Révisions sur les anneaux

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Révisions sur les anneaux
Exercice 1 - Un calcul d’inverse.
1. Rappeler quel est l’inverse de 1−Tdans l’anneau des séries formelles Z[[T]].
2. Soit Aun anneau et a, b ∈A. Montrer que si 1−ab est inversible, alors 1−ba l’est également.
Exercice 2 - Morphisme de Frobenius.
Soit pun nombre premier et Aun anneau commutatif tel que p1A= 0.
1. Montrer que px = 0 pour tout x∈A.
2. Montrer que dans Ales coefficients binomiaux p
isont nuls pour 0< i < p.
3. Montrer que l’application F:A−→ A, x 7−→ xpest un endomorphisme d’anneaux. Que vaut-il
dans le cas où A=Z/pZ?
4. Montrer que l’endomorphisme de Frobenius Fde Aest injectif si et seulement si Aest réduit
(cf. définition de l’exercice 13).
Exercice 3 - Anneaux finis.
1. Donner un exemple d’anneau fini non commutatif.
2. Soit Aun anneau fini et x∈A. Montrer que s’équivalent :
(i) xest inversible à gauche ;
(ii) xest régulier à gauche ;
(iii) xest inversible à droite ;
(iv) xest régulier à droite.
3. Montrer qu’un anneau fini intègre est un corps.
Exercice 4 - L’anneau C(R,R).Quels sont les éléments inversibles et réguliers de C(R,R)?
Exercice 5 - Anneaux tels que a3=a.
Soit Aun anneau tel que a3=a, pour tout a∈A. On se propose d’établir que Aest commutatif.
1. Montrer que 6A={0}.
2. Montrer que 2Aet 3Asont des idéaux bilatères de Avérifiant 2A+ 3A=Aet 2A∩3A={0}.
En déduire qu’on peut supposer soit 2A={0}, soit 3A={0}.
3. Si 2A={0}, montrer que a2=a, pour tout a∈A, et conclure.
4. Si 3A={0}, conclure en s’intéressant à (a+b)3et (a−b)3.
Exercice 6 - Centre de Mn(k).
Soit kun corps et n∈N∗. Déterminer le centre de l’anneau des matrices Mn(k).
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Exercice 7 - Quotients successifs.
1. Soit Aun anneau et I, J des idéaux bilatères de Atels que I⊂J. On note J/I l’image de J
dans l’anneau quotient A/I. Montrer que les anneaux (A/I)/(J/I)et A/J sont isomorphes.
2. Soit Aun anneau et x, y ∈A. Montrer que les anneaux A/(x, y),(A/(x))/(y)et (A/(y))/(x)
sont isomorphes.
3. Pour un nombre premier p, montrer que pest premier dans Z[i]si et seulement si −1n’est pas
un carré modulo p.
Exercice 8 - Image d’un idéal. Soit f:A−→ Bun morphisme d’anneaux.
1. L’image directe (resp. réciproque) d’un idéal de Aest-elle un idéal de B? Et si fest supposé
surjectif ?
2. Montrer que l’image réciproque d’un idéal premier de Best un idéal premier de A.
3. Montrer que l’image réciproque d’un idéal maximal de Best un idéal maximal de A, lorsque f
est supposé surjectif. Donner un contre-exemple lorsque fn’est pas surjectif.
4. En déduire que, pour un idéal Ide A,π:A−→ A/I induit une bijection entre les idéaux (resp.
premiers, resp. maximaux) de Aqui contiennent Iet les idéaux (resp. premiers, resp. maximaux)
de A/I.
Exercice 9 - Produits de corps.
1. Un produit de corps est-il un corps ?
2. Un produit de ncorps peut-il être isomorphe à un produit de n+ 1 corps ?
(Indication : on pourra s’intéresser aux idéaux maximaux de tels produits.)
Exercice 10 Soit Aun anneau commutatif.
1. Soit Pun idéal premier de Aet I1, . . . , Indes idéaux de A. Montrer que si Pcontient le produit
I1. . . In, alors il contient l’un des Ik.
2. Montrer que si Iest un idéal non premier et distinct de A, il existe des idéaux I1et I2de A
distincts de Itels que I⊂I1, I ⊂I2et I1I2⊂I.
3. (Lemme d’évitement.) Soit Iun idéal de Aet P1,...,Prdes idéaux premiers de A.
Si I⊂P1∪ · · · ∪ Pr, montrer qu’il existe un itel que I⊂Pi.
Exercice 11 - Caractérisation de l’intégrité.
1. Soit Aun anneau commutatif distinct de {0},Z/4Zet F2[X]/(X2). Montrer que s’équivalent :
(i) Aest intègre ;
(ii) tout polynôme unitaire de degré na au plus nracines ;
(iii) tout polynôme unitaire de degré 2a au plus 2racines.
2. Étudier les cas Z/4Zet F2[X]/(X2).
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Exercice 12 - Idempotents et produits d’anneaux.
Un élément ed’un anneau Aest dit idempotent lorsque e2=e.
1. Soit Aun anneau intègre. Quels sont les idempotents de A?
2. Quels sont les idempotents d’un anneau de matrices Mn(k), avec kun corps ?
3. Soit (Ai)i∈Iune famille d’anneaux. Quels sont les idempotents de Qi∈IAi? Et si tous les Aisont
intègres ?
4. Montrer que si eest idempotent, alors (1 −e)est idempotent.
On suppose désormais Acommutatif.
5. Montrer que l’idéal (e) = eA est un anneau unitaire d’élément unité e, puis que l’application
A−→ eA ×(1 −e)A
x7−→ (ex, (1 −e)x)
est un isomorphisme d’anneaux. Quel est son inverse ?
6. Soit aet bdeux entiers premiers entre eux et u, v ∈Ztels que au +bv = 1.
a) Montrer que bv est un idempotent de Z/abZ.
b) En déduire le théorème Chinois (en explicitant l’isomorphisme et sa réciproque).
7. Montrer que les seuls idempotents de Z/pαZ, pour pun nombre premier, sont 0et 1.
8. Combien y a-t-il d’idempotents dans Z/nZ? Quels sont les idempotents de Z/12Z?
Exercice 13 - Nilradical et anneaux réduits. Soit Aun anneau commutatif. On appelle Nilradical de
A, noté Nil(A), l’ensemble des éléments nilpotents de A, soit
Nil(A) = {a∈A / ∃n∈N, an= 0}.
Le but de la première partie de cet exercice est de montrer que Nil(A) est l’intersection de tous les
idéaux premiers de A.
1. Vérifier que Nil(A)est un idéal de Acontenu dans tout idéal premier.
2. Pour toute partie multiplicative 1S, montrer que tout idéal de Amaximal parmi ceux qui ne
rencontrent pas Sest un idéal premier de A.
3. En déduire que, pour tout s∈A\Nil(A), il existe un idéal premier ne contenant pas s.
Indication : on pourra considérer S={sn/ n ∈N}et utiliser le lemme de Zorn.
4. Conclure.
Aest dit réduit lorsqu’il ne possède pas d’éléments nilpotents non triviaux, i.e. Nil(A) ={0}.
5. Montrer que Aréd =A/Nil(A)est réduit et que π:A−→ Aréd vérifie la propriété universelle
suivante : pour tout morphisme d’anneaux commutatifs f:A−→ Boù Best réduit, il existe un
unique morphisme e f:Aréd −→ Btel que f=e f◦π.
1. Une partie Sde Aest dite multiplicative lorsque 1∈S,0/∈Set Sest stable par multiplication
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Exercice 14 - Unités et éléments nilpotents d’un anneau de polynômes.
Soit Aun anneau commutatif.
1. Montrer que, pour a∈A?et n∈Nil(A)(cf. exercice 13), a+n∈A?.
2. Montrer que Nil(A[X]) = Nil(A)[X].
3. En déduire que A[X]?=A?+Nil(A)[X].
Exercice 15 - Radical de Jacobson. Soit Aun anneau commutatif. On appelle radical de Jacobson
de A, noté Rad(A), l’intersection des idéaux maximaux de A.
1. Montrer que Rad(A) = {a∈A / ∀b∈A, 1−ab ∈A?}.
2. Montrer que Rad(A/Rad(A)) = {0}.
3. Montrer que Nil(A)⊂Rad(A).
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