Correction UE4 n°1 - Best-surf

QCM 1 : BCE
A. Faux. La variable «taille» prend pour valeur des nombres réels, c’est donc une variable
quantitative.
B. Vrai. Comme T suit une loi normale de moyenne µ=175 et d’écart type σ=10, alors on a
95% des valeurs dans l’intervalle [µ-2σ;µ+2σ]
C. Vrai. En soustrayant la moyenne, on «centre» la variable (sur zéro), en divisant cette
différence par l’écart type, on la «réduit» c’est à dire que l’écart type de E vaut 1.
D. Faux. On ne peux pas calculer directement cette probabilité. On transforme donc son
écriture
pour
se
ramener
à
la
variable
E
:
T − 175 190 − 175
P(T ≤ 190) = P(
≤
) = P(E ≤ 1, 5)
10
10
Comme E suit la loi normale centrée réduite, on peut utiliser la table de sa fonction de
répartition (table 1) pour lire la probabilité. A l’intersection de la ligne 1,5 et de la colonne
0,00, on lit 0,93. Donc P(T≤190)=P(E≤1,5)=0,93
E. Vrai. P(T ≥ 190) = 1 − P(T ≤ 190) = 1 − 0, 93 = 7%
QCM 2 : CDE
Je vous conseille pour ce type d’exercice d’écrire sur votre brouillon toutes les
caractéristiques de chaque équation. Et ceci, avant même de lire les items. C’est ce que
nous allons faire.
-(E1) : Ordre 1 =
Non linéaire =
Coefficients non constants = (
) et cos(x)
Avec second membre =
-(E2) : Ordre 1 =
Non linéaire =
Coefficient constant
Avec second membre =
-(E3) : Ordre 1 =
Linéaire
Coefficient non constant =
Sans second membre
Maintenant vous pouvez répondre aux items.
A. FAUX, (E1) est non linéaire :
B. FAUX, (E3) est sans second membre.
C. VRAI, ce sont les caractéristiques de cette équation différentielle.
D. VRAI, (E1) et (E3) possèdent des coefficients non constants.
E. VRAI, les 3 équations sont d’ordre 1. Attention de ne pas confondre y² et y(2).
QCM 3 : A
L’énoncé contient beaucoup de données que l’on peut traduire en probabilités pour y voir
plus clair.
Soit les événements
A «être un adulte»
−
A «être un enfant»
V «être vacciné»
M «être malade»
L’énoncé donne
−
P(V/ A )=1
P(V/A)=1/9
−
P( A )=1/4
−
P(A)= 1-P( A ) = 3/4
P(V/M)=2/15
Pour calculer P(V), on utilise la formule des probabilités totales : A et E forment un
système complet d’évènements d’où
−
−
1 1 3 1 1 1
P(V)= P(V/ A )xP( A ) + P(V/A)xP(A) = 1 × + × = +
=
4 9 4 4 12 3
Donc A est vraie.
QCM 4 : CE
Ensuite, on doit comparer P(M/V) et P(M). On a P(V/M), on utilise le théorème de Bayes :
2
P(M ∩ V ) P(V / M ) × P(M ) 15 × P(M ) 2
P(M / V ) =
=
=
= × P(M ) = 0, 4 × P(M )
1
P(V )
P(V )
5
3
P(M/V)<P(M) donc le vaccin est efficace.
QCM 5 : E
A. Faux. Un univers peut être discret et infini (ex du cours : nombre de lancers d’une
pièce avant d’obtenir face).
B. Faux. Des évènements incompatibles s’excluent mutuellement, donc la réalisation de
l’un a une influence sur la réalisation de l’autre, ils ne sont donc pas indépendants.
C. Faux. C’est la définition d’évènements incompatibles.
D. Faux. Cette condition est nécessaire mais pas suffisante (cf diapo 36 du CM3): n
évènements sont mutuellement indépendants si et seulement si :
∀J ⊂ {1,2,...,n} , P(A1 ∩ A2 ∩ ...∩ A j ∈J ) = P(A1 ) × P(A2 ) × ... × P(A j ∈J ) .
E. Vrai. Simple transposition à partir de la formule de l’union.
QCM 6 : AE
Pour résoudre ce type d’exercice, commencer par faire les totaux.
Examen 1
Malades
Non Malades
Résultats positifs
84
18
Résultats négatifs
36
162
Total
120
180
Sensibilité = P ( T+ | M ) = 84 / 120 = 0,7 = 70 %
Spécificité = P ( T- | NM) = 162 / 180 = 0,9 = 90 %
B, C, D fausses
-> A juste
La figure 1. présuppose l’existence d’un test de référence (gold standard) puisque c’est lui
qui permet de mettre en évidence les faux positifs (résultat positif alors que le patient
n’est pas malade) et les faux négatifs (résultat négatif alors que le patient est malade) du
test à évaluer. Il représente un test de référence, considéré comme possédant une
sensibilité et une spécificité de 100%, qui permet donc de classer avec certitude les
patients entre malades et non malades. C’est cependant un test qui ne peut pas être
utilisé à la place de l’examen testé, pour diverses raisons : acceptabilité moindre, coût
trop important, examen réalisable uniquement en post-mortem...
 E juste
QCM 7 : BD
Examen 1 :
RV+ =
=
=
=7
RV- =
=
=
=
-> A faux
≈ 0,33
Examen 2 :
RV+ =
=
=
≈ 4,8
RV- =
=
=
≈ 0,05
-> B vrai
-> C faux
Plus le RV+ est élevé, plus le test est capable d’affirmer la présence de la maladie lorsqu’il
est positif.
-> E faux
Plus le RV- est proche de 0, plus le test est capable d’éliminer la présence de la maladie
lorsqu’il est négatif
->
D vrai
QCM 8 : AD
La probabilité d’être malade sachant que l’examen est positif correspond à la valeur
prédictive positive (VPP) de cet examen.
La probabilité d’être non malade (ou sain) sachant que l’examen est négatif correspond à
la valeur prédictive négative (VPN) de cet examen.
A propos de l’examen 1 :
VPP =
VPN =
A.
B.
C.
D.
E.
=
=
=
=
=
=
Vrai
Faux, elle est de 9/16
Faux, elle est de 0,03/0,84
Vrai, elle est de 1 – VPN, soit 0,03/0,84
Pour répondre à cette question, il existe deux méthodes : soit on calcule la VPN de
l’examen 2 (long) et l’on obtient 0,994 soit on sait que plus le test est sensible,
meilleure est la VPN. Dans les deux cas, E est faux
QCM 9 : CD
Pour répondre à ce genre d’exercice, il faut construire un arbre de décision, et calculer les
utilités attendues de chaque stratégie.
A est la probabilité d’obtenir un test 3 positif sachant qu’on est malade, c’est donc la
sensibilité du test 3 (98%).
B est la probabilité d’obtenir un test 3 négatif sachant qu’on est malade, c’est donc 1
moins la sensibilité du test 3 (2%).
C est la probabilité d’obtenir un test 3 positif sachant qu’on n’est pas malade, c’est donc 1
moins la spécificité du test 3 (4%).
D est la probabilité d’obtenir un test 3 négatif sachant qu’on est malade, c’est donc la
spécificité du test 3 (96%).
E correspond à l’espérance de vie chez un homme de 60 ans traité pour un LED bien que
non atteint (22 ans)
Calcul des utilités attendues :
Bras traitement direct :
0,44 x 15 + 0,56 x 22 = 6,5 + 12,5 = 19 -> C vrai
Bras examen 2 et traitement en fonction des résultats :
0,44 x (0,98 x 15 + 0,02 x 0,5) + 0,56 x (0,04 x 22 + 0,96 x 26) = 0,44 x (14,99 + 0,01) +
0,56 x (1 + 25) ≈ 0,44 x 15 + 0,56 x 26 = 6,5 +14,5 = 21
L’utilité attendue du bras test 3 est meilleure.
A.
B.
C.
D.
Faux
Faux
Vrai
Vrai car l’utilité attendue du bras test 3 est supérieure à celle du bras traitement
direct
E. Faux, ça ne doit être qu’une aide « objective » à la décision
QCM 10 – AD
A. Vrai
B. Faux, la loi binomiale est une suite de répétitions d’épreuves de Bernoulli, la VA ne
suit pas la loi de Bernoulli qui ne marche que pour une épreuve (ici, observer la
couleur des yeux d’un Français tiré au hasard).
C. Faux, l’espérance n’étant pas égale à zéro
D. Vrai car n>30, np>5 et n(1-p)>5
E. Faux car p>0,1 et np>10
QCM 11 : B
X suit une loi binomiale B(100 ; 0,2) de paramètres N=100 (taille de l’échantillon) et p=0,2
(probabilité de l’événement), qui peut être approximée par une loi normale N(20,4) de
paramètres µx=N.p= 100 x 0,2 = 20 (espérance de X) et σx=
=
=
=4
 B vrai
QCM 12 : CD
Alors déjà, il faut savoir que : intervalle de pari = intervalle de fluctuation.
F= variable aléatoire modélisant la proportion de question réussies par l’étudiant.
Comme les Xi suivent une loi normale, F  N(p,
)
On a : p=0.6 , d’où q=0.4 et n=16
Donc :
=0.125
On cherche binf et bsup : P( binf ≤ F ≤ bsup ) = 0.95
Centrage et réduction : P(
= - zα/2 et
≤Z≤
)= 0.95
= + zα/2 avec α = 0,05. On lit la valeur de zα/2 dans la table 2 : zα/2
= 1,96 ≈ 2
On en déduit : binf = p - zα/2 ×
= 0.355 et bsup = p + zα/2 ×
= 0.845
Quand on donne un intervalle de fluctuation, on majore la borne supérieur et on minore la
borne inférieure,
D’où IF0.95 (p) = [ 0,35 ; 0,85 ] C VRAI
A et B : FAUX puisque attention il faut bien prendre zα/2 et non zα.
D: VRAI phrase du cours.
QCM 13 : D
Items A et B :
On cherche un intervalle de confiance au risque 5%.
X « le taux de triglycérides » suit une loi normale donc X  N( µ ; σ ).
σ est connu.
s
n
avec α=0.05 donc d’après la table zα/2=1,96=2, m=2,5 et σ=0,9
IC1-α (µ) = m +/- zα/2 ×
IC0,95 (µ) =2,5 +/- 2
= 2,5 +/- 2 × 0.03
= 2,5 +/- 0.06
Donc IC0,95 (µ) = [ 2,44 ; 2,56 ]
A : FAUX car attention dans la formule, on a
s
s
et non .
n
n
B : FAUX. C’est bien le bon encadrement mais dans l’item il est écrit « intervalle de
fluctuation » et non « intervalle de confiance ».
Items C, D et E :
Plus la taille de l’échantillon est grande (=plus le nombre de sujets est grand), plus
l’intervalle de confiance diminue en largeur  C faux & D juste
Le risque de première espèce est noté α. Le niveau de confiance est 1-α. Donc plus α est
grand, plus le niveau de confiance est petit.
Or plus le niveau de confiance est petit, plus l'ic est étroit (phrase du cours : plus le niveau
de confiance est grand, plus l'ic est large).
Donc plus le risque alpha est grand, plus l'ic est étroit.
E faux