Miroirs sphériques et Lentilles sphériques dans l

Classe de PCSI
Miroirs sph´eriques et Lentilles
sph´eriques dans l’approximation de
Gauss
Table des mati`eres
1 Etude du miroir sph´erique 1
1.1 Pr´esentation du miroir . . . . . . . . . . 1
1.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Propri´et´es du sommet et du centre 2
1.2 Relation de conjugaison dans les condi-
tions d’approximation de Gauss . . . . . 3
1.2.1 Relation de conjugaison de Des-
cartes avec origine au sommet . . 3
1.2.2 Sch´ematisation de Gauss . . . . . 4
1.2.3 Foyer objet et image - Notion de
vergence . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Construction des rayons lumineux et
des images pour le miroir sph´erique
dans l’approximation de Gauss . . . . . 5
1.3.1 Image d’un point sur l’axe optique 5
1.3.2 Image d’un point sur l’axe et
construction d’un rayon r´efl´echi
pour un rayon incident quelconque 6
1.3.3 Construction d’un rayon r´efl´echi
pour un rayon incident quelconque 6
1.4 Autres formules de conjugaison et de
grandissement . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Formules de conjugaison . . . . . 7
1.4.2 D´efinition et formules de gran-
dissement . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Syst`eme afocal et retour sur le
miroir plan . . . . . . . . . . . . 9
2 Etudes des lentilles sph´eriques minces 10
2.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . 10
2.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Approximation de la len-
tille sph´erique mince et
sch´ematisation de Gauss . . . . . 10
2.2 Propri´et´es des lentilles minces - Ap-
proximation de Gauss . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Retour sur l’approximation
de Gauss - stigmatisme et
aplan´etisme approch´es . . . . . . 11
2.2.2 Propri´et´es du centre optique . . 11
2.3 Foyer objet et image - Plans focaux . . . 11
2.4 Construction g´eom´etrique des rayons
lumineux ................. 12
2.4.1 Image B’ d’un point objet B
hors de l’axe optique . . . . . . . 12
2.4.2 Construction d’un rayon quel-
conque et image d’un point sur
l’axe................ 12
2.5 Relation de conjugaison et de grandis-
sement................... 13
2.5.1 Formules de conjugaison . . . . . 13
2.5.2 Grandissement . . . . . . . . . . 13
2.5.3 Association de lentilles accol´ees . 14
2.5.4 Compl´ements . . . . . . . . . . . 14
1 Etude du miroir sph´erique
1.1 Pr´esentation du miroir
1.1.1 D´efinition
•Un miroir sph´erique est une portion de surface sph´erique r´efl´echissante, de centre Cqui
poss`ede un axe de sym´etrie de r´evolution (∆) passant par C; il coupe le miroir en un point S
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appel´e sommet du miroir ; (∆) est l’axe optique du miroir.
•Pour rep´erer la position des diff´erents couples de points objet-image (A, A′) le long de
l’axe optique, on d´efinit arbitrairement une orientation le long de l’axe optique (usuellement
positivement dans le sens de propagation de la lumi`ere incidente), ce qui permettra de d´efinir
des valeurs alg´ebriques.
•On est aussi amen´e `a d´efinir une orientation et des valeurs alg´ebriques perpendiculairement
`a l’axe optique afin de pr´eciser :
– la taille de l’objet et de l’image
– le sens de l’objet et de l’image
•On peut d´efinir, de mani`ere alg´ebrique, le rayon de courbure du miroir : R=SC ; On
distingue alors 2 types de miroir :
1.1.2 Propri´et´es du sommet et du centre
a)- le centre C
Tout rayon incident passant par Carrive sur le miroir sous incidence normale. D’apr`es la
loi de Descartes de la r´eflexion, il est r´eflechi confondu avec lui-mˆeme et cette propri´et´e est
rigoureusement valable quelque soit le rayon : le centre Cdu miroir est sa propre image
par le miroir au sens du stigmatisme rigoureux.
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b)- le sommet S
D’apr`es la loi de Descartes sur la r´eflexion, tout rayon incident sur le miroir en Sest r´eflechi
sym´etriquement par rapport `a l’axe optique, en provenant de S, et ceci est rigoureusement
valable quelque soit le rayon : le sommet Sdu miroir est sa propre image par le miroir
au sens du stigmatisme rigoureux.
1.2 Relation de conjugaison dans les conditions d’approximation de
Gauss
1.2.1 Relation de conjugaison de Descartes avec origine au sommet
1
SA′+1 SA =2 SC
D´emonstration
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1.2.2 Sch´ematisation de Gauss
Dans les conditions d’approximation de Gauss, pour des rayons qui frappent le miroir au
voisinage de l’axe optique, on sch´ematise le miroir par son plan tangent en S(Ceci revient `a
dilater l’´echelle verticale par rapport `a l’´echelle horizontale ie `a ne pas repr´esenter la courbure
du miroir).
ÄAttention, ce n’est pas un miroir plan. De plus, les lois de Descartes de la r´eflexion ne sont
pas v´erifiables g´eom´etriquement sur le miroir pour deux points conjugu´es quelconque (A, A′)
sauf S!
1.2.3 Foyer objet et image - Notion de vergence
a)- Foyer principal image F′
Par d´efinition, F′est l’image du point objet situ´e A∞situ´e `a l’infini sur l’axe optique donc
on fait CA∞=−∞ soit :
CF ′=CS
2
b)- Foyer principal objet F
Par d´efinition, Fest le point objet ant´ec´edent du point image A′
∞situ´e `a l’infini sur l’axe
donc on fait CA′
∞=−∞ soit :
CF =CS
2=CF ′
Fet F′sont donc confondus et situ´es au milieu du segment [CS] ; on parle indiff´eremment du
foyer du miroir.
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c)- Notion de distance focale et de vergence
Par d´efinition, on appelle distance focale du miroir :
f=SF =SF ′=SC
2
On d´efinit aussi la vergence du miroir : Vb=1
f; l’unit´e de vergence est le dioptrie dont le
symbole est δ(ce sont en fait des m−1).
d)- Plan focal
C’est le plan de front passant par F. En particulier, tout point hors de l’axe optique `a l’in-
fini (proche de l’axe tout de mˆeme d’apr`es la propri´et´e d’aplan´etisme approch´e !) a son image
dans le plan focal c’est-`a-dire 2 rayons parall`eles entre eux incident sur le miroir sph´erique,
´emergent apr`es r´eflexion sur le miroir en se coupant dans le plan focal en un point appel´e foyer
secondaire. R´eciproquement, d’apr`es le principe du retour inverse de la lumi`ere, 2 rayons sur
le miroir qui se coupent en un point du plan focal, ´emergent en 2 rayons parall`eles.
1.3 Construction des rayons lumineux et des images pour le miroir
sph´erique dans l’approximation de Gauss
1.3.1 Image d’un point sur l’axe optique
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