Mathématiques - Le chiffrement RSA

ENSEIGNEMENT DE PROMOTION SOCIALE
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Cours de
MATHEMATIQUES
- Chiffrement RSA -
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H. Schyns
Mai 2008

Chiffrement RSASommaire
H. SchynsS.1
Sommaire
1.INTRODUCTION
2.DÉFINITIONS
2.1.Nombres premiers
2.2.Nombres premiers entre eux
2.3.Fonction modulo
2.4.Décomposition binaire.
3.LE CRYPTAGE RSA
3.1.Principe
3.2.Les clés
3.3.Le cryptage
3.4.Le décryptage
3.5.RSA dans un tableur
4.SOURCES

Chiffrement RSA1 - Introduction
H. SchynsS.1.1
1. Introduction
De nombreux documents exposent la théorie du systeme de chiffrementr à clé
publique / clé privée encore appelé système RSA.
Ces exposés utilisent un formalisme mathématique qui est souvent obscur pour le
non initié.
Si les quelques exemples fournis illustrent la suite des opérations, ils ne donnent
que rarement le détail du calcul et ses limites.
Le présent document a pour objectif d'illustrer la méthode aussi simplement que
possible à l'aide de nombreux exemples détaillés.

Chiffrement RSA2 - Définitions
H. Schyns2.1
2. Définitions
Le système RSA repose sur quatre concepts arithmétiques :
-les nombres premiers,
-les nombres premiers entre eux,
-la fonction modulo,
-la décomposition binaire.
Nous allons illustrer ces principes ci-après.
Le lecteur déjà familiarisé avec ces concepts peut passer directement au chapitre
suivant.
2.1. Nombres premiers
Definition
Exemple
Recherche si un nombre est premier ou non
Premier voisin de 6
Suite des premiers est infinie
2.2. Nombres premiers entre eux
PGCD
Euclide
Euclide étendu
2.3. Fonction modulo
Division Euclidienne
Modulo d'un carré à partir du modulo de la base
Modulo d'une somme ou d'une différence
2.4. Décomposition binaire.

Chiffrement RSA3 - Le cryptage RSA
H. Schyns3.1
3. Le cryptage RSA
3.1. Principe
Le cryptage RSA repose sur le choix d'un couple de deux nombres premiers
généralement appelés [ p ] et [ q ] que l'on doit absolument garder secrets.
Les nombres premiers choisis doivent être les plus grands possible afin de
compliquer au maximum la tâche de celui qui veut craquer le système.
Ce couple élu va engendrer d'autres nombres qui vont constituer la clé du procédé.
3.2. Les clés
Le principe du système RSA est beaucoup plus facile à comprendre à partir d'un
exemple. Commençons avec deux nombres premiers simples à garder secrets :
p = 11
q = 23
Le nombre [ n ] qui résulte de leur produit constitue la clé publique du système.
Elle peut être connue de tout le monde :
q
pn
⋅
=
[3.1]
253
n
=
⋅
=
23
11
Certes, le choix de notre exemple n'est pas vraiment génial car il ne faudra pas
longtemps à quelqu'un connaissant ses tables de multiplications pour factoriser ce
nombre et retrouver [ p ] et [ q ]. Dans la réalité, [ p ] et [ q ] sont des nombres de
plus de cent chiffres, ce qui donne plus de deux cents chiffres pour [ n ] ce qui
demande des outils informatiques particuliers. Mais continuons...
A partir des nombres [ p ] et [ q ], nous allons générer un autre nombre [ ϕ(n) ]
appelé fonction indicatrice d'Euler tel que
(
)
(
)
(
)
1q1pn
−
⋅
−
=
ϕ
[3.2]
(
)
(
)
(
)
123111253
−
⋅
−
=
ϕ
(
)
2202210253
=
⋅
=
ϕ
C'est ce nombre [ ϕ(n) ] et non [ n ] qui consitute le secret du cryptage. L'astuce est
que [ n ] est tellement grand qu'il est pratiquement impossible de le factoriser pour
retrouver [ p ] et [ q ] et, à partir de ces valeurs, de reconstituer [ ϕ(n) ].
La fonction indicatrice d'Euler nous dit qu'il y a 220 nombres inférieurs à 253 et qui
sont premiers avec 253. Autrement dit, dans l'ensemble des nombres compris entre
1 et 253, on peut en trouver 220 qui n'ont aucun facteur premier commun avec 253
(1).
1Ce nombre de 220 peut sembler très élevé mais il ne faut pas oublier que le nombre choisi 253 est le
produit des deux nombres premiers 11 et 23. Donc, dans la liste de tous les nombres allant de 1 à 253, il
suffit de supprimer tous les multiples de 11 (il y en a 22) et tous les multiples de 23 (il y en a 10).