chapitre sur les triangles

Les triangles
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Définitions et triangles particuliers
Définition 1 Un triangle c’est un polygone qui a trois côtés.
Exemples 1 Dessiner trois triangles, un classique, un qui est équilatéral, et un
qui a un angle obtus.
Définition 2 Un triangle rectangle c’est un triangle qui a un angle droit.
Si un triangle ABC a son angle droit au sommet A, on dit que ABC est rectangle en A. De plus le côté qui est en face de l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.
L’hypoténuse ça servira beaucoup l’an prochain
Exemples 2 Faire trois dessins, un avec le triangle rectangle posé sur un côté
de l’angle droit, un posé sur l’hypoténuse, et un dans une figure complexe, avec
une justification.
Définition 3 Un triangle isocèle c’est un triangle qui a (au moins) deux côtés
égaux. Le sommet qui touche les deux côtés égaux s’appelle le sommet principal
et le côté qui est opposé au sommet principal s’appelle la base du triangle isocèle.
Exemples 3 Faire deux dessins, un posé sur la base et un posé sur l’un des deux
côtés égaux. Indiquer le vocabulaire : base et sommet principal. Et en marquant
les côtés égaux.
Définition 4 Un triangle équilatéral c’est un triangle qui a trois côtés égaux.
Exemples 4 Faire deux dessins, un petit et un plus grand en marquant les côtés
égaux.
1
Remarque 1 Un triangle équilatéral est un triangle isocèle.
Dans un triangle isocèle, les deux angles qui touchent la base sont égaux.
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Tracé d’un triangle dont on connaît les trois
côtés
On veut tracer un triangle dont on connaît les trois côtés.
. Par exemple tracer le triangle ABC tel que AB = 7 cm, BC = 10 cm et CA =
6 cm.
Méthode
Préalable
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
Faire un dessin à main levée pour se
faire une idée et se rappeler de la méthode.
On trace un (le plus grand) côté.
On trace un arc de cerle de longueur 6
cm en pointant le compas en A.
On trace un arc de cercle de longueur
10 cm en pointant le compas en B.
On place le point C à l’intersection des
deux arcs de cercle, et tracer [BC] et
[CA].
Faire le dessin du segment
[AB]
Faire le dessin du segment
[AB] et de l’arc de cercle
Faire le dessin du segment
[AB] et des deux arcs de
cercle.
Faire le dessin du triangle
complet.
Exemples 5 Tracer les triangles suivants :
1. ABC tel que AB = 4 cm, BC=5 cm, et CA = 3 cm
2. IJK tel que IJ= 3 cm, JK=7 cm et KI=7 cm
3. ZUT tel que ZU=5 cm, UT=5 cm et TZ=5 cm
4. GIL tel que GI = 10 cm, IL = 4 cm et LG = 5 cm
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3
Inégalité triangulaire
On a remarqué que l’on ne pouvait pas tracer certains triangles.
Théorème 1 Dans un triangle la somme des longueurs des deux petits côtés
est toujours supérieure à la longueur du grand côté.
C’est même mieux, dans un triangle la somme des longueurs de deux côtés est
toujours supérieure à la longueur du troisième côté.
Autrement dit :
Dans un triangle ABC : AB<AC+BC
Exemples 6 Tracer les trois triangles suivants après avoir anticipé si ils existaient.
1. EFG tel que EF = 7 cm, FG = 5 cm et GE = 6 cm
2. IJK tel que IJ = 10 cm, JK = 6 cm et KI = 3 cm
3. TUV tel que TU = 12 cm, UV = 6 cm et VT= 6 cm
Remarque : Et si la somme des deux petits côtés est égale au troisième côté.
Théorème 2 Dans un triangle ABC, si la somme des longueurs des deux petits
côtés d’un triangle est égale à la longueur du troisième côté, alors les points A ;
B et C sont alignés.
4
Tracer d’un triangle dont on connaît un côté et
les angles
On veut tracer un triangle ABC tel que AB = 10 cm, Â = 30˚ et B̂ = 60˚.
Méthode
Préalable
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
Tracer un dessin à main levée pour se
faire une idée
Tracer le côté que l’on connaît, ici [AB]
Tracer l’angle  de 30˚en prenant [AB]
comme l’un des côtés
Tracer l’angle B̂ de 60˚en prenant [AB]
comme l’un des côtés
Placer le point C à l’intersection des
deux côtés que l’on vient de tracer. Et
tracer le triangle ABC
3
Tracer [AB]
Tracer [AB] et l’angle Â
Tracer [AB] et les deux
angles.
Dessiner ABC
Tracer les triangles suivants.
1. ABC tel que AB=7 cm, Â=45˚et B̂= 45˚
2. EFG tel que EF = 5 cm, Ê=40˚et F̂ =40˚
ˆ ˚
3. KIL tel que KI = 7 cm, K̂=40˚et I=50
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Tracer un triangle dont on connaît deux côtés
et un angle
On veut tracer un triangle ABC tel que AB = 10 cm, BC=8 cm et B̂ = 60˚.
Méthode
Préalable
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
Tracer un dessin à main levée pour se
faire une idée
Tracer un des côtés que l’on connaît, ici
[AB]
Tracer l’angle B̂ de 60˚en prenant [AB]
comme l’un des côtés
Tracer le point C sur le deuxième côté
de l’angle B̂ à la distance donnée dans
l’énoncé
Tracer le côté qui manque [AC]
Tracer les triangles suivants.
1. ABC tel que AB=7 cm, BC=5cm et B̂= 45˚
2. EFG tel que EF = 5 cm, FG = 6 cm et F̂ =40˚
ˆ ˚
3. KIL tel que KI = 7 cm, IL = 7 cm et I=50
4
Tracer [AB]
Tracer [AB] l’angle B̂
Tracer B̂ et les deux
points A et C sur ses côtés.
Dessiner ABC
6
Médiatrice, définition et propriétés
Définition 5 La médiatrice d’un segment [AB] c’est la droite qui est perpendiculaire à [AB] et qui passe par son milieu.
Exemples 7
E
A
90˚
90˚
B
D
Théorème 3 Si un point est sur la médiatrice d’un segment, alors il est à la
même distance des extrémités de ce segment.
Et réciproquement, si un point est à égale distance des extrémités d’un segment, alors il est sur la médiatrice.
Exemples 8
5
I
C
D
E
B
A
G
F
H
Les points D, F, H et E ne sont pas équidistants de A et B car ils ne sont pas
sur la médiatrice de [AB].
Les points I, C et G sont équidistants de A et B car ils sont sur la médiatrice de [AB].
Méthode de tracer de la médiatrice au compas
Préalable
Etape 1
Etape 2
Etape 3
Etape 4
Faire un dessin pour se faire une idée et
se rapeler du cours
Tracer un arc de cercle en pointant le
compas en A
Tracer un arc de cercle en pointant le
compas en B avec le même écartement, Placer un point à l’intersection
des deux arcs de cercle.
Recommencer les étapes précédentes
avec un autre écartement de compas.
Tracer la médiatrice du segment en reliant les deux points obtenus aux étapes
précédentes.
6
Faire le dessin
Faire le dessin
Faire le dessin
Faire le dessin de la médiatrice.
7
Cercle circonscrit à un triangle
Tracer un triangle ABC tel que AB = 8 cm, BC = 10 cm et CA = 7 cm. Repasser
le côté [AB] en bleu, le côté [BC] en rouge et le côté [CA] en vert. Tracer en
bleu la médiatrice de [AB], tracer en rouge la médiatrice de [BC] et en vert la
médiatrice de [CA]. Que remarque-t-on ?
Théorème 4 Dans un triangle les médiatrices des côtés sont concourrantes.
Leur point d’intersection s’appelle le centre du cercle circonscrit.
Définition 6 Le cercle circonscrit à un triangle ABC c’est le cercle qui a son
centre à l’intersection des médiatrices des côtés du triangle et qui passe
par tous les sommets du triangle.
D
A
F
C
B
7
E
Exemples 9 Tracer les triangles suivants et leurs cercles circonscrits.
1. ABC tel que AB = 5 cm, BC = 6 cm et CA = 7 cm
2. IJK tel que IJ = 3 cm, JK=4 cm, et KI = 5 cm
3. POF tel que PO=8 cm, OF=5 cm et FP = 2 cm
4. BIZ tel que BI=7 cm, IZ = 3 cm et ZB = 5 cm
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Médianes d’un triangle
Définition 7 Dans un triangle ABC la médiane issue de A c’est le segment
qui commence au sommet A et qui termine au milieu de [BC].
Exemples 10 Faire trois triangles avec des noms différents. Pour chaque triangle, tracer les médianes.
G
E
A
B
I
C
D
F
H
Remarque 2 Les médianes sont toujours à l’intérieur du triangle. Il y a trois
médianes par triangle.
Remarque 3 Les médianes d’un triangle se coupent au même point, elles sont
concourrantes. Leur point d’intersection s’appelle le centre de gravité du triangle. On pourra justifier cette propriété dans quelques mois.
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