L`énigme E = Mc2 : énergie potentielle et renormalisation de la

L’´enigme E = Mc2 : ´energie potentielle et
renormalisation de la masse
L. Brillouin
To cite this version:
L. Brillouin. L’´enigme E = Mc2 : ´energie potentielle et renormalisation de la masse. Journal de
Physique, 1964, 25 (10), pp.883-886. <10.1051/jphys:019640025010088300>.<jpa-00205888>
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883.
L’ÉNIGME E
=
Mc2 :
ÉNERGIE
POTENTIELLE
ET
RENORMALISATION DE LA
MASSE
Par
L.
BRILLOUIN,
(1)
Résumé.
2014
Toute
énergie
possède
une
masse,
mais
il
semble
qu’on
ait
omis de
discuter
le
cas
de
l’énergie
potentielle.
Les fondateurs
de
la Relativité
n’en
parlent
guère.
En
fait
l’énergie
corres-
pondante
est
répandue
dans tout
l’espace,
et la masse
n’en
peut
être
exactement
localisée.
La
symétrie
de la distribution
suggère
de diviser
la masse
entre
les diverses
particules
en
interaction.
Il
faut
donc,
dès
la Relativité
classique,
réviser les
valeurs
des masses. Bien
avant
les
quanta,
la
«
renormalisation »
est
indispensable
(et
fut
omise)
dans
la
Relativité d’Einstein.
Abstract.
2014
There is
no
energy
without
mass,
but
it
seems that most authors
simply
ignored
the
case of
potential
energy.
The founders
of
Relativity keep
silent
about
it.
As
a matter of
fact,
the
corresponding
energy
is
spread
all around
in
space,
and
so
is the
mass.
Symmetry
properties
of
this distribution
suggests splitting
the
mass
fifty-fifty
between
interacting
particles.
It
is
necessary
to
re-evaluate
the values
of
masses,
even
in the
classical
theory
of
relativity,
where
this consideration
was
simply
ignored.
"
Renormalization
"
is
absolutely
essential,
before
quantum
theory,
and
must
start
at
the
beginning
of
Einstein’s
relativity.
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
TOME
25,
NOVEMBRE
1963,
1.
Dialogue
soueieux.
-
A -
La relation
d’Einstein
est indiscutable :
6nergle
vaut
masse.
B -
Certainement :
la
preuve
en a ete
flagrante
et
d6flagrante.
A -Oui,
bien
tonnante et
d6tonnante.
Toute
6nergle poss6de
une
masse,
et
vice-versa.
B -
Pnergie
chimique,
cin6tique,
potentielle ;
toutes
les
qualités
d’énergie
doivent
etre traitées
sur
Ie
meme
pied.
A -
tvidemment,
mais
...
cela
ne va
pas
sans
difficulté !
L’énergie
potentielle
se rattache à deux
corps
en
presence ;
parfois
meme
a
des milliers
de
corps
ou atomes
en
interaction.
C’est
une
notion
bip6de,
multipede,
un
millepatte !
~
La
masse
au
contraire
est
attachée
a un
point
et
un
seul.
C’est
un
unijambiste !
! Les
deux
notions
ne
sont
pas
physiquement
de
meme
nature.
B -
Relisons Laue
[1] ;
il
affirme
que
la
relation
d’Einstein
se
rapporte
a
« toutes
les
energies
qui
accompagnent
le
mouvement
de
la
matière...,
de
sorte
que
leur
mouvement
par rapport
a
un
corps
materiel
soit
nul.
Il
faut
done
inclure
les
6nergies
calorifique, chimique,
elastique,
et
1’6nergie
interne
des atomes.
En
revanche,
il
faut excl ure
explici-
tement
les
6nergies
électromagnétique
et
de
gravi-
tation,
qui poss6dent
des mouvements
propres
à
l’int6rieur
des
corps.
Dans certains cas ces
energies
peuvent
satisfaire la
relation
d’Einstein et
leur
mouvement
doit
etre
pris
en
ligne
de
compte)).
A - Ce
n’est
pas
tres clair ! !
Laue 6videmment
sentait
l’incompatibilité
de la
gravitation
clas-
sique
(a
propagation
instantanee)
et de la relati-
vit6.
Cette
opposition
fut
r6solue
plus
tard
par
la
relativité
generalisee.
(1)
Contrat
Nonr
266(56).
B - Oui
mais,
que
veut
dire
Laue,
au
sujet
de
l’électromagnétisme ?
Il est
bien connu
que
toutes
les
relations de
1’electromagnetisme
ob6issent
a la
transformation
de
Lorentz
et sont
par
consequent
relativistes.
A -
Essayons
de
d6couvrir
la difficulte
each6e.
Consid6rons
une
structure
close
et
isolie contenant
une
6nergie
Eo,
mesur6e
dans un
syst6me
au
repos.
L’6nergie
interne
peut
etre
gravifique,
6lectro-
magn6tique,
etc...,
peu
importe.
Nous
devons
affirmer
que
cette
6nergie Eo
(au
repos)
correspond
a
une
masse
Mo.
Si
la
structure
’considérée est
en
mouvement avec
une
vitesse
constante
v,
nous
obtenons une masse
M et
une
6nergie
E,
définies
par
les
formules d’Einstein
ou
p est
la
quantite
de
mouvement.
B - Sur
ce
point,
tout
le
monde
est
d’accord,
et l’on
consid6re
que
la difference
repr6sente
1’energie
cin6tique
relativiste
de la
struc-
ture
close,
en
mouvement.
A - Oui,
mais...
qu’arrive-t-il
si cette structure
se meut dans un
champ
ext6rieur,
et
poss6de
une
inergie potentielle
dans
ce
champ ?
L’énergie
ciné-
tique
(2)
ne
repr6sente qu’une
part
de
l’énergie
totale,
Etot.
La
partie
potentielle
Epoi
doit
jouer
un role :
Il est
inadmissible
qu’une
partie,
Ecin,
soit
sou-
mise
a la relativité
(6q.
1)
et
que
l’autre,
Evot,
n’y
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019640025010088300

884
participe pas.
I1
est
impossible
que
1’6nergie poten-
tielle interne de
la
structure
close se
transforme
relativistiquement,
et
que 1’6nergie
potentielle
externe
y
échappe
compl6tement.
B -
Nous
touchons
au
point
n6vralgique.
Quel
role
exact joue
l’énergie potentielle
en
Relativité ?
Question incomplètement
r6solue et
surtout
aban-
donn6e
dans
une
demi-obscurité
inqui6tante.
2.
Quejpenser
de
l’énergie
potentielle ?
A - La notion
d’énergie potentielle
est
indis-
pensable
en
mecanique classique,
mais
n’oublions
pas
qu’elle suppose,
essentiellement
une
propa-
gation
instantanie
des
actions
à
distance ;
cette
hypothèse
est
comprise
dans
les
postulats
de
Newton.
B -:- L’ électricité,
la
gravitation,
sont
suppos6es,
en
mecanique classique,
agir
immediatement
6
toute
distance ;
1’6nergie
potentielle
ne
peut
se
définir
que
si elle
depend
des
positions
des
divers
corps
en
presence,
6
un
instant
donne,
sans
aucun
délai
ni
retard
dans
la
propagation.
A - Cette
propagation
instantanee
est
aussi
sous-entendue dans
le
troisième
principe
de
Newton:
égalité
de l’action
et
de la reaction
(a
distance).
B -
Vous
retrouvez
encore
cette
condition
dans
la d6finition
d’un centre
de
gravité
ou d’un
moment
d’inertie.
Si
vous introduisez
une vitesse de
propa-
gation
finie,
comme
le fait
Einstein dans
la
rela-
tivit6,
vous d6truisez a
la fois
toutes
les notions
bas6es sur
des
actions instantan6es a distance :
6nergie
potentielle,
action
6gale
a la
reaction,
centre
de
gravité,
moment
d’inertie...,
tout
s’effondre.
A -
Ne dramatisons
pas !
!
La
mecanique
rela-
tiviste se
raccorde sans
discontinuite
avec la
m6ca-
nique
classique,
lorsque
les vitesses
sont
faibles
(devant
la
vitesse
c
de la
lumi6re)
et
que
les dis-
tances restent
petites
(devant
une
longueur
cr,
où Test la
p6riode
des mouvements
consid6r6s).
B
-
Nous
devons done rechercher
quelle
est
la
quantité qui
se substitue
a
Fenergie
potentielle,
par
exemple,
et
se raccorde avec
la
definition
m6ca-
nique
usuelle.
Nous
pourrons
ensuite
6tudier
la
masse
a
attribuer a
cette
6nergie
et
examiner
comment
elle
se
distribue,
et
quel
role
elle
peut
j ouer.
A -
Relisez
Einstein :
il
ne
parle pas
d’autre
chose
que
des
champs
6lectriques
et
magn6tiques.
11
reprend
la
ligne
de
pens6e qui
commence
à
Faraday,
se
renforce
avec
Maxwell,
et
prend
toute
sa
vigueur
avec
la relativite.
Le
champ
est dote
d’une
personnalit6
physique
precise.
B - Une
charge
électrique Q
cree
autour
d’elle
(dans
un
syst6me
de
reference
au
repos)
un
champ
6lectrique
dirig6
dans
la
direction
du
vecteur
r
(la
notation rO
repr6sente
un
vecteur
unite
suivant cette
direction).
On
admet
que
ce
champ
a une
existence
physique
réelle,
même
si
personne
ne
le mesure
ni
ne
l’observe,
et
cette
affirmation
est un
veritable
postulat
m6ta-
physique.
FIG. 1.
A - Oui,
mais...
l e
champ
(4)
existe dans
un
syst6me
d’axes au
repos.
Si
le
syst6me
d’obser-
vation est
en
mouvement,
le
champ
se
transforme
suivant
les
formules
de
Lorentz-Einstein. Ici encore
nous
affirmons une
loi
qui
d6passe
la
physique
empirique.
B - La
realite
du
champ
est
une
hypothèse
si
essentielle
qu’on
lui
attribue
une
dnergie
1
LA
ou
regne
le
champ 6lectrique
F,
il
existe,
dit-on,
une
densite
d’énergie -8
IFI 2
en unites
ESCGS.
En
,
7t
integrant
tout autour d’une
charge Q
(port6e
par
une
sphere
de
rayon
a)
on
obtient
une
6nergie
electrostatique
et
cette
6nergie
contribue
a
la masse du
syst6me
charge.
A - Sur
cet
exemple
essentiel
nous
voyons
poindre
la methode :
le
champ
distribué dans
tout
1’espace
engendre
une
6nergie
répartie
partout...
B -...
et
une
masse
r6partie
dans
tout
1’espace,
mais
concentr6e surtout au
voisinage
de
la
sphere
de
rayon a,
la
ou
le
champ
est le
plus
intense.
Snergie
et
masse
sont
distribuées en
tous
sens,
mais surtout
pr6s
de
la
charge
6lectrique.
3.
Que
substituer
a
l ’énergie
potentielle ?
A - Tout
d’abord,
essayons
de sortir des
abstractions
mathématiques,
et
cherchons
a
poser
un
probl6me
physique
precis.
Laue discute 1’ener-
gie éléctromagnétique,
suivons-le sur
ce
terrain,
mieux
connu
que beaucoup
d’autres.
B -
Consid6rons
une structure
Mo,
comme
plus
haut,
et
dotons-la
d’une
charge
6lectrique Q ;
supposons-la
plac6e
dans un
champ
6lectrique
de
potentiel
V
donne...
A - J e vous
arrête
1 Le
physicien
ne
peut
pas
creer un
«
potentiel
V»
donne.
Ce
qu’il
peut
cons-
truire,
c’est un
syst6me
de
corps
ext6rieurs
charges
avec
des
charges Q’,
Q"
...
occhpant
des
positions

885
d6finies et
produisant
un
certain
champ
6lectrique.
B -
Simplifions, pour y
voir
clair :
Prenons
donc
un
premier
corps,
Mo, Q
et
un
second
corps
Mo,
Q’,
le
tout au
repos (pour
commencer).
La
charge Q’ produit
un
champ
de
Coulomb
Q’r’-2,
,
si r’ est
la distance entre
Q’
et
le
point
d’obser-
vation
P ;
le
potentiel
est
Q’r’-’.
Au
point
Q,
le
potentiel
donne
une
6nergie
potentielle QQ’ fro
en
appelant
ro
la
distance
QQ’.
A - Je
yous
interromps
encore !
! Le
potentiel
d’une
charge Q
au
repos
est
d6fini
a une constante
pr6s
(constante
d’intégration).
Ce
n’est
pas
une
quantite physique simple.
Seules
les
differences
de
potentiel
ont une
signification
physique.
B - Oui,
je
sais
... et
pour
des
corps
en
mouve-
ment,
le
potentiel
V
se
complete par
un
potentiel
vecteur
A ;
leur ensemble
comporte
une
fonction
inconnue...
A -
Et
cela nous entrainera
a
parler
de
l’
« inva-
riance
de jauge »
I
B -
Simplifions
encore : les deux
corps
sont
au
repos,
et en
chaque
point
de
1’espace
nous
pouvons
définir
(et
mesurer)
un
champ
6lectrique
F.
A -
Oui,
mais attention :
impossible
de
s6parer
le
champ produit par Q
de
celui
produit par
Q’.
Nous
avons
un
champ
global
ou
r est la distance
entre
le
point
d’observation
P
et
la
charge Q,
tandis
que
r’
est
la distance
entre
ce
point
d’observation
et
Q’.
La
densite
d’énergie
electrique 8
créée
par
ce
champ,
est
representee
par
la formule
dent.
comme
au
paragraphe
prece-
ou 0 est
1’angle
des
deux vecteurs
r
et
r’.
B -
Le
premier
terme
contribue a ]a
masse
du
premier
corps
Q,
le
second terme
participe
a la
masse de
Q’,
mais nous
voyons apparaitre
un
nou-
veau terme
en
QQ’ qui indique
une
interaction
entre les
deux
charges.
Cela
m6rite
examen.
A -
Int6grons
dans tout
1’espace
ce
terme
d’interaction : no-us
obtenons
justement 1’energie
d’interaction
I
Une
note
annexe
explique
le
calcul,
d’ailleurs
simple :
le
calcul est
presente
pour
des
charges
au
repos,
mais
se
generalise
sans
peine lorsque
les
charges
sont
en
mouvement,
et
nous
sommes
cer-
tains
que
la
relativite
s’applique
sans
effort.
B -
Nous
voila
donc en
possession
d’une
6nergie
distribuee
dans
tout
1’espace,
a
laquelle
nous
pou-
vons
attribuer
une
masse,
distribuee
elle aussi
en
tous sens.
C’est,
a
coup
sur,
la
representation
que
nous
cherchions,
et
qu’il
convient
d’étudier
plus
sp6cialement.
A -
Oui,
l’affirmation
de
la
valeur
physique
du
champ
6lectrique
et de
la
realite
de
son
6nergie
doit
nous
donner
la
clef
de
1’6nigme.
B - Il
est
bien
certain
qu’Einstein
a
pressenti
ces
faits essentiels en
choisissant
de
renforcer
le
r6]e des
champs.
Outre
la
densite
d’énergie,
Einstein
souligne
le
role des
flux
d’énergie
et
du
fameux
tenseur de
Maxwell
(a
3
dimensions,
9
compo-
santes).
Tout
cela se
regroupe
en un
tenseur
d’Einstein
a
4 dimensions
(16
composantes)...
La
th6orie
s’équilibre
bien
... mais
nous
chargeons
1’
«
ether
électromagnétique
))
d’un
role
écrasant I
Que
sera-ce
lorsque
d’autres
champs
viendront
s’y
superposer ?
4. La
masse
de
l’énergie potentielle.
-
L’éner-
gie
d’interaction,
r6partie
dans
tout
1’espace,
rem-
place
l’énergie
potentielle,
et
cette
nouvelle
notion,
li6e au
champ
6lectrique
se
prgte
ais6ment
aux
generalisations
relativistes.
Restons
pour
l’instant
dans
un
syst6me
de
reference au
repos,
avec
deux
charges
Q,
Q’
fixes ;
la
densite
d’energie
d’inter-
action
est
(fig.
2)
li6e a une
densite
de
masse
p
d’apr6s
la
relation
(8).
Cette
expression
est
par-
faitement
sym6trique
par
rapport
aux
positions
des
deux
charges Q
et
Q’.
La
densite
p est
nulle
sur la
sphere
C
de diam6tre
QQ’,
car 0
y
est
6gal
a
7r/2.
Si
les deux
charges
sont de meme
signe,
la
densite
p est
negative
a
l’int6rieur de la
sphere
C
et
positive
au
dehors
Penergie
totale
est
positive,
et
il
y
a
repulsion.
Si
les
charges Q
et
Q’
sont de
signes
opposes,
1’6nergie
totale
est
negative,
mais
l’int6rieur
de
la
sphere
C est
positif,
-et nous obtenons
une
attrac-
tion.
La
presence
de
cette
inergie opposée
à
l’inté-
rieur
de la
sphère
C
présente
un
caractère
bien
curieux.
Sur
le
plan
médian, l’énergie
est
maximum
ou
minimum.

886
II
y
a
symétrie complete
entre
les
positions
des
deux
charges ;
ni
leurs masses
Mo,
Mo
ni
leurs
charges
(en
valeurs
absolues)
IQI,
(Q’)
ne
jouent
aucun
role dans la
distribution.
L’énergie
est dis-
tribuee
dans
tout
l’espace,
et
rien
ne
permet
de
la
considérer
comme
concentrée
en
un
point
ou en
un
autre.
Nous
pouvons
imaginer
la
masse
entière
QQ’Jro c2
située au
centre de
symétrie
0 ;
nous
pouvons
supposer
cette masse
coupee
en
deux
parts
egales,
attribuées
aux
deux
charges,
ce
qui
nous
donne
des masses révisées
(renormalisées)
Cette
hypoth6tique
distribution
peut
representer
une
approximation
utile dans
les
probl6mes
presque
classiques.
Le
champ
6lectrique
est
infini
sur
les
charges
Q
et
Q’
et
la densite
d’energie
y
est
aussi infinie
mais son
signe
s’y
inverse
(sphere
C) !
!
La
correction
est
negative
si les
charges
sont
de
signes
opposes ;
consid6rons
le
cas
(tr6s
hypothe-
tique)
of les
masses seraient
purement
d’origine
électrostatique
(6q.
5)
et
prenons
les
masses
M1
M1’
s’annulent
pour
ru
=
a.
Inutile
de dire
que
ce dernier
probl6me
n’a
gu6re
de
signi-
fication
physique.
Nous avons
examine
le
probl6me
de
1’electro-
magn6tisme,
mais
la
mgme
methode
devrait
.s’appliquer
en
gravitation,
ou
pour
des
champs
particulaires
quantiques.
Les
6tapes
seraient les
memes renoncer
a
parler
d’un
«
champ
donne
))
agissant
sur
une
particule ;
examiner le
probl6me
physique
reel
d’interaction entre
deux
particules ;
utiliser
]a
formule
donnant
la densite
d’6nergie
dans
le
champ
(analogue
a
7)
et
prendre
les
termes
mixtes.
L’intégrale
de ces
termes mixtes
dans
tout
1’espace
est
1’expression
a
discuter
et
servira
a
remplacer
1’energie
potentielle.
Ce
changement
de
point
de vue
est
indispensable.
5.
La
renormalisation
quantique
a
ete
sugg6r6e
par
Bethe
et
introduite
tres
pr6cis6ment
par
Schwinger [2].
Il
faut
alors
6valuer le
role des
energies
potentielles,
compl6t6es
par
les
effets
de
spin.
Il
s’agit d’interpréter
les
résu]tats
experi-
mentaux
tres
curieux
de
Lamb
et
Retherford.
La
methode
th6orique
de
Schwinger
donne
des r6sul-
tats
remarquables
dans toutes ses
applications
en
mecanique
quantique ;
notre
discussion
prouve
que
’
le
problème
se
posait
dejn
en
relativité
classique.
et
qu’une
ombre de
mystere
1’avait recouvert
et
dissimul6.
La
question
n’avait
pas
ete
reconnue
par
Sommerfeld
ni
par
Dirac et
la
th6orie de
1’elec-
tron
laissait
cette
lacune
grande
ouverte.
Le
point
curieux,
c’est
que
la masse
renormalis6e
soit
essen-
tiellement
distribuee dans
tout
1’espace.
Il serait
int6ressant
de
comp]6ter
la discussion
pour
des
corps,
en mouvement
et
d’examiner
si 1’exacte
sym6trie
entre les
deux
charges QQ’
se
maintient.
Le
probl6me
de
la
renormalisation
des
masses,
suivant
la methode
de
Schwinger
avait
d6ja
6t6
discute
par
l’auteur
dans
des
publications
anté-
rieures
[3] ;
les
remarques
ci-dessus
nous semblent
apporter
des
precisions
utiles,
et
surtout
indiquer
la
necessite de reviser la
relativite
classique
elle-
m6me.
Les
formules
des doublets
relativistes
(Sommerfeld,
puis
Dirac)
sont à revoir
de tres
pres,
car
le
changement
des masses
y
modifierait
la
«
constante
))
de
Rydberg,
sans
probablement
changer
sensiblement les
6carts des
doublets,
car
1’energie
potentielle
et
1’energie
totale
varient
pro-
portionnellement
au
premier
abord.
NOTE
A.NNEXE
Notations
F
=
grad
V
F’
=
grad
V’
L’intégrale
(P)
s’écrit avec
le
produit
scalaire
de F et F’
l/intégrale
est
prise
dans tout
1’espace,
et
il
est
essentiel
que
F,
F’, V
et
V’
soient
nuls a
l’infini ;
x,
y,
z
sont
les
coordonn6es du
point
P
de
la
figure
1.
On
int6gre
par
parties
sur V
et
l’on
note
que
AV
repr6sente
201347cp,
donc
ce
qui
justifie
]a formule
(8).
Ce
raisonnement n’est
qu’un
cas
particulièrement
simple
du calcul de
Maxwell
justifiant
les tensions
de
Maxwell,
la
formule
de
densit6
d’6nergie
et de
flux
(vecteur
de
Poynting).
Manuscrit
regu
le 1er
aoflt
1964.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
VON
LAUE
(M.),
Das
Relativitätsprincip,
Vieweg,
Braunschweig,
1911,
p.
149,
dernières
lignes
et
p.
150.
[2]
Voir
la série
des
mémoires
originaux
réunis en
volume
SCHWINGER
(J.),
Quantum
Electrodynamics,
Dover
Publ.,
New
York,
1958.
[3]
BRILLOUIN
(L.),
Transformations
et
avatars
de
la notion
de
champ.
Revue
de
Métaph.
et
Morale, 1962,
67,
206-213.
BRILLOUIN
(L.),
Scientific Uncertainty,
and
Information,.
1
vol.,
Acad.
Press,
New
York, 1964,
Chap.
V et VII. 2014 BRILLOUIN
(L.),
La masse de l’éner-
gie
potentielle,
C.
R. Acad.
Sc., Paris,
oct.
1964.