PUBLICATION de l`URA 1378 ANALYSE et MOD ELES

CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
de ROUEN UNIVERSITE
du HAVRE INSA de ROUEN
UNIVERSITE
PUBLICATION de l'URA 1378
ANALYSE et MODE LES STOCHASTIQUES
'
&
QUELQUES REMARQUES SUR
LES FACTEURS DES SYSTE MES DYNAMIQUES GAUSSIENS
Anzelm IWANIK. Mariusz LEMAN CZYK,
Thierry DE LA RUE, Jose DE SAM LAZARO
Document 1996-10
Universite de Rouen UFR des sciences
Mathematiques, Site Colbert, URA 1378
F 76821 MONT SAINT AIGNAN Cedex
Tel: 35 14 71 00 Fax: 32 10 37 94
1
$
%
Quelques remarques sur les facteurs des systemes dynamiques
gaussiens
A. Iwanik, M. Lemanczyk, T. de la Rue, J. de Sam Lazaro
Resume
On etudie ici les facteurs des systemes dynamiques gaussiens engendres par des fonctions ne dependant que d'un nombre ni de coordonnees.
Comme application, on montre que pour un automorphisme gaussien a spectre simple,
la partition f( 0 0) ( 0 0)g est generatrice.
X
; X
>
Abstract
We study here the factors of Gaussian dynamical systems which are generated by
functions depending only on a nite number of coordinates.
As an application, we show that for Gaussian automorphisms with simple spectrum,
the partition f( 0 0) ( 0 0)g is generating.
X
; X
>
Introduction
On se place dans le cadre d'un systeme dynamique (
; A ; ; T ), que l'on suppose gaussien :
il existe un processus gaussien reel centre (Xp)p2Zqui engendre A , avec Xp = X0 T p pour
tout entier p. La loi d'un tel processus, et donc toutes les proprietes du systeme dynamique
qu'il engendre, est entierement determinee par la donnee de ses covariances, qui s'ecrivent
hXp ; Xq iL2 () = E [XpXq] =
Z
[?;]
ei(p?q)t d(t);
(1)
ou est une mesure nie symetrique sur [?; ], appelee mesure spectrale du systeme. Un
tel systeme est construit canoniquement en prenant = RZ
, Xp etant la projection sur la pe
coordonnee, T le decalage des coordonnees et la probabilite sur RZ
qui donne au processus
(Xp ) la loi voulue. On pourra toujours supposer dans la suite que le modele utilise est celui-ci.
On suppose aussi le systeme ergodique, ce qui equivaut a
8t 2 [?; ]; (ftg) = 0:
Pour une presentation detaillee de ces systemes, on peut par exemple consulter [1].
On s'interesse ici aux facteurs d'un tel systeme, c'est-a-dire aux sous-tribus F de A qui
sont T -invariantes. Rappelons que chaque facteur F de T denit un systeme dynamique
note TF sur l'espace F , obtenu a partir de en identiant les points ! et ! 0 tels que
8F 2 F ; 11F (!) = 11F (!0).
Les deux premiers auteurs tiennent a remercier le laboratoire \Analyse et modeles stochastiques" de l'universite de Rouen, pour l'accueil chaleureux qu'ils ont recu de mars a mai
1996, periode durant laquelle ce travail fut realise.
1
1 Facteurs classiques d'un systeme gaussien
On note H le sous-espace gaussien reel ferme de L2 () engendre par le processus (Xp), et
2
Lsym([?; ]; ) le sous-espace reel de L2() forme des fonctions ' telles que 8t; '(?t) = '(t).
On construit classiquement a partir de (1) une isometrie entre H et L2sym([?; ]; ), qui fait
correspondre Xp a eip pour tout entier p. En general, si X 2 H correspond par cette isometrie
a ' 2 L2sym([?; ]; ), on note
X ! ':
On voit facilement qu'alors, pour tout p 2 Z,
X T p ! 'eip:
Si G est un sous-espace ferme de H qui correspond par cette isometrie au sous-espace V de
L2sym([?; ]; ), on note aussi
G ! V:
1.1 Facteurs gaussiens
Pour tout A [?; ] mesurable et symetrique, on note
n
.
o
L2sym(A; ) d=ef ' 2 L2sym([?; ]; ) 'j([?;]nA) = 0 ;
on denit alors le sous-espace ferme HA de H par
HA ! L2sym(A; ):
Comme L2sym(A; ) est stable par la multiplication par ei , HA est stable par UT : X 7! X T .
La sous-tribu FA engendree par HA est donc T -invariante: c'est un facteur de T . L'espace
HA etant lineairement engendre par le processus gaussien Xp(A) p2Zdeni par
8p 2 Z; Xp(A) = X0(A) T p ! 11Aeip;
le facteur FA est engendre par ce processus. Le systeme dynamique TFA est donc aussi un
systeme gaussien, dont la mesure spectrale A est absolument continue par rapport a , de
densite
dA d=ef 11 :
A
d
Un tel facteur FA sera donc appele un facteur gaussien de T .
1.2 Facteurs compacts
On note C (T ) le groupe des automorphismes de (
; A ; ) qui commutent avec T , et on
s'interesse au sous-groupe S de C (T ) forme des S tels que H soit stable par US . Si S est
dans S , on a donc X0 S 2 H , et il existe donc ' 2 L2sym([?; ]; ) tel que
X0 S
! ':
Comme ST = TS , on a alors aussi pour tout p 2 Z,
Xp S ! eip';
2
puis pour tout X 2 H ,
=) X S ! ':
Comme US est une isometrie, la multiplication par ' doit ^etre une isometrie de L2sym([?; ]; ),
ce qui signie j'j = 1 -p.s.
On notera desormais M le groupe multiplicatif forme des ' 2 L2sym([?; ]; ) qui sont
de module constant egal a 1. Si ' 2 M , la multiplication par ' dans L2sym([?; ]; ) denit
sur H une isometrie U qui commute avec UT jH . Le processus gaussien (UXp )p2Za alors la
m^eme loi que (Xp )p2Z
, et engendre lineairement H , donc aussi la tribu A . Il existe alors un
unique S 2 S tel que UXp = Xp S pour tout p, donc tel que US jH = U .
On peut donc ainsi etablir un isomorphisme entre les groupes S et M , et on utilisera aussi
la notation S ! ' pour indiquer que S 2 S correspond par cet isomorphisme a ' 2 M .
Notons que, S etant muni de la topologie de la convergence faible des transformations (denie
par : Sn ?! S () 8A 2 A ; (Sn?1AS ?1 A) ?! 0), et M de la topologie de L2 ( ), ces
deux groupes sont ainsi topologiquement isomorphes, comme on peut le voir dans [4].
Si ? est un sous-groupe compact de S , la tribu
X
!
F? d=ef fA 2 A / 8S 2 ?; SA = A g
est T -invariante. C'est donc un facteur de T , appele facteur compact.
Un cas particulierement simple et important est celui ou ? = fId; ?Idg. Le facteur F?
est alors constitue des parties de symetriques par rapport a l'origine, et on l'appelle le
facteur pair. Ce facteur appara^t dans un travail de Newton et Parry ([7]), qui l'utilisent pour
construire l'un des premiers exemples de systeme dynamique d'entropie nulle a spectre de
Lebesgue denombrable.
Lemme 1 Supposons le facteur F? non trivial (c'est-a-dire contenant des parties de de
mesure strictement comprise entre 0 et 1), soit S 2 ? et ' 2 M tels que S ! '. Alors il
existe z0 2 C ; jz0 j = 1, tel que
(ft 2 [?; ] / '(t) = z0 g) > 0:
Preuve | Notons la mesure image de par '. Il est facile de voir que le type spectral
maximal de l'operateur US sur H est justement . En decomposant H en une somme de sousespaces orthogonaux et cycliques pour US , on voit que le systeme dynamique (
; A ; ; S )
est un produit direct de systemes dynamiques gaussiens, qui sont tous a mesure spectrale
absolument continue par rapport a . Supposons maintenant que pour tout z ,
(ft 2 [?; ] / '(t) = z g) = 0;
alors est continue, et donc chacun de ces systemes gaussiens est faiblement melangeant. On
en deduit que S est ergodique, et donc F? ne peut ^etre que le facteur trivial.
1.3 Facteurs classiques
On appelle facteur classique de T tout facteur compact d'un facteur gaussien de T . L'importance des facteurs classiques dans l'etude des facteurs des systemes gaussiens peut se
justier par le theoreme suivant, concernant certains systemes gaussiens etudies dans [2].
Theoreme 2 Si T est GAG (Gaussien a Autocouplages Gaussiens), alors les facteurs classiques de T sont les seuls facteurs de T .
3
Ce theoreme s'applique en particulier dans le cas ou T est un gaussien-Kronecker, et plus
generalement dans le cas ou T est un gaussien a spectre simple (voir [3]). Il est donc valable
m^eme pour certains systemes gaussiens melangeants, puisqu'il en existe a spectre simple (voir
[6]).
2 Facteur engendre par une variable ne dependant que d'un
nombre ni de coordonnees
2.1 Quelques resultats sur les lois gaussiennes multidimensionnelles
Rappelons qu'un vecteur gaussien Y = (Y1; : : :; Ym ) a valeurs dans Rm est dit non degenere si les variables aleatoires reelles Y1 ; : : :; Ym ne sont pas lineairement liees. Une propriete
classique des lois gaussiennes multidimensionnelles arme que Y est non degenere si et seulement si la loi Y de Y est equivalente a la mesure de Lebesgue sur Rm. On utilisera dans la
suite les deux lemmes qui suivent.
Lemme 3 La mesure spectrale du processus gaussien reel (Xp)p2Zetant diuse, pour tout
m 1 et tous p1 < p2 < < pm entiers, le vecteur gaussien (Xp1 ; : : :; Xpm ) est non degenere.
Preuve | Supposons qu'une combinaison lineaire des Xpi soit nulle. De 1Xp1 + +
m Xpm = 0, on deduit dans L2sym([?; ]; )
1 eip1 + + meipm = 0:
Comme est diuse, il existe donc une innite de reels dans [?; ] tels que
1 eip1 + + m eipm = 0;
d'ou l'on deduit
1 = = m = 0:
Lemme 4 Soit f une fonction mesurable bornee de Rm dans R, X et Y deux vecteurs gaus-
siens a valeurs dans Rm non degeneres et independants. Si Y est independant de f (X + Y ),
alors f est constante.
Preuve | Notons X et Y les lois respectives de X et Y sur Rm. Comme Y est non
degenere, Y est equivalente a la mesure de Lebesgue sur Rm, et on a par l'independance de
f (X + Y ) et Y , pour presque tout y 2 Rm,
Z
R
m
f (x + y) dX (x) = C d=ef E [f (X + Y )] :
Soit ' la densite de X par rapport a la mesure de Lebesgue sur Rm ; pour presque tout y on
a
Z
Z
C = m f (x + y) '(x) dx = m f (x) '(x ? y) dx:
(2)
R
R
4
Comme y 7!
y 2 Rm, d'ou
R
Rm f (x) '(x ? y) dx est clairement continue, (2) est en fait vraie pour tout
8y 2 Rm;
Z
Rm f (x) ? C '(x ? y) dx = 0:
Or, X etant une loi gaussienne sur Rm, la transformee de Fourier '^ de ' ne s'annule pas, et
cela implique que les translatees de ', c'est-a-dire les fonctions 'y : x 7! '(x ? y ); y 2 Rm,
engendrent L1 (Rm) (voir [5]). On en deduit aisement que f (x) = C pour presque tout x 2 Rm.
2.2 D'autres facteurs?
On xe maintenant une fonction f : Rm ?! R mesurable et bornee qui n'est pas presque
partout constante, des entiers p1 < < pm , et on denit une variable aleatoire reelle F par
F d=ef f (Xp1 ; : : :; Xpm ). On note FF le facteur engendre par F , c'est a dire la tribu engendree
par les variables F T p ; p 2 Z.
Proposition 5 Soit A symetrique dans [?; ] tel que FF FA . Alors A = [?; ].
Preuve | Dans H , on peut ecrire pour tout entier p
Xp = Xp(A) + Xp(Ac):
Les sous-espaces HA et HAc de H etant orthogonaux, les facteurs gaussiens FA et FAc
sont independants. Comme F est supposee FA -mesurable, la variable f (Xp1 ; : : :; Xpm ) est
independante du vecteur gaussien
Y d=ef (Xp(1Ac); : : :; Xp(Amc) ):
Par hypothese, F est non constante, donc A ne peut pas ^etre vide. D'apres le lemme 3, le
vecteur
X d=ef (Xp(A1 ); : : :; Xp(mA))
n'est pas degenere. Le lemme 4 montre alors que le vecteur Y doit ^etre degenere, d'ou Ac = ;.
Proposition 6 Soit ? un sous-groupe compact de S tel que FF soit contenu dans F? . Alors
{ Ou bien F? est le facteur pair, mais ceci n'est possible que si f est paire,
{ Ou bien ? = fIdg, i.e. F? = A .
Preuve | Soit S 2 ?, et ' 2 M tel que S ! '. Puisque F est F?-mesurable, on a
F S = F , c'est-a-dire
f (Xp1 ; : : :; Xpm ) = f (Xp1 S; : : :; Xpm S ):
Si le vecteur gaussien (Xp1 ; : : :; Xpm ; Xp1 S; : : :; Xpm S ) etait non degenere, cela contradirait
l'hypothese f non constante. On a donc une relation lineaire non triviale
1 Xp1 + + mXpm = 1Xp1 S + + m Xpm S;
5
qui s'ecrit dans L2sym([?; ]; )
1eip1 + + meipm = 1 eip1 + + meipm ':
(3)
Mais le facteur F? n'etant pas le facteur trivial, (car il rend mesurable la variable F non
constante), le lemme 1 prouve qu'il existe z0 2 C ; jz0 j = 1, tel que
(ft 2 [?; ] / '(t) = z0 g) > 0:
L'egalite (3) montre alors qu'il existe une innite de t 2 [?; ] tels que
1eip1 t + + meipmt = z0 1 eip1 t + + meipm t :
On en deduit : pour tout j 2 f1; : : :; mg, j = z0 j . Les j et les j etant reels et non tous
nuls, on a donc z0 = 1 ou z0 = ?1. Dans le premier cas, on a par (3) ' 1, d'ou S = Id, et
dans le second cas, ' ?1 d'ou S = ?Id.
On en conclut que F? est soit le facteur pair (si ? = fId; ?Idg), soit A tout entiere (si ?
ne contient que l'identite). Mais clairement, le premier cas n'est possible que si f est paire.
On deduit des deux propositions precedentes le resultat suivant.
Theoreme 7 Le facteur engendre par la variable aleatoire f (Xp1 ; : : :; Xpm ) non constante
est
{ ou bien A tout entiere,
{ ou bien le facteur pair (mais ce n'est possible que si f est paire),
{ ou bien un facteur non classique.
Notons ici que l'hypothese \F ne depend que d'un nombre ni de coordonnees" est capitale : si on autorise F a dependre de tout le processus (Xp)p2Z
, le facteur FF peut alors ^etre
n'importe quel facteur de T . En eet, pour tout facteur F de T il existe une partition
P de denombrable P = (Pn )n2Nqui engendre F (voir [8]). Il sut alors de prendre F = n2Nan 11Pn
ou les an sont deux a deux distincts.
Dans le cas ou T est GAG, les theoremes 2 et 7 donnent le corollaire suivant.
Corollaire 8 Si T est GAG, et si f n'est pas paire, la tribu engendree par les variables
f (Xp1 ; : : :; Xpm ) T p; p 2 Zest A tout entiere.
En particulier, si T est GAG, la partition f(X0 0); (X0 > 0)g est generatrice, et il en est
de m^eme de toute partition de obtenue a partir d'une partition de R en ensembles non tous
symetriques par rapport a l'origine. Bien s^ur, dans le cas ou est absolument continue par
rapport a la mesure de Lebesgue, ce n'est plus vrai car alors T est d'entropie innie (voir [9]),
et le facteur engendre par une partition nie n'a qu'une entropie nie. Mais peut-on trouver
un gaussien d'entropie nulle pour lequel une telle partition n'est pas generatrice?
Le theoreme 7 permet aussi de voir que certains systemes gaussiens d'entropie nulle admettent des facteurs qui ne sont pas classiques. La mesure nie et symetrique sur [?; ] etant
donnee, notons + sa restriction a [0; ]. Soient +1 l'image de + sur [0; =2] par l'homothetie
6
t 7! t=2, et +2 d=ef +1 =2 sur [=2; ]. On denit 1 et 2 comme les mesures symetriques
sur [?; ] obtenue respectivement a partir de +1 et de +2 , puis d=ef ( 1 + 2)=2. Considerons maintenant un systeme dynamique gaussien (
; A ; ; T ), engendre par un processus
gaussien (Xp )p2Z
de mesure spectrale . Un calcul simple sur les covariances de ce processus
montre que les deux sous-processus (X2p)p2Zet (X2p+1)p2Zsont independants, chacun etant
de mesure spectrale . On peut alors denir une transformation S de preservant , par
X2p S d=ef X2p; X2p+1 S d=ef ?X2p+1 (p 2 Z):
(Ici, S ne commute pas avec T .) Il est clair que tout evenement dans le facteur FjX0 j , c'est-adire dans la tribu engendree par le processus (jXpj)p2Z
, est S -invariant. Mais alors, FjX0 j ne
peut pas ^etre le facteur pair, car celui-ci contient par exemple l'evenement (X0X1 > 0), qui
n'est pas S -invariant. Comme FjX0 j ne peut pas ^etre A tout entiere, on en deduit que FjX0 j
n'est pas un facteur classique.
7
References
[1] I.P. Cornfeld, S.W. Fomin, J.G. Sinai, Ergodic Theory , Springer-Verlag 1982.
[2] M. Lemanczyk, F. Parreau, J.-P. Thouvenot, On the disjointness problem for Gaussian
automorphisms, preprint.
[3] M. Lemanczyk, F. Parreau, Gaussian automorphisms whose self-joinings are Gaussian,
preprint
[4] M. Lemanczyk, J. de Sam Lazaro, Spectral analysis of certain compact factors for Gaussian dynamical systems, a para^tre dans Isr. J.Math. (1996)
[5] L.H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, Van Nostrand, Princeton
1953.
[6] D. Newton, On Gaussian processes with simple spectrum, Z. fur Wahr. verw. Geb. 5
(1966), 207-209.
[7] D. Newton, W. Parry, On a factor automorphism of a normal dynamical system, Ann.
Math. Stat. 37 (1966), 1528-1533.
[8] W. Parry, Generators in Ergodic Theory, Benjamin, New York 1969.
[9] T. de la Rue, Entropie d'un systeme dynamique gaussien : cas d'une action de Zd, C. R.
Acad. Sci. Paris, Serie 1, 317 (1993), 191-194.
[10] J. P. Thouvenot, Some properties and applications of joinings in ergodic theory, Ergodic
Th. and its Connections with Harmonic Anal., London Math. Soc. 1995, 207-235.
[11] J. P. Thouvenot, Utilisation des processus gaussiens en theorie ergodique, preprint
A. Iwanik, Instytut Matematyki,
Politechnika Wroclawska, 50-370 Wroclaw, Pologne
e-mail: [email protected]
M. Lemanczyk, Wydzial Matematyki i Informatyki,
Uniwersytet M. Kopernika, ul. Chopina 12/18, 87-100 Torun, Pologne
e-mail: [email protected]
T. de la Rue, Analyse et Modeles Stochastiques, URA CNRS 1378,
Universite de Rouen, 76821 Mont-Saint-Aignan Cedex, France
e-mail: [email protected]
J. de Sam Lazaro, Analyse et Modeles Stochastiques, URA CNRS 1378,
Universite de Rouen, 76821 Mont-Saint-Aignan Cedex, France
e-mail: [email protected]
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