Oraux. Série no11. Probabilités 1) (X ESPCI) On effectue des tirages

Oraux. Série no11.Probabilités
1) (X-ESPCI ) On e¤ectue des tirages successifs et indépendants d’une pièce équilibrée. On note Xnle nombre de
face obtenus lors des npremiers tirages. Déterminer ntel que : P
1
nXn1 21 10011 100:
2) (Mines) Soit Xune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p2]0;1[. Calculer E(1=X):
3) (Centrale) Les joueurs Aet Bse répartissent Njetons. Au départ, le joueur Apossède n2 f0; : : : ; Ngjetons.
À chaque partie, le perdant donne un jeton à l’autre. Le joueur Agagne chaque partie avec la probabilité p2]0;1[.
La partie s’arrête lorsque l’un des joueurs a tous les jetons. Déterminer la probabilité anque Al’emporte.
Indication : Justi…er d’abord que a0= 0,aN= 1, et 8n2 f0;1; : : : ; N 1g,an=qan1+pan+1:
En e¤et, noter Enl’événement : “Al’emporte en partant de njetons”, et Z: “Agagne la première partie”.
Alors P(EnjZ) = an+1 et P(EnjZ) = an1:
4) a) (Mines) Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur f1; : : : ; ng. Déterminer
les lois de U= minfX; Y get V= maxfX; Y g.
Indication : Montrer que P(V=k) = 2k1
n2=P(U=n+ 1 k):
Variante :P(V=k)à partir de P(Vk) = P(Xk)P(Yk) = ( k
n)2et idem avec P(U > k) = (nk n)2:
b) (Mines) Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre p.
On pose Z= maxfX; Y g. Déterminer E(Z):Indication :E(Z) = P+1
n=0 P(Z > n) = P+1 n=0(1 (1 qn)2):
c) (Mines) Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique G(p).
On pose U=jXYjet V= minfX; Y g:Déterminer la loi de (U; V ).
En déduire les lois de Uet de V. Les variables aléatoires Uet Vsont-elles indépendantes ?
Indication : On a P(X=n) = pqn1, donc P(U=k; V =n) = (2p2q2(n2)qksi k > 0
p2q2(n2) si k= 0
On a donc P(V=n) = p2q2(n2)(1 + 2 P+1
k=1 qk) = p2q2(n2) 1+q
1q, car (1 + 2 P+1
k=1 qk) = 1 + 2q
1q=1+q 1q:
Remarque : En interprétant les lois comme des lois de premier succès (en considérant deux suites de Bernoulli), on
conçoit que Uet Vsont indépendantes : L’écart entre les deux succès est indépendant de la position du premier
succès.
5) (Mines) Soient Xet Ydeux variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2. On suppose V(X)>0.
Trouver aet bdans Rminimisant E((YaX b)2):Suggestion : Utiliser le projeté de Ysur Vect(1; X).
6) (Mines) Une urne contient nboules blanches et nboules noires. On tire les boules de l’urne deux par deux.
Quelle est la probabilité and’avoir à chacun des ntirages une boule blanche et une boule noire ?
Indication :an=Qn
k=1 k2=2k
2=Qn
k=1 k
2k1= 2n(n!)2
(2n)! = 2n=2n
n.
7) (Mines) Une urne contient njetons numérotés de 1àn. On tire simultanément deux jetons. On note Xle numéro
du plus petit numéro tiré, Yle numéro du plus grand. Déterminer les lois de Xet de Y. Calculer E(Y).
Indication :P(Y=k) = 2(k1)
n(n1) , donc E(Y) = 2 n(n1) Pn
k=1(k1)k=2
n(n1)
(n1)n(n+1)
3=2(n+1) 3:
8) (Mines) Un promeneur ramasse un nombre Nde champignons où Nsuit la loi de Poisson de paramètre  > 0.

On suppose qu’un champignon est un bolet avec probabilité pet une morille avec probabilité q= (1 p).
On note Xla loi du nombre de bolets ramassés, Yla loi du nombre de morilles ramassées.
a) Déterminer la loi conjointe de (N; X).
b) En déduire que Xsuit la loi de Poisson de paramètre p: Montrer que les variables Xet Ysont indépendantes.
Indication : a) Pour 0kn,P(X=k; N =n) = n
kpkqnkn n!e=pk k!
qnk
(nk)! ne:
b) P(X=k) = P+1
n=k
pk
k!
qnk
(nk)! ne=pk
k!keP+1
j=0
qj
(j)! j=pk
k!keeq =pk k!nep:
Donc Xsuit la loi de Poisson de paramètre p. De même, Ysuit la loi de Poisson de paramètre q.
Et P(X=k; Y =j) = P(X=k; N =k+j) = pk
k!kqj j!je=P(X=k)P(Y=j):
Remarque : En fait, on a X=PN
i=1 Zi, où les Zisont des v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli B(p):
Par la fortule de Wald, la série génératrice de Xest GX(z) = GN(GZ(z)):
Or, ici, GZ(z) = q+pz et GN(z) = e(z1), donc GX(z) = e(q+pz1) =ep(z1):Donc Xsuit la loi P(p):
Et Y=PN
i=1(1 Zi), où les (1 Zi)sont des v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli B(q):
8) bis) (variante de l’exo précédent) Soit Nune variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre  > 0.
Soit Xun v.a. telle que la loi conditionnelle de Xsachant N=nest la loi binomiale B(n; p):
a) Montrer que Xsuit la loi de Poisson de paramètre p:
b) En déduire la loi de Y=NX.
c) Montrer que les variables Xet Ysont indépendantes.
9) (Centrale) Soit (n; N )2N2avec 0nN. Dans un étang, il y a nbrochets (identiques) et Nncarpes
(identiques). Un pêcheur pêche un poisson et le rejette juste après dans l’étang.
a) Quelle est la probabilité que le pêcheur pêche nbrochets en nprises ?
b) Quelle est la probabilité que le pêcheur pêche nbrochets en (n+ 1) prises ?
c) (F) Soit k2N. Soit Xkle nombre de prises permettant d’obtenir kbrochets. Déterminer la loi de Xk.
Remarque : Il s’agit de la loi du k-ième succès. Utiliser les séries génératrices.
Indication : a) Posons p=n
N. La probabilité est donc pn.
b) La probabilité est n+1
1pnq= (n+ 1)pnq, cf loi binomiale.
c) X1suit la loi géométrique G(p), c’est-à-dire P(X1=n) = qn1p: Donc GX1(z) = pz
1qz :
Xkest la somme de kvariables indépendantes de loi celle de X1donc GXk(z) = pz
1qz k=pkzk1 1qz k:
On en déduit que pur tout nk,P(Xk=n) = pkqnkk(k+1):::(n1)
(nk)! =pkqnkn1
k1:
10) (CCP) Soient Xij des variables aléatoires de Rademacher mutuellement indépendantes.
On pose A= (Xij )1in;1jn2 Mn(R)et D= det A. Montrer (par récurrence) que E(D) = 0 et V(D) = n!
Indication : On a Dn=Pn
i=1 Xi1Ci1, où Cij sont les cofacteurs de la matrice A.
Les variables Xij sont indépendantes, donc les Xi1et les Ci1sont indépendantes.
On en déduit que E(Dn) = nE(X)E(Dn1) = 0. Et V(Dn) = nV (XDn1):
Or, on a E(X) = 0 et E(Dn1) = 0, donc V(XDn1) = E(X2D2
n1) = E(X2)E(D2 n1) = V(X)V(Dn1) = 1:

Ainsi, V(Dn) = nV (Dn1), et comme D0= 1, on obtient (par récurrence) V(Dn) = n!
11) (X-ESPCI ) On lance une pièce de monnaie équilibrée jusqu’à ce qu’on obtienne la séquence pile-face.
Soit Xla variable aléatoire comptant le nombre de lancers e¤ectués. Montrer que E(X) = 1
p+1 q.
12) (X-ESPCI ) Soient un univers …ni muni d’une probabilité P. Si Xest une variable aléatoire réelle, on dit que
Xest symétrique ssi Xet Xsuivent la même loi.
a) Soient Yet Zdeux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi. Montrer que YZest symétrique.
b) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Z. On pose f:t7! E(eitX ). Montrer que la fonction fdétermine
entièrement la loi de X. Donner une condition nécessaire et su¢ sante sur fpour que Xsoit symétrique.
13) (Mines) Soit Pune probabilité sur (N;P(N)). Montrer que limn!+1P(fng) = 0:
14) (Centrale) Soit Xune variable aléatoire. On dit que Xest décomposable s’il existe deux variables aléatoires
indépendantes Yet Ztelles que Y+Zait la même loi que X.
a) Si Xest décomposable, donner une relation entre les séries génératrices GX,GYet GZ:
b) Soient n2et p2]0;1[. On suppose X ,! B(n; p), montrer que Xest décomposable.
c) Soient n2non premier. On suppose Xsuit la loi uniforme sur [[1; n]]. Montrer que Xest décomposable.
Indication : Avec n=rs, considérer le produit (Pr1
i=0 zi)(Ps1 j=0 zrj ):
15) (X-ESPCI ) Soit n2Navec n3. On dispose d’une urne de n boules numérotées de 1àn. On tire les boules
sans remise jusqu’à ce que les boules 1, 2 et 3 soient sorties. On note Xle nombre de boules tirées.
a) Calculer la probabilité que les boules 1;2;3sortent consécutivement et dans cet ordre.
b) Calculer la probabilité que les boules 1;2;3sortent dans cet ordre consécutivement ou pas.
c) Déterminer la loi et l’espérance de X.
Indications : a) (n2) divisé par n(n1)(n2) ; b) 6 fois le résultat précédent
c) On obtient P(Xk) = k
3=n 3, et on peut en déduire E(X) = (n+ 1) n+1 4=n 3=3 4(n+ 1),
16) (Mines) Soit n2N.
Montrer que le nombre d’applications fde f1; : : : ; ngdans f1; : : : ; ngtelles que ff=fest Pn
k=1 n
kknk:
Indication : On pose  = Im f. Noter que ff=fssi 8x2,f(x) = x. On pourra poser k= card :
17) (X-ESPCI ) a) Montrer que tout n2Ns’écrit de façon unique sous la forme n=P+1
k=0 "k2k, avec "k2 f0;1g.
b) (F) Soit Xune variable aléatoire à valeurs dans Ntelle que : 8n2N,P(X=n) = 2(n+1):
On considère les variables aléatoires Xkà valeurs dans f0;1gdé…nies par X=P+1
k=0 Xk2k. Calculer E(Xk):
Indication : On pose i=fn2NjXk(n) = ig. On a 1= 2k+ 0. En déduire P(Xk= 1) = 2(2k)P(Xk= 0):