TP : Etude d`une bobine

7 Etude d’une bobine
Responsable : J.Roussel
Objectif
Le but de ce TP est d’estimer les valeurs de la self inductance L et
de la résistance interne r d’une bobine à l’aide d’un modèle simple
puis de confronter le modèle aux résultats expérimentaux.
Prérequis
– Revoir le cours d’électricité (régime sinusoïdal).
7.1 Modèle théorique
7.1.1 Bobine simple
On forme une bobine simple en enroulant du fil
de cuivre sur un cylindre de diamètre D et de
longueur ¸. Le fil de cuivre a pour épaisseur d
et est enroulé en formant N spires jointives. On
cherche à exprimer la self-inductance L et la résistance interne r en fonction de N , D, d, ¸ et “
la conductivité du cuivre.
Résistance interne
d
D
¸
Figure 7.1:
Le fil de cuivre ayant une conductivité “ finie, la bobine résiste au passage du courant. Sa
résistance interne r s’obtient à l’aide de la loi d’ohm. Si la densité de courant est uniforme
dans le fil conducteur, on a
æ
≠
æ
≠
j = “E
L’intensité du courant électrique est donné par I = jS = “ES et la tension aux bornes
du fil conducteur par U = E¸c où ¸c désigne la longueur de fil de cuivre. La résistance du
bobinage vaut donc
U
1 ¸c
r=
=
I
“S
51
7 Etude d’une bobine
Or si d est le diamètre du fil, sa section vaut S = fi d2 /4. De plus, il y a N spires enroulées
qui ont pour longueur fiD de sorte que ¸c = N fiD. Finalement la bobine possède une
résistance interne qui augmente avec le nombre de spires :
r=
4N D
“d2
7.1.2 La self inductance
Étudions maintenant la self inductance. On considère la bobine suffisamment longue pour
pouvoir négliger les effets de bord de sorte que la bobine est assimilable à un solénoïde
infini. Dans ce cas, lorsqu’elle est parcourue par un courant d’intensité I, elle produit un
champ magnétique axial et uniforme dans la bobine
BŒ = µ0 nI
avec
µ0 = 4fi.10≠7 H.m≠1
où n désigne la densité d’enroulement en nombre de spires/mètre, soit n = N/¸. Par
ailleurs le flux du champ magnétique à travers une spire vaut 1 = BŒ fiD2 /4. Donc le flux
embrassé par les N spires, vaut
=N
1
= N 2 µ0
Ce flux est proportionnel à l’intensité électrique.
fi D2
◊I
4 ¸
Définition
L’inductance L d’un circuit électrique est définie comme le rapport
entre le flux magnétique embrassé par le circuit et l’intensité du
courant :
L=
I
On en déduit la valeur de l’auto-inductance de la bobine :
fi D2
L = µ0 N 2
4 ¸
7.1.3 Bobine multicouche
Pour les mesures (partie II) on utilise une bobine dont l’enroulement est répété plusieurs
fois de façon à former plusieurs couches. Si l’épaisseur du fil est faible devant le diamètre
de la bobine on peut considérer que toutes les spires ont le même diamètre de sorte que
les formules précédentes restent approximativement valides. On a donc
L = µ0 N 2
52
fi D2
4 ¸
et
r=
4N D
“d2
(7.1)
7.2 Manipulation
7.1.4 L’effet de peau
L’effet de peau est un phénomène électromagnétique qui fait qu’en régime alternatif, le
courant est plus important en surface des conducteurs. Ce phénomène d’origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Plus
précisément, un courant alternatif de fréquence f se réparti essentiellement sur une couche
d’épaisseur
”=Ô
1
“µ0 fif
Ainsi, le courant se répartit sur une couche pelliculaire d’autant plus fine que la fréquence
est grande. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur avec la fréquence.
On peut montrer qu’à basse fréquence, la résistance d’une bobine doit croître avec la
fréquence de façon quadratique :
r = r0 (1 + bf 2 )
7.2 Manipulation
On utilise une bobine LEYBOLD. Le constructeur donne :
d
¸
D
0, 8 mm
7 cm
7 cm
N
“
1000 5, 8.107 S.m≠1
On place la bobine étudiée dans un circuit électrique avec une résistance variable R et un
condensateur de capacité variable C de façon à former un circuit RLC série. L’ensemble
est alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale.
CH1
CH2
L, r
•
GBF≥
•
ue (t)
C
•
•
R
us (t)
•
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7 Etude d’une bobine
Rappel
On dit qu’il y a résonance d’intensité lorsque l’intensité qui circule dans le circuit est d’amplitude maximale. L’impédance complexe du circuit RLC série vaut
3
1
Z = R + r + i LÊ ≠
CÊ
4
La résonance se produit quand l’impédance |Z| est minimum c’està-dire quand
LÊ =
1
CÊ
=∆
Ê=Ô
1
LC
À la résonance, le dipôle RLC se comporte donc comme une résistance R + r et, par conséquent, l’intensité et la tension d’entrée
oscillent en phase.
Si l’on injecte deux signaux sinusoïdaux sur les voies X et Y d’un
oscilloscope, et que l’on commute l’oscilloscope en mode XY, on
obtient une courbe paramétrique d’équation
I
X(t) = a cos(Êt)
Y (t) = b cos(Êt + „)
Il s’agit de l’équation paramétrique d’une ellipse circonscrite dans
un rectangle a ◊ b et dont l’excentricité e varie avec „. Ce mode est
particulièrement adapté à la recherche de deux signaux en phase.
„ = fi/4
„=0
b Y
≠a
b Y
X
a
≠b
„ = fi/2
≠a
b Y
≠a
54
≠b
„ = 3fi/4
b Y
X
a
≠b
X
a
≠a
X
a
≠b
7.2 Manipulation
Mesure de L et r
La mesure de la sel-inductance et de la résistance interne s’effectue par une mesure de
fréquence et deux mesures de tension efficaces.
1. Réalisez le montage. Fixez C = 1 µF et R = 20 . Branchez l’entrée à un voltmètre
en mode AC.
Demandez à l’enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien
allumer avant cette vérification !
2. Réglez l’amplitude de la tension d’entrée de façon à ce que la tension efficace ne
dépasse pas 2V. Fixez une fréquence de l’ordre de 500 Hz.
3. Augmentez la fréquence et, à l’aide de l’oscilloscope, déterminez la fréquence de
résonance f0 pour laquelle les deux signaux sont en phase.
4. Toujours à la résonance, mesurez au voltmètre la tension efficace d’entrée U1 .
5. Branchez le voltmètre à la sortie (aux bornes de la résistance) puis mesurez la tension
efficace U2 .
6. Répétez les opérations précédentes pour les valeurs C = 400, 100 et 20 nF.
Ô
En portant f0 en fonction de 1/ C on déduira la valeur de L. Enfin, après avoir montré
que le rapport U1 /U2 est lié à r on vérifiera que la résistance interne varie comme le carré
de la fréquence.
Matériel :
– Une résistance x10 ;
– une bobine LEYBOLD 1000 tours ;
– une boîte de condensateurs ;
– un oscilloscope numérique ;
– un voltmètre
– un GBF Metrix GX249 ;
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