Licence Sciences de la Mati`ere Physique quantique

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Licence Sciences de la Mati`ere
Physique quantique

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Licence Sciences de la Mati`ere
Physique quantique : TD no1
Notation de Dirac
A une particule se trouvant dans un ´etat quantique repr´esent´e par une fonction
d’onde ψ(x) on associe un vecteur d’un espace de Hilbert. Ce vecteur appel´e ket
(ou encore vecteur d’´etat) est not´e |ψi. La i`eme composante du vecteur |ψidonne
l’amplitude ψ(i) de trouver la particule au point ide l’espace (ici xest une coordonn´ee
d’espace, il s’agit donc d’une variable continue et |ψia un nombre infini non
d´enombrable de composantes mais on peut ´ecrire symboliquement :
|ψi=
ψ(1)
ψ(2)
.
.
.
ψ(i)
.
.
.
ψ(i) = hi|ψi
o`u 1,2,...,i,...sont les points de l’espace. On d´efinit le bra hψ|associ´e au ket |ψitel
que hψ|ψisoit le carr´e de la norme de la fonction d’onde ψ(x) :
hψ|ψi=Z+∞
−∞
ψ?(x)ψ(x)dx =N2
ou encore dans la notation symbolique, avec hψ|= (ψ?(1), ψ?(2), . . . , ψ?(i), . . .) :
hψ|ψi= (ψ?(1), ψ?(2),...,ψ?(i),...)
ψ(1)
ψ(2)
.
.
.
ψ(j)
.
.
.
=ψ?(1)ψ(1)+ψ?(2)ψ(2)+. . .+ψ?(i)ψ(i)+. . .
Ainsi hx|ψi=ψ(x) se comprend comme la projection de |ψien repr´esentation x(i.e.
sur la base des |xi) :
hi|ψi= (0,0,...,0,1,0,...)
ψ(1)
ψ(2)
.
.
.
ψ(i)
.
.
.
=ψ(i)
On g´en´eralise la norme d´efinie pr´ec´edemment en introduisant un produit scalaire
hϕ|ψihermitien ayant les propri´et´es d’une forme sesquilin´eaire :
hϕ|ψi=hψ|ϕi?hϕ|aψ +bξi=ahϕ|ψi+bhϕ|ξi haψ +bξ |ϕi=a?hψ|ϕi+b?hξ|ϕi

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Un op´erateur lin´eaire ˆ Fagissant sur un ket |ψidonne un nouveau ket |ψ0i:
ˆ
F|ψi=|ψ0i
et l’on d´efinit l’op´erateur adjoint ˆ F†de ˆ Fpar
hψ|ˆ F†=hψ0|
L’op´erateur ˆ Fest hermitien s’il est autoadjoint : ˆ F†=ˆ F.
1) Applications simples :
1.1) D´emontrer la relation de fermeture.
1.2) Montrer que les valeurs propres d’un op´erateur hermitien sont r´eelles. Montrer que
les vecteurs propres associ´es `a des valeurs propres diff´erentes sont orthogonaux et
que l’on peut toujours choisir des vecteurs propres orthogonaux dans un sous-
espace d´eg´en´er´e.
2) Oscillateur harmonique :
Soient ˆxet ˆp, les op´erateurs position et impulsion `a une dimension, et b Hl’hamiltonien
de l’oscillateur harmonique :
b
H=−¯h2
2m
d2
dx2+1 2mω2x2
2.1) Montrer que l’on peut d´efinir une longueur caract´eristique bpour ce probl`eme.
Montrer alors que l’on peut d´efinir deux op´erateurs sans dimension ˆ X=
p(mω/¯h) ˆxet ˆ
P=p(1/mω¯h) ˆpet calculer leur commutateur [ ˆ X, ˆ P]. Ecrire
l’hamiltonien sans dimension ˆ Hassoci´e `a ˆ Xet ˆ P.
2.2) On d´efinit deux op´erateurs ˆaet ˆa+: ˆa=p1/2 ( ˆ X+iˆ P) et ˆa+=p1/2 ( ˆ X−iˆ P)
Ces op´erateurs sont-ils hermitiens ? Calculer le commutateur [ˆa, ˆa+].
2.3) On d´efinit l’op´erateur ˆnet ses vecteurs et valeurs propres
ˆn= ˆa+ˆaˆn|ni=n|nin∈N
Cet op´erateur est-il hermitien ? Calculer [ˆn, ˆa] et [ˆn, ˆa+]. Calculer ˆa|niet ˆa+|ni.
D´eterminer les matrices [ˆa+] et [ˆa] associ´ees aux op´erateurs cr´eation et annihilation
en repr´esentation {|ni}.
2.4) On suppose que l’oscillateur harmonique est dans un ´etat stationnaire |ni. Calculer
les valeurs moyennes de ˆxet ˆpdans cet ´etat. Qu’en est-il de l’´energie cin´etique et
de l’´energie potentielle ?
2.5) On consid`ere un oscillateur harmonique repr´esent´e `a l’instant t= 0 par une
combinaison lin´eaire d’´etats propres : |ψ(0)i=P∞
n=0 cn|niDonner l’expression
de |ψ(t)i.
2.6) On suppose maintenant que |ψ(0)i=c0|0i+c1|1i
2.6.1) Sachant que Dψ(0) b Hψ(0)E= ¯hω, calculer |c0|et |c1|.
2.6.2) On suppose de plus que hψ(0) |ˆx|ψ(0)i=1
2bet on choisit c0r´eel. Calculer c1.
Calculer hψ(t)|ˆx|ψ(t)i.

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3) Moment cin´etique :
3.1) On consid`ere l’op´erateur moment cin´etique Jdont les composantes ob´eissent aux
relations de commutation usuelles :
[ˆ Jx,ˆ Jy] = i¯hˆ Jzet permutations circulaires
et on d´efinit les op´erateurs suivants :
ˆ
J±=ˆ Jx±iˆ Jyet ˆ J2=ˆ J2
x+ˆ
J2
y+ˆ
J2
z
3.1.1) Etablir les relations de commutation impliquant ˆ J2et ˆ Jz.
3.1.2) On note |j miles vecteurs propres communs `a ˆ J2et ˆ Jzet on pose
ˆ
J2|j mi= ¯h2j(j+ 1)|j mij≥0
ˆ
Jz|j mi=m¯h|j mi − j≤m≤j
Calculer ˆ J−|j miet ˆ J+|j mi.

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Licence Sciences de la Mati`ere
Physique quantique : TD no2
Deux exemples de bases continues
1) Repr´esentation |xi:
A une dimension, on peut d´efinir une base continue |xi, telle que la composante sur
|x0id’un ket |ϕide l’espace des ´etats donne la valeur de la fonction d’onde ϕau point
x0:
hx0|ϕi=ϕ(x0)
Les kets de cette base v´erifient les deux relations suivantes :
•orthogonalisation : hx|x0i=δ(x−x0)
•fermeture : R+∞
−∞ |xihx|dx = 1l
1.1) Calculer le produit scalaire hϕ|ψien repr´esentation |xi.
1.2) L’action de l’op´erateur ˆxen repr´esentation |xis’´ecrit simplement :
ˆx|xi=x|xi
Montrer que ˆxest hermitique, c’est-`a-dire que hϕ|ˆx|ψi=hψ|ˆx|ϕi?.
2) Repr´esentation |pi:
A une dimension, on d´efinit ´egalement une base continue |pi, telle que hp|ϕi= ¯ϕ(p),
transform´ee de Fourier de ϕ(x). On a alors dans cette base :
•orthogonalisation : hp|p0i=δ(p−p0)
•fermeture : R+∞
−∞ |pihp|dp = 1l
2.1) Calculer le produit scalaire hϕ|ψien repr´esentation |pi.
2.2) Calculer les composantes du ket |pisur la base |xi.
2.3) En repr´esentation |pi, l’action de l’op´erateur ˆps’´ecrit ˆp|pi=p|pi. Quelle est
l’expression de l’op´erateur ˆpen repr´esentation |xi?
2.4) Montrer, en repr´esentation |xi, que ˆpest hermitique.
Rappel de cours : Soit ϕ(x) = hx|ϕiune fonction de la variable x, sa transform´ee de
Fourier est une fonction de la variable pd´efinie par :
¯ϕ(p) = hp|ϕi=1
(2π¯h)1/2Z+∞
−∞
dx e−ipx/¯hϕ(x)
La transform´ee de Fourier inverse est donn´ee par :
ϕ(x) = hx|ϕi=1
(2π¯h)1/2Z+∞
−∞
dp e+ipx/¯h¯ϕ(p)