Licence Sciences de la Mati`ere Physique quantique

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Licence Sciences de la Matière
Physique quantique
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Licence Sciences de la Matière
Physique quantique : TD no 1
Notation de Dirac
A une particule se trouvant dans un état quantique représenté par une fonction
d’onde ψ(x) on associe un vecteur d’un espace de Hilbert. Ce vecteur appelé ket
(ou encore vecteur d’état) est noté |ψi. La ième composante du vecteur |ψi donne
l’amplitude ψ(i) de trouver la particule au point i de l’espace (ici x est une coordonnée
d’espace, il s’agit donc d’une variable continue et |ψi a un nombre infini non
dénombrable de composantes mais on peut écrire symboliquement :


ψ(1)
 ψ(2) 


 .. 

|ψi = 
 .  ψ(i) = hi |ψi
 ψ(i) 


..
.
où 1, 2, . . . , i, . . . sont les points de l’espace. On définit le bra hψ| associé au ket |ψi tel
que hψ |ψi soit le carré de la norme de la fonction d’onde ψ(x) :
hψ |ψi =
Z
+∞
ψ ? (x)ψ(x)dx = N 2
−∞
ou encore dans la notation symbolique, avec hψ| = (ψ ? (1), ψ ? (2), . . . , ψ ? (i), . . .) :


ψ(1)
 ψ(2) 


 .. 
?
?
?
?
?
?

hψ |ψi = (ψ (1), ψ (2), . . . , ψ (i), . . .) 
 .  = ψ (1)ψ(1)+ψ (2)ψ(2)+. . .+ψ (i)ψ(i)+. . .
 ψ(j) 


..
.
Ainsi hx |ψi = ψ(x) se comprend comme la projection de |ψi en représentation x (i.e.
sur la base des |xi) :


ψ(1)
 ψ(2) 


 .. 

hi |ψi = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)  . 
 = ψ(i)
 ψ(i) 


..
.
On généralise la norme définie précédemment en introduisant un produit scalaire
hϕ |ψi hermitien ayant les propriétés d’une forme sesquilinéaire :
hϕ |ψi = hψ |ϕi
?
hϕ |aψ + bξi = a hϕ |ψi+b hϕ |ξi
haψ + bξ |ϕi = a? hψ |ϕi+b? hξ |ϕi
2
Un opérateur linéaire F̂ agissant sur un ket |ψi donne un nouveau ket |ψ 0 i :
F̂ |ψi = |ψ 0 i
et l’on définit l’opérateur adjoint F̂ † de F̂ par
hψ|F̂ † = hψ 0 |
L’opérateur F̂ est hermitien s’il est autoadjoint : F̂ † = F̂ .
1) Applications simples :
1.1) Démontrer la relation de fermeture.
1.2) Montrer que les valeurs propres d’un opérateur hermitien sont réelles. Montrer que
les vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes sont orthogonaux et
que l’on peut toujours choisir des vecteurs propres orthogonaux dans un sousespace dégénéré.
2) Oscillateur harmonique :
b l’hamiltonien
Soient x̂ et p̂, les opérateurs position et impulsion à une dimension, et H
de l’oscillateur harmonique :
2
2
b = − h̄ d + 1 mω 2 x2
H
2m dx2
2
2.1) Montrer que l’on peut définir une longueur caractéristique b pour ce problème.
Montrer alors que l’onp peut définir deux opérateurs sans dimension X̂ =
p
(mω/h̄) x̂ et P̂ = (1/mωh̄) p̂ et calculer leur commutateur [X̂, P̂ ]. Ecrire
l’hamiltonien sans dimension Ĥ associé p
à X̂ et P̂ .
p
2.2) On définit deux opérateurs â et â+ : â = 1/2 (X̂ +iP̂ ) et â+ = 1/2 (X̂ −iP̂ )
Ces opérateurs sont-ils hermitiens ? Calculer le commutateur [â, â+ ].
2.3) On définit l’opérateur n̂ et ses vecteurs et valeurs propres
n̂ = â+ â n̂|ni = n|ni n ∈ N
Cet opérateur est-il hermitien ? Calculer [n̂, â] et [n̂, â+ ]. Calculer â|ni et â+ |ni.
Déterminer les matrices [â+ ] et [â] associées aux opérateurs création et annihilation
en représentation {|ni}.
2.4) On suppose que l’oscillateur harmonique est dans un état stationnaire |ni. Calculer
les valeurs moyennes de x̂ et p̂ dans cet état. Qu’en est-il de l’énergie cinétique et
de l’énergie potentielle ?
2.5) On considère un oscillateur harmonique représenté
P∞ à l’instant t = 0 par une
combinaison linéaire d’états propres : |ψ(0)i = n=0 cn |ni Donner l’expression
de |ψ(t)i.
2.6) On suppose maintenant
que
|ψ(0)i
D
E = c0 |0i + c1 |1i
b
2.6.1) Sachant que ψ(0) H ψ(0) = h̄ω, calculer |c | et |c |.
0
2.6.2) On suppose de plus que hψ(0) |x̂ |ψ(0)i =
Calculer hψ(t) |x̂ |ψ(t)i.
1
b
2
1
et on choisit c0 réel. Calculer c1 .
3
3) Moment cinétique :
3.1) On considère l’opérateur moment cinétique J dont les composantes obéissent aux
relations de commutation usuelles :
[Jˆx , Jˆy ] = ih̄Jˆz
et permutations circulaires
et on définit les opérateurs suivants :
Jˆ± = Jˆx ± iJˆy
et
Jˆ2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2
3.1.1) Etablir les relations de commutation impliquant Jˆ2 et Jˆz .
3.1.2) On note |j mi les vecteurs propres communs à Jˆ2 et Jˆz et on pose
Jˆ2 |j mi = h̄2 j(j + 1)|j mi
Jˆz |j mi = mh̄|j mi
Calculer Jˆ− |j mi et Jˆ+ |j mi.
j≥0
−j ≤m≤j
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Physique quantique : TD no 2
Deux exemples de bases continues
1) Représentation |xi :
A une dimension, on peut définir une base continue |xi, telle que la composante sur
|x0 i d’un ket |ϕi de l’espace des états donne la valeur de la fonction d’onde ϕ au point
x0 :
hx0 |ϕi = ϕ(x0 )
Les kets de cette base vérifient les deux relations suivantes :
• orthogonalisation : hx |x0 i = δ(x − x0 )
R +∞
• fermeture : −∞ |xihx|dx = 1l
1.1) Calculer le produit scalaire hϕ |ψi en représentation |xi.
1.2) L’action de l’opérateur x̂ en représentation |xi s’écrit simplement :
x̂|xi = x|xi
?
Montrer que x̂ est hermitique, c’est-à-dire que hϕ |x̂ |ψi = hψ |x̂ |ϕi .
2) Représentation |pi :
A une dimension, on définit également une base continue |pi, telle que hp |ϕi = ϕ̄(p),
transformée de Fourier de ϕ(x). On a alors dans cette base :
• orthogonalisation : hp |p0 i = δ(p − p0 )
R +∞
• fermeture : −∞ |pihp|dp = 1l
2.1) Calculer le produit scalaire hϕ |ψi en représentation |pi.
2.2) Calculer les composantes du ket |pi sur la base |xi.
2.3) En représentation |pi, l’action de l’opérateur p̂ s’écrit p̂|pi = p|pi. Quelle est
l’expression de l’opérateur p̂ en représentation |xi ?
2.4) Montrer, en représentation |xi, que p̂ est hermitique.
Rappel de cours : Soit ϕ(x) = hx |ϕi une fonction de la variable x, sa transformée de
Fourier est une fonction de la variable p définie par :
Z +∞
1
ϕ̄(p) = hp |ϕi =
dx e−ipx/h̄ ϕ(x)
(2πh̄)1/2 −∞
La transformée de Fourier inverse est donnée par :
Z +∞
1
dp e+ipx/h̄ ϕ̄(p)
ϕ(x) = hx |ϕi =
(2πh̄)1/2 −∞
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Physique quantique : TD no 3
Oscillateur harmonique.
1) Opérateurs sans dimension :
b l’hamiltonien
Soient x̂ et p̂, les opérateurs position et impulsion à une dimension, et H
de l’oscillateur harmonique :
2
2
b = − h̄ d + 1 mω 2 x2
H
2m dx2
2
1.1) Montrer que l’on peut définir une longueur caractéristique b pour ce problème, et
b x̂ et p̂ en fonction de la variable sans dimension ξ = x/b.
écrire H,
1.2) Montrer alors que l’on peut définir deux opérateurs sans dimension
X̂ =
p
(mω/h̄) x̂
et P̂ =
p
(1/mωh̄) p̂
et calculer leur commutateur [X̂, P̂ ].
1.3) Ecrire l’hamiltonien sans dimension Ĥ associé à X̂ et P̂ .
2) Opérateurs création â+ et annihilation â :
2.1) Factoriser l’hamiltonien classique H = AA? puis utiliser le principe de
b Montrer que cela revient à définir deux
correspondance pour factoriser H.
+
opérateurs â et â :
â =
p
1/2 (X̂ + iP̂ ) et
â+ =
p
1/2 (X̂ − iP̂ )
dont on donnera l’expression en fonction de la variable sans dimension ξ.
2.2) Ces opérateurs sont-ils hermitiens ?
2.3) Calculer ââ+ et â+ â et en déduire le commutateur [â, â+ ].
3) Opérateur N̂
:
Définition :
N̂ = â+ â
3.1) Cet opérateur est-il hermitien ?
3.2) Calculer [N̂, â] et [N̂ , â+ ].
6
4) Etats propres de N̂
:
4.1) Soit |φα i un état propre de N̂ avec la valeur propre α : N̂ |φα i = α|φα i. Montrer
que α ≥ 0.
4.2) Montrer que â|φα i est vecteur propre de N̂ avec la valeur propre α − 1.
4.3) Montrer que â+ |φα i est vecteur propre de N̂ avec la valeur propre α + 1.
4.4) Montrer que α ∈ N.
4.5) Calculer â+ |φn i et â|φn i.
4.6) Soit |φ0 i l’état fondamental
propre zéro). Montrer que l’état de valeur
p de N̂ (valeur
+ n
propre n s’écrit : |φn i = 1/n! (â ) |φ0 i.
b?
4.7) Quels sont les niveaux d’énergie et les états stationnaires de H
5) Valeur moyenne et écart quadratique moyen :
b on définit les éléments de matrice d’un
Dans la base des états propres |φn i Dde H,
E
opérateur quelconque  par : Amn = φm  φn .
5.1) Déterminer les matrices [â+ ] et [â] associées aux opérateurs création et
annihilation.
5.2) On suppose que l’oscillateur harmonique est dans un état stationnaire |φn i.
Calculer les valeurs moyennes de X̂ et P̂ dans cet état ainsi que les écarts
quadratiques moyens qui leur sont associés.
5.3) En déduire la valeur moyenne de l’énergie potentielle et de l’énergie cinétique dans
cet état. Conclusion.
6) Evolution des valeurs moyennes dans le temps :
On considère un oscillateur harmonique représenté à l’instant t = 0 par une
combinaison linéaire d’états propres :
|ψ(0)i =
∞
X
cn |φn i
n=0
6.1) Donner l’expression de |ψ(t)i.
6.2) Calculer les valeurs moyennes de X̂ et P̂ dans l’état |ψ(t)i.
6.3) Montrer que pour un opérateur  ne dépendant pas explicitement du temps, on
a:
d < Â >
i
b Â] >
= < [H,
dt
h̄
où <  > désigne la valeur moyenne de  dans un état quelconque. Retrouver
alors les résultats de la question précédente.
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Licence Sciences de la Matière
Physique quantique : TD no 4
Moment cinétique
et harmoniques sphériques
On se propose d’établir les propriétés essentielles des opérateurs de moment cinétique
et de calculer les premiers harmoniques sphériques.
1) Moment cinétique généralisé
:
On considère l’opérateur moment cinétique J dont les composantes obéissent aux
relations de commutation usuelles :
[Jˆx , Jˆy ] = ih̄Jˆz
et permutations circulaires
et on définit les opérateurs suivants :
Jˆ± = Jˆx ± iJˆy
et
Jˆ2 = Jˆx2 + Jˆy2 + Jˆz2
1.1) Etablir les relations de commutation impliquant Jˆ2 et Jˆz .
1.2) On note |j mi les vecteurs propres communs à Jˆ2 et Jˆz et on pose (a priori sans
aucune restriction) :
Jˆ2 |j mi = h̄2 j(j + 1)|j mi j ≥ 0
Jˆz |j mi = mh̄|j mi
En exprimant la norme des vecteurs Jˆ− |j mi et Jˆ+ |j mi, montrer que m et j
obéissent à la relation : −j ≤ m ≤ j.
1.3) Montrer que Jˆ− |j mi et Jˆ+ |j mi sont vecteurs propres de Jˆ2 et Jˆz et en déduire
que 2j ∈ N.
2) Opérateur rotation et moment cinétique
:
b associé à une rotation infinitésimale d’angle δα autour
On définit l’opérateur R
δ~
α
d’un vecteur unitaire u par la relation :
b ψ(r) = ψ(r − δr)
R
δ~
α
où δr = δα · u ∧ r
b en représentation |ri en fonction du moment cinétique
2.1) Exprimer l’opérateur R
δ~
α
b .
L̂ = r̂ ∧ p̂. En déduire l’opérateur associé à une rotation finie : R
α
~
2.2) Exprimer les opérateurs L̂x , L̂y , L̂z en représentation cartésienne |x y zi.
8
α
δα
z
M
δr
θ
M'
u
r
r
y
δr = δα u×r
ϕ
x
m
2.3) L̂x apparaı̂t comme l’opérateur associé aux rotations autour de l’axe Ox. Une telle
rotation d’angle α est représentée en coordonnées cartésiennes par une matrice
[Rx ] :

1

[Rx ] = 0
0

0
0
cos α sin α 
− sin α cos α
En considérant l’effet d’une rotation infinitésimale d’angle δα autour de l’axe
Ox sur la fonction d’onde exprimée en coordonnées sphériques :
b ψ(r, ϑ, ϕ) = ψ(r, ϑ + δϑ, ϕ + δϕ),
R
δ~
α
exprimer l’opérateur L̂x en représentation |r ϑ ϕi. Calculer de même L̂y et L̂z .
2.4) Donner enfin les expressions des opérateurs L̂2 , L̂+ et L̂− en coordonnées
sphériques ainsi que celle du laplacien ∆.
3) Harmoniques sphériques :
On cherche les états propres |` mi de L̂2 et de L̂z en représentation |ϑ ϕi soit :
hϑ ϕ |` mi = Y`m (ϑ, ϕ)
3.1) Déterminer Y`` (ϑ, ϕ) en résolvant l’équation L̂+ |` `i = 0 et montrer que l’opérateur
L̂− permet de générer les autres états |` mi.
3.2) Application aux cas ` = 0 et ` = 1 : déterminer les harmoniques sphériques normés
Y00 (ϑ, ϕ), Y11 (ϑ, ϕ), Y10 (ϑ, ϕ) et Y1−1 (ϑ, ϕ).
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Licence Sciences de la Matière
Physique quantique : TD no 5
Maser à ammoniac
1) Etats stationnaires de la molécule d’ammoniac :
Dans la molécule d’ammoniac l’atome d’azote peut franchir par effet tunnel le triangle
équilatéral des trois atomes d’hydrogène, ce qui fait osciller le système entre deux états
orthogonaux d’énergie moyenne E0 , l’état |1i et l’état |2i (il s’agit bien d’une transition
par effet tunnel et pas simplement d’une rotation). L’amplitude de ce processus est
notée :
D E
b
− |A| = 1 H
2
L’atome d’azote est plus électronégatif que l’atome d’hydrogène, les centres de gravité
des charges positives et négatives dans la molécule ne sont donc pas confondus, ce qui
est à l’origine du moment dipolaire p.
1.1) Représenter l’allure de l’énergie potentielle susceptible de rendre compte à la fois
de la cohésion de la molécule et de l’existence des deux états |1i et |2i.
1.2) Déterminer les états stationnaires |Si et |ASi de la molécule ainsi que les énergies
ES et EAS qui leur correpondent.
2) Molécule d’ammoniac dans un champ statique E~ :
On applique un champ électrique statique et uniforme E~ dans la direction z du moment
dipolaire. On se propose de déterminer les nouveaux états stationnaires |+i et |−i
associés aux énergies E+ et E− .
2.1) Quelle est l’allure de l’énergie potentielle sous champ ? Discuter qualitativement
l’influence du champ électrique.
2.2) On se propose d’effectuer le calcul exact en introduisant un spin fictif rendant
compte de l’existence des deux états du système. Considérons pour cela le cas
d’un électron de spin s = 21 h̄σ̂ plongé dans un champ magnétique B pointant
dans une direction ∆ repérée par les angles ϑ et ϕ en coordonnées sphériques.
b = µ Bσ̂ où σ̂ = σ̂ u + σ̂ u + σ̂ u est
L’hamiltonien d’un tel système s’écrit H
B
x x
y y
z z
l’opérateur dont les composantes sont données par les matrices de Pauli.
Déterminer, en fonction de µB , B, ϑ et ϕ, les valeurs propres E+ et E− et les
b dans la base des états propres |+i et |−i
vecteurs propres |+i∆ et |−i∆ de H
z
z
de σ̂z .
Appliquer ensuite ces résultats à la molécule d’ammoniac sous champ.
2.3) Résumer les résultats précédents dans un diagramme d’énergie E± = f (E). Préciser
les états qui sont stabilisés par un champ faible, par un champ fort.
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2.4) Calculer la moyenne du moment dipolaire dans les états |1i et |2i, |Si et |ASi, |+i
et |−i.
3) Séparation des états |Si et |ASi :
On souhaite séparer les états |Si et |ASi d’un jet moléculaire monocinétique de vitesse
moyenne v̄ à l’aide d’un gradient de champ électrique (dispositif du type ”SternGerlach”). Expliquer le principe de fonctionnement d’un tel dispositif.
4) N H3 dans un champ électrique oscillant : MASER :
Après avoir été préparées dans l’état |ASi, les molécules du jet entrent dans une cavité
résonnante où le champ électrique, homogène, varie sinusoı̈dalement dans le temps :
E(t) = 2E0 cos ωt
Commenter les phénomènes physiques susceptibles de se produire dans la cavité.
Discuter la notion d’accord de cavité.
4.1) Soit |ψ(t)i l’état d’une molécule à l’instant t. En développant |ψ(t)i sur la base
{|1i, |2i}, écrire les équations d’évolution de c1 (t) = h1 |ψ(t)i et de c2 (t) =
h2 |ψ(t)i, puis celles de cS (t) = hS |ψ(t)i et cAS (t) = hAS |ψ(t)i.
4.2) Pour obtenir les coefficients cS (t) et cAS (t) on utilise le changement de variables
E0 − |A|
cS (t) = αS (t) exp −i
t
h̄
E0 + |A|
cAS (t) = αAS (t) exp −i
t
h̄
où αS (t) et αAS (t) varient lentement avec t. Ecrire les équations d’évolution de
ces coefficients.
4.3) Résolution à la résonance :
Lorsque la fréquence du champ électrique est accordée sur ω = ω0 = 2|A|/h̄,
déterminer la probabilité PS (t) (resp. PAS (t)) d’observer dans l’état |Si (resp.
|ASi) les molécules initialement préparées dans l’état |ASi. Quelle longueur
minimale doit-on donner à la cavité pour que les molécules d’ammoniac sortent
dans l’état |Si ? (Données : T = 300 K, p = 1 · 10−30 C.m, E0 = 0, 1 V.m−1 .)
4.4) Résolution au voisinage de la résonance :
Pour calculer la probabilité de transition PS (t) lorsque ω ' ω0 on effectue un calcul
au premier ordre en perturbation dépendant du temps. Cela consiste à introduire
un paramètre de perturbation λ 1 en fonction duquel les coefficients αS (t) et
αAS (t) peuvent être développés en série :
αS (t) =
∞
X
αS (t)λk
∞
X
αAS (t)λk
(k)
k=0
αAS (t) =
k=0
(k)
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La perturbation E elle-même étant ré-écrite λE de sorte qu’il suffit d’identifier dans
les équations d’évolution les coefficients des termes du même ordre en perturbation.
Un calcul limité au premier ordre ne concerne que les coefficients k = 0 et k = 1.
Calculer et représenter l’allure de la courbe de résonance PS (ω) et déterminer
la sélectivité ∆ω à la fréquence f = 24000 MHz et pour une durée t = 1 ms
passée dans la cavité. Représenter l’amplitude de transition PS (t) pour ω = ω0 et
ω − ω0 = 4000 rad.s−1 .
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Physique quantique : TD no 6
Atomes hydrogénoı̈des
1) Factorisation de l’équation radiale :
On considère un noyau A
Z X, de masse atomique A, de charge +Z|q|, et un électron de
charge −|q| et de masse négligeable devant celle du noyau, en interaction coulombienne
avec celui-ci.
1.1) Ecrire l’équation de Schrödinger, puis utiliser une fonction d’onde de la forme
hrϑϕ |n`mi = ψn`m (r, ϑ, ϕ) =
1
χ (r)Y`m (ϑ, ϕ)
r n`
où les Y`m (ϑ, ϕ) sont les harmoniques sphériques, états propres du moment
cinétique :
L̂2 Y`m (ϑ, ϕ) = h̄2 `(` + 1)Y`m (ϑ, ϕ)
afin d’obtenir pour la partie radiale une équation de Schrödinger unidimensionnelle
pour la fonction d’onde χn` (r).
On posera a0 = h̄2 /me2 , e2 = q 2 /4πε0 et on s’intéressera exclusivement aux états
liés En ≤ 0 en notant En = −h̄2 k 2 /2m où k est homogène à l’inverse d’une
longueur et s’écrit en toute généralité k = Z/na0 , n étant a priori un nombre réel.
1.2) On écrira par la suite l’équation radiale sous la forme
Ôn` |n`i = 0
où hr |n`i = χn` (r).
On introduit deux opérateurs différentiels du premier ordre :
b̂+
` =−
b̂` = +
`
Z
d
+ −
dr r `a0
d
`
Z
+ −
dr r `a0
h
i
+
,
b̂
Calculer b̂+
b̂
ainsi
que
le
commutateur
b̂
` et proposer deux factorisations
` `
`
distinctes pour l’opérateur Ôn` .
+
+
†
†
1.3) Calculer les opérateurs adjoints (b̂+
` ) et (b̂` ) et montrer que b̂`+1 b̂`+1 et b̂` b̂` sont
2
2
des opérateurs hermitiens dont on notera |αn` | et |βn` | les valeurs propres.
13
1.4) Supposons que χn` (r) soit une solution particulière du problème, c’est-à-dire
qu’elle satisfait à la relation Ôn` |n`i = 0. Montrer qu’alors b̂` |n`i et b̂+
`+1 |n`i
sont aussi solutions.
2
2
Calculer |αn` | et |βn` | et montrer que ce sont des quantités positives.
1.5) On constate que b̂` et b̂+
` apparaissent dans ce problème comme des opérateurs
échelle analogues à ceux de l’oscillateur harmonique, permettant de diminuer ou
d’augmenter d’une unité le moment angulaire de l’électron. En étudiant αn` et
βn` , montrer que n est alors un entier naturel strictement positif. En déduire les
niveaux d’énergie En d’un atome hydrogénoı̈de.
1.6) Représenter sur un schéma n = f (`) les niveaux de l’atome hydrogénoı̈de et l’action
des opérateurs échelle.
Préciser les dégénérescences des niveaux d’énergie.
1.7) Calculer χn n−1 (r). Exprimer les fonctions d’ondes normées pour les niveaux n = 1
et n = 2. On donne les premiers harmoniques sphériques :
Y00 (ϑ, ϕ)
=
Y1±1 (ϑ, ϕ)
Y10 (ϑ, ϕ)
r
1
4π
r
=∓
=
r
3
sin ϑe±iϕ
8π
3
cos ϑ
4π
ainsi que la relation de récurrence :
Z
Im = xm e−x/a dx = −axm e−x/a + amIm−1
1.8) Calculer r̄ = hn`m |r |n`mi pour les niveaux n = 1 et n = 2.
2) Atome muonique :
Le noyau ayant un rayon R = r0 A1/3 où r0 = 1.2 10−15 m, comparer les valeurs de
r̄ dans le cas d’un atome hydrogénoı̈de (état lié noyau-électron) et dans le cas d’un
atome muonique (état lié noyau-muon, le muon étant une particule de charge −|q| et
de masse mµ ' 207me ).
Conclusion.
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Licence Sciences de la Matière
Physique quantique : TD no 7
Oscillateur Harmonique Bidimensionnel
1) Oscillateur harmonique 2d en cartésiennes :
On considère une masse m reliée à l’origine par un ressort de raideur k constituant un
oscillateur harmonique isotrope plan de pulsation ω.
1.1) Exprimer l’énergie potentielle V (x, y) en coordonnées cartésiennes.
1.2) Ecrire l’équation de Schrödinger et la résoudre par séparation des variables. On introduira deux nombres quantiques p et q permettant d’exprimer la fonction d’onde
Ψp,q (x, y) ; les niveaux d’énergie EN seront caractérisés par un entier N .
Donner l’expression des niveaux d’énergie et des dégénérescences. Ecrire explicitement les trois premières fonctions d’onde.
1.3) Comment se transforme la fonction d’onde Ψp,q (x, y) par réflexion spatiale (x, y) →
(−x, −y) ?
2) Oscillateur harmonique 2d en polaires :
On se propose de traiter le problème précédent en coordonnées polaires (ρ, ϕ)
2.1) Ecrire l’équation de Schrödinger en coordonnées polaires et séparer les variables
en cherchant une solution sous la forme Ψ(ρ, ϕ) = R(ρ)Φ(ϕ).
2.2) Montrer que la partie angulaire est de la forme :
Φ(ϕ) = eimϕ
,
m∈Z
2.3) Réécrire l’équation radiale (en tenant compte de 2.2) en fonction d’une variable
sans dimension ρ̃ = ρ/b où b est une grandeur homogène à une longueur à définir.
2.4) On cherche les fonctions d’onde d’énergie E1 = 2h̄ω. En vous inspirant de la
question 1.2, indiquer le nombre de solutions que l’on s’attend à trouver et montrer
que la forme supposée pour la partie radiale R(ρ̃) est
1
2
R(ρ̃) ∼ ρ̃e− 2 ρ̃
2.5) En utilisant la forme ci-dessus dans l’équation radiale, déterminer les valeurs
permises pour m au niveau N = 1.
2.6) Donner l’expression complète des solutions ΨN,m (ρ, ϕ) au niveau N = 1 et montrer
qu’elles sont combinaisons linéaires des solutions en cartésiennes au même niveau.
2.7) Pour un niveau N quelconque, en utilisant les propriétés de Ψ par réflexion spatiale
établies en 1.3, montrer que m et N sont de même parité.
15
2.8) On notera ` la valeur maximale de |m| au niveau N et on admettra que la fonction
radiale correspondante est de la forme :
1
2
RN,` (ρ̃) ∼ ρ̃N e− 2 ρ̃
En déduire la valeur de `.
2.9) Indiquer dans un tableau les valeurs de E, p, q, N et m pour les quatre premières
valeurs de l’énergie, en mettant en évidence la compatibilité des dégénérescences
en coordonnées cartésiennes et polaires.
3) Atome d’hydrogène et transformation de Schwinger :
3.1) Ecrire l’équation radiale pour l’atome d’hydrogène avec une fonction d’onde de la
forme :
H
ψnH `H mH (r, θ, ϕ) = RnH `H (r)Y`m
(θ, ϕ)
H
On notera EH , `H et mH l’énergie et les nombres quantiques relatifs à l’atome
d’hydrogène.
2
3.2) Effectuer les changements de variable et de fonction r = ρ2 et RnH `H = ρ1 F (ρ)
et montrer que F (ρ) est solution d’une équation d’oscillateur harmonique à deux
dimensions dont on notera mOH le nombre quantique orbital.
3.3) En déduire par identification les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. On
montrera pour cela que mOH doit être impair pour que la correspondance soit
possible.
3.4) Construire explicitement la fonction d’onde de l’atome d’hydrogène dans son état
fondamental.
3.5) Résumer par un tableau indiquant les valeurs de N , `OH , mOH , EOH , EH , nH ,
`H , mH , les correspondances entre oscillateur harmonique bidimensionnel et atome
d’hydrogène.
Annexes :
• On rappelle que le pième état excité de l’oscillateur harmonique unidimensionnel de
pulsation ω a pour énergie εp = (p + 1/2)h̄ω, (p est un entier), et qu’il est représenté par
la fonction d’onde :
x
x2
2 −1/4 p
−1/2
ψp (x) = (πb )
(2 p!)
exp − 2 Hp
2b
b
Les premiers polynômes d’Hermite sont donnés par :
H0 (z) = 1, H1 (z) = 2z, H2 (z) = 4z 2 − 2 . . .
• Le laplacien en coordonnées polaires s’écrit :
1 ∂
∆=
ρ ∂ρ
∂
1 ∂2
ρ · + 2
·
∂ρ
ρ ∂ϕ2
16
Licence Sciences de la Matière
Physique quantique : TD no 8
Particule chargée sans spin
dans un champ magnétique.
1) Mécanique classique :
On considère une particule chargée de masse m et de charge électrique q placée dans
une région de l’espace où règnent un champ magnétique B et un champ électrique E :
B = rot A
,
E = −grad φ −
∂A
∂t
où A et φ sont les potentiels dont dérivent les champs.
1.1) Chercher une fonction U (r, v, t) telle que les équations de Lagrange, appliquées au
lagrangien
L(r, v, t) =
1
mv 2 − U (r, v, t)
2
conduisent à l’expression de la force de Lorentz F = q(E + v ∧ B).
1.2) Déterminer ensuite l’hamiltonien H de la particule sous champ. (On définit la
quantité de mouvement ~π = mv et l’impulsion p = ~π + qA).
1.3) Utiliser le principe de correspondance pour exprimer l’hamiltonien dans le cas
quantique.
2) Particule chargée dans un champ uniforme et constant :
La particule considérée est soumise à la seule action d’un champ magnétique uniforme
et constant B(0, 0, B).
2.1) Déterminer un potentiel vecteur de la forme A(A, 0, 0).
b et montrer qu’il commute avec pb et pb .
2.2) Exprimer l’hamiltonien H
x
z
2.3) Ecrire les fonctions d’onde sous la forme
i
(p x + pz z) χ(y)
ψ(x, y, z) = exp
h̄ x
et en déduire l’équation vérifiée par χ(y). Montrer que c’est celle d’un oscillateur
harmonique et en déterminer la pulsation ω.
2.4) En déduire :
• les énergies En (pz ) des états quantiques accessibles à la particule,
17
• la forme des fonctions d’onde correspondantes,
• la dégénérescence g(pz , n) des niveaux d’énergie si la région accessible à la
particule a pour dimensions L1 , L2 , L3 . On suppose pour cela que la particule est
confinée dans une boı̂te de dimensions L1 L2 L3 avec conditions de bords périodiques
(Born et von Karman) dans les directions Ox et Oz, ce qui quantifie les valeurs propres
des composantes pbx et pbz de l’impulsion. En ce qui concerne la dernière direction, pour
que la fonction d’onde reste localisée dans la boı̂te, on doit imposer une condition
supplémentaire qui se traduit par une contrainte sur la valeur de px et qui détermine
ainsi la dégénérescence cherchée.
2.5) Quelle est la trajectoire des particules en mécanique classique ? Déterminer les
valeurs Rn des rayons classiques de la trajectoire pour les différents niveaux
d’énergie (orbites de Landau).
2.6) Quelle est la valeur de R0 pour B = 1 Tesla ?
3) Diamagnétisme orbital d’un gaz d’électrons libres :
On considère N électrons sans interaction enfermés dans une boı̂te cubique de volume
V à la température T et soumis à un champ magnétique B = B0 uz . En négligeant le
terme de spin l’hamiltonien s’écrit :
b=
H
N
X
1
2
{pi + |q|A(ri )}
2m
i=1
Les niveaux d’énergie sont hautement dégénérés (cf P2).
3.1) Calculer la fonction de partition ”orbitale” d’un électron :
zorb =
X
g(pz , n)e−En (pz )/kB T
n,pz
On introduira le magnéton de Bohr µB = |q|h̄/2m.
3.2) On suppose que le gaz est suffisamment dilué pour que l’approximation de MaxwellBoltzmann soit valide. (C’est le cas des électrons de conduction dans un semiconducteur, mais cela exclut le cas des métaux.) En déduire la fonction de partition
des N électrons supposés indépendants Zorb .
3.3) Calculer l’aimantation sous champ (on note L(x) = coth x − x1 la fonction de
Langevin) puis en déduire la susceptibilité diamagnétique χd .