Oraux. Série no11. Probabilités 1) (X ESPCI) On effectue des tirages

Oraux. Série no 11. Probabilités
1) (X-ESPCI ) On e¤ectue des tirages successifs et indépendants d’une pièce équilibrée. On note Xn le nombre de
1
1
1
1
face obtenus lors des n premiers tirages. Déterminer n tel que : P
1
Xn
:
n
2
100
100
2) (Mines) Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p 2]0; 1[. Calculer E(1=X):
3) (Centrale) Les joueurs A et B se répartissent N jetons. Au départ, le joueur A possède n 2 f0; : : : ; N g jetons.
À chaque partie, le perdant donne un jeton à l’autre. Le joueur A gagne chaque partie avec la probabilité p 2]0; 1[.
La partie s’arrête lorsque l’un des joueurs a tous les jetons. Déterminer la probabilité an que A l’emporte.
Indication : Justi…er d’abord que a0 = 0, aN = 1, et 8n 2 f0; 1; : : : ; N
1g, an = qan
1
+ pan+1 :
En e¤et, noter En l’événement : “A l’emporte en partant de n jetons”, et Z : “A gagne la première partie”.
Alors P (En j Z) = an+1 et P (En j Z) = an
1:
4) a) (Mines) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur f1; : : : ; ng. Déterminer
les lois de U = minfX; Y g et V = maxfX; Y g.
Indication : Montrer que P (V = k) =
2k 1
n2
Variante : P (V = k) à partir de P (V
= P (U = n + 1
k) = P (X
k)P (Y
k):
k) = ( nk )2 et idem avec P (U > k) = ( n n k )2 :
b) (Mines) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p.
P+1
P
(1 q n )2 ):
On pose Z = maxfX; Y g. Déterminer E(Z): Indication : E(Z) = +1
n=0 (1
n=0 P (Z > n) =
c) (Mines) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique G(p).
On pose U = jX
Y j et V = minfX; Y g: Déterminer la loi de (U; V ).
En déduire les lois de U et de V . Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ?
(
2p2 q 2(n 2) q k si k > 0
Indication : On a P (X = n) = pq n 1 , donc P (U = k; V = n) =
p2 q 2(n 2) si k = 0
P+1 k
P
k
2 2(n 2) 1+q , car (1 + 2
On a donc P (V = n) = p2 q 2(n 2) (1 + 2 +1
k=1 q ) = p q
k=1 q ) = 1 +
1 q
2q
1 q
=
1+q
1 q:
Remarque : En interprétant les lois comme des lois de premier succès (en considérant deux suites de Bernoulli), on
conçoit que U et V sont indépendantes : L’écart entre les deux succès est indépendant de la position du premier
succès.
5) (Mines) Soient X et Y deux variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2. On suppose V (X) > 0.
Trouver a et b dans R minimisant E((Y
aX
b)2 ): Suggestion : Utiliser le projeté de Y sur Vect(1; X).
6) (Mines) Une urne contient n boules blanches et n boules noires. On tire les boules de l’urne deux par deux.
Quelle est la probabilité an d’avoir à chacun des n tirages une boule blanche et une boule noire ?
Indication : an =
Qn
k=1 k
2 = 2k
2
=
Qn
k
k=1 2k 1
2
(n!)
= 2n (2n)!
= 2n =
2n
n
.
7) (Mines) Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n. On tire simultanément deux jetons. On note X le numéro
du plus petit numéro tiré, Y le numéro du plus grand. Déterminer les lois de X et de Y . Calculer E(Y ).
Indication : P (Y = k) =
2(k 1)
n(n 1) ,
donc E(Y ) =
2
n(n 1)
Pn
k=1 (k
1)k =
(n 1)n(n+1)
2
3
n(n 1)
=
2(n+1)
:
3
8) (Mines) Un promeneur ramasse un nombre N de champignons où N suit la loi de Poisson de paramètre
> 0.
On suppose qu’un champignon est un bolet avec probabilité p et une morille avec probabilité q = (1
p).
On note X la loi du nombre de bolets ramassés, Y la loi du nombre de morilles ramassées.
a) Déterminer la loi conjointe de (N; X).
b) En déduire que X suit la loi de Poisson de paramètre p: Montrer que les variables X et Y sont indépendantes.
k
n
n k
Indication : a) Pour 0 k n, P (X = k; N = n) = nk pk q n k n! e = pk! (nq
P
P+1 qj j
k
k
pk q n k n
b) P (X = k) = +1
e = pk! k e
= pk! k e eq =
n=k k! (n k)!
j=0 (j)!
n
k)!
pk
n
k!
e
e
:
p
:
Donc X suit la loi de Poisson de paramètre p. De même, Y suit la loi de Poisson de paramètre q.
Et P (X = k; Y = j) = P (X = k; N = k + j) =
Remarque : En fait, on a X =
PN
i=1 Zi ,
pk
k!
k qj
j!
j
e
= P (X = k)P (Y = j):
où les Zi sont des v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli B(p):
Par la fortule de Wald, la série génératrice de X est GX (z) = GN (GZ (z)):
Or, ici, GZ (z) = q + pz et GN (z) = e (z 1) , donc GX (z) = e (q+pz 1) = e p(z 1) : Donc X suit la loi P(p ):
P
Zi ), où les (1 Zi ) sont des v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli B(q):
Et Y = N
i=1 (1
8) bis) (variante de l’exo précédent) Soit N une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre
> 0.
Soit X un v.a. telle que la loi conditionnelle de X sachant N = n est la loi binomiale B(n; p):
a) Montrer que X suit la loi de Poisson de paramètre p:
b) En déduire la loi de Y = N
X.
c) Montrer que les variables X et Y sont indépendantes.
9) (Centrale) Soit (n; N ) 2 N2 avec 0
n
N . Dans un étang, il y a n brochets (identiques) et N
n carpes
(identiques). Un pêcheur pêche un poisson et le rejette juste après dans l’étang.
a) Quelle est la probabilité que le pêcheur pêche n brochets en n prises ?
b) Quelle est la probabilité que le pêcheur pêche n brochets en (n + 1) prises ?
c) (F) Soit k 2 N . Soit Xk le nombre de prises permettant d’obtenir k brochets. Déterminer la loi de Xk .
Remarque : Il s’agit de la loi du k-ième succès. Utiliser les séries génératrices.
Indication : a) Posons p =
b) La probabilité est
n+1
1
n
N.
La probabilité est donc pn .
pn q = (n + 1)pn q, cf loi binomiale.
c) X1 suit la loi géométrique G(p), c’est-à-dire P (X1 = n) = q n
1 p:
Xk est la somme de k variables indépendantes de loi celle de X1 donc GXk (z) =
k, P (Xk = n) = pk q n
On en déduit que pur tout n
k k(k+1):::(n 1)
(n k)!
pz
1 qz :
k
pz
1 qz
Donc GX1 (z) =
= pk q n
k n 1
k 1
= pk z k
1
1 qz
k
:
:
10) (CCP ) Soient Xij des variables aléatoires de Rademacher mutuellement indépendantes.
On pose A = (Xij )1
i n;1 j n
Indication : On a Dn =
Pn
2 Mn (R) et D = det A. Montrer (par récurrence) que E(D) = 0 et V (D) = n!
i=1 Xi1 Ci1 ,
où Cij sont les cofacteurs de la matrice A.
Les variables Xij sont indépendantes, donc les Xi1 et les Ci1 sont indépendantes.
On en déduit que E(Dn ) = nE(X)E(Dn
Or, on a E(X) = 0 et E(Dn
1)
1)
= 0. Et V (Dn ) = nV (XDn
= 0, donc V (XDn
1)
= E(X 2 Dn2
1)
1 ):
= E(X 2 )E(Dn2
1)
= V (X)V (Dn
1)
= 1:
Ainsi, V (Dn ) = nV (Dn
1 ),
et comme D0 = 1, on obtient (par récurrence) V (Dn ) = n!
11) (X-ESPCI ) On lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu’à ce qu’on obtienne la séquence pile-face.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de lancers e¤ectués. Montrer que E(X) =
12) (X-ESPCI ) Soient
1
p
+ 1q .
un univers …ni muni d’une probabilité P . Si X est une variable aléatoire réelle, on dit que
X est symétrique ssi X et
X suivent la même loi.
a) Soient Y et Z deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi. Montrer que Y
Z est symétrique.
b) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans Z. On pose f : t 7 ! E(eitX ). Montrer que la fonction f détermine
entièrement la loi de X. Donner une condition nécessaire et su¢ sante sur f pour que X soit symétrique.
13) (Mines) Soit P une probabilité sur (N; P(N)). Montrer que limn!+1 P (fng) = 0:
14) (Centrale) Soit X une variable aléatoire. On dit que X est décomposable s’il existe deux variables aléatoires
indépendantes Y et Z telles que Y + Z ait la même loi que X.
a) Si X est décomposable, donner une relation entre les séries génératrices GX , GY et GZ :
b) Soient n
2 et p 2]0; 1[. On suppose X ,! B(n; p), montrer que X est décomposable.
c) Soient n
2 non premier. On suppose X suit la loi uniforme sur [[1; n]]. Montrer que X est décomposable.
P
P
Indication : Avec n = rs, considérer le produit ( ri=01 z i )( sj=01 z rj ):
15) (X-ESPCI ) Soit n 2 N avec n
3. On dispose d’une urne de n boules numérotées de 1 à n. On tire les boules
sans remise jusqu’à ce que les boules 1, 2 et 3 soient sorties. On note X le nombre de boules tirées.
a) Calculer la probabilité que les boules 1; 2; 3 sortent consécutivement et dans cet ordre.
b) Calculer la probabilité que les boules 1; 2; 3 sortent dans cet ordre consécutivement ou pas.
c) Déterminer la loi et l’espérance de X.
Indications : a) (n
2) divisé par n(n
c) On obtient P (X
k) =
k
3
=
n
3
1)(n
2) ; b) 6 fois le résultat précédent
, et on peut en déduire E(X) = (n + 1)
n+1
4
=
n
3
= 43 (n + 1),
16) (Mines) Soit n 2 N .
Montrer que le nombre d’applications f de f1; : : : ; ng dans f1; : : : ; ng telles que f
Indication : On pose
= Im f . Noter que f
f = f ssi 8x 2
f = f est
Pn
n
k=1 k
kn
k:
, f (x) = x. On pourra poser k = card :
17) (X-ESPCI ) a) Montrer que tout n 2 N s’écrit de façon unique sous la forme n =
P+1
k
k=0 "k 2 ,
avec "k 2 f0; 1g.
b) (F) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N telle que : 8n 2 N, P (X = n) = 2 (n+1) :
P
k
On considère les variables aléatoires Xk à valeurs dans f0; 1g dé…nies par X = +1
k=0 Xk 2 . Calculer E(Xk ):
Indication : On pose
i
= fn 2 N j Xk (n) = ig. On a
1
= 2k +
0.
En déduire P (Xk = 1) = 2
(2k ) P (X
k
= 0):