Séminaire L. de Broglie. Théories physiques A. V ISCONTI Renormalisation et états de masses des particules Séminaire L. de Broglie. Théories physiques, tome 25 (1955-1956), exp. no 10, p. 1-12 <http://www.numdam.org/item?id=SLDB_1955-1956__25__A9_0> © Séminaire L. de Broglie. Théories physiques (Secrétariat mathématique, Paris), 1955-1956, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire L. de Broglie. Théories physiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Faculté de s Sciences de Paris 7 février ." e ~" o ,W ",. c o 0 THÉORIES PHYSIQUES BROGLIE) Année 1955/1~56 Séminaire de (Séminaire n° 10 Exposé Louis de 1956 ... _. ... _ 0 0 0 RENORMALISATION ET ETATS DE MASSES DES PARTICULES par A. VISCONTI. (H. 1956 p. problème un peut raisonnablement se poser pour toutes application, c’est le suivant : "Est-ce que que l’on théories quantiques ayant des l’opérateur de valeur propre On bien ou en a-t-il autre théorie aucune d’ailleurs, Lee, où celui de Nous allons diviser cet au cas 3.- Application au N~ - exposé problème mais en seule une l’électromagnétismodèle, assez grossier ni pour on a un à un 3 parties : seul état de plusieurs états de masse masse de l’électron. existent. (T.D LEE, Phys. Rev., 95, 1954, PAULI, Det. Kgl. Danske., Festkrift p. til Niels 1329 ; BOHR, 7). o à 1 seul état de masse de l’électron. Quantités non renorma1isées indiquées par ~ : y:~v 9 Quantités renormalisées : A , e , m Â9 ê, m a La renormalisation consiste 1) changement permet de son a-t-il sait le résoudre. on Electromagnétisme quantique - ce mésique~ modèle de Lee G. KALLEN and ûd. 1955, où impulsion-énergie) les plusieurs ? i’ Electromagnétisme quantique 20- Extension 1.- vecteur Pf P~ masse sait évidemment pas résoudre ne ni pour 1.- Phys., 1, 20) Il est me Nuclear and A. VISCONTI:s Renormalisation and en 3 changements d’échelles : d’échelle de la fonction d’ordre du fermion : passer de la fonction d’onde de l’électron "nu" à l’électron nuage de photons 0 avec 10-02 2) changement permet de passer du 3) changement gramme sommet Le électron masse diagramme a photon avec son nuage de paires d’électrons. corrigé : Z~ Comment nu au non renormalisé est invariant de jauge : Ã être de même pour celui renormalisé : en Enfin, photon d’échelle intéressant la charge par l’intermédiaire du dia- lagrangien et il doit m : d’échelle de la fonction d’onde du photon ;r se et représentant Z~ présente probabilités, il faut que : la renormalisation de masse ? Le pour forme dans mécanique, de l’espace W(- iB’p) propagateur d’un des moments :t noyau opérateur de masse représente par le m’ soit ou la- -i changeant le facteur On masse expérimentale :s Z Yp en provient x :1 du sommet gauche non renormalisé, 03A3 a : donc masse Le expérimentale m’ l’équation : racine de propagateur s’écrit: Déterminons G (p) 10 et 8b ne Z~ de telle sorte que1 contient plus d’infini et s’écrit a donnent 2. - Etude d’ une théorie à On considère une plusieurs é tats de masse. théorie à plusieurs états de masse où ? c quantité finie. vecteur P de deux un: impulsion-énergie, spectres :t un le spectre est de supposé être la réunion discret :t spectre continu. Le propagateur correspond à dans l’espace des impulsions x(x la fonction du nombre -~-’~ - i 1 Les racines des même temps valeurs propres appartenant au spectre discret de définissent les états de masse de ?.a théorie, Nous supposons que m1 . , . qui sont en 0 sont ces a(x) ne racines et s’annule par Posant d’autre on a qu’elles aucun parts finalement :1 sont toutes des mj o simpleso Une identification du produit Pz m~ Revenant à l’espace x , il vient : Quel que soit le contour d’intégration, nous dévoua le compléter par ; l’infini, par des coupures de façon à ce que le premier facteur soit holomorphe et enfin par des circonférences autour des points + m j 1 ~0 . Ces dernières intéavec ± suivant que Xo p 0 grations peuvent se faire suivant l’axe réel si on y ajoute le facteur + mj) à chacune de ces intégrales. le demi-cercle de = = o o On le a alors chemin C clus clans la La s représentant la réunion première intégrale. première intégrale . de de tous les chemins ~~ 9 compte tenue de ~ + qui ne sont pas in- Nous allons écrire la contribution du dérant le pour système Xo - 0 pôle mj de vecteurs propres : p on a puisque l’équation d’onde sous une de 1 i [P., ~BKx)] que nous écrirons D’après (25) pour xo - x~ ~ , sous de B~/(x) : 2014~ ~ = impulsions telles que1 la formet la contribution du cette en consi- par définition ~ ~ ’ ’ La contribution des autre forme pôle mj expression s’écrit : est : a pour solution par suite :1 Or il est facile de voir que 1) doit être ~(mj) ~>0 ~ imaginaire pur, si par suite : a(x) iJ + a(x) , la formule de Hilbert donne 2) bj d’après (10) change de signe chaque fois que j par suite a(x) doit changer de signe chaque fois que x valeurs ml p m2 Il doit donc avoir des zéros .00 ou varie d’une passe pour des unité ; une des singularités Mais si sont les seules chaque intervalle m~ ~ m2 ; m~ , m2 ’ racines du propagateur pour x ~ C , il s’ensuit que a(x) doit avoir des singularités dans ces domaines. Si de plus a(x) est holomorphe dans ce domaine, dans il y ... a la une o.. contradiction évidentet l’hamiltonien par suite la matrice (34) :é S cesse cesse d’être hermitien et d’être unitaire. En effet, prenons la trace de . - et par suite : avec un un bj facteur de proportionalité positif. Chaque négatif BL-’ n’est pas le conjugué de "U/ fois donc qu’on rencontre pas de sommations il vient : ~ m~’ J~ 9 Calculons : Remarque : sur P(j) . e on a : Multiplions à droite et gauche . expression positive puisque produit de matrices adjointes. produits et prenant les traces 9 il vients 3.-Modèle Effectuons les de Lee o 3 types de particules le respectivement premier terne de les s Bp~ ~ W1 particules 6 :: correspond à : le deuxième à : la seule réaction possible est Le calcul des corrections G" ;.,) se font commodèment Les équations d’ondes les propagateurs mv ’ mN ’ ~.t non sont les donc la transmutation de V radiatives en les par en N propagateurs schéma d’interaction. sont ~ corrigés peuvent s’écrire masses expérimentales. en représentation p : V par1 G ~, et vent se n’ont pas de corrections radiatives, ni car N ni e ne peu- désintégrer. La correction radiative à apporter au est donne par propagateur l’itération du diagramme. Le noyau de les propagateurs comme on On l’opérateur GN l’a dit N et de masse au diagramme :1 corrigés, d’autre peuvent rien émettre. sont Gp et 0 correspond ne part F = ~ puisque a : dont le transformé de Fourier est1 est infini. Considérons le propagateur Nous que désignons en vertu de maintenant par (8a) : m.,, Gv(po) la en masse schéma de Heisenberg : mécanique = m*. - bmj de sorte c~ Cherchons la condition G.. (m")== 0 Remplaçons et nous infini, en 40, le nombre 1 tire de rencontrons la nous aurons Zn s’exprime définisse une deuxième masse m" : :. (41), première intégrale il vient :1 finie, Mais g~ d’après (41) est besoin donc d’une deuxième renormalisation celle de la couplageô Introduisons et (p..) c’est-à-dire : constante de Z’ ~i pour) G~ gC dans la condition de à l’aide des formules compatibilité (41) précédentes, entre termes finis et devient : et cette condition de exprimons compatibilité Une des conditions de renormalisation aux l’existence de satisfaisant équations 46. Discussion. Toutes les viennent de l’apparition Supposons l’équation 46a mais sera (46b) de la deuxième m" ,~ mV ~E ~..~.+ m,, que admet admet alors une deux constantes de 1) L’hamiltonien complications qui apparaissent couplage sont n’est plus un o en gë2à négative : modèle pro- ce m" , pour que la solution une solution masse dans particule positive : il est donc V stable), soit impossible que les la fois réelles opérateur hermitien, la matrice S n’est plus unitaire. 0 2) Z’ et Z" , qui doivent être compris entre 0 et 1, sont tous deux infinis. 3) Supposons que nous ayons une coupure des impulsions à K :i les contradictions (1) et (2) demeurent, mais on peut y échapper pour certaines valeurs de En effet, pour m’ ~ donné, la plus petite valeur que peut prendre correspond à m" = j; co et elle s’écrits gc2 10-12 si donc dans (46a une théorie à facteur de forme , les équations peuvent être satisfaites, il n’y a donc qu’un seul état de masse mj et Z’ qui lui correspond est ~> 0 ainsi que gc et g . Bien que le modèle de Lee soit trop simple pour servir de fil directeur valable à l’étude des infinis en électromagnétisme et théories mésiques, le fait que nous avons rencontré une valeur de la constante de couplage au-dessous de laquelle la théorie est exempte de contradictions vaut peut être la peine d’être noté. et b) ne