Cours IFSI maths-vitesse débit - Concours

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http://concours‐infirmier.fr|FICHEM16:Problèmesdetempsetdevitesse‐ débit–V3.0‐
©DidaskoSanté
2
VitessemoyenneR163
Siunautomobilistepartdechezluià10h,rouleàunevitesseconstantede90km/hetarriveàlagaredistante
de90kmà11h,savitessemoyenneestde90km/h.
Sonfilspartenmêmetempsqueluidelamaison,maisils’arrêteàunestationservicependant12minutes.Il
repart,rouleunpeuplusvitepourcomblersonretardetarriveàlagareà11h.Savitessemoyenneestaussi
de90km/h.Commesonpère,ilamisuneheurepourparcourirles90kilomètres.
Attention:lavitessemoyennen’estpaségaleàlamoyennedesvitesses.
Exemple:UnchauffeurdetaxifaitletrajetPoitiers‐LaRochelle(130km)àunevitesse(v1)de32,5km/h(le
compteurtourne…)puisleretouràunevitesse(v2)de130km/h.Quelleestlavitessemoyennesurl’ensemble
dutrajet?
Uneerreurseraitdedirequelavitessemoyenneestégaleà(v1+v2)/2⟹(130+32,5)/2,soit81,25km/h.Pour
obtenirlavitessemoyenneilfautcalculerlerapportdistancetotalesurtempstotal.
 Distancetotale=130km+130km=260km.
 Tempsdutrajetaller:Ta=
=
,
=4h(ilsetraînelebougre!)
 Tempsdutrajetretour:Tr=
= =1h
 Tempstotal=Ta+Tr=4+1=5h.
 Vitessemoyenne=
= =52km/h.
Cettenotiondevitessemoyenneesttrèsimportanteàconnaître.Ellefaitl’objetdenombreuxexercices.
Casdedeuxobjetssedéplaçantl’unversl’autre
LesdeuxobjetssontpartisaumêmemomentR164
 HenrietAlinepartentenmêmetempsdedeuxendroitsdifférentsdistantsde5kmetsedirigentl’unvers
l’autre.Henrifaitletrajetàpiedàunevitessede5km/h,Alineaenfourchésabicycletteetrouleà15
km/h.Auboutdecombiendetempsvont‐ilsserejoindre?
Quanddeuxobjetssedirigentl’unversl’autre,l’unévoluantàunevitessev1,lesecondàunevitessev2,ilsse
rapprochentl’undel’autreàunevitesseVégaleàv1+v2.
Soitd,ladistancequilessépareaumomentdeleurdépart,ilssecroiserontquandlasommedesdistances
parcouruesseraégaleàd,soitauboutd’untempsttelque:
t= avecV=v1+v2
HenrietAlineserapprochentl’undel’autreàunevitesseVégaleà5+15=20km/h.
Ilssecroiserontauboutd’untempst=
= hsoitauboutde15minutes( hx60=15min).
Enraisonnantavecl’aided’untableaudeproportionnalité.
SiHenrimarchependant1heureilparcourra5km.
SiAlineroulependant1heure,elleparcourra15km.
Ladistancetotaleparcourueen1heureserade15+5=20km.

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Distanceenkm 20 5
Duréeenh1 t ?
Ilfautchercherlenombretd’heurestelque:entheuresles5kmsoientparcourus.
Produitencroix:20xt=1x5⟹t=5/20=1/4hsoit15minutes.
 AquelledistancedupointdedépartdeHenrisecroiseront‐ils?
Henriamarchépendant15minutes(1/4h)àunevitessede5km/havantlarencontre.Ilaparcouru:
d=vxt=
x5=1,25km.
Lesdeuxobjetsnesontpaspartisaumêmemoment.R165
Sil’undesobjetsestpartiplustôtilfautcalculerladistancequiséparelesdeuxobjetsaumomentoùle
dernierestparti.
 HenrietAlinepartentdedeuxendroitsdifférentsdistantsde5kmetsedirigentl’unversl’autre.Henri
part6minutesavantAlineetfaitletrajetàpiedàunevitessede5km/h.Alineaenfourchésabicyclette
etrouleà15km/h.Auboutdecombiendetempsvont‐ilsserejoindre?
Oncalculeladistancequ’Henriaparcouruependant6minutes.6min=
h=0,1h.
Henriaparcouru5x0,1=0,5km.QuandAlinedémarre,ladistancequilessépareestde5kmmoins0,5km=
4,5km.Onpeutdésormaisreformulerlesdonnéesduproblèmeetconsidérerqu’ilssontpartisenmême
tempsetqueladistancequilessépareestde4,5km.
 HenrietAlineserapprochentl’undel’autreàunevitesseVégaleà5+15=20km/h.
 Ilssecroiserontauboutd’untempst=
, =0,225h
o 0,225h=0,225x60min=13,5min
o 13,5min=13min+0,5x60s=13min30s
Casdedeuxobjetssedéplaçantdanslamêmedirectionmaisàdesvitessesdifférentes
LesdeuxobjetssontpartisaumêmemomentR166
 AlainetPierrepartentenmêmetempsetempruntentlemêmesentierdemontagnepourserendreàun
refuge.AlainestpartiduvillageAetmarcheàlavitessede5km/h.PierreestpartiduvillageB,distantde
2kmenavalduvillageA,etmarcheàlavitessede7km/h.Auboutdecombiendetemps,Pierre
rattraperat–ilAlain?
Sideuxobjetssedéplacentdanslamêmedirectionmaisàdesvitessesdifférentes,leplusrapide(vitesseVr)se
rapprochedupluslent(vitesseVl)àunevitesse(V)égaleàladifférencedeleursvitessesVr–Vl.
Soitd,ladistancequilessépareaumomentdeleurdépart,leplusrapiderattraperalepluslentauboutd’un
tempsttelque:
t= avecV=Vr–Vl
PierreetAlainserapprocheàunevitesseVégaleà7–5=2km/h.Audépart,Pierreestdistantd’Alainde2
kilomètres.Illedoubleraauboutde:
t=
= =1h

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Lesdeuxobjetsnesontpaspartisaumêmemoment.R167
Sil’undesobjetsestpartiplustôtilfautcalculerladistancequiséparelesdeuxobjetsaumomentoùle
dernierestparti.
 AlainetPierreempruntentlemêmesentierdemontagnepourserendreàunrefuge.Alainestpartidu
villageAetmarcheàlavitessede5km/h.PierreestpartiduvillageB,distantde2kmenavalduvillageA,
etmarcheàlavitessede7km/h.Alainestparti15minutesavant.Auboutdecombiendetemps,Pierre
rattraperat–ilAlain?
Oncalculeladistancequ’AlainaparcourueavantquePierres’élance.15min=
h= h=0,25h
Alainaparcouru5x0,25=1,25km.
LadistancequisépareAlaindePierreaumomentdudépartdecedernierest2+1,25=3,25km.Onpeut
désormaisreformulerlesdonnéesduproblèmeetconsidérerqu’ilssontpartisenmêmetempsetquela
distancequilessépareestde3,25km.
 PierreetAlainserapprocheàunevitesseVégaleà7–5=2km/h.Pierreestdistantd’Alainde3,25
kilomètres.Illedoubleraauboutde:
 t=
=, =1,625h
o 1,625h=1h+0,625x60min=1h+37,5min=1h+37min+0,5x60s=1h37min30s.
Variation:
Unaviondelignedécolleà10heuresd’unaérodromeetsedirigeverslacapitaleàunevitessede600km/h.À
10heures30,unaviondechassedécolledumêmeaérodromeaveclamissiond’intercepterl’aviondeligne.
L’aviondechassevolantàlavitessede1800km/h,àquelleheurerejoindra‐t‐ill’aviondeligne?
AppliquonslesrèglesdeR167.
Avantquel’aviondechassedécolle,ils’estécoulé10h30–10h=30min=0,5h
Distanceparcourueparl’aviondelignependantcetemps=0,5x600=300km
Ladistancequiséparel’aviondelignedel’aviondechasseavantquecedernierdécolleest300km.Onpeut
désormaisreformulerlesdonnéesduproblèmeetconsidérerqu’ilssontpartisenmêmetempsetquela
distancequilessépareàcemomentestde300km(onn’ajouteriencarilssontpartisdumêmeendroit).A
partirdumomentquel’aviondechassedécolle,l’aviondelignecontinuedes’éloigneràlavitessede600
km/h.L’aviondechassevolantàlavitessede1800km/h,ilserapprocheàunevitesserelativede(Vr–Vl)=
1800–600=1200km.
Onad=vxt
300=1200xt⇒t=300/1200=0,25h=0,25x60min=15min
L’aviondechasseaurarejointl’aviondeligneauboutde15minutes.
L’aviondechasseadécolléà10h30.Heured’interception=10h30+15min=10h45min.
Autreméthode:
 Soitv1lavitessedel’aviondeligne.
 Soitv2lavitessedel’aviondechasse.
 Soitr,ledélaiavantquel’aviondechassedécolle.R=30min=0,5h.
 SoitTinter,letempsmisparl’aviondechassepourintercepterl’aviondeligne.
Lorsquel’aviondechasseaurarejointl’aviondeligne,ilsaurontparcourutouslesdeuxlamêmedistanced.
L’aviondeligneauravoléletempsdel’interceptionplussonavanceaudécollagesoit(Tinter+r).
L’aviondechasseauravoléletempsdel’interception,soitTinter.
Commelesdistancesparcouruessontlesmêmes,nousobtenons:
Pourl’aviondeligne⟹d=v1x(Tinter+r)
Pourl’aviondechasse⟹d=v2xTinter
Onobtient:v1x(Tinter+r)=v2xTinter⟹600Tinter+600x0,5=1800Tinter
300=1200Tinter
Tinter=300/1200=0,25h

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5
0,25h=0,25x60=15minutes(tempsdel’interception).
L’aviondechasseayantdécolléà10h30,ilintercepteral’aviondeligneà10H45min.
Vérifions:
Duréedevolaviondeligne:10h45–10h=45min=3/4H
Duréedevolaviondechasse:10h45–10h30=15min=1/4H
Distanceparcourueaviondeligne=600x¾=450km
Distanceparcourueaviondechasse=1800x¼=450km.