TP : Etude d`une bobine

7 Etude d’une bobine
Responsable : J.Roussel
Objectif
Le but de ce TP est d’estimer les valeurs de la self inductance Let
de la résistance interne rd’une bobine à l’aide d’un modèle simple
puis de confronter le modèle aux résultats expérimentaux.
Prérequis
– Revoir le cours d’électricité (régime sinusoïdal).
7.1 Modèle théorique
7.1.1 Bobine simple
¸
D
d
Figure 7.1:
On forme une bobine simple en enroulant du fil
de cuivre sur un cylindre de diamètre Det de
longueur ¸. Le fil de cuivre a pour épaisseur d
et est enroulé en formant Nspires jointives. On
cherche à exprimer la self-inductance Let la ré-
sistance interne ren fonction de N,D,d,¸et “
la conductivité du cuivre.
Résistance interne
Le fil de cuivre ayant une conductivité “finie, la bobine résiste au passage du courant. Sa
résistance interne rs’obtient à l’aide de la loi d’ohm. Si la densité de courant est uniforme
dans le fil conducteur, on a ≠æj=“≠æE
L’intensité du courant électrique est donné par I=jS =“ES et la tension aux bornes
du fil conducteur par U=E¸coù ¸cdésigne la longueur de fil de cuivre. La résistance du
bobinage vaut donc
r=U
I=1 “
¸c
S
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7 Etude d’une bobine
Or si dest le diamètre du fil, sa section vaut S=fid
2/4. De plus, il y a Nspires enroulées
qui ont pour longueur fiDde sorte que ¸c=NfiD. Finalement la bobine possède une
résistance interne qui augmente avec le nombre de spires :
r=4ND
“d2
7.1.2 La self inductance
Étudions maintenant la self inductance. On considère la bobine suffisamment longue pour
pouvoir négliger les effets de bord de sorte que la bobine est assimilable à un solénoïde
infini. Dans ce cas, lorsqu’elle est parcourue par un courant d’intensité I, elle produit un
champ magnétique axial et uniforme dans la bobine
BŒ=µ0nI avec µ0=4fi.10≠7H.m≠1
où ndésigne la densité d’enroulement en nombre de spires/mètre, soit n=N/¸.Par
ailleurs le flux du champ magnétique à travers une spire vaut 1=BŒfiD2/4. Donc le flux
embrassé par les Nspires, vaut
=N1=N2µ0
fi
4
D2
¸◊I
Ce flux est proportionnel à l’intensité électrique.
Définition
L’inductance Ld’un circuit électrique est définie comme le rapport
entre le flux magnétique embrassé par le circuit et l’intensité du
courant :
L=
I
On en déduit la valeur de l’auto-inductance de la bobine :
L=µ0N2fi
4
D2
¸
7.1.3 Bobine multicouche
Pour les mesures (partie II) on utilise une bobine dont l’enroulement est répété plusieurs
fois de façon à former plusieurs couches. Si l’épaisseur du fil est faible devant le diamètre
de la bobine on peut considérer que toutes les spires ont le même diamètre de sorte que
les formules précédentes restent approximativement valides. On a donc
L=µ0N2fi
4
D2
¸et r=4ND “d2(7.1)
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7.2 Manipulation
7.1.4 L’effet de peau
L’effet de peau est un phénomène électromagnétique qui fait qu’en régime alternatif, le
courant est plus important en surface des conducteurs. Ce phénomène d’origine électro-
magnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Plus
précisément, un courant alternatif de fréquence fse réparti essentiellement sur une couche
d’épaisseur
”=1
Ô“µ0fif
Ainsi, le courant se répartit sur une couche pelliculaire d’autant plus fine que la fréquence
est grande. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur avec la fréquence.
On peut montrer qu’à basse fréquence, la résistance d’une bobine doit croître avec la
fréquence de façon quadratique :
r=r0(1 + bf2)
7.2 Manipulation
On utilise une bobine LEYBOLD. Le constructeur donne :
d¸DN “
0,8 mm 7 cm 7 cm 1000 5,8.107S.m≠1
On place la bobine étudiée dans un circuit électrique avec une résistance variable Ret un
condensateur de capacité variable Cde façon à former un circuit RLC série. L’ensemble
est alimenté par un GBF délivrant une tension sinusoïdale.
• •
L, r
• •
C
R
•
•
GBF≥ue(t)us(t)
CH1 CH2
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7 Etude d’une bobine
Rappel
On dit qu’il y a résonance d’intensité lorsque l’intensité qui cir-
cule dans le circuit est d’amplitude maximale. L’impédance com-
plexe du circuit RLC série vaut
Z=R+r+i3LÊ≠1
CÊ4
La résonance se produit quand l’impédance |Z|est minimum c’est-
à-dire quand
LÊ=1
CÊ=∆Ê=1
ÔLC
À la résonance, le dipôle RLC se comporte donc comme une ré-
sistance R+ret, par conséquent, l’intensité et la tension d’entrée
oscillent en phase.
Si l’on injecte deux signaux sinusoïdaux sur les voies X et Y d’un
oscilloscope, et que l’on commute l’oscilloscope en mode XY, on
obtient une courbe paramétrique d’équation
IX(t)=acos(Êt)
Y(t)=bcos(Êt+„)
Il s’agit de l’équation paramétrique d’une ellipse circonscrite dans
un rectangle a◊bet dont l’excentricité evarie avec „. Ce mode est
particulièrement adapté à la recherche de deux signaux en phase.
≠aa
≠b
b
X
Y
„=0
≠aa
≠b
b
X
Y
„=fi/4
≠aa
≠b
b
X
Y
„=fi/2
≠aa
≠b
b
X
Y
„=3fi/4
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7.2 Manipulation
Mesure de Let r
La mesure de la sel-inductance et de la résistance interne s’effectue par une mesure de
fréquence et deux mesures de tension efficaces.
1. Réalisez le montage. Fixez C=1µFet R=20. Branchez l’entrée à un voltmètre
en mode AC.
Demandez à l’enseignant responsable de vérifier le montage. Ne rien
allumer avant cette vérification !
2. Réglez l’amplitude de la tension d’entrée de façon à ce que la tension efficace ne
dépasse pas 2V. Fixez une fréquence de l’ordre de 500 Hz.
3. Augmentez la fréquence et, à l’aide de l’oscilloscope, déterminez la fréquence de
résonance f0pour laquelle les deux signaux sont en phase.
4. Toujours à la résonance, mesurez au voltmètre la tension efficace d’entrée U1.
5. Branchez le voltmètre à la sortie (aux bornes de la résistance) puis mesurez la tension
efficace U2.
6. Répétez les opérations précédentes pour les valeurs C=400,100 et 20 nF.
En portant f0en fonction de 1/ÔCon déduira la valeur de L. Enfin, après avoir montré
que le rapport U1/U2est lié à ron vérifiera que la résistance interne varie comme le carré
de la fréquence.
Matériel :
– Une résistance x10 ;
– une bobine LEYBOLD 1000 tours ;
– une boîte de condensateurs ;
– un oscilloscope numérique ;
– un voltmètre
– un GBF Metrix GX249 ;
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