Révisions sur les anneaux

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Révisions sur les anneaux
Exercice 1 - Un calcul d’inverse.
1. Rappeler quel est l’inverse de 1 − T dans l’anneau des séries formelles Z[[T ]].
2. Soit A un anneau et a, b ∈ A. Montrer que si 1 − ab est inversible, alors 1 − ba l’est également.
Exercice 2 - Morphisme de Frobenius.
Soit p un nombre premier et A un anneau commutatif tel que p1A = 0.
1. Montrer que px = 0 pour tout x ∈ A.
p
i sont nuls pour 0 < i < p.
p
x est un endomorphisme d’anneaux.
2. Montrer que dans A les coefficients binomiaux
3. Montrer que l’application F : A −→ A, x 7−→
dans le cas où A = Z/pZ ?
Que vaut-il
4. Montrer que l’endomorphisme de Frobenius F de A est injectif si et seulement si A est réduit
(cf. définition de l’exercice 13).
Exercice 3 - Anneaux finis.
1. Donner un exemple d’anneau fini non commutatif.
2. Soit A un anneau fini et x ∈ A. Montrer que s’équivalent :
(i) x est inversible à gauche ;
(ii) x est régulier à gauche ;
(iii) x est inversible à droite ;
(iv) x est régulier à droite.
3. Montrer qu’un anneau fini intègre est un corps.
Exercice 4 - L’anneau C (R, R). Quels sont les éléments inversibles et réguliers de C (R, R) ?
Exercice 5 - Anneaux tels que a3 = a.
Soit A un anneau tel que a3 = a, pour tout a ∈ A. On se propose d’établir que A est commutatif.
1. Montrer que 6A = {0}.
2. Montrer que 2A et 3A sont des idéaux bilatères de A vérifiant 2A + 3A = A et 2A ∩ 3A = {0}.
En déduire qu’on peut supposer soit 2A = {0}, soit 3A = {0}.
3. Si 2A = {0}, montrer que a2 = a, pour tout a ∈ A, et conclure.
4. Si 3A = {0}, conclure en s’intéressant à (a + b)3 et (a − b)3 .
Exercice 6 - Centre de Mn (k).
Soit k un corps et n ∈ N∗ . Déterminer le centre de l’anneau des matrices Mn (k).
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Exercice 7 - Quotients successifs.
1. Soit A un anneau et I, J des idéaux bilatères de A tels que I ⊂ J. On note J/I l’image de J
dans l’anneau quotient A/I. Montrer que les anneaux (A/I)/(J/I) et A/J sont isomorphes.
2. Soit A un anneau et x, y ∈ A. Montrer que les anneaux A/(x, y), (A/(x))/(y) et (A/(y))/(x)
sont isomorphes.
3. Pour un nombre premier p, montrer que p est premier dans Z[i] si et seulement si −1 n’est pas
un carré modulo p.
Exercice 8 - Image d’un idéal. Soit f : A −→ B un morphisme d’anneaux.
1. L’image directe (resp. réciproque) d’un idéal de A est-elle un idéal de B ? Et si f est supposé
surjectif ?
2. Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier de B est un idéal premier de A.
3. Montrer que l’image réciproque d’un idéal maximal de B est un idéal maximal de A, lorsque f
est supposé surjectif. Donner un contre-exemple lorsque f n’est pas surjectif.
4. En déduire que, pour un idéal I de A, π : A −→ A/I induit une bijection entre les idéaux (resp.
premiers, resp. maximaux) de A qui contiennent I et les idéaux (resp. premiers, resp. maximaux)
de A/I.
Exercice 9 - Produits de corps.
1. Un produit de corps est-il un corps ?
2. Un produit de n corps peut-il être isomorphe à un produit de n + 1 corps ?
(Indication : on pourra s’intéresser aux idéaux maximaux de tels produits.)
Exercice 10
Soit A un anneau commutatif.
1. Soit P un idéal premier de A et I1 , . . . , In des idéaux de A. Montrer que si P contient le produit
I1 . . . In , alors il contient l’un des Ik .
2. Montrer que si I est un idéal non premier et distinct de A, il existe des idéaux I1 et I2 de A
distincts de I tels que I ⊂ I1 , I ⊂ I2 et I1 I2 ⊂ I.
3. (Lemme d’évitement.) Soit I un idéal de A et P1 , . . . , Pr des idéaux premiers de A.
Si I ⊂ P1 ∪ · · · ∪ Pr , montrer qu’il existe un i tel que I ⊂ Pi .
Exercice 11 - Caractérisation de l’intégrité.
1. Soit A un anneau commutatif distinct de {0}, Z/4Z et F2 [X]/(X 2 ). Montrer que s’équivalent :
(i) A est intègre ;
(ii) tout polynôme unitaire de degré n a au plus n racines ;
(iii) tout polynôme unitaire de degré 2 a au plus 2 racines.
2. Étudier les cas Z/4Z et F2 [X]/(X 2 ).
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Exercice 12 - Idempotents et produits d’anneaux.
Un élément e d’un anneau A est dit idempotent lorsque e2 = e.
1. Soit A un anneau intègre. Quels sont les idempotents de A ?
2. Quels sont les idempotents d’un anneau de matrices Mn (k), avec k un corps ?
Q
3. Soit (Ai )i∈I une famille d’anneaux. Quels sont les idempotents de i∈I Ai ? Et si tous les Ai sont
intègres ?
4. Montrer que si e est idempotent, alors (1 − e) est idempotent.
On suppose désormais A commutatif.
5. Montrer que l’idéal (e) = eA est un anneau unitaire d’élément unité e, puis que l’application
A −→ eA × (1 − e)A
x 7−→ (ex, (1 − e)x)
est un isomorphisme d’anneaux. Quel est son inverse ?
6. Soit a et b deux entiers premiers entre eux et u, v ∈ Z tels que au + bv = 1.
a) Montrer que bv est un idempotent de Z/abZ.
b) En déduire le théorème Chinois (en explicitant l’isomorphisme et sa réciproque).
7. Montrer que les seuls idempotents de Z/pα Z, pour p un nombre premier, sont 0 et 1.
8. Combien y a-t-il d’idempotents dans Z/nZ ? Quels sont les idempotents de Z/12Z ?
Exercice 13 - Nilradical et anneaux réduits. Soit A un anneau commutatif. On appelle Nilradical de
A, noté Nil(A), l’ensemble des éléments nilpotents de A, soit
Nil(A) = {a ∈ A / ∃ n ∈ N, an = 0}.
Le but de la première partie de cet exercice est de montrer que Nil(A) est l’intersection de tous les
idéaux premiers de A.
1. Vérifier que Nil(A) est un idéal de A contenu dans tout idéal premier.
2. Pour toute partie multiplicative 1 S, montrer que tout idéal de A maximal parmi ceux qui ne
rencontrent pas S est un idéal premier de A.
3. En déduire que, pour tout s ∈ A \ Nil(A), il existe un idéal premier ne contenant pas s.
Indication : on pourra considérer S = {sn / n ∈ N} et utiliser le lemme de Zorn.
4. Conclure.
A est dit réduit lorsqu’il ne possède pas d’éléments nilpotents non triviaux, i.e. Nil(A) = {0}.
5. Montrer que Aréd = A/Nil(A) est réduit et que π : A −→ Aréd vérifie la propriété universelle
suivante : pour tout morphisme d’anneaux commutatifs f : A −→ B où B est réduit, il existe un
unique morphisme fe : Aréd −→ B tel que f = fe ◦ π.
1. Une partie S de A est dite multiplicative lorsque 1 ∈ S, 0 ∈
/ S et S est stable par multiplication
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Exercice 14 - Unités et éléments nilpotents d’un anneau de polynômes.
Soit A un anneau commutatif.
1. Montrer que, pour a ∈ A? et n ∈ Nil(A) (cf. exercice 13), a + n ∈ A? .
2. Montrer que Nil(A[X]) = Nil(A)[X].
3. En déduire que A[X]? = A? + Nil(A)[X].
Exercice 15 - Radical de Jacobson. Soit A un anneau commutatif. On appelle radical de Jacobson
de A, noté Rad(A), l’intersection des idéaux maximaux de A.
1. Montrer que Rad(A) = {a ∈ A / ∀ b ∈ A, 1 − ab ∈ A? }.
2. Montrer que Rad(A/Rad(A)) = {0}.
3. Montrer que Nil(A) ⊂ Rad(A).
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