Optimisation de la reconstruction en tomographie d`émission

Optimisation de la reconstruction en tomographie
d’´emission monophotonique avec collimateur st´enop´e
Vincent Israel-Jost
To cite this version:
Vincent Israel-Jost. Optimisation de la reconstruction en tomographie d’´emission monopho-
tonique avec collimateur st´enop´e. Math´ematiques [math]. Universit´e Louis Pasteur - Stras-
bourg I, 2006. Fran¸cais. <NNT : 2006STR13198>.<tel-00112526v2>
HAL Id: tel-00112526
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Submitted on 27 Nov 2006
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1

2

Table des mati`eres
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Notations g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Les transform´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Les ensembles fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Op´erations, op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Matrices et op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . 13
Autres quantit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I La tomographie et la TEMP st´enop´e 19
1 Tomographie et imagerie m´edicale 21
1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Pourquoi la tomographie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Diff´erentes modalit´es d’imagerie : scintigraphie et tomodensitom´etrie 25
1.3.1 Imagerie fonctionnelle et morphologique . . . . . . . . . . 25
1.3.2 La scintigraphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.3 G´eom´etrie de la projection . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.4 La tomodensitom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Une premi`ere formulation math´ematique du probl`eme . . . . . . 30
2 Tomographie et math´ematiques 33
2.1 M´ethodes analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Les algorithmes de reconstruction . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Lin´earit´e du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Le probl`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 La tomographie pos´ee comme syst`eme lin´eaire . . . . . . 43
2.3 Les m´ethodes it´eratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1 Algorithmes s´equentiels, simultan´es et par blocs . . . . . 45
2.3.2 Quelques algorithmes it´eratifs . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Sch´ema de Landweber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.4 Algorithmes de maximisation de l’esp´erance . . . . . . . . 51
3 La TEMP st´enop´ee 53
3.1 But et contraintes de la TEMP st´enop´ee . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Etat de l’art de l’imagerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3 Etat de l’art math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Mod´elisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3

3.4.1 Les diff´erents effets mod´elis´es . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2 R´eponse impulsionnelle et projection des voxels . . . . . . 66
3.5 calibrage de la gamma-cam´era . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5.1 Correction des imperfections de la gamma-cam´era . . . . 73
3.5.2 D´etermination de l’efficacit´e de la gamma-cam´era . . . . . 74
II Optimisation des calculs 77
4 Codage efficace de l’op´erateur de projection : la m´ethode EAR 79
4.1 Sym´etries du syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.1 Sym´etrie de rotation et discr´etisation adapt´ee . . . . . . . 82
4.1.2 Sym´etrie Avant/Arri`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Factorisation de la r´eponse impulsionnelle . . . . . . . . . . . . . 101
5 Mise en œuvre de la m´ethode EAR 103
5.1 L’op´erateur de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2 R´esolution du syst`eme lin´eaire dans la base des voxels EAR . . . 105
5.3 R´e´echantillonnage sur une grille cubique . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Organisation du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6 R´esultats et performances 111
6.1 Fantˆome informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Fantˆome physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.1 Fantˆome en plexiglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2.2 Fantˆome faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.3 Fantˆome d’homog´en´eit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.4 Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Temps de calcul et estimation du gain . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
III Algorithmique 125
7 Une classe d’algorithmes adapt´es `a la fr´equence 127
7.1 Construction d’un algorithme adapt´e `a la fr´equence . . . . . . . . 129
7.2 L’algorithme FA-SART et sa version par blocs . . . . . . . . . . 134
8 Propri´et´es des algorithmes adapt´es `a la fr´equence 137
8.1 Acc´el´eration de la d´econvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Convergence de l’algorithme FA-SART . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 Un exemple num´erique simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3.1 Pr´esence de hautes fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3.2 Absence de hautes fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.3.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9 R´esultats, discussion et comparaisons 151
9.1 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.1.1 Reconstruction des hautes fr´equences . . . . . . . . . . . . 152
9.1.2 Reconstruction d’un objet bruit´e . . . . . . . . . . . . . . 152
9.2 Fantˆome physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4