Université

Révisions de Mathématiques
Chapitre I
Algèbre
Chapitre II
Trigonométrie
Chapitre III Analyse
Chapitre IV Éléments de calcul vectoriel
Chapitre V
Problèmes et QCM
Chapitre I
Algèbre
1
Opérations élémentaires sur les nombres réels
1.1
Les ensembles IN , ZZ , Q
I , IR . . . . .
1.2
Opérations sur les fractions . . . . . .
1.3
Produits remarquables . . . . . . . . .
1.4
Exposants et radicaux . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
Polynômes du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Coefficient angulaire (ou pente) d’une droite . . . . . . . . . . . . .
2.4
Ordonnée à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Équation d’une droite passant par deux points connus P0 (x0 , y0 ) et
P1 (x1 , y1 ) où x0 6= x1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Équation d’une droite passant par le point P0 (x0 , y0 ) et dont la pente
vaut m0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8
Équation d’une droite verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9
Équation générale d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I–3
I–3
I–4
I–4
I–5
I–10
I–10
I–10
I–11
I–12
I–13
I–14
I–15
I–16
I–17
I–2
Algèbre
3
Équations et inéquations du premier degré en la variable x
3.1
Équations du premier degré en la variable x . . . .
3.2
Inéquations du premier degré en la variable x . . .
3.3
Inéquations du premier degré à deux variables . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I–18
I–18
I–19
I–19
4
Polynômes du deuxième degré . .
4.1
Définition . . . . . . . . .
4.2
Représentation graphique
4.3
Propriétés . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I–21
I–21
I–21
I–21
5
Équations et inéquations du second degré en la variable x . . . . . . . . . . I–24
5.1
Équations du second degré en la variable x . . . . . . . . . . . . . . I–24
5.2
Inéquations du second degré en la variable x . . . . . . . . . . . . . I–25
6
Factorisation et division de polynômes . . . .
6.1
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Produits remarquables et factorisation
6.3
Division de polynômes . . . . . . . . .
6.4
Règle de Horner . . . . . . . . . . . . .
7
Systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–30
7.1
Résolution géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–30
7.2
Résolution algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–32
8
Systèmes d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–36
9
Équations irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–37
10
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–38
10.1 Exercices résolus au cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–38
10.2 Exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–41
11
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I–48
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
I–26
I–26
I–26
I–27
I–28
Chapitre II
Trigonométrie
1
Définition des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–3
2
Mesure des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–4
3
Le cercle trigonométrique et les nombres trigonométriques d’un angle
3.1
Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Tangente, cotangente, sécante et cosécante d’un angle orienté .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II–7
II–7
II–7
II–9
4
Angles associés . . . . . . . . . . .
4.1
Angles opposés . . . . . . .
4.2
Angles supplémentaires . . .
4.3
Angles antisupplémentaires
4.4
Angles complémentaires . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II–10
II–10
II–11
II–11
II–12
5
Nombres trigonométriques d’angles remarquables . . . . . . . . . . . . . . II–13
6
Formulaire de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–14
7
Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . .
7.1
Équations élémentaires . . . . . . . . . . .
7.2
Équations du type sin ax = cos bx . . . . .
7.3
Équations du type a sin2 x + b sin x + c = 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II–16
II–16
II–17
II–18
II–2
Trigonométrie
8
Nombres trigonométriques dans le triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . II–19
9
Nombres trigonométriques dans les triangles quelconques . . . . . . . . . . II–20
9.1
Rappel des principales formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–21
9.2
Résolution de triangles quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–22
10
Les fonctions trigonométriques
10.1 La fonction sinus . . .
10.2 La fonction cosinus . .
10.3 La fonction tangente .
10.4 La fonction cotangente
11
Triangles semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–28
11.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–28
11.2 Cas de similitude des triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–29
12
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–31
12.1 Énoncés des exercices résolus au cours . . . . . . . . . . . . . . . . II–31
12.2 Énoncés des exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . II–32
13
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II–36
13.1 Solutions des exercices résolus au cours . . . . . . . . . . . . . . . . II–36
13.2 Solutions des exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . II–37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
II–24
II–24
II–25
II–26
II–27
Chapitre III
Analyse
1
2
3
Notion de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–3
1.1
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–3
1.2
Domaine de définition d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . III–4
1.3
Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–5
1.4
Graphe d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–5
1.5
Quelques caractéristiques d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . III–6
1.6
Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . III–8
1.7
Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–9
1.8
Graphes déduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–10
1.9
Typologie des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–13
1.10
Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–14
Les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–17
2.1
Compléments sur les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–17
2.2
Les limites : approche intuitive et les asymptotes . . . . . . . . . . III–18
2.3
Opérations algébriques sur les limites infinies . . . . . . . . . . . . . III–26
2.4
Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–29
2.5
Calcul pratique des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–29
Les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–30
3.1
Nombre dérivé d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . III–30
3.2
Fonction dérivée
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–31
III–2
Analyse
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Tableau des fonctions usuelles et de
Règles de calcul des dérivées . . . .
Dérivées d’ordre supérieur . . . . .
Dérivées et graphes de fonctions . .
Règle de l’Hospital . . . . . . . . .
leur fonction dérivée
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III–33
III–34
III–35
III–35
III–37
4
Les fonctions exponentielles et logarithmes . . . . . . . . .
4.1
Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
La fonction exponentielle naturelle . . . . . . . . .
4.3
Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Dérivée des fonctions exponentielles et logarithmes
4.5
Formule de changement de base . . . . . . . . . . .
4.6
Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7
Lois de croissance-décroissance exponentielle . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III–38
III–38
III–46
III–51
III–56
III–56
III–56
III–56
5
Éléments de calcul intégral . . . . . . . .
5.1
Notion de primitive . . . . . . . .
5.2
Techniques de calcul de primitives
5.3
L’intégrale définie . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
III–58
III–58
III–59
III–63
6
Énoncés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–65
6.1
Énoncés des exercices résolus au cours . . . . . . . . . . . . . . . . III–65
6.2
Énoncés des exercices supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . III–69
7
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III–77
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Chapitre IV
Éléments de calcul vectoriel
1
Coordonnées cartésiennes et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–3
2
Opérations algébriques sur les vecteurs . . . . . .
2.1
Addition de deux vecteurs . . . . . . . . .
2.2
Multiplication d’un vecteur par un nombre
2.3
Propriétés des opérations algébriques . . .
3
Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–12
4
Le produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–16
5
Énoncé des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–19
6
Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV–22
. . .
. . .
réel
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
IV–5
IV–5
IV–9
IV–10