Travaux Dirigés de Statistique Descriptive et Probabilités 1

Ecole Nationale Supérieure de Mécanique et des Microtechniques
Service de Mathématiques
1ère Année 2006-2007
Travaux Dirigés de Statistique Descriptive et Probabilités
1Statistique descriptive
Variable discrète
Exo 1.1: On propose à une population de 115 étudiants une liste de 20 questions. Le caractère étudié
est le nombre de réponses exactes. Le dépouillement des résultats a donné la série statistique suivante,
dans laquelle nireprésente le nombre d’étudiants ayant donné xiréponses exactes.
xi4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
ni2 0 3 5 7 11 14 18 16 15 10 7 3 1 2 1
1) (a) Représenter graphiquement cette série statistique.
(b) Dresser le tableau des effectifs cumulés croissants et construire la représentation graphique
de la fonction de répartition.
(c) Combien y-a-t-il d’étudiants ayant répondu correctement à au plus 10 questions? A au plus
15 questions?
2) (a) Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série statistique.
(b) Calculer le pourcentage d’étudiants dont le nombre de réponses correctes se situe dans un
intervalle centré sur la moyenne et d’amplitude : deux écarts-type; même question pour
quatre écarts-type.
Variable continue
Exo 1.2: Une entreprise analyse l’ancienneté de son personnel. Le résultat est représenté par l’histo-
gramme suivant, 5 personnes ont une ancienneté comprise entre 0et 5ans ...
-
5
25
0 5 10 15 25 35 40 ans

ENSMM (1ère année) TD Proba & Stat. 2006/2007
1) Remplir les barres vides.
2) Calculer la moyenne, le mode et la médiane de cette série.
3) Que signifie concrètement chacune des trois valeurs trouvées dans la question précédente?
4) Calculer l’écart-type de cette série.
Une étude effectuée dans une autre entreprise de même secteur d’activité a montré que l’ancienneté
moyenne du personnel était de 24,5ans et l’écart-type de 5,13 ans. Que peut-on conclure de la com-
paraison de ces chiffres entre les deux entreprises?
Séries statistiques doubles et ajustement affine
Exo 1.3: Sur une période déterminée, la direction commerciale d’une société de construction auto-
mobile a étudié, en fonction des informations fournies par n= 55 succursales et agences, l’influence
du montant xdes ventes de voitures automobile d’une marque concurrentielle (en dizaine de milliers
d’euros) sur celui zdes ventes de voitures de sa marque (en dizaines de milliers d’euros).
On signale que
x= 200; z= 240; X
i
(xi−x)2= 90; X
i
(zi−z)2= 128 et X
i
(zi−z)(xi−x) = −72.
1) Calculer le coefficient de corrélation linéaire rzx.
2) Peut-on envisager l’existence d’une liaison linéaire entre xet z?
3) Etablir l’équation de la droite z0=b+ax par la méthode des moindres carrés.
Exo 1.4: Le tableau suivant indique pour chacune des dix dernières années le chiffre d’affaires x(en
millions d’euros) réalisé par une entreprise et la somme y(en millions d’euros) consacrée aux dépenses
de publicité.
Année i12345678910
xi16 18 23 24 28 29 26 31 32 34
yi2 2,4 2,8 2,9 3,2 3,3 3,4 3,6 4,1 4,2
Tous les résultats seront arrondis au millième le plus proche.
1) Tracer, dans un repère orthogonal, le nuage de points associé à cette série statistique.
2) (a) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de
Yen X.
(b) Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de
Xen Y.
(c) Tracer, dans le même repère, que celui de la question 1), ces deux droites de régression.
3) Calculer le coefficient rde corrélation linéaire entre Xet Y.
4) Pour décider si la corrélation est significative, on utilise le nombre A= 1 −√1−r2,appelé
coefficient d’amélioration, avec la règle suivante :
•si A < 0,5, la corrélation entre Xet Yest faible;
•si A≥0,5, la corrélation existe entre Xet Y.
Que concluez-vous dans le cas présent? En utilisant la question 2), estimer le chiffre d’affaires
que l’entreprise doit réaliser l’année suivante si elle compte dépenser 4,6millions d’euros pour la
publicité.
2GSN & MS

ENSMM (1ère année) TD Proba & Stat. 2006/2007
Exo 1.5: En chimie on relève à l’instant tpositif les quantités xde substance Adans un milieu M,
pour six valeurs de ton obtient les résultats suivants :
t0 2 4 8 10 15
x5,99 4,32 3,64 3,10 3,06 3,01
Toutes les valeurs numériques seront arrondies au centième le plus proche.
1) Le plan est rapporté à un repère orthogonal. On pose u= ln(x−3). Représenter le nuage des
six points de coordonnées (t,u).
2) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre tet u. En adoptant la même règle de décision
qu’à l’exercice 1.4, que concluez-vous?
3) Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de uen
t; en déduire l’expression correspondante de xen fonction de t.
2 Probabilités
Probabilités élémentaires
Exo 2.1: 1) Un circuit électronique particulier est formé de dix éléments identiques installés en
série. Chaque élément a une probabilité égale à 0,02 de tomber en panne avant les 1000 premières
heures de fonctionnement. Quelle est la probabilité p1que le circuit tombe en panne pendant les
1000 premières heures?
2) Un autre circuit est composé de ncellules (n≥1) formées de deux éléments identiques aux
précédents et montés en parallèle (si bien que le circuit fonctionne dès qu’un élément de chaque
cellule fonctionne).
(a) Quelle est la probabilité p2qu’une cellule tombe en panne pendant les 1000 premières heures?
(b) Quelle est la probabilité p3que le circuit tombe en panne pendant les 1000 premières heures?
(c) A partir de quelle valeur de l’entier nle second circuit serait moins fiable que le premier?
Exo 2.2: Il y a trois machines dans un atelier. En une journée, la première tombe en panne avec la
probabilité 0,05, la seconde avec une probabilité 0,10 et la troisième avec la probabilité 0,15.
Quelle est la probabilité d’avoir au cours de cette période :
1) Une machine en panne et une seule,
2) Deux machines en panne et deux seulement,
3) Aucune défaillance?
Exo 2.3: On fait une enquête sur la voie publique pour connaître les réactions des hommes et des
femmes à la vente éventuelle d’une sauce toute préparée. L’enquête porte sur 250 personnes, 50 hommes
et 200 femmes. 30 hommes et 60 femmes sont favorables. On ré-interroge une des 250 personnes :
1) Calculer la probabilité que ce soit un homme favorable à la vente.
2) Les événements "être un homme" et "être éventuel acheteur" sont-ils indépendants?
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Probabilités conditionnelles - Formule de Bayes
Exo 2.4: 1) Soient Aet Bdeux événements dans le même univers de référence. Montrer la formule
suivante, dite formule de Bayes :
PA(B) = PB(A)P(B)
PB(A)P(B) + PB(A)P(B).
2) Un conducteur sobre a une chance sur 1000 d’avoir un accident de voiture au cours d’une période;
une conducteur ivre a une chance sur 50 d’avoir un accident au cours de la même période. On
admet qu’un conducteur sur 100 conduit en état d’ivresse.
(a) Quelle est la probabilité pour qu’il y ait un accident et que le conducteur soit ivre?
(b) Supposons qu’il se produit un accident. Quelle est la probabilité pour que le conducteur soit
ivre?
Exo 2.5: D’après le nombre de vaccins distribués cette année contre la grippe, on peut estimer que
23% de la population a été vaccinée. Parmi les gens venus se faire soigner à propos de cette grippe, on
a pu établir une enquête révélant qu’il y avait 20% de vaccinés. On ne connaît pas la proportion des
malades dans la population, mais on sait que parmi les personnes qui n’ont pas été vaccinées, il y a eu
47% de grippés. Quelle a été la proportion de grippés parmi les vaccinés?
Variables aléatoires (VA)discrètes et lois de probabilité
Exo 2.6: Soit Xune V.A. discrète finie munie d’une loi (xk,pk). Soit E(X)son espérance mathéma-
tique et V(X)sa variance. Montrer que :
1) Eest une forme linéaire;
2) V(aX +α) = a2V(X).
Soit Fla fonction de répartition de X.
3) Montrer que l’on P(a < X ≤b) = F(b)−F(a)
4) Calculer P(a≤X≤b)
Exo 2.7: Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Soit l’expérience consistant au jet d’un dé et Xla
variable aléatoire égale au numéro lu sur la face supérieure.
1) Trouver, en utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, un majorant de la probabilité de l’évé-
nement suivant : "l’écart absolu entre la variable aléatoire et son espérance mathématique est
strictement supérieur à 2".
2) Calculer exactement la probabilité de l’événement précédent. Commenter le résultat.
Exo 2.8: On considère deux avions, un biréacteur Bet un quadriréacteur Q. On suppose que tous
les réacteurs de ces avions ont la même probabilité p, de tomber en panne et qu’ils sont indépendant
les uns des autres. Appelons Xet Yles variables aléatoires suivantes :
X:"le nombre de réacteurs de B, tombant en panne"
Y:"le nombre de réacteurs de Q, tombant en panne"
1) Etablir les lois de probabilité de Xet Y.
4GSN & MS

ENSMM (1ère année) TD Proba & Stat. 2006/2007
2) On estime qu’un avion ne peut achever son vol que si la moitié au moins de ses réacteurs fonc-
tionnent normalement. Soient PBet PQles probabilités d’un vol réussi respectivement par Bet
par Q. Calculer PBet PQen fonction de p. Indiquer selon les valeur de p, celui des deux avions
Bou Qqui offre la meilleure sécurité.
Exo 2.9: 1) Montrer que si Xsuit une loi binomiale B(n,p), alors E(X) = np et V(X) = np(1−p).
2) Montrer que dans le cas d’une loi de Poisson P(λ),on a E(X) = V(X) = λ.
3) Soient Xet Ydeux VA indépendantes telles que X∈ P(λ1)et Y∈ P(λ2). Montrer que la VA
X+Y∈ P(λ1+λ2).
Exo 2.10: Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson. Il a été constaté statistiquement
que, sur une chaîne de montage donnée, sur 1000 appareils qui sortent, 5 sont défectueux.
1) En assimilant la fréquence à la probabilité, montrer que la VA donnant le nombre d’appareils
défectueux, lorsqu’on prélève successivement 80 appareils dans la chaîne de montage, suit une loi
binomiale que l’on précisera.
2) Justifier l’approximation de cette loi par une loi de Poisson que l’on déterminera. Utiliser cette
loi de Poisson pour calculer la probabilité des événements suivants :
(a) aucun appareil n’est défectueux;
(b) deux appareils sont défectueux;
(c) plus de deux appareils sont défectueux;
(d) moins de cinq appareils sont défectueux.
Variables aléatoires continues et loi normale
Exo 2.11: Un arrêt de bus est desservi tous les quarts d’heures exacts (i.e. à 8h, 8h15, 8h30 etc).
Un usager arrive à l’arrêt à un instant aléatoire uniformément réparti sur 8h-8h30. On modélise son
instant d’arrivée par Xla variable aléatoire égale au nombre de minutes écoulées depuis 8h au moment
de l’arrivée de l’usager à l’arrêt de bus.
1) Avec quelle probabilité l’usager attend-t-il le bus moins de 5 minutes?
Un autre usager arrive à l’arrêt Yminutes après 8h, avec Yune variable aléatoire de densité
g(y) = ½a(30 −y)2si y∈[0,30]
0sinon.
2) Déterminer aet représenter ggraphiquement.
3) Quelle est la probabilité que l’usager attende le bus moins de 5 minutes? plus de 10 minutes?
Exo 2.12: Loi exponentielle. Soit la fonction définie par
f(x) = ½ae−xsi x≥0
0sinon
où aest une constante réelle.
1) Déterminer apour que fsoit la densité de probabilité d’une VA continue X.
2) Tracer le graphe de la fonction de répartition Fde la VA X.
3) Calculer P(1 < X ≤2) et P(X≥0).
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