Courbes algébriques sur les corps finis version préliminaire

Courbes alg´ebriques sur les corps finis
version pr´eliminaire
Christian Pauly
avril 2006

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Table des mati`eres
1 Introduction 5
2 Th´eorie de Galois 7
2.1 Extensionsdecorps.................................. 7
2.2 Extensionsgaloisiennes................................ 9
2.3 Corpsfinis....................................... 11
2.4 Extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Application de la th´eorie de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Exercices........................................ 16
3 Vari´et´es alg´ebriques 19
3.1 Espace affine et vari´et´es affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Actionsgaloisiennes.................................. 21
3.3 Espace projectif et vari´et´es projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Exercices........................................ 21
4 Courbes projectives 25
4.1 Anneau de valuation discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Diviseurs et groupe de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Formesdiff´erentielles ................................. 26
4.4 Le th´eor`eme de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Exercices........................................ 26
5 Fonction zˆeta 29
5.1 Courbes projectives sur un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 D´efinition de la fonction zˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3 Analogie avec la fonction zˆeta de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Rationalit´e de la fonction zˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.5 Fonction zˆeta et points Fqm-rationnels........................ 33
5.6 Exercices........................................ 33
6 Corrig´es des exercices 35
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4TABLE DES MATI ` ERES

Chapitre 1
Introduction
Le but de ce cours est de pr´esenter la preuve de l’hypoth`ese de Riemann pour la fonction
zˆeta associ´ee `a une courbe projective lisse d´efinie sur un corps fini. Ce r´esultat est un cas
particulier des conjectures d’ Andr´e Weil, ´enonc´e en 1949 dans son article [We], et d´emontr´e
dans un contexte beaucoup plus g´en´eral, par Pierre Deligne en 1973.
Pour les aspects cohomologiques des conjectures de Weil on pourra lire l’appendice C de
[H]. Pour une introduction accessible au niveau M2 `a la g´eom´etrie diophantienne on lira le texte
introductif de B. Mazur [Ma].
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