Géométrie formelle et géométrie algébrique

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A LEXANDER G ROTHENDIECK
Géométrie formelle et géométrie algébrique
Séminaire N. Bourbaki, 1958-1960, exp. no 182, p. 193-220
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1958-1960__5__193_0>
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Séminaire BOURBAKI
(Mai 1959)
GÉOMÉTRIE
FORMELLE ET
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
par Alexander GROTHENDIECK
1. Schémas.
On sait
qu’un
algébrique affine
son algèbre affine
espace
lement déterminé par
défini
A
sur un
(anneau
corps
k
est essentiel-
régulières
des fonctions
correspondant
~
morphismes d’espaces algébriques
de
A(X)
.
~--~
A(Y)
L’algèbre
homomorphismes
k-algèbres
biunivoquement
affine correspondant à un espace algébrique est une k-algèbre de type fini et
dans le point de vue "classique", elle n’a pas d’éléments nilpotents ; inversement, toute algèbre de ce type est obtenue comme algèbre affine d’un espace
algébrique défini sur k . Il y a alors un dictionnaire connu permettant d’indéfinies
sur
k),
X
les
Y
aux
terpréter
d’algèbre
commutative . On
compte de
ces
algébriques
les situations concernant des espaces
affines
en
termes
depuis longtemps qu’on obtenait alors des
énoncés plus généraux, car il n’était généralement plus besoin de supposer que
les anneaux en jeu étaient du type juste envisagé, l’hypothèse noethérienne étant
le plus souvent suffisante. En particulier, qu’il y ait ou non un corps de base
donné, il n’y avait pas lieu d’exclure le cas où ces anneaux contiennent des
éléments nilpotents. Jusqu’à présent, les géomètres s’étaient refusés à tenir
d’algèbres
a
indications et
affines
sans
constaté
se
sont obstinés à
se
restreindre à la considération
éléments nilpotents, i.e. d’espaces algébriques dans
desquels il n’y a pas d’éléments nilpotents (et m8me
les faisceaux structuraux
le
plus souvent,
irréductibles"). Le conféétat d’esprit a été un obstacle sérieux au développement
naturelles en Géométrie algébrique.
des espaces
rencier pense que cet
des méthodes vraiment
Soit
A
un anneau
des idéaux
Zariski"
algébriques
commutatif. Il est bien
de
A
est muni d’une
premiers
ou tppologie spectrale.
commutatifs
Ox
Sur
"absolument
X ,
D’autre
dont la fibre
connu
que l’ensemble
X =
Spec (A)
la
"topolo ie
topologie naturelle,
il
un
a
faisceau
d’anneaux
y
part,
en
et dont l’anneau des sections s’identifie à
’"Û
E X
A .
est l’anneau localisé
Ainsi,
X
devient
un
de
A")3’
espace
de
A --~ B
Un
A
.
d’anneaux
f
:
homomorphisme
annelé, appelé spectre premier
définit un morphisme d’espaces annelés f : Spec (B) --1 Spec (A) , l’application
ensembliste sous-jacente n’étant autre que
.~..~ f 1 (P)’. Les homomorphismes
193
d’espaces annelés
exactement
ceux
de
Spec (B)
pour
lesquels
(i.e. l’image
locaux
appelle schéma
On
schéma
un
est
un
X
on se
affine
un
si
S joue
Spec (A) ,
=
espace annelé
tout
préschémas ;
dans
un
S’
Xs
On dit que
cela
qu’on regarde
et
fibration).
une
signifie
Speo(A) ,
un
a un
et
ou
d’un
des
On dit alors que
aussi que
OX
est
un
catégorie,
objets X, Y
forment
une
de base
X
est
faisceau de
comme un
de
plus
on
préfaçon
à des
préschémas
(ou mieux,
un
S-préschéma ;3
A-algèbre s.
Z-préschéma.
morphismes
anneau
sont
voisinage
correspondent
préschéma peut être regardé de façon unique
X
séparé
est
de
montre que
au-dessus de
de deux
au-dessus de
S
si la
existe
diagonale
de
X
xS
X
est
préschéma séparé au-dessus de Z ; il est alors
n’importe quoi. Pour simplifier, nous ne parlerons plus
fermée. On appelle achéma
séparé
=
toujours, il est
x~ Y . Cette notion de produit permet de définir le changement de base
S-préschéma, correspondant à un morphisme S’1 ~ S : en effet,
pourra être considéré comme un S’-préschéma.
X
X
isomorphe à
localement ils
rôle d’un corps
le
Ainsi,
Bien entendu, les S-préschémas
dans cette catégorie le produit
noté
(x f’ (y) )
est l’idéal maximal).
0 ---7 0
i.e. dont tout point
affine,
préschéma S,
un
d’un espace de base dans
S
hananorphismes
sont
façon
schéma affine pour la structure induite. On définit de
fixe
--1 S , alors
obtenus. de cette
inverse de l’idéal maximal
évidente les morphismes des
hcmomorphismes d’anneaux.
Quand
les
espace annelé localement
qui
ouvert
Spec (A)
dans
un
supposerons noethériens, i. e. réunions finies
d’ouverts affines, spectres d’anneaux noéthériens. X est dit de type fini sur S,
si pour tout ouvert affine U de S, son image inverse dans X est réunion finie
schémas,
que de
que de
plus
nous
algèbres de type fini sur l’anneau
de U . Ce sont de tels S-schémas qui se prêtent à une étude proprement
de X au-dessus
géométrique. En particulier, pour tout s E S , la fibre
de s est un schéma algébrique sur le corps résiduel X (s) de l’anneau local
o s de s dans S. Ainsi, X peut dans une certaine mesure être considéré
f-l (s) le paramètre s parcourant
comme une famille d’"espaces algébriques"
S
(i. e ., du point de vue local, l’ensemble des idéaux premiers d’un anneau
peuvent avoir des caractéristiques différentes.
donné). Bien entendu, les
d’ouverts affines dont les
Si
S
=
Spec(k) ,
où
k
anneaux
est
un
sont des
corps,
on
retrouve essentiellement la notion
d"’espace algébrique", avec la seule différence que maintenant
structural peut avoir des éléments nilpotents.
usuelle
le faisceau
s’inspirant de notions bien connues, on définit la notion de morphisme
projectif, et plus généralement de morphisme propre. Un tel morphisme est de
type fini, de plus il transforme parties fermes en parties fermées, et garde
cette propriété par changement de base quelconque.
En
étant
X
un
schéma (noethérien,
cohérent d’anneaux
donc aussi les faisceaux
[2] .
de
au sens
toujours)
comme
le faisceau
localement sont
et
X’
est
un
cohérents de modules
Les faisceaux
qui
0~
isomorphes à
faisceau
X sont
sur
conoyau d’un homomor-
un
OXm ~ OXn.
phisme
2. Schémas formels.
X
Soient
schéma,
un
sous-faisceau cohérent
même
un
plus grand).
de
X’
X’
Muni de
0 /Jn+1 ,
muni de
complété
appelé complété
formel de
schéma
un
considérer de
(où
F
=
F
s’appellent
holomorphes"
pas la
On
,
général. Pour
même le complété
F
f ormel
un
de
X
r (X’y
le
à
F).
long
de
X’
cause
de
ces
formel
noté
sous-préschéma
ayant
existe
tel
un
n
con-
fermé de
X
autre faisceau
un
=
F
lim
Pour
le
F
un
0 Xn forment
projective
F
long
=
de
on
X f on peut
long de X’t
sur
F
de
F
faisceau de modules
les "sections formelles de
lim
un
en
aussi pour tout
tout faisceau cohérent
c’est
~OX OX/Jn+1) ,
terminologie
sur
le
X.
Ses sections
X’" et s’identifient
trouve les "f onc tions
ZARISKI, (dont nous ne suivrons
interférences avec la terminologie classique).
au sens
de
(sous-entendu : noethérien)
topologiques 0
muni d’un faisceau d’anneaux
espace topologique
satisfaisant à la conun
suivante : on a un isomorphisme de faisceaux d’anneaux topologiques
lim
sur
formel de
appelle schéma
dition
le
peut
il
un
système projectif
X , dont la limite
OX est appelée
de
de
ce
Muni
faisceau
X’
.
long
d’anneaux, X’ est
X le long de X’ ~ c’ e s t donc un espace annelé, mais
en
éléments de
aux
OX
sur
(et
schéma,
un
mais
X’,
encore
Evidemment les
soit
de faisceaux d’anneaux
pas
devient
c’est
X . Alors il existe
de
supp
=
X" . On
noté X’n ,
dont l’ensemble sous-jacent est
structural,
X’
tel que
OX
appelé "sous-schéma fermé de
schéma est
sidérer
J
partie fermée
une
,
0 ,
où les
0
faisant chacun de
l’homomorphisme
0
0
--4 n
m
forment
X
soit
un
un
système projectif
schéma
surjectif
n ,
et
de faisceaux d’anneaux
et tel que pour
ait pour noyau
J
m
m
n ,
J
m
est
le noyau de
0
0
En vertu des
X
~ 0 . On montre alors que
d’anneaux locaux noethériens.
définitions, un. complété formel
inversement, tout schéma formel est
et
formel,
est
comme
affine (i. e, tel que 5
tous
les
le
implique que
1, n sont) est équivalente à la
topologique noéthérien, J-adique séparé et complet.
définitions habituelles :
etc.,
propre,
pour les schémas
plus
localement de
la donnée d’un schéma formel
Les
faisceau cohérent
un
soit
haut est
un
schéma
type.
En
fait,
affine,
ce
qui
ce
donnée d’un
anneau
morphisme, morphisme de type fini, morphisme
ordinaires, s’étendent sans difficulté aux schémas
formels.
3. Les trois théorèmes fondamentaux.
Soit
soient
Y’
f:
X
---~ ~
cohérent
sur
oublie
formels,
X’
(noethériens
toujours),
comme
inverse dans
son
considérons
regarde que le morphisme propre f de schémas
le faisceau cohérent F sur X .(Cependant, le conférencier n’a
F
et on
ne
complète
que dans le
cas
où
on
part
de
X, Y , f , F ) .
,
THEOREME 1
i.
propre de schémas
image
Y,
X,
X
Alors
f
un
induit
correspondants.
morphisme
Y,
de schémas formels, qui est d’ailleurs propre. Soit F un faisceau
Xy alors F est un faisceau cohérent sur X . Dans le théorème 1 ,
écrit de démonstration
,
morphisme
formels
X~ Y,
et
un
partie fermée de
une
complétés
les
on
X ---~ Y
f :
Rqj (F)
Les
ii. Les
sont des
(théorème
de
finitude ) .
’
sont des faisceaux cohérents
homanorphismes
sur
Y .
naturels
isomorphismes.
énoncé, on suppose choisi un sous-faisceau cohérent J de 0y
définissant Y’ , d’où par image réciproque un sous-faisceau cohérent de 0~
définissant X’ d’où par suite la définition des F , X ,
Y et f :. X
Dans cet
comme au
n° 2 . Les
notations sont
changements
évidents,
si
on
l’explicitation de
morphisme propre quelconque
mineurs à faire dans
partait
d’un
ces
de deux
schémas formels.
Le théorème 1
ne
concernait que la
"cohomologie formelle".
Le
théorème
suivant
"cohomologie algébrique"~ et s’apparente à un théorème
bien connu de SERRE [4] sur la comparaison entre cohomologie algébrique et
cohomologie analytique.
la met
rapport
en
THEOREME
la
avec
ceaux
(Premier théorème de comparaison). - Les Rq f (F) sont des
cohérents sur Y (ce qui est un cas particulier du théorème 1), et
2
fais-
les
homomorphismes naturels
sont des
isomorphismes.
COROLLAIRE 1. -
On
a
Ce corollaire
est, pour
holomorphes"
des fonctions
R~f~(F)
isomor hismes canoniques :
des
q
=
de
=
R~
f (F) .
0 , une généralisation du "théorème fondamental
Zariski, dont nous déduirons une généralisation
"théorème de connexion" de Zariski. Notons d’ailleurs que, alors que le
théorème 1 (ii) est trivial pour q = 0 , il n’en est plus du tout de même pour
le théorème 2 ou pour sa formulation équivalente (corollaire 1). En fait, la démons-
du
tration
car
par récurrence descendante
procède
nuls),
alors les deux membres sont
dernier pas de la
COROLLAIRE 2. -
Y
Supposons
Spec (A) ~
=
A . Alors pour tout faisceau cohérent
A-modules de
type fini,
Appliquant
enfin
COROLLAIRE 3. A . Soient
Bien
qui
ù :
G
=
H
=
homomorphisme
(moyennant quoi
u :
alors les corollaires 2 et 3
A
F
cas
"le
donc
grand,
q
plus difficile".
F)
les
sont les
on
de
sont des
F) .
trouve :
étant défini par llidéal
Y’
le
comme
J
âe
X, alors Hom(F y G) est un
complété J-adique s’identifie à
sur
G) ~ Hom(F ~ G)
F
~
devient
G
un
G).
est oelle
prolongement "par continuité"
foncteur en F) .
son
séparé et complet
précédents donnent :
soit
apparaît
0
Hom~X (F ~ G) ,
naturelle
un
Supposons maintenant que
X~
sur
Spec (A) ~
dont le
sur A ~
le
trivial pour
étant défini par l’idéal J
Y’
deux faisceaux cohérents
entendu, l’application
associe à
F
f ini
Y
F
=
complétés J-adiques
corollaire à
Supposons
G
F~
module de type
ce
dont les
q
peut dire
on
(étant
q
et le cas
donc si
récurrence,
sur
pour
sa
topologie
J-adique,
Cette dernière identité montre que la
s’identifie
X
induits)
~
de la
catégorie des faisceaux cohérents
à une sous-catégorie (avec comme morphismes les morphismes
catégorie des faisceaux cohérents sur X . En fait, on a
,
sur
w
qu’ un faisceau de modules sur X soit cohérent~ il faut
et il suffit qu’il soit isomorphe à un faisceau de la forme F ~ où F est un
faisceau cohérent sur X (déterminé à un isomorphisme canonique près en vertu
du théorème 2, corollaire 3).LOn rappelle que maintenant Y = Spec(A) ~ A étant
un anneau topologique noethérien
J-adique séparé et complet].
THEOREME 3. - Pour
COROLLAIRE 1. - Les sous-schémas fermés de
correspondent biunivoquement
X .
sous-schémas formels fermés de
aux
X
effet, ils correspondent aux sous-faisceaux cohérents de ex
Regardant les graphes de morphismes comme des sous-schémas fermés,
resp. de
En
on
OX .
déduit du
corollaire 1 :
X, Z deux schémas propres au-dessus de A, (annaau
noethérien J-adique, séparé et complet). Alors l’application g --~ g définit
une correspondance biunivoque entre les
Y-morphismes de X dans Z, et les
Y-morphismes de X dans Z.
COROLLAIRE 2. - Soient
En d’autres
termes,
les schémas
algébriques
propres
sur
A
apparaissent
comme
morphismes induits) de la catégorie
des schémas formels propres sur Y . On fera attention cependant qu’il existe des
schémas formels propres sur Y qui ne sont pas "algébrisables", i. e. isomorphes
à un X, avec X propre sur A (tout comme il existe des variétés analytiques
une
sous-catégorie (avec
complexes compactes qui
le corps des
comme
ne
complexes).
morphismes
les
pas de variétés
proviennent
"théorie des modules". Notons cependant
un
schéma formel est algébrisable :
k ,
’X
et soit
que).
particulier intéressant où
noethérien local complet de corps résiduel
un anneau
schéma formel propre
sur
(muni
A
de
sa
topologie (A)-adi-
On suppose
i. que les
revient
sances
un
A
un cas
anneaux
locaux de
0~
sont des modules
A
munit
0~
et
de l’idéal maximal de
A ~
on a
au
méme,
si
on
plats
sur
A ~
ou ce
de la filtration définie par les
pour les
gradués associés la
qui
puis..
ralation
gr°(0.~) g gr (A) .
°
ii.
sur
façon naturelle
De tels schémas formels s’introduisent de
en
THEOREME 4. - Soit
algébriques définies
Considérant o
k
comme un
schéma
algébrique
sur
k,
on a
J( o
iii.
Sous
ces
à À , où
est
projectif.
conditions, ~
X
algébrisable,
est
façon précise
et de
est
isomorphe
est un A-schéma projectif.
(ii)
seront vérifiées
(iii)
est une
particulier si
courbe simple sur k y et le théorème 4 pourra s’appliquer en particulier dans
la "théorie des modules" pour les courbes de genre donné... Indiquons comment
Les conditions
et
démontre le théorème 4 :
on
montre
on
en
(cf. proposition 3 plus bas)
que
(i)
et
(ii) impliquent que tout faisceau cohérent sur o , localement isomorphe au
faisceau fondamental, s’obtient par réduction à partir d’un faisceau de même
nature sur
~ . Partant alors d’un faisceau "ample" sur X o (il en existe
d’après (iii)) on le remonte en un faisceau inversible sur 3( , et utilisant
le théorème 1 on prouve qu’un multiple de ce dernier définit une immersion de
X dans le complété formel d’un schéma
( "pr o j e c tif type" de dim r audessus de A ) .
Pr
Pour la
4.
démonstration des théorèmes 1 à 3 ,
Application
Soit
X
f :
au
théorème de connexion et
-4 Y
un
de finitude
morphisme propre
est
un
au
de
[1 ] .
reportera à
on se
"Main theorem" de Zariski.
schémas,
faisceau cohérent
alors
sur
Y~
d’après
le théorème
c’est d’ailleurs
un
faisceau
d’algèbres commutatives, donc il correspond à un Y-schéma g : Y’--~ Y
Y (défini par la condition d’être affine au-dessus de Y ~
l’image inverse d’un ouvert affine est affine, et que
se factoliee alors canoniquement en
ou f’ : X ~Y’ est un morphisme de X dans Y’
fini au-dessus de
i.
e.
que f
qui
cette fois-ci est tel que
appelée
comparaison,
on
de
corollaire
à
1,
trouve que
X
le
X’
de
long
Oy,
i
X’
est
g :
f’ ~ (Q~) ~ OY,
i
d ’ °Ù
f .
f
et à la
est
connexe
local ; ) .
.
On
a
f
Y’
le
Appliquant
partie de
Y’
(autrement,
un anneau
f
est
premier théorème de
réduite à un point
Y
y’
les sections formelles
local,
or
Soit
f :s
le
complété
de
Zariski). -
X
---~ Y
un
factorise de
se
--~1
Cette factorisation de
prouvé :
de connexion" de
propre, alors
en
de
formeraient pas
ne
THEOREME 5 ("Théorème
morphisme
0y, .
de Stein
la factorisation
est f ini
g~ (OY, ) ~ ~f~ (OX) ) .
.
façon unique (à un isomorphisme près)
et f’ :; X ---~ Y’
est tel qu~e
Les fibres de
f’
sont connexes,
i.
l’ensemble des
e,
composantes
correspondance biunivoque
i.
d’une fibre
de
l’ensemble des points de
avec
l’ensemble des idéaux maximaux dans
e.
On
connexes
Y’
f
est en
au-dessus de
y ~
f (CL)
.
déduit immédiatement les variantes habituelles du théorème de connexion.
en
Notons ici seulement le
COROLLAIRE 1. - Pour
qu’un point
f’-1 (y’ )
il faut et il suffit que la fibre
ou encore
U
de
duit
ces
f’
Pour montrer que
un
est
f’-1(V)
x)
V
parcourt
les
le résultat
un
parcourent
système
S’il
en
X
de
X
On
en
un
soit contenu
sera
laire
~Y
1,
le
cas en
on
voit que
x ~
voisinage
sur un
x
induit un isomor-
f
soit
de
voisinages
un
cas
y’ .
ft
(Ox) Oy, ,
in-
et
au
y’ est réduite
voisinages de x quand
en
On
en
déduit aussitôt
"géométrique" .
morphisme fini,
il faut et il suffit qu’il
fibres soient finies.
1’
ainsi,
X
f :
Soit
que
est
ses
fondamental de
à CHEVALLEY dans le
COROLLAIRE 2. - Pour que
soit propre et que
système
un
fondamental de
suivant, dû
soit réduite à
x, on note que
=
à f’
en
0, ~ 0 , comme on voit grâce
étant une application fermée dont la fibre
(f’
à
qui
local
isomorphisme
un
unisomorphisme
fait que
fibre
Y’ .
ouvert de
sur un
sa
(où y’ = f’ (x) )
isomorphisme d’un voisinage de
points est un ouvert U, et f’
induise
L’ensemble de
de y’ .
phisme
f’
que
soit isolé dans
X
de
x
est
un
isomorphisme d’après
ce
qui précède.
nécessairement propre, mais supposons
ouvert dans un Y-schéma propre f : X ~ Y (~e
morphisme
comme
induit
isolés dans leur fibre
non
f
si
particulier
f
effet
en
est
quasi-projectif). Appliquant
de l’ensemble
isomorphisme
un
sur un
(et
Y’
ouvert de
que
U
U
des
le corol-
points
ouvert).
est bien
déduit la variante globale suivante du "Main Theorem" de Zariski.
THEOREME 6
( "Main
Theorem" de
type fini. Alors l’ensemble
fibre est ouvert, et si f est
de
partie
Comme
ouverte d’un schéma
un
morphisme
quasi-projectif,
on
Y’
Zariski). -
Soit
X
f :
de
X
qui
quasi-projectifL
U
est
U
des
points
fini au-dessus de
--~
Y
un
morphisme
sont isolés dans leur
Y-isomorphe à
une
Y ,
type fini est localement affine, et a fortiori localement
déduit aussitôt du théorème 6 les variantes usuelles locales
de
du Main Theorem.
5. Application à l’étude cohomologique des morphismes propres et plats.
Soit
f :
X ~ Y
un
morphisme propre,
soit
F
un
faisceau cohérent
sur
XJ
F
£tant
0
(y
F le
=
0Y )
de
ternes
Cela
le
par les
est
F,
les
sur
induit par
F
sur
arrive à des
gr(0 Y) ,
d’autres
en
de
f~1 (y)
désigne la fibre
résiduel X (y) de
y
Tenant
X.
et
majorations
y ~ connaissant la
compte
parfois
y , et
considérée
Nous allons
en
signaler
PROPOSITION 1. - Soient
y
y
isomorphisme et du théorème z~
computations des R~ f (F) au voi-
des
de
à coefficients dans
X
~
X
que
H~(X ~
n ,
F)
=
conséquence
Le
F,
suivante :
X
2014~ Y un morphisme propre, F un faisceau
Y-plat. Soit y 6 Y ~ soit q un entier, et supposons
cohérent et
sur
F
le faisceau
F
de cet
cohomologie
seulement la
schéma
comme
théorème 2 prend ici la forme
tout
anneaux
y 6 Y , si nous filtrons
( m, étant l’idéal maximal
y
à (F/n Y F) ~(y)
X Y
isomorphe
X
n , où
propre au-dessus du corps
s inage
aussi que pour tout
plats
on a
pour tout entier
on
sont des modules
F
x
f-1 (y)
gradué associé
les
e,
signifie
de la fibre
long
1,
Y-plat,
supposé
f (x) ) .
f :
R f (F)
0 . Alors
l’homomorphisme
est nul
(F)
naturel
au
voisinage
de
y ~ et pour
~ Hq-1(Xy , Fy/mynFy)
est
surjectif.
En
si
particulier,
f
est
un
morphisme plat (i.
tout faisceau cohérent localement libre
deux tels
on
faisceaux, appliquons
la
F
sur
propositioni à
X
e.
est
HomOX
0.,
est
Y-plat.
(F , G)
Y-plat)
alors
Soient
et à
q
==
F~ G
1y
trouve :
un. morphisme propre et plat, soient F , G
cohérents localement libres sur X ~ soit y $ Y et supposons que
(F G ))
y
induit par
un
U
COROLLAIRE. - Si
En
alors il
de
u
en est
particulier :
alors tout
0~
homomorphisme
voisinage
phisme)
=
u;
homomorphisme
u :
deux faisceaux
F 2014~G
est
est l’image
inverse
y.
isomorphisme (resp. un monomorphisme,
même de u , pour U assez petit.
est
de
un
un
épimor-
COROLLAIRE 2. - Soit
E
faisceau cohérent localement libre
un
E )) =
que
des restrictions à
de
sont
Xy
0,
X
sur
tel
alors deux faisceaux localement libres dont
isomorphes
à
sont
dans
isomorphes
un
voisinage
X.
Ainsi :
COROLLAIRE 3. -
(i.
isomorphes,
X
sur
On
en
e,
Supposons
0, y) ==
sont
dont les restrictions à
X
sont
isomorphes.
déduit :
lement libre
associé à
schéma connexe, E un faisceau cohérent locaY, considérons le fibre en espaces projectifs X = P(E~
sur
E~
muni de
faisceau inversible
où
dernier
est
Y
L
sur
L’
un
faisceau inversible bien
son
déterminé
La corollaire 3
est
de
précédent
proposition 2 permet
autre fibré projectif.
La
à
X
est
un
faisceau inversible
isomorphe
façon unique,
un
connu
faisceau de la forme
Y
n
et L’ .est déterminéà
un
est
près
sur
isomorphe à
en
un
isomorphisme près.
Dx (n)
un
entier.
au
voisi-
formel.
de déterminer les
On trouve
Alors tout
CL,(l) .
et
L
prouve que
nage de chaque fibre. Le reste est à peu
un
0 . Alors deux faisceaux inversibles
localement isomorphes à
PROPOSITION 2. - Soient
Ce
y
Y-morphismes
particulier :
X
de
=
P(E)
dans
automorphisme de X = P(E) . Alors il existe un
faisceau inversible L’ sur Y et un isomorphisme v de E sur E @ L’ tel
=
le c ouple
~u~ u s oi t l’isomorphisme correspondant P (E ) . =-~ P(E @ L’ ) P (E ) ;1
COROLLAIRE. - Soit
u
un
(v , L’) est déterminé un isomorphisme
Soit r 1’ ensemble des classes de fibrés
inversibles
L’
sur
Y
tels que
isomorphe à E. Les éléments sont de torsion, car si n est le
l’on
rang de E ~ on voit (en prenant les puissances extérieures n-ièmes) que
doit avoir L’ ~n ~ 0 . Le corollaire peut alors s’exprimer en disant qu’on
E @
L’
a une
soit
suite exacte de groupes.
(d’ailleurs déduite
de la suite exacte de
suivante, de faisceaux de groupes
cohomologie déduite
de la suite exacte
identifié
est le faisceau des "unités" de
OX
où
au
centre de
6. Application à des théorèmes d’existence et d’unicité pour des . faisceaux et
schémas sur un anneau J-adique complet.
Le
théorème 7 donnait
un
résultat d’unicité
sur
des faisceaux cohérents loca-
lement libres, en utilisant les théorèmes 1 et 2. Utilisant le théorème 3, noua
déduisons maintenant des théorèmes d’existence de faisceaux, de morphismes de
schémas, ou de schémas. Dans la suite,
séparé et complet. La méthode générale
A
désigne
noethérien local’,
un anneau
consiste touj ours à faire des constructions
f ormelles, ce qui consiste essentiellement à faire de la géométrie algébrique sur
un anneau artinien, et à en tirer des conclusions’ de nature "alge’brique" en
utilisant les trois théorèmes fondamentaux.
PROPOSITION 3.. - Soit
F
soit
un
schéma formel propre et plat au-dessus de
faisceau localement libre
un
XO
sur
o
-
tel que
Ii’o) )
HomO
--°ji (Fo°’ ,
O
-
A,
°
o
Alors il existe
faisceau
un
près
un
à
isomorphe
si
°
~""~;
on construit de
Xn ,
faisceau localement libre
proche
(Cet
F .
Fo) )
0
en
proche
sur
est d’ailleurs
H2(X , HomO
o
(Foo ,
F
o
induit
à
un
qui
3,
on
rencontre
Fn
comme
obstruction
une
hypothèse.
est donc nulle par
trouve :
et soit
un
sur
sur
X
isomorphisme près
Soit
X
un
o
(par quoi
propre
nous
sur
nous
un
faisceau
si
HomOX
schéma de type fini
entendons absolument
k . Soit
A
un anneau
le
point de départ
Cet
(Fo Fo)) =
.,
d’ailleurs unique à
F
un
0 .
o
sur
le corps
simple)
sur
k,
k,
on
suppose
X
,
o
X
plats
sur
de la "théorie des modules"
.,simple
r.
mais pas nécessairement
artinien local de corps résiduel
intéressons à trouver les schémas
(c ’est
à
isomorphe
X
-
o
induisant
les
sur
Fn
schéma propre et plat au-dessus de A,
.ci..dessus. Alors il existe un faisceau localement libre F
X
COROLLAIRE 1 . - Soit
X
sur
isomorphisme
des faisceaux localement libres
»d
A/J
Utilisant maintenant le théorème
~ qui
unique
0).
s’induisant l’un l’autre. La construction de
dans
F
=
°
F
F
A,
ou
tels que
k. Nous
X
®A k X
des"variations de
=
=
0 .
structure" dc
pologique
X o ). Il revient
Xo
i. C’est
un
un
même de
au
faisceau
OX
A-algèbres);
les structures de
ditions suivantes :
un
tel
X ,
l’espace
ou sur
to-
A-algèbres .
faisceau de
ü. Il est muni d’un homomorphisme
avec
donner
se
muni des structures suivantesi
d’augmentation
induit
l’augmentation
0X
~
(compatible
0
données étant assujetties
ces
Ohx ~A k .=-~ OX
isomorphisme
un
aux con-
0
plat
est
OX
A,
sur
i.
de l’idéal maximal m de
des
isomorphismes
gradué associé
le
e.
A
mn OX/m
est
n+1
à
isomorphe
Q
à
filtré par les puissances
OX
i.
x
0 X (mn/mn+1) . Le
^
e,
on a
fait fondamental est
le suivant :
,
,
THEOREME 8. . Soit
rr
.
Xo
supposons
Xo
un
o
affine. Soit
alors il existe
un
schéma de type fini et simple
A
A-Schéma
A
plat sur
tels schémas sont nécessairement
k~
local artinien de corps résiduel
un anneau
X
le corps
sur
X
tel que
~A
k = Xo ,
k,
et deux
isomorphes.
l’isomorphisme en question n’est pas canonique, car X aura en
général des A-automorphismes non triviaux induisant l’identité sur Xo . D’autre
part, il n’y a pas en général de choix "canonique" d’un X satisfaisant les
Notons que
k-algèbre, (cas d’égales
Yo ~ A ~ e. OX OX 0 ~ A (que
Xo soit affine ou non d’ailleurs) . Dans le cas d’inégales caractéristiques,
j’ignore en général, quend Xo n’est pas af’fine, si on peut "remonter" Xo en
et
X défini sur X. CepEndant~ soit n un entier > 0 ~posons
un
An _ 1
données, sauf dans le cas
caractéristiques) où on peut prendre
conditions
X
est une
A
ou
i.
=
=
w
qu’on
supposons
ait remonté
de remonter
que c’est
remonte
de
x
(induisant
désignant
que l’on
plat
part
d’ autre
Xnrl ,
U
°
on
On sait
Hz (X ~ 0
n-1
,
obstruction à construire
o/k ) d ~1L /~’10+~ ,
COROLLAIRE 1... Soit
:~o
un
déjà
en
propose
vertu du
vérif ie facilement que, si
est
canoniquement
et en
particulier
le faisceau des germes de k-dérivations sur
a une
on se
Un
alors le faisceau des groupes
Un w 1 )
sur
restreint à
/k ~kmn/mn+1
dans
de
ouvert
plat
en un
en un
possible localement,
un
Un
Xo
Xn
Xo ) .
est commutatif
(
remontant
trouve
qui
se
k~
supposons
Par suite ;
schéma de type fini simple
X
k
Il s’ensuit facilement
sur
0 . Alors pour tout
=
il existe
A-schéma plat X
un
si
D’ailleurs,
plats qui
OX
compatibles
le
Aut(Xn) ;
tifie
qui
est
dans le centre de
des germes
Utilisant
et
d’automorphismes
résultats,
ces
mn+1 = 0 ,
soit
l’identité
un
(Noter
dernier
GXo/k~kmn ;
isomorphe
X
qui
cran
première puissance
de la
Xn-1 = X ~A A/liin .
sur
général,
en
il
et enfin soit
n’y
a
il
pas de
X -
l’ensemble des classes
Xh
(à
tels que
un
plat
un
isomorphisme près
X ~A An_1
o/k ) ;plus
il existe
généraux,
en
y supposant seulement que
de corps résiduel
complet
isomorphisme près )
un
impliquent immédiatement
Les corollaires 1 et 3
obtenus
un
k,
pourvu
qu’on
induisant
Xn-1 est vide,
n’y a pas d’élément origine privilégié dans
en
façon privilégiée de remonter
Xn
un
(à
au
=
tel
)
sous
schéma de type fini simple sur
Xo
0 . Alors pour tout anneau local artinien A
1
est
obtient aussitôt les énoncés suivants :
principal homogène
COROLLAIRE 3. - Soit
formel
filtration)
c’est aussi le faisceau
induisent l’identité
A-schémas plats
espace
car
espace,
k ,
filtration
et s’iden-
un
.
sur
que
X
A =
Xo Alors
k =
.
est
de
A-algèbres
filtration
une
commutatif,
est la
si
A-schémas
schéma de type fini simple sur k, soit A un
local artinien de corps résiduel k et d t idéal maximal m , on suppose
COROLLAIRE 2. - Soit
ou
on
filtration est
(le
alors
définit
OX
en
bien entendu
où
par le n-ième sous-groupe de la
gradué associé à cette
gr (A) . En particulier,
nulle,
de
du faisceau de
d’automorphismes
l’augmentation.
quotient de ce faisceau
le
isomorphisme près)
un
La filtration de
avec
alors
remontant
mm~
le faisceau des germes
de corps résiduel k
A
X.
A
sur
Hl (X0 , Aut (X ) ) ,
o
de
anneau
k =
~
plat
s’identifie à
X
remontent
désigne
de
X
théorème 8, l’ensemble des classes (à
vertu du
étant
tel que
pu trouver un X
on a
local artinien
anneau
A
est
énoncés,
k,
de corps résiduel
en
un anneau
y introduise
X
).
et supposons
A-schéma plat X
les
de dernier
tel que
apparence
plus
local noethérien
comme
un
schéma
A :
sur
,
THEOREME 9, -
Pour tout
Soient
anneau
un corps, Xo un schéma de type fini simple sur k ,
complet A de corps résiduel k, soit F(A)
(à un isomorphisme près induisant l’identité sur X )
k
local noethérien
l’ensemble des classes
’~
de schémas f ormels
X
~
i.
k
go , Avec
Si H (X
=
de
A~
sur
type
fini et
plats
tels que
A,
sur
notations :
ces
jk)
0,
=
’
H2(Xo’ 4) Xjk)
=
alors pour tout
alors pour tout
0,
F (A)
A,
plus
a au
A, y (A)
élément.
un
moins
a au
un
élément.
COROLLAIRE 1. -
il
A,
schéma
Supposons X propre sur k . Sous la condition (1) , pour tout
existe au plus (à un isomorphisme près induisant l’identité sur
Xo) un
X propre et plat sur A , tel que .X
QA k X .
=
On utilise le théorème
COROLLAIRE
X
2. - Si
corollaire 2 . par
3,
est
un
schéma propre et plat
isomorphe. au schéma projectif type
est isomorphe à
soit
’~Â ,
X
(On peut
aussi déduire
COROLLAIRE 3. - Soit
ce
X
exemple ;
k
~
de dimension
k, alors
~k
sur
r
résultat de la proposition
un
X
telque
A
sur
1) .
corollaire
3,
schéma simple et projectif
sur
k,
X
sur
supposons que
l’on ait
Alors pour tout
On
conjugue
il existe
A ~y
le théorème
COROLLAIRE 4. - Soit
k . Alors pour tout
il existe
un
REMARQUES.
1)
X
anneau
en
le schéma d’une courbe
local noethérien
prenant pour
lequel
p
A
X
complet
sur
A,
algébrique complète, et simple
de corps résiduel
A
tel que
X ~A
k =
sur
k~
X .
sur un
tel
k ; par exemple
engendre l’idéal
anneau
caractéristique
caractéristique
possible" , savoir
est de
k
de valuation discrète de
un anneau
Cohen, il suffit de connaître
Signalons à ce propos que, selon
des schémas sur un corps k qui
moyen
tel que
..
de
défini
A~
théorème 4 . E~n particulier :
et le
"schéma de courbe simple"
de corps résiduel
celui pour
un
schéma projectif et plat
Les corollaires 3 et 4 sont surtout intéressants si
p ,~ 0 ,
0,
9(ii)
un
le
"plus petit
maximal.
A
(En fait,
à
cause
les corollaires 3 et 4 pour
spécialistes,
les
ne
on ne
sont pas réduction
A . Du moins les résultats de
d’investigation systématique
de cette
question.
un
des théorèmes
tel anneau
A ) .
sait pas s’il existe
mod
ce
p
d’un schéma
plat
numéro donnent-ils
Il faudrait
commencer
par regarder si la première obstruction
nécessairement nulle.
qu’on
a
est
dans
On notera que le théorème 3 , et’ la technique correspondante, n’est valable
que pour un anneau de base (local pour fixer les idées) complet.
2)
Pour passer de résultats
connus
pour le
d’un
complété
anneau
local à des
résultats correspondants pour cet anneau local lui-même, il faudrait
"théorème fondamental", dont l’énoncé définitif reste à trouver.
un
quatrième
3) On comparera les résultats de ce numéro (notamment les corollaires 1 et 2
précédents) et du suivant, avec les résultats de Kodaira-Spencer sur la variation
des structures complexes. Utilisant le théorème conjectural auquel il vient d’être
fait allusion, on devrait pouvoir conclure, sous les conditions du corollaire 1,
mais où A ne serait plus supposé complet, qu’il existe un anneau A’ contenant
A’ et X’
A , fini et non ramifié sur A , tel que
~A A’ soient A’-iso1
morphes, (X , X’ étant deux A-schémas propres et plats donnés, tels que
C’est
qu’ on peut
proposition 2.
utilisant le corollaire à la
de
peut prouver que les fibres
on
Y
ce
=
Spec (A)
sont
du moins
isomorphes,
(On
du corps résiduel
X ,
a un
X’
prouver du moins
En tout
quand X
cas, lorsque H
au-dessus de tout
quand
on
point
y
passe à la clôture
résultat local, plus fort
en
^~r ~
en
de
algébrique
en
apparence,
supposant plus nécessairement A local). En ce qui concerne les "variations
l’espace projectif, signalons encore la question suivante,
suggérée par un problème correspondant de Kodaira-Spencer. Soit X un schéma
propre et plat au-dessus de l’anneau local intègre A de corps des fractions K ,
est-il
K soit isomorphe à
de corps résiduel k, supposons que X
vrai que X
(du moins sur la clôture algébrique de
@A k Xo est isomorphe à
ne
de structure" pour
~
k ) ?
Dans
ce
problème,
discrète complet. On
7.
Application
~r ~
p
=
on
a un
peut supposer que
A
est
problème analogue quand
un anneau
Xo
est
une
obligés de
plaçons sur
un
limiter à
corps k,
quelques
i.
e.
indications. Pour
nous
travaillons
le théorème 8 permette aussi de traiter le
semble-t-il. Nous n’avons pas
le
variété abélienne.
à la "Théorie des modules".
Le conférencier venant seulement lui-méme d’aborder cette
nous
de valuation
dépassé
cas
simplifier,
en
nous serons
nous nous
égalecaractéristique,
général,
sans
actuellement le stade
conférencier espère pouvoir construire à partir
théorie,
de là des
bien que
changement essentiel,
"formel", cependant
schémas de modules
véritables dans certains cas, et en particulier construire pour tout entier g
un schéma sur les
entiers, jouant le rôle d’un schéma des modules universel pour
les courbes
que
est
algèbre
une
simplifier.
pour
g.
la situation et les notations du théorème
Reprenons
A
de genre
simples
locale de rang fini
F(A)
Alors
B
plat
X
sur
peut être
regardé comme un fondeur covariant de
catégorie
ensembles, un homomorphisme de k-algèbres
définissant une application F (A) -..~ F(B) , puisque tout A-schéma
à valeurs dans la
A1
A -..~
9 , en supposant maintenant
k, supposé algébriquement clos
tel que
des
k =
X ~A
donne naissance à
X
B-schéma X
un
mêmes propriétés. S upposons qu’on puisse trouver une
noethérienne O ,y et un isomorphisme fonctoriel
(où
k-algèbre
~~
B
ayant les
locale
complète
le
premier membre désigne les homomorphismes de k-algèbres). On voit facilement qu’un tel O est déterminé à un isomorphisme canonique près, on appelle
alors le spectre formel
de O (i. e. l’espace topologique réduit à un point
Y
topologiques réduit à () ) le schéma formel des
. (Notons qu’il n’existe pas nécessairement). Soit Y l’idéal
(donc 0 k ) , alors
pour tout n soit 0 -
muni d’un faisceau d’anneaux
modules pour
X
maximal
=
l’homomorphisme
un
canonique 0 -
élément de
est
X.
Ces
i.
X
(i.
e,
~
bien déterminé
ici par
se
e,
un
0
sur
le
un
0 -schéma
déduisent les
réductions),
est
uns
d’où résulte
schéma
élément de
plat
y
donc définit
X
des autres par extension des scalaires
qu’ils proviennent
formel des modules
L~ et 1. = X .
Hom((3, 0 ) ,
dont la réduction mod l’
d’un
;
schéma formel
~
est
plat
L’isomorphisme (*) est .alors donné, comme on voit aussitôt,
---~ A la classe du A-schéma
en associant à tout homomorphisme de
on
3i
(i. e, à tout morphisme de k-schémas
Spec (A)
obtenu par changement de base). Be plus, on
associe le
voit que l’isomorphisme (~) et sa description précédente seront valables encore
sur
k-algèbres 0
~=
?-~schéma
si
on
suppose seulement que
A
est
une
k-algèbre
--.~ ~
locale noethérienne et
complète
fort
d’habitude, G
entendu,
bien à priori avoir des éléments nilpotents, et il semble probable qu’il doive
exister des cas où G est lui-même artinien, sans être identique à k . C’est
dire à quel point le point de vue de Kodaira-Spencer (se bornant à prendre des
A qui sont des anneaux réguliers) est inadéquat a priori dans le cas général.
(pas
nécessairement
artinienne).
Bien
comme
peut
qu’il existe un schéma formel
des modules pour
supposé propre sur k ~ .De façon générale, il est facile
de donner des conditions nécessaires et suffisantes simples sur un fonctsur
A .--.~ F (A) (de k-algèbres locales de rang fini, à valeurs dans les ensembles)
A) pour (") convenable. Nous
pour qu’il puisse se mettre sous la forme
ne les détaillerons pas ici. Signalons seulement que dans le cas qui nous occupe,
ces conditions imposent des conditions non triviales de nature cohomologique sur
X , et il semble peu probable qu’elles soient toujours vérifiées, bien que le
conférencier n’ait pas construit de contre-exemple. Il semble plausible par
Il reste à donner des conditions suffisantes pour
H°(X ~
contre que la condition
nous
=
soit
0
condition suffisante
une
(bien
pour l’existence d’un schéma formel de modules. Nous
nécessaire)
que nullement
°~k )
bornons à énoncer ici
un
théorème dans
un cas
particulièrement simple (dont
l’analogue en théorie des espaces analytiques est bien connu, cf. KODAIRA-SPENCER),
qui s’établit sans difficulté à l’aide des résultats du numéro précédent :
THEOREME 10. - Soit
Alors il existe
un
local régulier ()
Comme
nous
l’avons
X
est
un
°
déjà signalé,
truire
un
il n’est pas vrai
algébrisable ;
H2 (X , Cl- ) =
projectif
soit
mais
et
est de dimension 1. C’est
o
schéma pr opre e t simple
s ur
le,
le c orps
schéma formel des modules pour
X y correspondant à
~i, e, une algèbre de séries formelles sur k ) .
formel ~ sur 0
quand X
X
schéma de modules
ce
sur
0
on
en
général
tel que
un anneau
que le schéma
sait que c’est vrai
(théorème 4) ,
par
cependant
exemple quand
qui donne quelque support à l’espoir
de
cons-
les entiers pour les courbes de genre donné
...
Remarquons aussi que des méthodes comme celles exposées dans ce numéro peuvent
s’appliquer dans la construction et l’étude des variétés de Picard, et bien
d’autres constructions
8.
Application
au
encore.
Nous y reviendrons
prochainement.
groupe fondamental.
techniques exposées permettent d’aborder l’étude systématique du groupe fondamental, sur le modèle de la théorie topologique. Les deux premiers théorèmes énoncés
Les
numéro sont des généralisations de résultats d’un travail récent de
lANG-SERRE.
dans
ce
Soit
X
un
schéma,
alors
un
X-schéma X’
est
appellé
un
revétement
non
ramifié
si
X
de
1,
X’
est fini
A= A(X’)
ii.
est
faisceau localement libre
un
iii. Pour tout
séparable
un
faisceau cohéDent
d~algèbres
x
le
E. X ,
X
sur
A = Ax ~0 x03C0(x)
quotient
est
une
algèbre
~rC (x ) .
sur
Cette notion de revêtement
toutes les
est défini par
e,
X
sur
A
i.
X~
sur
à SERRE et
ramifié
(due
élémentaires
auxquelles
propriétés
non
on
au
conférencier) possède
peut s’attendre raisonnablement,
et dont nous ne dresserons pas la liste. Bornons-nous à dire
qu’elle donne lieu
â une théorie de Galois calquée sur la théorie de Galois classique (et la contenant ; les démonstrations étant plûtot plus simples que les démonstrations
généralement reçues pour cette dernière) et la théorie galoisienne des revétements topologiques. De façon précise, appelons point géométrique d’un schéma X un
morphisme a du spectre ~ d’un corps algébriquement clos il dans X, i. e.
d’un point
la donnée d’une extension algébriquement close du corps résiduel
x
~a~
=
un
de
(appelé localité
X
revêtement
ramifié de
non
"points géométriques
formés d’un
x’
E X’
On obtient ainsi
R(X)
de
X’
X,
au-dessus de
des revêtements
x
(X, a) fixés)
non
ramifiés
X’
a " ,,
et d’un
un
X
est
E (X’)
des
l’ensemble des
couples
)l(x)-homomorphisme dans ~.
i.
fondeur
de
X’
Si alors
peut lui associer l’ensemble
on
au-dessus de
(pour
a).
point géométrique
du
e.
F(X , a)
dans la
de la
catégorie
des
catégorie
ensembles
couple formé par R(X) et F(X, a) possède les
propriétés formelles qu’il faut pour être isomorphe au couple analogue défini
par un groupe topologique compact totalement discontinu 1B (i. e. limite prodes ensembles
jective de groupes finis) convenable : on prend la catégorie
(E) = E
finis E sur lesquels fil opère continûment, et le foncteur identique
finis. Si
de cette
X
est connexe, le
catégorie
catégorie des ensembles finis. D’ailleurs, le
isomorphisme canonique près par la condition que (C (~’) ~
dans la
déterminé à un
soit isomorphe à un couple donné.
est
s’appelle le groupe fondal’occurence,
mental du schéma connexe X en le point géométrique a, et se désigne par
on le remplace par la composante connexe
y (X a) , Si X n’est pasX connexe,
est connexe, alors les groupes ~I1(X ~ a) pour
de x
)a) . Si cependant
étant
deux points géométriques a’ , a" de X sont isomorphes (l’is omorphisme
En
=
déterminé à
on
des
peut choisir
automorphismes intérieurs près),
a
au
mieux de
son
intérêt,
par
de sorte que comme d’habitude
exemple
au
point générique
de
supposé irréductible. Bien entendu, i (x , a) est un foncteur covariant en
le schéma pointé (X , a) . Tout énoncé concernant la classification de rovêtements
inséparables peut se traduire alors en langage de théorie des groupes, suivant le
dictionnaire bien connu (à cela près qu’il faut tenir compte du fait qu’ici on
a des groupes topologiques).
X
Notre but est de
développer l’analogue
de la suite exacte
d’homotopie
des
es-
paces fibres, relativement à un morphisme propre f : X ~ Y . Evidemment, faute
de savoir ce que sont les groupes d’homotopie supérieurs, on n’aura que des résultats
nécessairement incomplets. Pour pouvoir appliquer les théorèmes fondamentaux du
n°3 l nous devons d’abord expliciter quelques lemmes élémentaires concernant les
schémas
sur
des corps
ou
des
anneaux
d’Artin
revétement
(conformément
au
procédé général !).
ponctué associé à une
dans un ensemble fini E (muni du point
représentation ponctuée
marqué e ) . Alors le morphisme canonique
(X’ , a’ ) --~ ~ I (X , a) identifie
le premier groupe au stabilisateur de e dans
111 (X ~ a) (et est par suite
injectif).
LEMME 1. - Soit
LEMME 2. - Soit
radicie lle de
(X’ , a’ )
un
y
X
un
schéma
alors tout
algébrique
revtement
non
sur
ramifié
le corps
ramifié de
k,
image réciproque (i. e, extension des scalaires)
X , déterminé à un isomorphisme canoniquo près.
Il résulte
en
de
K
est
0
d’un revtement
une
extension
provient par
non
ramifié de
a
de
X ~ l’homomorphisme
fonctoriel
’~’~ (X’ ~ a’ ) ~~1 (X ,
schéma c omple t au-de ssus d’ un anneau local artinien A ~
OX) = A , soit X’ un revêtement non ramifié de X et soit
oX, ) , qui est donc un anneau fini sur A (pouvant a priori e’tre
A ). Soient X , X’ les sous-schémas réduits associés à X, X’
telque
=
k’
k’
injectif.
LEMME 3. - S oit ~
A’
k,
X
particulier de ces deux lemmes que pour toute extension algébrique
tout point géométrique a’ de X’ =
X ~ K se projetant sur
k ~ et
point géométrique
le
non
H (X’ ~
ramifié
sur
un
o
(obtenus
en
soit
un
k
divisant par les faisceaux des éléments
A/r (A )
nilpotents dans
OX’) ,
lequel A/r (A ) soit fini (ainsi X o
est un schéma algébrique complet sur k, et
X’o en est un revêtement non
il
Soit
enfin
ramifié).
une extension algébriquement close de k ~ et considérons
le
sous-corps de
revêtement
suivantes sont
non
ramifié
équivalentes :
s ur
de
Xo
Alors les deux conditions
a)
~’o~~
~"
est
complètement décomposé
ii. Le morphisme naturel
X’2014~X(~A’
Sous
est
~
A’
conditions.
ces
est connexe, la condition
X
est
un
extension
une
(i)
sur
équivaut
(~ -~.
isomorphisme.
ramifiée
non
A .
de
Enfin~
à la condition suivante
si
plus faible
en
apparence :
i.bis
admet
Lorsque
fié
la condition
X’ de
X
est
LEMME 4. - Soit
Soient
T~(X ,
(ii)
un
disconnexe,
en
effet ceci : si
faisceau
A@
LEMME 5. - Soit
est
d’algèbres
Y’t
(où
X
X,
T~(k ~
un
non
f
Le fait que le
donc
nuls,
fdirecte
(A)
=0 .
Y.
ramifié
libre A )
image
son
non
rami-
Alors
Y’ de
Y (cor-
est tel que
aussi,
Y’
directe de
sera somme
or
cette dernière
f (0.,) = A .
schéma complet au-dessus d’un corps
un
local
A
et que
k,
et soit
point géométrique
b)
revêtement
localement
non
°
un anneau
alors
un
3t-~-.
X
dirons que le revêtement
l’est aussi-. En effet
clôture algébrique de
Choisissons
de
nous
au-dessus de
f :
alors
autre que
a
est
vérifiée,
géométriquement trivial.
deux faisceaux d’anneaux
une
régulière
un
respondant à
-~-
section
X ~ Y un morphisme propre tel que
point géométrique de X, b sa projection sur
a) 2014~ ~(Y ~ b) est surjectif.
a
Il faut montrer
est
une
on a une
de
a
A/r(A)
X,
on
est radiciel
X=Xg)-n
se
k,
projetant
(il
est
sur
le
sur
suppose que
k.Soit
connexe).
point géométrique
suite exacte
il
est le groupe de Galois de
premier homomorphisme
k ) .
sur
injectif a été vu avec les lemmes 1
et 2 , l’exactitude au milieu résulte du lemme
3 , enfin la surjectivité du
dernier homomorphisme (qui seul fait appel au fait que
(A) soit radiciel)
est
résulte du lemme 4 .
PROPOSITION 4. - Soit
résiduel (y)
sur (y) , i.
(ce qui
e.
f :
X
est le
~X
un
morphisme
propre et
plat
tel que pour
soit une algèbre séparable sur le corps
(y))
cas
schéma séparable
exemple
f".(y)
par
si
est
réduit et tel que les corps correspondants à
irréductibles soient des extensions séparables
de
un
composantes
’)C(y)) . Alors le revêtement
ces
Y’
de
La
démonstration
est
au
ramifié.
non
grâce
est facile
théorème 2 .
au
lemme
1 , ramène pratiquement l’étude homotopique
plats (à
fibres
séparables)
utilisant la factorisation de
Stein,
on
et
morphismes propres
(car
.{oX)
f
proposition, jointe
Cette
des
associé à
Y
où
au cas
Y
remplacera
par
on a
f*(Ox) ~ 0y
Y’ ) .
REMARQUE. - Un morphisme plat de type fini dont les fibres sont des schémas
séparables (resp. simples)
f
plat
est
est
et si
f-1 (y )
nage de
est
sur
f
lequel
appelé séparable (resp. simple). On montre que si
séparable (resp. simple) alors il existe un voisiest séparable (resp, simple). Le même résultat
est valable pour "absolument normal"
f :
Soit
X’
et soit
X -..~ Y
un
un
sur
X . Soit
10 revêtement de
Y’
à la factorisation de Stein de
correspondant
y E Y , donc l’ensemble
des
composantes
s’identifie à l’ensemble des
Bertini").
de
propre tel que
morphisme
schéma fini
("théorème
points
X’
~
de
Y’
Y
théorème
(cf
F’ de
de la fibre
connexes
y’
Y
au-dessus de
y
5) .
X’
Soit
sur
y
(théorème 5) .
Considérons le morphisme évident
déduit des morphismes naturels
X’
chaque fois que
X’
X
--~
est de la forme
X
et
X .--~
Xy Y" ,
où
Y’ ;3
Y"
ce sera un
est
un
isanorphisme
revêtement
non
ramifié de
Y, et alors Y’ ne sera autre que Y" et (~) sera l’identité.
Nous voulons précisément donner des conditions moyennant lesquelles X’1 est
de la forme qu’on vient d’indiquer, i. e, que Y’ est non ramifié et (*) un
isomorphisme. Pour ceci, introduisons la fibre F de X en y ~ c’est un
schéma propre sur ~(y) dont F’ est un revêtement (non ramifié si X l’est).
Soit
Fil
une
au-dessus de
(ii)
(par
X’
est
suite
Ffl
(iii)
1
Fil
F’
composante connexe de
y . Supposons de plus
non
est
ramifié
est
un
un
sur
X
revêtement
aux
non
correspondant
points
de
ramifié de
à
un
point
y’ ~
de
Y’
F’ 1
F),
et
revétement géanétriquement trivial de
F
(cf.
lemme
3)
,
THEOREME 11. - S ous
ces
conditions,
il existe
un
voisinage
ouvert
U’
de
y’1
dans
(~)
Y’ , tel que
non
ramifié
y’
de
Bien
Y’
au-dessus de
U’ . De
(mais peut être ramifié
Y
aux
Y’
plus
autres
est
points
y).
au-dessus de
(ii)
les conditions
entendu,
isomorphisme
un
au-dessus de
y’ 1
en
soit
(iii)
et
sont aussi nécessaires pour la validité
de la conclusion du théorème. Ia démonstration du théorème est
à l’aide
facile,
du lemme 3 et du théorème 2 .
Supposons toujours (i) satisfait. Pour qu’un revêtement non ramifié
X soit isomorphe à l’image réciproque
sur
revêtement non ramifié Y’ de Y,
il faut et il suffit que X’ induise sur chaque fibre f-l (y) un revêtement
COROLLAIRE 1. -
trivial.
géométriquement
d’après le théorème 11 , l’ensemble des points de Y pour lesquels cette
condition est remplie est ouvert, il suffit de la vérifier sur les points y qui
Notons l’énoncé suivant équivalent au corollaire 1 : Le noyau
sont fermés
de l’homomorphisme (surjectif d’après le lemme 4)
~ (X) --a ~ (Y) est le sousgroupe invariant ferme engendré par les image s dans ~ (~C) des ’~C (f~~(y) ) ~ où
f (y) désigne le schéma f
désignant une clôture
algébrique de ~C,(y) ) . On notera que faute de pouvoir choisir le même point base
(f-1 (y) ) --? ~ 1 (X) ne sont de
pour toutes les fibres, les homomorphismes
toutes façons déterminés (une fois choisi un point base pour X , et par suite
pour Y )> que module composition par un automorphisme intérieur dans ~ (X) .
Comme
...
(y ) Qk (y ) ~( (y ) ,
y
COROLLAIRE 2. - Sous les conditions
plus Y , X , X’
une sous-extension
L,
cas
un
de
la dernière
de
L’ = L Q K’ ) .
partie
du lemme 3 à la fibre
générique
de
X ) .
f
Le
est
d’application le plus intéressant du théorème 11 est obtenu quand
morphisme séparable. Alors X’ est aussi séparable sur Y, donc en vertu
la proposition 4, Y’ est non ramifié sur Y , donc le deuxième membre
X x
Y’i
(*)
dans
COROLLAIRE 3. un
(d’où
L’=LK’
(On applique
K’
séparable
1
telle que
soient
intègres, et
générales du théorème 11 ~ supposons de
K ~ L , L’ leurs corps. Alors il existe
K dans L’, linéairement disjointe de
revêtement
revêtement
induit
non
non
sur une
On notora
est
non
ramifié
X. On
sur
en
conclat facilement :
Supposons,
en
plus
de
(i) , que
ramifié et
c onnexe
de
X , pour que -
Y, il
géométrique F -
ramifié
fibre
Y’
qu’il n’était
de
f
soit
X
séparable.
soit
faut et il suffit que le
admette
une
pas nécessaire de supposer que
Soit
image inverse
revêtement
X’
d’un
F’
section
régulière.
F’ soit
géométriquement
trivial
sur
dition soit
(ce qui sera vrai
beaucoup plus forte).
F
posteriori,
a
bien que
Le corollaire 3 est
en
priori cette confait équivalent à l’énoncé
a
suivant :
morphisme propre et séparable tel que
f~ ((~) =: Oy , soit F la fibre géométrique d’un point y 6 Y ~ et choisissons
un point géométrique dans F, d’où par les morphismes F -..~ X --.~1 Y des
points gépmétriques dans X , Y , qui seront pris coaame points bases pour les
COROLLAIRE 4. - Soit
f :
groupes fondamentaux de
On
en
X -.-~ Y
F~ X,
Y . Sous
ces
conditions
déduit facilement les deux énoncés suivants de
ici de toute
hypothèse
de
est
parfait) etce et.
(resp. Y)
des schmnas
X ~ Y
que le schéma réduit
d’où
séparable
Choisissons
point géométrique
un
on a
la suite exacte
SERRE-LANG , débarassés
normalité :
COROLLAIRE 5. - Soient
k est
un
un
c =
c onnexe s sur un
k~
c orps
on
suppose
(ce qui est autanatiquement vrai
point géométrique a (resp. b) dans X
(a , b) dans Xx Y et un morphisme
sur
k
si
naturel
(déduits
Ce
des morphismes fonctoriels
morphisme
est
injectif,
(La surjectivité
avec
dans
k~
soit
K
fondamentaux de
de
ce
de t’Jt1 (X x Y, c) dans ~1 (X , a) et 1f1 (Y ~
m~me bijectif si
ce
dernier
X
un
cas
k
étant à peu
est
algébriquement
près triviale).
On
b) ) ,
clos.
en
déduite
SERRE-LANG :
COROLLAIRE 6. - Soit
clos
et
une
X
et
dernier schéma
ramifié (unique
à
un
schéma
extension
X
g
K
algébrique
algébriquement
sont les mêmes,
connexe sur un
close de
i.
k~
e, tout
provient par extension des scalaires
isomorphisme près)
de
corps
algébriquement
alors les groupes
revêtement non ramifié
revtement non
X .
REMARQUES.
1)
Utilisant la. proposition 4, on voit que l’hypothèse
corollaire 4 n’est pas essentielle. Dans le cas général, il
le groupe unité e après
continuer
f~ (Dx) = 0 Y
9f 1 (Y ) ,
faut~
au
dans le
lieu de mettre
-.-1 ô (X) .~ ô (y )
..~,
e
Topologie algébrique.
comme en
2)
En
général,
qui devrait
peut rien dire pour l’instant
on ne
faire intervenir
démontrer que
‘S~1 (F) --~‘~’1 (X)
local
s’appuyant
A,
ainsi si
en
A
’1’~ (Y) .
un
est
Il semble
injectif
le théorème 12
sur
si
cependant qu’on
Y
plus
.~. 1 (X ) ~
le noyau
sur
est le
bas
(qui
doive
spectre d’un
affirme
maintenant le théorème
LEMME 6. - Soit
un
3,
appuyant
en nous
qu’il
est
en
un
revêtement
ramifié
non
appliquer
le lemme élémentaire suivant :
sur
schéma réduit correspondant
tout revêtement non ramifié
schéma, X le
nilpotents). Alors
X
tué les éléments
est induit par
anneau
complet).
est
Le théorème 11 n’utilisait que les théorèmes 1 et 2 . Nous allons
on a
pouvoir
X’ de
X, déterminé
à
(i.
e.
où
de
X’
X
isomorphisme
un
canonique près.
Ce
théorème 8,
en
(théorème 3),
,
purement locale, j oue ici un rôle analogue à celui du
théorie des modules. Le conjuguant avec le théorème d’existence
de nature
lemme,
on en
déduit ici :
,
A
THEOREME 12. - Soit
X
k , Soit
de
à
Xo
un
=
X
~
un
schéma propre
k
local noethérien et
un anneau
A. Alors tout revêtement
sur
est induit par
un
revétement
non
de corps résiduel
complet
ramifié
non
ramifié
X’
Xô
unique
isomorphisme près.
En d’autres termes :
COROLLAIRE 1. - Choisissons
pour les groupes
aux
(Y) ~ ~ ~ (k)
on a
à
X
le
°
Xo
comme
lemme 5 , (en supposant que
A
et remarquons que
fiées correspondent
X . Alors
et
X
point base
l’homomorphisme canonique
dans
est un isomorphisme.
Appliquons maintenant
simplifier),
point géométrique
fondamentaux de
~ I (X 0) ~’ ~ 1 (X)
pour
un
COROLLAIRE 2. - Soit
extensions
(où
f :
Y ~
non
étant
ramifiées de
Spec (A) ) .
X2014~Y
complet,
un
son
ses
N° (X , t~ ) ~ k
°
extensions
corps
o
non
résiduel,
i.
ramie.
On trouve la suite exacte :
morphisme
et
plat, soient y~
un
et y une spécialisation de y1 , considérons les fibres "géométriques" correspondantes X1 et xo , on suppose Xo séparable et connexe (ce qui
implique que Xl satisfait aux mêmes conditions). On peut alors trouver un homo~ 03C01
morphisme de groupe s 03C01(X1)
(Xo) , défini àun automorphisme intérieur
point
de
Y
et cet
homomorphisme
est
surjectif.
On
pourrait espérer que
il n’en est rien
général
en
homomorphisme
cet
est de
si
toujours bijectif, malheureusement
est
> 0 . Nous allons
caractéristique
cependant plus bas une majoration du noyau de cet homomorphisme (du moins
est de caractéristique 0, alors
est simple), impliquant que si
si
l’homomorphisme ci-dessus est bijectif (résultat qu’on pourrait aussi prouver
par voie transcendante). Du moins obtenons-nous déjà, en tous cas, une maj oration
obtenir
)t (y)
X
générique. Utilisant
par exemple le fait qu’une courbe algébrique en caractéristique p se remonte
0 (théorème 9 , corollaire 4. ) on trouve par
en une courbe en caractéristique
du 1
à l’aide de celui d’une fibre
spéciale
d’une fibre
voie transcendante :1
algébriquement
admet
(Xo)
On
en
caractéristique quelconque,
2g générateurs topologiques, liés par
clos de
déduit,
par
une
COROLLAIRE 4. - Soit
technique
X
un
bien
caractéristique quelconque,
rateurs
topologiques.
Cherchons le noyau de
supposer que
=
0 (y y ).
=
revêtement
spectre
question
ramifié
non
A
revêtement
f.’ 1
galoisienne
non
ramifié
de groupe
K
un
corps
algébriquement
géné-
nombre fini da
03C01 (Xo) .
Pour
ceci,
on
peut
discrète complet
à la suivante : étant donné un
de valuation
équivalente
Xl (qu’on peut
V" .
V"
corps des
Y,1 ~,.K K’ ,
si
on
Supposons
V
on
peut choisir
veut supposer
est
une
K
de
X’1
galoisienne
X’
provienne d’un revêtement
l’on puisse trouver une extension
=
K"
dans K" ~
exemple
(car plat sur
fonctions est identique à
est normale
K’
où
du corps des fractions
X" = X’ QK,
la clôture normale de
de
K
K
X*
telle que
de
G,
il faut et il suffit que
~
àe
Xl
algébrique
alors : Pour que
X
est
connue.
hyperplanes :
sur un
admet
~
anneau
g
galoisien),
sous
de la clôture
dans
d’un
le genre de
quelles conditions il provient d’un revêtement non ramifié de
priori, le revêtement donné provient, par extension des scalaires, d’un
déterminer
Xo .
La
alors
’~ (X)
corps
X ~ alors
sur un
la relation bien
de sections
connue
l’homomorphisme
est le
Y
soit
schéma projectif simple
clos de
V
complète simple
le schéma d’une courbe
X
COROLLAIRE 3. - Soit
par
soit de la forme
et où
est
absolument
X
V"
X"
et à fibre
celui
K"
(Xl)
un
X"
sous-extension finie
si
V ;
de groupe
non
était
X’1
G. On
ramifié de
finie
K"
Kif où
revêtement
non
de
V"
X ~
K’
est
ramifié
normale d’où résulte que
spéciale normale ), dont le
de
a
Soit
L" =
finie
séparable
est
K" (X1)
le corps des fonctions de
de
et la condition
extension
une
normalisé de
X
K" ~ c’est
ci-dessus signifie
~
aussi que
ramifiée du corps des fonctions de
dans L" est non ramifié sur X
non
V"
extension
une
L"
(1. e. le
V" ) . Il suffit
d’ailleurs de vérifier que L" est non ramifié aux points de la fibre spéciale
de
V" (puisqu’il est non ramifié au-dessus de la fibre générique
K"
C~r
X1S
Si maintenant
est
XQ
simple,
il résulte du "théorème de
pureté"
).
de
NAGATA-ZARISKI qu’il suffit même de vérifier que L" est non ramifié au-dessus
de l’anneau local
du point générique de la fibre spéciale de X
V" , qui
0v
est
un anneau
o
K (X1 )
c
du
de valuation
discrète, normalisé dans
point générique de la fibre spéciale de
COROLLAIRE 5 . - Sous les conditions et
que le revêtement
ramif ié
non
tement
non
ramifié de
finie
K"
de
X
K/K’
0"
Notons maintenant que
discrète
V’1
une
K
soit
G
d’ordre
0"
caractéristique
aussi la
ramified" au-dessus de
que si
lui
on
devient
non
prendre pour
adjoint
est normalisé dans
une
existe
sous-extension
une
dans
uniformisante
maintenant
du corps résiduel de
0 t,
une
d’où il
que 0’t
et
de
u
1
galoisien
p’ ) .
.
de groupe de
X (yo) , (qui est
K’(X1) est "tamely
de
p
Donc
Abhyankar")
a’ ~ il
de
d’une uniformisante de
v
dans
contient
étant aussi
V
résulte facilement ("lemme
racine n-ième
racine
de l’anneau de valuation
K" (X1)
K’(X1)) ,
ramifié au-dessus du normalisé de 0’
v
pour
ramifié au-dessus de l’anneau
Supposons
XI
premier à la caractéristique
n
précédentes,
C
uniformisante de 0 ’ .
Galois
non
qu’il
obtenu :
on a
provienne d’ un revé-
K
X1 ~K
il faut et il suffit
(normalisé de 0
V dans K’ ~ une
de
X. Donc
les notations
de
telle que
de valuation discrète
le normalisé
avec
de l’anneau local
K’ (X1) (v) .
n-ième d’une uniformisante de
V’ ~
ce
Or
peut
on
qui prouve
que la condition du corollaire 5 est satisfaite. (Cette possibilité d’utiliser
le lemme de Abhyankar et le théorème de pureté m’a été vendue par SERRE). Pour
exprimer
le résultat
discontinu
par
ses
discrets
obtenu,
‘~T le groupe
p-sous-groupes
de 03C0 qui
introduisons pour tout groupe
quotient ~~
de Sylow, i.
sont d’ordre
THEOREME 13. - Soit
f :
premier
X ~ Y
un
à
1 (X1)
engendré
projective des groupes quotients
notation, on ôbtient :
la limite
p . Avec cette
morphisme propre
point de Y et y ,0 une spécialisation
simple. Alors l ’homomorphisme if
un
par le sous-groupe fermé
de +
e.
compact totalement
de
-
Yl’
(X )
on
et
plat,
suppose
X
soient
y
connexe
déduit de l’homomorphisme
et
surjectif
du
théorème 12, corollaire 2,
est
un
isomorphisme.
En d’autres ternies :
COROLLAIRE 1. - La classification desrevêtements
groupede Galois d’
mme pour
Xo
et pour
En
particulier,
algébrique le fait
à la
ordre premier
ca,ractéristique
p
de
non
ramifiés
est
y
de
la
Xl .
X(y )
que ’~’1
est
si
caractéristique nulle,
(Xo)
est
Signalons enfin que les techniques utilisées
plus général que le théorème 13 :
J
galoisiene
on
obtient par voie
bijectif.
donnent aussi le résultat
suivant,
,
môrphisme propre et simple, soit D un
sous-schéma fermé de X, simple au-dessus de Y, de codimension 1 en tous ces
D etsoit
points. Pour une fibre Z f 1 ( z ) de f, soit Z’ Z .»
les revétements
classifie
du groupe fondamental
~’1 (Z’ ) qui
Soient
Z’ qui sont "tamely ramified" au-dessus de
non ramifiés de
y 0 ’ y 1 comme dans le théorème 13. Alors on a un homomorphisme surjectif (défini à un automorphisme intérieur
et l’homomorphisme
»n
est
correspondant
-.-~
isomorphisme.
THEOREME 14. - Soit
X ---~ Y
f :
un
=
=
~ t(X’)
--~ 1 (Xo) ~
~ t(X’)
déduit des variantes correspondantes des corollaires au théorème 13, et
du corollaire 4 au théorème 12. De même, utilisant le théorème 9, corollaire 3,
On
on
en
trouve par voie transcendante :
COROLLAIRE. - Soit
algébriquement
partie
finie à
rateurs
clos de
n
le schéma d’ une courbe
X
complète simple
caractéristique quelconque, soit
X . Alors 1Blt(X - S)
S = (si)1
~i~
2
éléments de
i
topologiques xi , yi
g)
admet
j n)
(1
et
sur un
g
t n
corps
n
une
géné-
liés par la
relation
où les o-,
générateurs
sont des
3
-
Pour tout groupe fini
éléments
tement
des groupes d ’inertie
correspondants
aux
.
ù. , y. ,
i,
G
d’ ordre
J
à la
caractéristique, engendré par des
relation précédente, il existe un revê-
premier
satisfaisant la
s ..
galoisien non ramifié de Xo - S , de groupe G , ayant
aux points
s,
par les éi..
~
3 engendrés
des groupes
d’inertie
-
Lorsque
X
o
est de genre
-
0
et que
n
=
3
3,
on a une
solution du "Froblème
points"~ du moins pour les revétements galoisiens d’ordre premier à
caractéristique. (Ici, le théorème 9 est d’ailleurs inutile, et il semble
d’autre part qu’on puisse déduire le corollaire précédent du cas particulier en-
des trois
la
visagé
problème
dans le
des trois
points).
REMARQUES
1)
Une étude
plus complète,
galoisiens généralisés
tésimal.),
Par
de
X~
devrait permettre de
contre,
faisant sans doute intervenir des revétements
Xo ’ ~1
récupérer
(à
groupe de Galois éventuellement infini-
le noyau dans le théorème
12,
corollaire 2.
étude des revêtements admettant de la ramification pas "tame"
beaucoup plus difficile.
une
semble devoir être
2)
Le lemme
6, joint
schéma projeotif
non
prouvé
pour
à
un
résultat de Grauert concernant le
le
singulier
long d’une
dans la
mentionné
l’instant,
non
permet aussi
de démontrer
de Lef schetz
sur
en
section
hyperplane (ou
remarque 2
géométrie algébrique
complété
après
au
formel d’un
théorème,
le théorème
"abstraite" le
y
11),
classique théorème
le groupe fondamental.
BIBLIOGRAPHIE
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DIEUDONNÉ
cations
(J.)
et GROTHENDIECK (A. ). - Eléments de géométrie algébrique, Publide l’Institut des Hautes Etudes Scientifiques (à
mathématiques
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varieties, International Congress of Mathematicians [1958. Edinburgh]
(à paraître).
SERRE
(Jean-Pierre). - Faisceaux algébriques cohérents, Annals of Math.,
[3]
Series 2, t. 61, 1955, p. 197-278.
[4] SERRE (Jean-Pierre). - Géométrie algébrique et géométrie analytique, Ann.
Institut Fourier Grenoble, t. 6, 1955-1956, p. 1-42.
GROTHENDIECK
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