
Observateur 1 : 3 accélérations mesurées, bruit gaussien
Modèle du
quadrirotor
4
Position du
problème
3.5
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
3
2.5
2
1.5
1
Simulations
numériques
0.5
0
-0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
time [s]
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F IG .: 2 : Erreur d’observation ε2 (t) avec γ = 100 (dynamique rapide) et γ = 50.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Observateur 1 : 3 accélérations mesurées, bruit gaussien
0.5
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
0
-0.5
-1
Simulations
numériques
-1.5
-2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
time [s]
0.6
0.7
0.8
0.9
1
F IG .: 3 : Erreur d’observation ε3 (t) avec γ = 100 (dynamique rapide) et γ = 50.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Observateur 2 : 2 accélérations mesurées, bruit gaussien
2
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
1.5
1
0.5
Simulations
numériques
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
time [s]
F IG .: 4 : Erreur d’observation ε1 (t) avec γ = 100 (dynamique rapide) et γ = 50.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Observateur 2 : 2 accélérations mesurées, bruit gaussien
4
3.5
3
2.5
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
2
1.5
1
Simulations
numériques
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
time [s]
F IG .: 5 : Erreur d’observation ε2 (t) avecγ = 100 (dynamique rapide) et γ = 50.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Observateur 2 : 2 accélérations mesurées, bruit gaussien
1
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
0.5
0
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
-0.5
-1
Simulations
numériques
-1.5
-2
0
0.5
1
1.5
time [s]
F IG .: 6 : Erreur d’observation ε3 (t) avec γ = 100 (dynamique rapide) et γ = 50.
Problème 2 : formulation dans l’espace d’état
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Modèle d’état
Soit x = (u, v , w)T la vitesse linéaire à estimer et f (t) le vecteur des
défauts de capteur
ẋ(t)
y (t)
Simulations
numériques
A(t)x(t) + b(t)
ẋ(t) + f (t)
=
=
(16)
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
0
0
A(t) = @ −r
q
r
0
−p
1
−q
p A
0
ˆ
Les défauts f (t) = f1 (t)
variant,
f2 (t)
0
−g sin θ
g sin Φ cos θ
b(t) = @
g cos Φ cos θ −
f3 (t)
˜T
1
T
m
A
considérés sont temps
et incluent les dérives, les variations de gain ou les biais de
capteurs.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Estimation de la vitesse, génération de résidus et estimation
des défauts (OGR)
Il s’agit de proposer une banque de 3 Observateurs-Générateurs de
Résidus (OGR) de la forme (pour i = 1, 2, 3)
i ème OGR
8
˙i
>
< x̂ (t)
(Oi )
ρi (t)
>
:
f̂i (t)
=
=
=
Y i (t)
Ni (t)x̂ i (t) + Mi (t)b(t) + Ki (t)Y i (t)
Qi (t)x̂˙ i (t) + Pi (t)Y i (t)
i
Y (t) − C i (t)x̂˙ i (t)
=
(17)
i
Ci y (t) = Ci ẋ + f (t)
i
Y (t) = C i y (t) = C i ẋ + fi (t)
–
»
–
»
–
1
2
3
f2 (t)
f1 (t)
f1 (t)
f (t) =
, f (t) =
et f (t) =
f3 (t)
f3 (t)
f2 (t)
»
–
»
–
»
–
0 1 0
1 0 0
1 0 0
C1 =
C2 =
C3 =
0 0 1
0 0 1
0 1 0
ˆ
˜
ˆ
˜
ˆ
˜
1 0 0 C2 = 0 1 0 C3 = 0 0 1
C1 =
»
où x̂ i (t), f̂i (t) sont respectivement les estimations de la vitesse x(t) et
de la composante fi (t) du défaut et ρi (t) le i ème vecteur des résidus.
Décomposition de la mesure des accélerations
CRAN
Modèle du
quadrirotor
1
Les deux premières composantes mesurées de l’accélération
Y i (t) sont utilisées pour l’estimation de la vitesse et la génération
des résidus (utilisation de l’observateur d’ordre réduit précédent),
2
la mesure de la troisième composante de l’accélération Y (t) est
utilisée pour reconstruire le défaut de capteur.
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
i
Si les capteurs mesurant les accélérations Y i (t) sont sans défaut,
⇒ l’erreur d’estimation est asymptotiquement stable,
⇒ les residus correspondant sont nuls,
⇒ l’erreur d’estimation du défaut fi (t) est asymptotiquement stable.
dans le cas où un ou deux capteurs mesurant Y i (t) est en défaut,
⇒ les résidus correspondant à cet OGR sont différents de zéro,
⇒ les erreurs d’estimation de l’état et des défauts fournies par cet OGR
ne sont pas asymptotiquement stables.
⇒ peut détecter et estimer la vitesse et les défauts de capteur si au plus
un capteur en défaut,
⇒ si plusieurs capteurs en défaut, peut seulement détecter la présence
des défauts.
Schéma de principe de l’OGR (O1 )
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
(O1)
! v˙ t + f t $
( ) 2( )&
Y1(t ) = ##
&
" w˙ (t ) + f 3 (t)%
r1 (t )
ˆx 1(t )
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Y1 (t )= u˙ (t )+ f1 (t )
fˆ 1 (t )
Synthèse OGR
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Proposition 2
Position du
problème
Supposons que les hypothèses 1 et 2 sont vérifiées et si les matrices
Ni (t), Mi (t), Ki (t), Qi et Pi sont choisies telles que
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
L1 (t)
=
L3 (t)
=
Ki (t)
=
Li + γi AT (t)CiT
(18a)
Ni (t)
=
A(t) − Ki (t)Ci A(t)
(18b)
Mi (t)
=
I − Ki (t)Ci
(18c)
Qi
=
−βi Ci
(18d)
Pi = βi I
0
1
0
−q/p −r /p
1
@ 1
0 A , L2 (t) = @−p/q
0
1
0
0
1
1
0
@ 0
1 A
−p/r −q/r
où γi et βi des paramètres de synths̀e
alors
(18e)
1
0
−r /q A , (19a)
1
(19b)
Synthèse OGR
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Proposition 2 suite
1
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
2
i
Si f (t) ≡ 0 (Y i (t) est sans défaut ) l’erreur d’observation
i = x − x̂ i est asymptotiquement stable et ρi (t) → 0 et f̂i (t) → fi (t)
lorsque t → ∞.
i
Si f (t) 6= 0 i.e. fj (t) 6= 0 pour j 6= i et fj (t) 6= σ̇j avec σ solution de
σ̇(t) = A(t)σ(t) alors ρi (t) 6= 0 et ρi (t) 6→ 0 (σj est la j ème
composante de σ).
8
˙i
>
< x̂ (t)
(Oi )
ρi (t)
>
:
f̂i (t)
=
=
=
Ni (t)x̂ i (t) + Mi (t)b(t) + Ki (t)Y i (t)
Qi (t)x̂˙ i (t) + Pi (t)Y i (t)
i
Y (t) − C i (t)x̂˙ i (t)
Esquisse de démonstration
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Esquisse de démonstration
Soient i = x − x̂ i l’erreur d’estimation, if (t) = fi (t) − f̂i (t) l’erreur
d’estimation des défauts, et ρi (t) le i ème vecteur des résidus.
Equations modèle (16) et équations OGR (17) ⇒
˙i (t)
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
=
+
ρi (t)
if (t)
=
=
Ni i (t) + (A − Ni − Ki Ci A)x(t)
“
” i
(I − Mi − Ki Ci )b(t) − Li + γi AT CiT f (t)
”
“
i
Pi Ci ˙i (t) + f (t)
i
−C i ˙ (t)
(20)
(21)
(22)
Conditions de non biais
A − Ni − K i Ci A
=
0
I − Mi − Ki Ci
=
0
sont satisfaites si les matrices Ni (t), Mi (t) et Ki (t) sont choisies comme
dans (18).
Esquisse de démonstration
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Esquisse de démonstration suite
Expression de Ki (t) =⇒
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Ni (t) = A(t) − Li (t)Ci A(t) − γi AT (t)CiT Ci A(t)
Simulations
numériques
Choix de Li comme dans (19) =⇒ A(t) − Li (t)Ci A(t) = 0 =⇒
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Dynamique de l’erreur d’observation
“
” i
˙i (t) = −γi AT (t)CiT Ci A(t)i (t) − Li + γi AT CiT f (t)
Simulations
numériques
Première étape
La démonstration se fait en deux étapes.
1
i
Si f (t) ≡ 0 alors l’erreur d’observation i = x − x̂ i est
asymptotiquement stable, le i ème vecteur des résidus ρi (t) et
l’erreur d’estimation des défauts if (t) convergent vers 0.
(23)
(24)
Esquisse de démonstration (suite)
CRAN
i
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Considérons le cas f (t) ≡ 0 =⇒
Dynamique de l’erreur d’observation
˙i (t) = −γi AT (t)CiT Ci A(t)i (t)
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Fonction de Lyapunov candidate
V (i ) = iT i
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
(25)
Dérivée de V le long de la dynamique de l’erreur d’observation
V̇ (i ) = −2γi kCi Ai k2 ≤ 0
1
Lemme de Barbalat −→ V̇ (i ) → 0 lorsque t → ∞,
2
Lemme de Barbalat −→ i (t) → 0 lorsque t → ∞.
i
Cas f (t) ≡ 0 −→ l’origine de l’erreur d’observation i (t) est
asymptotiquement stable.
(26)
Esquisse de démonstration (suite)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Résidus et erreur d’estimation des défauts
ρi (t)
=
−βi γi Ci AT (t)CiT Ci A(t)i (t)
(27)
if (t)
=
γi C i AT (t)CiT Ci A(t)i (t)
(28)
i
Relations (27) et (28) (cas f (t) ≡ 0),
i → 0 =⇒ if → 0
i → 0 =⇒ ρi → 0
i
Cas f (t) 6= 0 : défauts de capteurs fpk non detectable ?
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
i
Considérons le cas f (t) 6= 0 i.e. au moins un défaut fj 6= 0 pour j 6= i
−→
Résidus
i
ρi (t) = Si (t)i (t) + Ti (t)f (t)
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
(29)
avec
Si = −γi βi Ci AT (t)CiT Ci A(t)
Ti = −βi Ci (Li + γi AT (t)CiT ) + βi I = −βi γi Ci AT (t)CiT
”
“ i
Existe-il f p (t) 6= 0, ip (t) tel que le résidus ρi (t) soit nul
i
ρi (t) = Si (t)ip (t) + Ti (t)f p (t) = 0?
i
=⇒ f p (t) = −Ti−1 (t)Si (t)ip (t)
(30)
i
Cas f (t) 6= 0 : défauts de capteurs fpk non detectable ?
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
=⇒
˙ip (t) = A(t)ip (t)
(31)
=⇒ les défauts de capteurs non détectables fpk vérifient
fpk = σ̇k
où σ est solution de (31) et σk est la k ème composante de σ.
Remarque
Plus précisément, s’il existe fj (t) 6= 0 pour j 6= i et fj (t) 6= σ̇j avec σ
solution de σ̇(t) = A(t)σ(t) alors ρi (t) = 0 sinon ρi (t) 6= 0 et ρi (t) 6→ 0.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
i
Cas f (t) 6= 0 : défauts de capteurs fpk non detectable ?
Remark
La possibilité que la trajectoire d’un défaut de capteur vérifie fpk = σ̇k
avec σ solution de σ̇(t) = A(t)σ(t) est très faible. Nous pouvons donc
détecter, isoler et estimer la plupart des défauts.
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Remark
Dans le cas d’un défaut sur un seul capteur fi , l’observateur (Oi ) fournit
une estimation de la vitesse et du défaut et le vecteur des résidus ρi
converge vers 0. De plus, les autres résidus sont différents de zéro. Remark
Dans le cas où deux ou trois capteurs sont défectueux, nous pouvons
seulement détecter la présence de défauts car tous les résidus sont
non nuls et ne convergent pas vers zéro (sauf si les défauts
disparaissent).
Simulations numériques
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Paramètres du quadrirotor (Benzemrane, Santossuosso, Damm,
ACC07) :
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
m = 2.5 kg,
Simulations
numériques
Iyy = 222611 10−7 kg.m2
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
Ixx = 224931 10−7 kg.m2 ,
et Izz = 325130 10−7 kg.m2 .
Les défauts de capteurs sont
f1 (t) ≡ 0,
f2 (t) ≡ 0,
et f3 (t) = H(t − 2.5) (0.6 + sin(20πt + 1)) où H(.) est la fonction
de Heaviside.
Les figures suivantes représentent les erreurs d’estimation pour les
OGR O2 et O3 , les résidus ρ2 (t) et ρ3 (t), le défaut f3 (t) et son
estimation f̂3 (t).
Erreurs d’estimation ε21 (t) et ε31 (t)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
0.2
Position du
problème
0
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
-0.2
-0.4
Simulations
numériques
-0.6
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
-0.8
-1
-1.2
0
1
2
3
4
5
time [s]
6
ε21 (t) 6→ 0 (O2 ) sensible au défaut f3 (t)
ε31 (t) → 0 (O3 )
7
8
9
10
Erreurs d’estimation ε22 (t) et ε32 (t)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
1
Position du
problème
0.8
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
0.6
0.4
0.2
0
Simulations
numériques
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
time [s]
6
ε22 (t) 6→ 0 (O2 ) sensible au défaut f3 (t)
ε32 (t) → 0 (O3 )
7
8
9
10
Erreurs d’estimation ε23 (t) et ε33 (t)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
0.2
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
-1.6
0
1
2
3
4
5
time [s]
6
ε23 (t) 6→ 0 (O2 ) sensible au défaut f3 (t)
ε33 (t) → 0 (O3 )
7
8
9
10
Residus ρ2 (t)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
15
10
5
0
-5
-10
0
1
2
3
4
5
time [s]
ρ2 (t) 6→ 0 sensible au défaut f3 (t)
6
7
8
9
10
Residus ρ3 (t)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
2
1
0
-1
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
-2
-3
-4
-5
-6
-7
0
1
2
3
4
5
time [s]
6
7
ρ3 (t) → 0 =⇒ insensible au défaut f3 (t)
8
9
10
Défaut f3 (t) et son estimation f̂3 (t)
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
25
20
15
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
10
5
Simulations
numériques
0
-5
0
1
2
3
4
5
time [s]
6
7
8
9
10
L’estimation du défaut de capteur
f3 (t) = H(t − 2.5) (0.6 + sin(20πt + 1)) est satisfaisante
CRAN
Simulations numériques
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
les résidus ρ3 (t) donnés par O3 convergent vers zéro ⇐= f1 (t) ≡ 0
et f2 (t) ≡ 0,
=⇒ les erreurs d’estimation (vitesse et défaut) fournies par le OGR
O3 sont asymptotiquement stables,
Les résidus ρ2 (t) donnés par O2 sont sensibles au défaut f3 (t),
Les erreurs d’estimation données par O2 ne sont pas
asymptotiquement stables,
la reconstruction du défaut de capteur est satisfaisante.
Merci de votre attention.
Cardan angles
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Ψ
E2
E20
E10
Ψ
Simulations
numériques
E1
E3
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
E100 = e1
θ
E20
E10
θ
E30 = E3
Simulations
numériques
e2
Φ
E300
E200 = E20
e1
Φ
e3
E300
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
D. B. Lee, T. C. Burg, B. Xian and D. M. Dawson, "Output feedback
tracking control of an underactuated quad-rotor UAV", American
Control Conference, New York, 2007.
T. Madani and A. Benallegue, "Sliding mode observer and
backstepping control for a quadrotor unmanned aerial vehicles",
American Control Conference, New York, 2007.
A. Benallegue, A. Mokhtari and L. Fridman, "High-order
sliding-mode observer for a quadrotor UAV", Int. J. of Robust and
Nonlinear Control, 2008.
F. LeBras, T. Hamel and R. Mahony, "Nonlinear observer-based
visual control of a VTOL UAV", European Control Conference, Kos,
Greece, 2007.
R. Sharma and M. Aldeen, "Fault and unknown input
reconstruction in VTOL aircraft system using sliding mode
observer", European Control Conference, Kos, Greece, 2007.
F. Bateman, H. Noura and M. Ouladsine, "An actuator fault
detection, isolation and estimation system for an UAV using input
observers", European Control Conference, Kos, Greece, 2007.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
N. Slegers and M. Costello, "Variable structure observer for control
bias on unmanned air vehicles", J. of Guidance, Cont., and
Dynamics, vol. 30, pp 281–286, 2007.
C. G. Prevost, A. Desbiens and E. Gagnon, "Extended Kalman
filter for state estimation and trajectory prediction of a moving
object detected by an unmanned aerial vehicle", American Control
Conference, New York, 2007.
K. Benzemrane, G. L. Santosuosso and G. Damm, "Unmanned
aerial vehicle speed estimation via nonlinear adaptive observers",
American Control Conference, New York, 2007.
L. Besnard, Y.B. Shtessel and B. Landrum, "Control of a quadrotor
vehicle using sliding mode disturbance observer", American
Control Conference, New York, 2007.
D. Blake and M. Brown, "Simultaneous, multiplicative actuator and
sensor fault estimation", European Control Conference, Kos,
Greece, 2007.
M. Boutayeb, E. Richard, H. Rafaralahy, H. Souley Ali and G.
Zaloylo, "A simple time-varying observer for speed estimation of
UAV", IFAC World Congress, Seoul, Korea, 2008.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
P. Castillo, R. Lozano and A. Dzul, Modelling and control of
mini-flying machines, Springer-Verlag, 2005.
J. C. Deckert, M. N. Desai, J. J. Deyst and A. S. Willsky, "F-8
DFBW sensor failure identification using analytic redundancy",
IEEE Trans. Aut. Cont., Vol. 22, 5, 1977.
D. Lara Alabazares, Modélisation et commande robuste des
drones miniatures : conception de l’architecture embarquée, PhD
thesis, UTC, Compiegne, France, 2007.
A. Monteriu, P. Asthana, K. Valavanis and S. Longhi, "Residual
generation approaches in navigation sensors fault detection
applications", European Control Conference, Kos, Greece, 2007.
H. Nijmeijer, A. J. van der Schaft, nonlinear dynamical control
systems, Springer-Verlag, 1990.
N. P. Piercy, "Sensor failure estimators for detection filters", IEEE
Trans. Aut. Cont., Vol. 37, 10, 1992.
H. Rafaralahy, M. Zasadzinski and M. Boutayeb, "Discussion on
sensor gain fault diagnosis for a class of nonlinear systems",
European Journal of Control, Vol. 12, 5, 2006.
CRAN
Modèle du
quadrirotor
Position du
problème
Synthèse de
l’observateur :
estimation de la
vitesse linéaire
Simulations
numériques
Estimation
simultanée de la
vitesse et des
défauts de capteur
Simulations
numériques
H. Rafaralahy, M. Zasadzinski, M. Boutayeb and H. Souley Ali,
"Sensor bias estimation for bilinear systems", Conference on
Systems and Control, Marrakesh, Morocco, 2007.
Y. Wang and D.H. Zhou, "Sensor gain fault diagnosis for a class of
nonlinear systems", European Journal of Control, Vol. 12, 5, pp.
523-535, 2006.
H. Rafaralahy, E. Richard, M. Boutayeb and M. Zasadzinski,
"Simultaneous observer based diagnosis and speed estimation of
Unmanned Aerial Vehicle", Conference on Decision and Control,
Cancun, Mexico, 2008.
E. Richard, M. Boutayeb, H. Rafaralahy and M. Zasadzinski,
"Design of speed and sensor bias estimator for Unmanned Aerial
Vehicle", European Control Conference, Budapest, Hungary, 2009.