Introduction à la mécanique des solides CIDO

Introduction à la mécanique
des solides
CIDO – Saint-Etienne
P. Badel
Ch. 1 Introduction générale
2
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de système et de modèle
 Notre environnement est fait de systèmes qui interagissent entre eux
• Interactions électriques,
•
chimiques,
•
magnétiques,
•
mécaniques…
 Grande complexité !
En science, souvent, on ne considère que certaines interactions, on néglige les
autres  Différentes disciplines de la physique.
3
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de système et de modèle
 On est toujours amenés à faire des hypothèses, limiter les études
On construit des modèles
Il s’agit d’interprétations physiques de la réalité
- fondées sur des hypothèses,
- basées sur des lois mathématiques.
?
⇔
 Modèle = représentation imparfaite de la réalité
4
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Objectifs
 Ce cours est un cours de base à :
• l’étude des interactions mécaniques entre solides rigides (en statique)
• l’étude mécanique des solides déformables
 Applications typiques
• Robotique,
• automobile,
• biomécanique musculo-squelettique…
5
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Cadre/contenu de ce cours
Applications en 2D essentiellement
Partie 1
 Etude de l’équilibre statique des particules (ch. 2)
 Etude de l’équilibre statique des solides rigides (ch. 3 et 4)
 Etude cinématique des particules et solides (ch. 5)
 Notions de dynamique (ch. 6)
Partie 2
 Milieux déformables, notions de comportement des matériaux (ch. 7)
 Notions de contrainte et déformation en mécanique du solide (ch. 8)
6
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PARTIE 1
Mécanique des solides rigides
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Hypothèses et limites de la mécanique classique
 Hypothèses de base
• Systèmes matériels non variables.
• Un système matériel est constitué d’éléments individualisables : les points matériels.
• Un ensemble de points matériels dont les distances entre points sont constantes
= un solide indéformable (ou rigide).
• La masse ne dépend que de la nature du matériau.
 Limitations (on sort du domaine de validité des modèles)
• Très petits systèmes matériels. Exemple : taille < µm.
• Vitesses proches de celle de la lumière.
• Autres interactions physiques qui peuvent être non négligeables.
8
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Méthodologie générale en mécanique du solide rigide
Dans un système, on va s’intéresser à chacun des solides :




9
Isoler chaque solide
(Analyser ses mouvements)
Analyser les actions mécaniques extérieures appliquées sur ce solide
Analyser les relations entre actions mécaniques et (non-)mouvement
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Ch. 2 Statique des particules
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Introduction
 Notion de particule ou de point
• Notion utilisée en mécanique du point
• Ne s’adresse pas qu’à l’étude de particules infiniment petites, mais aussi aux
cas suivants :
La taille et la forme des solides considérés n’affecte pas
le problème
On peut considérer que les forces sont appliquées
en un même point
• Peut s’appliquer à de nombreuses situations réelles
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Forces sur une particule
 Définition
force = action d’un corps sur un autre
Elle est caractérisée par :
• Un point d’application
• Une direction (droite support + sens)
• Une intensité (→ unité Newton N)
 Représentation graphique
échelle
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Forces sur une particule
 Résultante de 2 forces
• 2 forces agissant sur un point peuvent être remplacées par une seule force
• Elle est obtenue par construction selon un parallélogramme
(constat expérimental)

R

Q

P

 
R est la résultante de P et Q
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L’outil vecteur
 La somme de forces n’est pas la somme des intensités !
La somme de forces suit le principe du parallélogramme.
On représente une force par un vecteur
 Déplacements, vitesses, accélérations (et autres grandeurs physiques)
sont aussi représentés par des vecteurs
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L’outil vecteur
 Vecteur : définition
Un vecteur est caractérisé par :
• Une direction (droite support + sens)
• Une longueur (intensité)
 Vecteur : propriétés
• On somme des vecteurs par le principe du parallélogramme

• On note un vecteur F , F (notation choisie ici) ou F (notation parfois confuse)
• L’intensité donne la longueur du vecteur représenté en construction
graphique, celle-ci est notée F

F
15
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L’outil vecteur
 Vecteur force
Un vecteur force représente la force appliquée sur un point. Il est caractérisé par
• Un point d’application
• Un vecteur
On parle de vecteur lié
 Autres types de vecteur
• Vecteurs dits glissants (on peut les déplacer le long de leur support)
• Vecteurs libres (on peut les déplacer dans tout l’espace)
 Autres remarques
• Vecteurs égaux : ont même direction et même intensité



 
• Opposé d’un vecteur : F est l'opposé de F. Il vérifie F  F  0
 
16
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L’outil vecteur
 Addition de vecteurs
• Suivre le principe de construction par parallélogramme
•
 
Attention, rappel norme de P  Q  P  Q
(somme des vecteurs ≠ somme des intensités)
•
   
Commutation : P  Q  Q  P
•
  

P  Q  P  Q
•
  
     
Somme de plusieurs vecteurs : A  B  C  A  B  C  A  B  C
 




 Produit par un scalaire
17
•
 

P  P  2P
•


Généralisation : nP est de même direction et sens que P et d’intensité nP
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L’outil vecteur
 Application graphique

M
 
MN
 
NM
 
MN
  
MNP
18
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
N

P
Résultante de plusieurs forces
 Forces concourantes en un point A
   
• PQ S R

Q
A

P

S
La somme peut être exprimée
 par un seul vecteur : la
résultante R des forces
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Composantes d’une force – vecteurs unitaires
 Inversement à la somme de forces, on peut décomposer une force en 2
ou plusieurs forces dont la somme a le même effet
On parle des composantes d’une force
 En 2D, on s’intéresse le plus souvent aux couples de 2 composantes
 Exemples :

• On connait une composante → on ob ent l’autre car la somme vaut F
(en représentation graphique, fermeture du triangle)

• Lignes d’ac on de 2 composantes connues → on peut projeter la force F
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Composantes d’une force – vecteurs unitaires
 Résoudre les problèmes en utilisant un repère orthonormé donné
•

Soit lerepère
O,i, j . On utilisera toujours un repère orthonormé direct.



i et j sont les vecteurs unitaires de base portés par les axes x et y.
•
  


F  Fx  Fy  Fx i  Fy j

Fx et Fy sont les composantes de F dans cette base.
y
y

F


Fy  Fy j

j
θ


Fx  Fx i
21

i
x
F
tan θ = Fy
Fx = F cos θ
Fy = F sin θ
x
F = Fx² + Fy²
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vecteurs unitaires
x
Résultante de forces – somme de composantes



R  Rx i  R y j
   
R  A B  C
Rx = Ax + Bx + Cx
Ry = Ay + By + Cy


R  F
Rx = ∑ Fx
Ry = ∑ Fy
y

Q
A

P

S
22
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x
Equilibre d’une particule
 1ère loi de Newton
Une particule est à l’équilibre quand la résultante de
toutes les forces sur la particule est nulle
Alors la particule reste au repos (si initialement au repos), ou se déplace
linéairement à vitesse constante (si se déplace initialement)

 
R  F  0
23
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
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Equilibre d’une particule
 Statique graphique
Bien choisir le point à isoler…
On soulève une caisse de 75 kg. Quelles sont les tensions en AC et AB ? (qui
force le moins…)
24
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En 3D
 Tout peut s’étendre en 3D !




F  Fx i  Fy j  Fz k
F = Fx² + Fy² + Fz²
Attention, les angles sont moins simples à définir et manipuler
25
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Ch. 3 Forces sur un solide rigide
26
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Introduction
 Rappel : point matériel
Portion de l’espace pourvue de matière et assez petite pour être considérée ponctuelle.
 Solide indéformable
Domaine contenant un ensemble de points matériels gardant
des distances fixes entre eux au cours du temps
Remarques :
Il s’agit d’un modèle. Tout solide est
déformable ! … Cf. seconde partie du
cours.
27
Modèle idéal pour l’étude des forces et
mouvements
Exemples : mécanismes, squelette…
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Introduction
 Forces internes – forces externes
2 types de forces peuvent s’appliquer à un solide rigide :
• Forces externes : par les autres solides sur le solide considéré.
• Forces internes : maintiennent la cohésion du solide considéré.
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Introduction
 Rappel
•
•
Seul effet d’une action sur un point = translation (une rotation n’a pas de sens)
Cette action est une force qui tend à le déplacer. Elle est caractérisée par :
• Un vecteur
• Un point d’application (ou point de passage)
•
Somme de plusieurs forces = somme vectorielle
 L’action est identique tout le long de la ligne d’action (analogie avec la ficelle)
• Pour un solide rigide, une force est donc caractérisée par :
• Un vecteur
• Une ligne d’action

F
P
P’

F
29
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P
P’
Produit vectoriel
Outil indispensable pour comprendre les actions mécaniques sur un solide
(qui peut être entrainé en rotation).
 Définition
 

Le produit vectoriel de P et Q est défini par le vecteur V tel que

 
La direction de V est perpendiculaire à P et Q
L'intensité est donnée par : V = PQsinθ
La direction est donnée par la règle de la main droite
  
V PQ
θ
30
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Produit vectoriel
 Propriétés 

 
Attention Q  P   P  Q
  
   
Q  P1  P2  Q  P1  Q  P2
 
 
Q  nP  n Q  P

31





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Produit vectoriel
 Composantes d’un produit vectoriel
  




V  P  Q  Px i  Py j  Q x i + Q y j  ...

 


j

k
V = Px Q y - Py Q x
 Règle du gamma



Px 
Qx 








     = Px Q y - Py Q x  k

Py 
 
Q y 





32
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
i
Moment d’une force par rapport à un point
 Effets d’une force sur un solide
Δ

R

F2
• Entrainement en translation
Lorsque la somme des actions se résume à
une force, tous les points du solide ont
tendance à suivre la translation définie par Δ

F1
• Entrainement en rotation
Pour le traduire, on utilise le vecteur moment en P.
Le moment (action d’entraînement en rotation) est
d’autant plus fort que :
 F est grand
 Le bras de levier PH est grand

 
M P, F = PH.F = PA sin PA, F F
 
33


 Unité : Newton mètre,
noté N.m ou Nm
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
F
A
P
H
Moment d’une force par rapport à un point
 Le vecteur moment traduit l’entrainement en rotation

F
 Dans le cas général, il se calcule par :
A
   
M P, F = PA  F
 
P
H
Remarques :
─ Unité : Newton mètre, noté N.m ou Nm.
─ Il ne dépend pas du point d’application, si celui-ci est sur la ligne d’action de F
─ Le moment en O ne permet pas de connaitre où est appliquée la force.
 


─ Deux forces sont équivalentes si F = F' et M P, F = M P, F'
   
34
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Système force-moment en un point
 Action mécanique équivalente
Action qui a le même effet mécanique sur le solide

F
A
A

F
P
35
P
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
MP
Moment d’un système de forces par rapport à un point
 Moment résultant de plusieurs forces
  
   
M P, F1 , F2 , ...  M P, F1  M P, F2  ...


 
 

F1

F1
A
A1

F2
A2
P
P
  
   
M P,F1 ,F2  PA  F1  PA  F2

36


F2
  
   
M P,F1 ,F2  PA1  F1  PA2  F2

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
Transport de l’action d’une force
 Calcul du moment en un autre point Q



M Q,F  QA  F
  
 QP  PA  F
   
 PA  F  QP  F

    
M Q, F  M P, F + QP  F
 

 

F

 
Q
A
P
Remarque :
TRES utile pour le calculer en un point d’intérêt, comme un centre d’articulation…
37
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Système force-moment équivalent
 Bilan des actions sur un solide
• Entrainement en translation
Caractérisé par la somme des forces (peut être écrite en tout point du solide)
• Entrainement en rotation
Caractérisé par la somme des moments (peut être calculée en tout point du solide)
 La somme des actions mécaniques, en un point, est donnée par :
•
•


Une résultante : R   F


Un moment résultant en un point P : MP   MP
Ce couple suffit à déterminer totalement l’action
mécanique en un point d’un solide.
38
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 4 Statique des solides rigides
39
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Introduction : équations d’équilibre statique
 Rappel
Le comportement
en un point O, par
 d’un solide soumis à n actionsest défini, 
une résultante R   F et un moment résultant MP   MP

F
A
A3

F3
P

F
A2
O

F2
Un solide est en équilibre
statique
si


 F  0 et  M0  0

M
 0
En 2D
∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0
∑ M(O) = 0
Un système de plusieurs solides est en équilibre
statique si chacune de ses parties est en équilibre
40
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Bilan des efforts extérieurs au solide
 Isoler le solide
S1
S
S2
S
 Lister les efforts extérieurs (forces, moments) connus et inconnus
• Actions mécaniques à distance  écrire force/moment
Exemple : gravité
• Actions mécaniques de contact  écrire force/moment
 Reste plus qu’à écrire la condition d’équilibre !
41
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Efforts dans les liaisons extérieurs
 Principe des actions mutuelles (réciprocité)
S2
S1


F1/2  -F2/1
et


M1/2 P  M2/1 P
42
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Efforts dans les liaisons extérieurs
 Force seule, ligne d’action connue : appui simple
•
•
•
•
Appui ponctuel
Surface plane sans frottement
Roulement parfait
Câble
 Force seule, ligne d’action inconnue : pivot ou articulation
• Articulation
• Surface rugueuse
 Force + moment : encastrement
• Encastrement
• Liaison fixe
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Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Efforts dans les liaisons extérieurs
44
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Equilibre 2D d’un solide
 Principe fondamental de la statique en 2D
• ∑ Fx = 0 ; ∑ Fy = 0 et ∑ M(O) = 0
• Donc 3 équations à disposition
 On peut ne déterminer, au plus, que 3 inconnues
Exemple :
45
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Remarque sur l’indétermination d’un système de forces
 Isostatisme
Si le solide/système ne peut bouger sous aucune charge (totalement contraint)
+ Si les réactions n’ont que 3 inconnues et peuvent être déterminées par le PFS
ALORS
Le système est isostatique
 Hyperstatisme
Il y a trop d’inconnues (problème indéterminé)
Il faudrait utiliser la mécanique des milieux déformables pour équations suppl.
 Hypostatisme
On peut résoudre le problème et trouver les inconnues
MAIS une charge additionnelle peut faire bouger le solide/système (il est
partiellement contraint)
46
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Remarque sur l’indétermination d’un système de forces
 Exemples
47
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 2 forces

F1
A

F2
B
 Ecrire les équations d’équilibre en A…
Solide soumis à 2 forces ⇒ Forces colinéaires, de sens opposées, de même norme
48
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 2 forces
 Statique graphique
Exemple des structures en treillis
49
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 3 forces 
F1
A
I
B
C

F3

F2
 Ecrire les conditions d’équilibre du solide au point I intersection
des directions de F1 et F2…
Solide soumis à 3 forces ⇒ Forces concourantes, de somme vectorielle nulle
50
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas particulier : solide soumis à 3 forces
 Statique graphique
51
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cas générale d’équilibre en 3D
 Pour un système S, les conditions d’équilibre vont se traduire par :
• Deux équations vectorielles
 
 F  0 et


 M0  0
• En 3D  6 équations pour déterminer les paramètres inconnus
∑ F x = 0 ; ∑ Fy = 0 ; ∑ Fz = 0
∑ Mx(O) = 0 ; ∑ My(O) = 0 ; ∑ Mz(O) = 0
• En 2D,  Il n’y en a plus que trois.
∑ F x = 0 ; ∑ Fy = 0
∑ M(O) = 0
 Rappel : on ne peut résoudre le problème que si l’on a autant
d’équations que d’inconnues
52
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Exemple de résolution graphique
• Effort nécessaire pour couper le boulon
1500 daN
• Liaisons parfaites
 Déterminer l’effort de compression
sur la vis
53
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F3 1

F2 1
54
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
55
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel


F3 1  F1 3
56

F1 3
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F2 3

F5 3
57

F1 3
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F1 2
58

F4 2

F3 2
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F6 4
59
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel

F2 4

F7 4

F4 6 
F6 vis
60
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 5 Cinématique
61
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Introduction
 Rappels
─ Point matériel : portion de l’espace pourvue de matière, assez petite pour être
considérée comme ponctuelle
─ Solide rigide ou indéformable : domaine D de l’espace contenant un ensemble de
points matériels gardant des distances constantes entre eux.
On peut donc installer un repère sur D
─ Temps : t supposé s’écouler de manière identique pour tous les solides
 Cinématique = étude des mouvements indépendamment de leur causes
Préalable à l’étude des liens entre forces et mouvements
 !! Notion relative !!
On étudie le mouvement par rapport à un référentiel (ou repère, ou observateur)
62
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cinématique du point - Repérage
On utilise des repères orthonormés directs (r.o.n.d = 1 point + 1 base o.n.d)
 
 Repérage d’un point P donné dans le repère R  O,i, j,k

   
OP  xi  yj  zk

O
y
R
On peut obtenir les coordonnées par projection :
 
x  OP.i
 
y  OP.j
 
z  OP.k

On peut noter : OP  x, y, z
63
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
P
x
z
Cinématique du point - Vitesse
 Définition
(t)
Soit P mobile / repère R. Sa vitesse est définie par :



PP'
ΔP  d  
V P/R  = lim
= lim
=  OP
Δt0 Δt
Δt0 Δt
 dt 
 Remarque
Définition indépendante de O pourvu qu’il soit fixe dans R.
 Expression :


 
OP = xx + yy + zz

d 
V P/R  = OP
dt
dx  dy  dz 
=
x+
y+ k
dt
dt
dt
• 
• 
•


V P/R  = xx + y y + zz
64
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
O
R
P
P’
(t+Δt)
Cinématique du point - accélération
 Définition
P
Soit P mobile / repère R. Son accélération est définie par :



V P' - V P d 
A P/R  = lim
= V P
Δt 0
Δt
dt
 Expression

•• 
•• 
•• 
A P/R  = x x + y y + z z
65
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
P’
O

V P

V P'
Cinématique du solide
x
 Repérage d’un solide
y
Besoin de 6 paramètres
─ Position de OS :
─ Orientation / R :
OS
O
z
   
OOS = xi + yj + zk
3 paramètres d’Euler ou 3 autres angles
 Difficultés…
Il faut tenir compte des rotations, ce qui complique fortement les calculs…
66
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Cinématique du solide
 Champ de vitesse d’un solide
R
A1
B1
A2
B2
=
Δt
A1
B1
A2
B’
B’
+
A2

Δθ
A2

B2
 

B'B2 = Δθ  AB
Observons le déplacement du point B :



B1B2  B1B'  B'B2  ...

  
ΔB  ΔA  BA  Δθ


 
V B  V A  BA  ω
 Champ d’accélération… à calculer pour les plus courageux…
67
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 6 Notions de dynamique
68
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Dynamique du point
 Dynamique : Etude des relations entre les mouvements et leurs causes.
 Enoncé du Principe Fondamental de la Dynamique (2nde loi de Newton)
(Valable dans un repère absolu ou galiléen, supposé exister)
Soit un point P de masse m.
Le principe fondamental de la dynamique (PFD) permet d’écrire :


 F  mA P

 F : Résultante des efforts sur P
 Cas particulier de la (quasi-)statique (1ère loi de Newton)
 
F  0
69
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Principe de la dynamique du solide
 Actions extérieures
Actions à distance
Actions de contact, (intérieures) et extérieures
 PFD appliqué à un solide de masse m
Une des écritures possibles :


 F  mA G

 
 MG   GP  A Pdm
S
 Dynamique d’un système de solides
Idem pour chaque solide + inclure les actions des liaisons
C’est complexe !
70
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
PARTIE 2
Mécanique du solide déformable
71
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 7 Introduction à la mécanique
des milieux déformables
72
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Limite de la mécanique du solide rigide
• La statique ne renseigne pas sur les efforts intérieurs
• Comment se déforme le solide ?
• Même à résultante d’efforts nulle, le solide peut se déformer
• Casse d’un solide est un problème d’efforts intérieurs
73
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Loi de comportement des matériaux
 Définition
• Soit un effort, noté, F sur solide donné
• Soit le changement de forme = déformation, noté D
• La loi de comportement du matériau permet de décrire l’un en fonction de
l’autre :
D = f(F)
état déformé
F4
F1
F2
74
état initial
F3
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Loi de comportement des matériaux
 Solide ou fluide ?
Solides
─
─
─
─
Certaine mémoire de la géométrie initiale, retour élastique
Résistance au cisaillement
Force constante Déformation constante
Sur des temps COURTS, pas/peu de réarrangements de molécules
Fluides
─
─
─
─
Réarrangements irréversibles, pas de retour élastique
Prend la forme du récipient
Force constante  Déformation croissante et vitesse de déformation constante
Sur des temps LONGS, réarrangements de molécules
 En pratique tout matériau est solide et fluide !
Tout est question d’échelle de temps « caractéristique » :
Glace : solide < 1 h ; fluide > 24 h
Verre : solide < 1 an ; fluide > 100 ans
Pâte à modeler : solide < 1 s ; fluide > 10 s
75
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple
L0
S0
F
F
L
F
F
rupture
ΔL
76
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L - L0
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple… et comparaisons avec un même matériau
L0
F
2S0
2Fmax
L0
2L0
S0
S0
Fmax
ΔLel
77
2ΔLel
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L - L0
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple… Notion de contrainte
On pose σ = F / S = contrainte
Unité : N /m² = Pa (pascal)
F / S0
σmax
ΔLel
78
2ΔLel
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
L - L0
Essais mécaniques unidirectionnels
 Essais de traction simple… Notion de déformation
On pose ε = (L - L0) / L0 = déformation
Sans unité, parfois exprimée en %
σ
σmax
εel
79
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
ε
Notions de comportement des matériaux
 Elasticité, plasticité…
σ
σrup
σel
Zone
élastique
Déformations
réversibles
Zone
plastique
Déformations
irréversibles
εel
εrup
ε
 Module d’élasticité ou module de Young
• En zone élastique, le modèle le plus courant d’élasticité linéaire est le
modèle de Young :
σ=Eε
80
E est le module de Young
(Pa, ou souvent Mpa)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de comportement des matériaux
 Comportement ductile/fragile
Matériau ductile
εrup >> εel
σ
εel
εrup
Matériau fragiles
εrup proche de εel
σ
ε
εel εrup
• Exemples ?
 Viscosité, non linéarité…
81
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
ε
Notions de comportement des matériaux
 Non linéarité…
• Elasticité non linéaire
σ
σ
typique des tissus mous biologiques
ε
polymères
 Viscosité…
• La réponse mécanique (force, contrainte) dépend de la vitesse de
déformation (donc du temps).
• Exemples …
82
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
ε
Notions de comportement des matériaux
 Déformation transverse - Coefficient de Poisson
L0
S0
d
S
d0
L−L
ε1 = L 0
0
Déformation
longitudinale
d−d
ε2 = d 0 = ε3
0
Déformation
transverse
L
On constate expérimentalement
ε2, ε3
ε2 = -υ ε1
-υ
83
ε1
υ est le coefficient de Poisson du matériau
(sans unité)
0 < υ < 0,5
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Notions de comportement des matériaux
 Loi de comportement d’un matériau « simple »
• Matériau élastique
• Linéaire
• Isotrope
 La loi de comportement est entièrement définie par E et υ.
 Cas plus généraux
• Anisotrope : plusieurs paramètres pour caractériser les différentes directions
• Non linéaire : autres paramètres pour caractériser la non linéarité
• Plasticité, viscosité…
84
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Ch 8 Notion de contrainte et
déformation
85
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Contrainte
 Effort intérieur sur une surface
On suppose la répartition de l’effort homogène
sur la surface

─ On isole la partie (1)  calcul de F2/1

F
(2)

F
S
Section S
(1)
(1)

F
86

F
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Contrainte
 Vecteur contrainte – contraintes normale et tangentielle
On définit le vecteur contrainte comme :

 F
T
S

T

σ

τ

t

n
On peut le décomposer :
 F  F 
T  N n T t
S
S
(1)

F



T  σn  τ t
Contrainte normale
87
Contrainte tangentielle
(cisaillement)
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Contrainte
 La contrainte est en fait une grandeur locale


dF
T M 
dS
M

dS dF

 Attention, T dépend de l’orientation
de la surface



dF
T M, n 
dS
 
M
dS

n

dF
Il existe un formalisme mathématique pour écrire la contrainte locale 3D
(basé sur les matrices et opérations associées)
88
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Déformation
 Déformation longitudinale = déformation en 1D
x
x=0
x = l0
ε=
x + u(x)
x=0
89
Δl
x=l
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
Δl
l0
Déformation
 La déformation longitudinale peut être non homogène
 Besoin d’une définition locale en x
Elle est liée aux déplacements relatifs des particules du matériau
Isolons un petite portion autour de x :
x
x + dx
ε(x) =
x + u(x)
Δl u(x+dx) − u(x)
=
l0
dx
x + dx + u(x+dx)
ε(x) =
90
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel
du
dx
Déformation
 Généralisation, formalisme similaire à la contrainte
• Allongements et variations d’angle (cisaillement)
91
Introduction à la mécanique des solides - CIDO - P. Badel