Énergie du champ magnétique. - Modification du raisonnement

Énergie du champ magnétique. - Modification du
raisonnement classique conduisant à la formule de
Neumann
H. Pellat
To cite this version:
H. Pellat. Énergie du champ magnétique. - Modification du raisonnement classique conduisant à la formule de Neumann. J. Phys. Theor. Appl., 1898, 7 (1), pp.702-708.
<10.1051/jphystap:018980070070201>. <jpa-00240303>
HAL Id: jpa-00240303
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Submitted on 1 Jan 1898
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702
mobiles
doivent traverser l’enroulement
torique ;
qui, contraire, permettent de mesurer le moment
développé sans l’intervention d’aucun organe de ce genre. J’ai imaginé
plusieurs dispositions appartenant à ces deux catégories de procédés
et je me suis arrangé de façon que si l’on emploie des organes traversant l’enroulement torique, il n’en résulte aucun trouble dans les
actions électro-dynamiques exercées par celui-ci sur les bobines
mobiles.
au
et
ÉNERGIE
moyen
ceux
d’organes qui
au
DU CHAMP
MAGNÉTIQUE. -
CLASSIQUE CONDUISANT
MODIFICATION DU RAISONNEMENT
A LA FORMULE DE NEUMANN ;
Par H. PELLAT.
1
J’ai montré, dans ce Recueil (’ ), que l’expression habituellement
admise pour l’énergie d’un champ électrique doit être modifiée parce
qu’il faut tenir compte de la chaleur que le système doit prendre ou
fournir au milieu extérieur pendant son électrisation pour maintenir
sa température constante. Une modification tout à fait analogue
s’impose pour l’expression de l’énergie d’un champ magnétique. C’est
ce qui fera l’objet de cet article.
Je considérerai successivement les trois cas suivants : 1 ° le champ
est constitué uniquement par des aimants permanents ; le champ
est constitué uniquement par des courants dans un milieu dont la
perméabilité est indépendante de l’intensité du champ; 3° le champ
est produit à la fois par des courants et par des aimants permanents.
Des considérations tout à fait analogues à celles
PREMIER CAS.
donnent
qui
l’énergie du champ électrique conduisent au résultat.
Désignons par M la quantité de magnétisme qui se trouve dans
une région où le potentiel magnétique est V; examinons l’accroissement d’énergie qui a lieu pour la partie de l’espace soumise au champ,
quand celui-ci passe d’une valeur nulle à la valeur considérée. Comme
cette variation d’énergie ne dépend pas de la façon dont se fait la
-
transformation,
nous
supposerons
(1) De la variation d’énergie
électrique., voir ce volume, p.
dans
18.
une
qu’à chaque instant, pendant
t¡’ansfol’m.ation
-
De
l’énel’gie
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018980070070201
703
parties présentent la mème fraction x de leur
finale
et, par conséquent, que chaque point du
charge magnétique
fraction x du potentiel final. Considéaussi
la
même
champ possède
comme
variables
rons,
indépendantes, x et la température absolue T,
uniforme.
supposée
Pour faire croître simultanément le magnétisme des points aimantés du champ, on peut imaginer qu’on transporte depuis l’infini jusqu’aux points considérés des aimants infiniment petits qu’on juxtapose à ceux qui ont été amenés antérieurement. Le travail des forces
extérieures
dW pour augmenter ainsi de Mdx la charge magnétique de cliaque point est donné par :
celle-ci,
toutes les
-
En vertu de la relation générale établie sous le numéro (8) dans
l’article précité, on a pour la variation élémentaire d’énergie dUT, si
l’on maintient la température constante, le système prenant ou cédant
au
milieu extérieur la quantité de chaleur convenable :
la dérivation, 1B1 doit être consimais oû V peut dépendre de T, à
cause de la variation de la perméabilité avec la température et aussi
à cause des dilatations.
En intégrant depuis x = o jusqu’à
pour avoir la variation
d’énergie du système UT à température constante, c’est-à-dire
expression
déré
dans
comme
l’énergie
du
laquelle, pour
indépendant de T,
champ magnétiqu8,
expression identique
on a :
à celle obtenue pour le
On voit aisément que
mise en jeu pour maintenir la
création du champ magnétique.
est
champ électrique.
la quantité de chaleur
température
DEUXIÈME CAS. ----- Comme nous l’avons dit,
que les courants qui constituent le champ sont
constante
pendant
la
supposerons ici
placés dans un milieu
nous
704
homogène ou hétérogène, mais dont la perméabilité ne varie pas avec
l’intensité du champ, et sans aimantation résiduelle, de façon que, si
les intensités de tous les courants deviennent nulles, le champ magnétique devient nul aussi.
Remarquons que l’énergie du champ magnétique dépend de la
forme, de la position, de l’intensité des courants, ainsi que de la perméabilité des diverses régions du champ, mais ne dépend pas de la
résistance des conducteurs parcourus par les courants. Celle-ci ne
fait que régler la quantité de chaleur que le milieu extérieur doit
enlever au système pour maintenir sa température constante. Afin
d’avoir des phénomènes réversibles, nous pouvons supposer le cas
limite où la résistance de tous les conducteurs est infiniment faible.
Nous supposerons aussi que les courants sont fournis par des
électromoteurs fondés sur l’induction, mis en mouvement par des
forces extérieures au système. En régime permanent, il faudra, pour
avoir un courant d’intensité finie, que la force électromotrice de
ceux-ci soit infiniment faible, puisque la résistance elle-même est
infiniment faible; mais, pendant la période variable, à cause des phénomènes d’induction des circuits les uns sur les autres, il faudra
que la force électromotrice des électromoteurs soit finie pour s’opposer à la force électromotrice due aux phénomènes d’induction dont
nous venons de parler.
Pour simplifier l’exposé, nous considérerons d’abord le cas où il
n’y a que deux circuits distincts. Soient L,, L2 et 1YI les coefficients
de self-induction de ces circuits et leur coefHcient d’induction mututelle ; 1, et i2, les intensités au temps t des courants que nous allons
faire varier depuis une valeur nulle jusqu’aux valeurs I, et 12. Comme,
pour avoir la variation d’énergie entre ces deux états peu importe
les états intermédiaires, nous pouvons supposer que tous les circuits
restent immobiles et que la loi de variation des courants est donnée
par les expressions
qui est toujours possible en faisant tourner avec
venable les électromoteurs. Ces relations donnent:
ce
une
vitesse
i, == Í2
~
o
con-
pour
(état
~1~ i2 ===]2 pour t == 00 ou x - 1
En désignant par E, et E2 les forces électromotrices des
électromoteurs au temps t, les lois de l’induction fournissent les relat
==
o ou x = o
(état final).
705
tions suivantes
(en
nous
rappelant
que les résistances sont infiniment
faibles) :
Pendant le temps dt, le travail
dW des forces extérieures, quai
se réduit au travail nécessaire pour faire tourner les électromoteurs,
est donné par :
-
en
°
posant pour abréger 1’écriture :
Considérons maintenant l’état du système comme caractérisé par
les deux variables indépendantes x; et T (température absolue supposée uniforme), les intensités 1, et 1, étant indépendantes de T,
mais les coefficients L,, L2, ~1. et, par conséquent, A en dépendant
à cause de la variation de la perméabilité avec la température et des
dilatations.
Dans une variation infiniment petite, à température constante, la
formule générale portant le numéro (8) dans l’article précité donne,
pour la variation élémentaire dUT de l’énergie du système, l’expression
,
Pour avoir l’énergie du champ magnétique, c’est-à-dire la variation
d’énergie à température constante UT du système pendant que les
courants passent d’une intensité nulle à leur intensité finale, il suffit
d’intégrer l’expression précédente en faisant varier x de 0 à ~, comme
nous l’avons vu ; ce qui donne :
.
On voit aisément que
est la
quantité
de chaleur mise
en
706
pour maintenir la température du système constante
création du champ, puisqu’en vertu de la relation
A
jeu
(6),
2
le travail des forces extérieures.
En remplaçant A par sa valeur
(7),
il vient :
lieu de deux circuits, il y en a
trouve aisément que la relation (9) est
nant pour A la valeur :
Si,
au
pendant la
représente
plus grand nombre, on
toujours applicable en preun
d’où, pour l’énergie UT du champ, l’expression :
Nous allons considérer maintenant le cas où le
produit par des aimants permanents de magnétisme parchamp
faitement rigide et par des courants fermés placés dans un milieu
homogène ou hétérogène, mais dont la perméabilité ne dépend pas
de la valeur du champ. Ce cas se ramène immédiatement aux deux
précédents. Supposons d’abord tous les circuits ouverts et créons,
comme dans le premier cas, le champ dîi aux aimants seuls; soit UA
l’énergie de ce champ. Tout étant immobile, fermons les circuits que
nous supposons encore avoir des résistances infiniment petites, et
faisons passer les courants de l’intensité nulle à leur intensité définitive ; nous n’aurons rien à changer aux relations (4), (5B... (12), car
les circuits et les aimants restant immobiles, ceux-ci ne donnent
lieu à aucun phénomène d’induction. Il en résulte que la variation
d’énergie Uc, quand les courants passent d’une intensité nulle à l’intensité définitive, est encore représentée par les relations (9), (10),
ou (12). L’énergie du champ magnétique est donc UA + Uc : c’est la
TROISIEME
CAS.
-
est
somine
des
seuls (UA)
énergies
du
champ magnétique, si
et si les courantes existaient seuls
les aimants existaient
(Llc) (1).
(1)
i’aschy- a démontré ce théorème sans se fonder sur les lois de l’induction
et précisément dans le but de rendre rigoureux le raisonnement qui conduit à la
formule de Neumann. Mais sa démonstration néglige les quantités de chaleur
mises en jeu dans la création du champ magnétique et, si on veut en tenir compte,
elle devient difficile à faire. C’est pourquoi je crois bon de montrer qu’on peut se
passer de ce théorème pour établir la formule de Neumann.
M.
707
II
On serait tenté de croire qu’il est nécessaire de connaître cette
dernière proposition pour établir rigoureusement par le raisonnement
de Helmholtz ou de lord Kelvin la formule de Neumann, qui donne
l’expression de la force électromotrice d’induction dans le déplacement relatif d’un circuit et d’un aimant. Mais remarquons que, si
nous nous bornons à considérer un courant infiniment faible fourni
par une pile dans un circuit de résistance finie, on peut établir
a priori que l’énergie du système ne dépend pas de la position relative du circuit de l’aimant.
En effet, supposons immobile dans une position quelconque le circuit par rapport à l’aimant. Le circuit étant d’abord ouvert, fermons-le
sur une pile de force électromotrice infiniment faible de, considérée
comme ne faisant pas partie du système; il naîtra un courant infiniment faible di, et la pile ne fournira, dans un temps fini, qu’une
quantité d’énergie qui est un infiniment petit du second ordre ; la
chaleur mise en jeu pour maintenir la température constante sera
aussi un infiniment petit du second ordre ( ~ ) ; par conséquent, la
fermeture de ce circuit sur la pile ne modifiera pas l’énergie du
système aux infiniment petits du second ordre près.
Ceci posé, considérons le circuit fermé sur la pile de force électromotrice de dans une position (1) par rapport à l’aimant; et soit U
l’énergie du système dans ce cas. Ouvrons ce circuit et transportonsle ainsi dans une position (2) ; puis fermons-le sur la même pile de
force électromotrice de, ce qui donnera la même intensité di du
courant après le régime variable. Le système n’ayant reçu ni travail,
ni chaleur, ni aucune autre forme d’énergie pendant le transport,
son énergie sera restée U aux infiniment petits du second ordre
près.
Mais,
si l’on fait le transport de la position (1) à la position (2), le
circuit étant fermé, en faisant varier convenablement la force électromotrice e de la pile, de façon que le courant conserve toujours la
même intensité infiniment petite di considérée ci-dessus, malgré les
phénomènes d’induction qui vont se produire, le système fournira au
On peut prendre comme fait d’expérience que la chaleur créée à la fermeture
à la rupture du circuit est proportionnelle au carré de l’intensité du courant.
de Phys., 3° série, t. VII, p. 18 ; 1898.
(2)
(1)
ou
708
milieu extérieur, un certain travail kdi, grâce aux forces électromagnétiques que nous supposerons équilibrées par des forces extérieures. D’autre part, si nous nous plaçons dans le cas limite où ce
travail est indépendant de la température, les relations (1 ) et (7) de
mon article sur la Variation cl’énepyie dans les transformations
isothermes (2) montrent que la chaleur mise en jeu pour maintenir
la température constante est nulle. Puisque l’énergie du système n’a
pas varié aux infiniment petits du second ordre près, il faut que,
pendant
ce
cisément
transport, il ait
égale
à
ce
reçu de la
pile
une
énergie edidt pré-
travail :
cl’oû :
o
La force électromotrice de la pile n’est donc plus restée infiniment
petite. Mais, comme l’intensité du courant est restée infiniment
petite, la force électromotrice de la pile a été à chaque instant égale,
à un infiniment petit près, à la force électromotrice d’induction.
l
C Il’ est donc
d’ par
Celle-ci
donnée
SUR LA
PRÉSENCE
.
e
}’
d ’TNeumann.
expression de
#
DU CARBONE DANS LE FER
ÉLECTROLYTIQUE ;
Par L. HOULLEVIGUE.
assez généralement le fer électrolytique comme le
qui
pur
plus
puisse être obtenu ; il est loin cependant d’être chimiquement pur ; tout le monde sait qu’il renferme de grandes quantités
d’hydrogène (100 à 150 fois son volume) ; d’autre part, Lockyer (t) y
On considère
impuretés certaines, NIn, Ni, Cr, Co, Ba, Sr, Ca,
Cu, Ti, Di, et comme impuretés probables : Zr, U, Ru, La, Er, Mo,
Zn, V, W, Os, Al.
a
signalé,
comme
impureté plus importante est le carbone. Elle a déjà été
Osmond, qui indique la présence de 0,08 0/0 de
signalée par
dans
un
échantillon analysé par lui. Une analyse volumécarbone
Une
(1)
vol.
On the
CLXXXX,
photographie
II, p. 983).
Arc
Spectrum
of
Electrolytie
Iron
(l’lciL.
Trans.