Triangles superposables

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Index
A
M
alternes-externes ........................... 23
alternes-internes............................ 23
angle au centre .............................. 35
angle inscrit................................... 35
angle tangentiel............................. 35
axe de symétrie ............................... 4
médiatrice ......................................24
B
bissectrice ..................................... 25
C
centre de symétrie ........................... 6
centre de symétrie. .......................... 6
cercle circonscrit........................... 24
cercle inscrit.................................. 25
cercles sécants............................... 27
cercles tangents............................. 27
coefficient de projection ............... 32
complémentaires ........................... 13
correspondants .............................. 23
cosinus .......................................... 30
D
diagonale....................................... 16
distance ......................................... 21
droites parallèles ........................... 10
droites perpendiculaires................ 11
F
figures à l'échelle ............................ 9
figures isométriques...................... 34
figures semblables ........................ 29
H
hypoténuse .............................. 13, 28
I
O
opposés par le sommet ..................23
P
parallélogramme....................6, 8, 15
polygone ........................................16
polygone régulier...........................18
Pythagore.......................................28
Q
quadrilatère....................................14
R
relations métriques ........................31
rotation...............................11, 18, 19
rotation de 180° ...............................7
S
sinus...............................................30
somme des angles..........................17
supplémentaires .............................15
symétrie centrale .............................7
symétrie orthogonale .......................5
T
tangente .........................................30
tangente à un cercle .......................26
Thalès ............................................32
traces............................................7, 8
transformations du plan...................2
translation ........................................8
triangle équilatéral.........................12
triangle isocèle...............................12
triangle rectangle .....................13, 35
triangles superposables....................3
inégalité triangulaire ..................... 20
1
Synthèses descriptives pour le premier degré
Transformations du plan
1.
Transformer
Garder la forme
AgrandirDiminuer
Déformer
Garder la grandeur
Isométrie
Figures à l’échelle
Déplacer
Retourner
Symétrie orthogonale
Glisser
Translation
Tourner
Rotation
cas particulier : rotation de 180°
ou symétrie centrale
2
Triangles superposables
1. Il existe deux types de triangles superposables :
2. Deux triangles superposables ont :
- des côtés homologues de même longueur
- des angles homologues de même amplitude
- même périmètre
- même aire
On dit aussi qu’ils sont isométriques.
SF :
voir Figures isométriques
3
Figures ayant un axe de symétrie
1. En assemblant deux triangles isométriques par retournement j’obtiens une figure ayant un
axe de symétrie.
Cas particuliers :
Si les triangles sont
Je peux obtenir
rectangles
un triangle isocèle
isocèles
un losange
isocèles rectangles
un carré
équilatéraux
un losange
2. D’autres figures ayant des axes de symétrie :
4
Construction de l'image du point A par la symétrie orthogonale d'axe d
Construction de l'image du segment [AB] par la symétrie orthogonale d'axe d
Les points AA'B'B forment un
trapèze isocèle.
Les points ABB'A' forment un
rectangle.
Les points ABA' forment un
triangle isocèle.
Les points ABB'A' forment un
trapèze isocèle croisé.
5
Figures ayant un centre de symétrie
1. Cet hexagone formé de six triangles superposables par déplacement a un centre de
symétrie.
2. Tout parallélogramme a un centre de symétrie, le point d’intersection de ses diagonales.
Cas particuliers :
Tout rectangle, losange, carré a un centre de symétrie.
D’autres figures avec un centre de symétrie :
SF :
Comment justifier qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? (2)
6
Rotation de 180° ou Symétrie centrale
Dans les débuts de pavage suivants, on détecte de nombreux parallélogrammes (2 côtés
parallèles et de même longueur). Les diagonales de ces parallélogrammes se coupent en leur
milieu. On fait donc apparaître un point O central dans chacune des deux figures suivantes.
La figure ABEFCD a un centre de symétrie.
I
Le quadrilatère HIJG est l'image du
quadrilatère ABCD par la symétrie
centrale de centre O.
AJ, BG, CH et DI sont les traces.
Une droite AB et son image GJ par symétrie centrale sont parallèles.
Construction de l'image d'un point A par la symétrie de centre C
C est le milieu de [AA’].
A,C et A’ sont alignés et
|AC| = |CA’|.
SF :
Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)
7
Translation
Le repérage de quatre parallélogrammes permet de faire apparaître quatre segments parallèles
et de même longueur reliant les sommets du premier quadrilatère à ceux du second.
Ces segments sont les traces de la translation qui applique ABCD sur EHGF.
Une droite et son image sont parallèles AB et EH, BC et HG, AC et EG, …
Construction de l'image d'un point C par la translation qui applique A sur B
ABC’C est un parallélogramme.
CC’ // AB et |CC’| = |AB|
SF :
Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)
8
Figures à l’échelle
1. Le triangle A’B’C’ est la reproduction à l’échelle ½ du triangle ABC.
2. Si on double une seule dimension d’une figure, son aire double.
Figure de départ
Figures après doublement d’une dimension
Si on double les deux dimensions d’une figure son aire quadruple.
Si on triple les dimensions d’une figure son aire devient neuf fois plus grande.
SF :
Comment comparer des aires ? (14)
9
Droites parallèles
1. Les droites a et b sont parallèles. On note a // b.
2. Une droite et son image par une rotation de 180° (d’un demi-tour) sont parallèles.
3. Une droite et son image par translation sont parallèles.
SF :
Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)
10
Droites perpendiculaires
1. Les droites a et b sont perpendiculaires. On note a ⊥ b.
2. Une droite et son image par une rotation de 90° (d’un quart de tour) sont perpendiculaires.
SF :
Comment justifier que des droites sont perpendiculaires ? (9)
11
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle qui a :
deux côtés de même longueur,
deux angles de même amplitude.
[BC] est appelé base principale et  angle au sommet.
Le triangle isocèle est formé de deux triangles rectangles superposables par retournement.
Le triangle isocèle a un axe de symétrie qui :
• passe par A et H milieu de [BC] (médiane de la base principale),
• passe par A et est perpendiculaire à [BC] (hauteur par rapport à la base principale),
• est perpendiculaire à [BC] en son milieu H (médiatrice de la base principale),
• coupe l’angle  en deux parties égales (bissectrice de l’angle au sommet).
Cas particulier : Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle qui a :
SF :
3 côtés isométriques,
3 angles de même amplitude (60°).
Comment justifier qu’un triangle est isocèle ? (6)
Comment justifier qu’un triangle est équilatéral ? (6)
Comment comparer des amplitudes ? (15)
Comment comparer les longueurs ? (13)
12
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté BC est l’hypoténuse de ce
triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle, la somme des deux angles aigus vaut 90°. On dit qu’ils sont
complémentaires.
Cas particulier : triangle rectangle isocèle.
Dans un triangle rectangle isocèle les deux angles aigus ont même amplitude. Ils valent
chacun 45°.
SF :
Comment calculer des amplitudes ? (18)
13
Quadrilatères
On rencontre trois types de quadrilatères :
Dans la suite, lorsque nous parlons de quadrilatères, nous sous-entendons des quadrilatères non croisés.
On peut partager un quadrilatère en deux triangles en traçant une diagonale.
14
Parallélogramme
Le parallélogramme possède les propriétés suivantes :
* deux paires de côtés parallèles
AB // DC et AD // BC
* les côtés opposés de même longueur
|AB| = |DC| et |AD| = |BC|
* les diagonales ont le même milieu
* les médianes - sont parallèles aux côtés
- ont la même longueur que les côtés
- ont le même milieu que les diagonales
* il a un centre de symétrie M
* les angles opposés sont égaux
 = Ĉ et B̂ = D̂
* les angles adjacents sont supplémentaires  + B̂ =  + D̂ = B̂ + Ĉ = Ĉ + D̂ = 180°
Parallélogrammes particuliers : les rectangles, les losanges et les carrés
SF :
Comment justifier qu’un quadrilatère est un parallélogramme ? (2)
Comment comparer des amplitudes ? (15)
Comment comparer les longueurs ? (13)
15
Polygones
Nombre de côtés
3
Nom
triangle
4
quadrilatère
5
6
7
8
9
10
11
12
….
n
pentagone
hexagone
heptagone
octogone
ennéagone
décagone
hendécagone
dodécagone
Cas particuliers
triangle isocèle
triangle équilatéral
triangle rectangle
trapèze
parallélogramme
cerf-volant
rectangle
losange
carré
pentagone régulier
hexagone régulier
heptagone régulier
octogone régulier
ennéagone régulier
décagone régulier
hendécagone régulier
dodécagone régulier
polygone à n côtés
polygone régulier à n côtés
[AB], [BC], [CD], [DE] et
[AE] sont les côtés.
[AC], [AD], [BE], [BD] et
[EC] sont les diagonales.
Les 5 points déterminent 10
segments.
16
Somme des angles d’un polygone
La somme des angles d’un rectangle vaut
4 × 90°=360°.
La somme des angles d’un triangle rectangle vaut
360° : 2 = 180°.
Dans un triangle rectangle, la somme des deux
angles aigus vaut 90°.
o + x = 90°
Tout triangle peut être décomposé en deux triangles
rectangles par une de ses hauteurs.
La somme des angles d’un triangle quelconque vaut
90°+90° = 180°.
Tout quadrilatère peut se décomposer en deux triangles
par une de ses diagonales.
La somme des angles (intérieurs) d’un quadrilatère vaut
180°+180° = 360°.
Tout polygone à n côtés peut se décomposer en (n-2)
triangles.
La somme des angles (intérieurs) d’un polygone à n
côtés vaut (n-2)×180°=360°.
SF :
Comment calculer des amplitudes ? (18)
17
Polygones réguliers
Type de triangles isocèles
Polygone formé
Polygone invariant pour …
Angle au sommet vaut 120°
Triangle équilatéral
Rotations de 120°, de 240° et
de 360° de centre O
Symétries orthogonales par
rapport aux médianes
Angle au sommet vaut 90°
Carré
Rotations de 90°, 180°, 270°
et 360° de centre O
Symétries orthogonales par
rapport aux médianes et aux
diagonales
Symétrie centrale de centre O
Angle au sommet vaut 72°
Pentagone régulier
Rotations de 72°, 144°, 216°,
288° et 360° de centre O
Symétries orthogonales par
rapport aux droites qui
joignent les sommets du
pentagone aux milieux des
côtés opposés
18
Angle au sommet vaut 60°
Hexagone régulier
Rotations de 60°, 120°, 180°,
240°, 300° et 360° de centre O
Symétries orthogonales par
rapport aux diagonales qui
joignent les sommets opposés
et par rapport aux médianes
des côtés opposés
Symétrie centrale de centre O
Angle au sommet vaut 360/7° Heptagone régulier
Rotations de 360/7°; 720/7°,
1080/7°, 1440/7°, 1800/7°,
2160/7°, 360° de centre O
Symétries orthogonales par
rapport aux droites qui
joignent les sommets de
l'heptagone aux milieux des
côtés opposés
Angle au sommet vaut 45°
Rotations de 45°, 90°, 135°,
180°, 225°, 270°; 315° et 360°
de centre O
Symétries orthogonales par
rapport aux diagonales qui
joignent les sommets opposés
et par rapport aux médianes
des côtés opposés
Symétrie centrale de centre O
Octogone régulier
19
Inégalité triangulaire
Dans un triangle ABC, chaque côté est inférieur au demi-périmètre de ce triangle.
AB <
AC <
BC <
AB + AC + BC
2
AB + AC + BC
2
AB + AC + BC
2
Dans un triangle ABC, chaque côté est inférieur à la somme des deux autres.
AB < AC + BC
AC < AB + BC
BC < AC + AB
Le point C étant un point du segment [AB] :
|AC| + |CB| = |AB|
SF :
Comment comparer les longueurs ? (13)
Comment justifier que trois points sont alignés ? (12)
20
Distances
• Distance entre 2 points
Soient deux points A et B.
.
A
.
B
La longueur du segment [AB] vaut 2cm. On dit que la distance de A à B vaut 2 si l'unité
choisie est le cm. On écrit AB = 2.
• Distance d'un point à une droite
Soient A un point et d une droite, la distance de A à d est la distance de A au pied de la
perpendiculaire abaissée de A sur d.
Ad = AA'
Cas particulier : hauteurs d'un triangle
21
• Distance entre deux droites parallèles (largeur d'une bande)
dd' = AA' = BB' = 4
Cas particuliers :
hauteur d'un trapèze
hauteur d'un parallélogramme
SF :
Comment calculer des aires ? (17)
22
Angles
Dans la configuration ci-contre, les angles:
Â1 et Â3, Â2 et Â4, B̂1 et B̂3, B̂2 et B̂4
sont opposés par le sommet,
Â1 et B̂1, Â2 et B̂2, Â3 et B̂3, Â4 et B̂4
sont correspondants,
Â2 et B̂4, Â3 et B̂1 sont alternes-internes,
Â1 et B̂3, Â4 et B̂2 sont alternes-externes.
Remarque : les angles opposés par le sommet sont toujours égaux.
Cas particulier : a//b
On observe dans ce cas une série d'égalités d'angles dues :
soit à la translation tAB : Â1 = B̂1, Â2 = B̂2, Â3 = B̂3 et Â4 = B̂4
soit à la symétrie centrale de centre O (milieu de [AB]): Â1 = B̂3, Â2 = B̂4, Â3 = B̂1 et Â4 = B̂2 .
SF :
Comment comparer les amplitudes ? (15)
Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)
23
Médiatrice
La médiatrice du segment [AB] est l'ensemble des points équidistants des extrémités A et B
de ce segment.
Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du
cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets du triangle).
SF :
Comment justifier que des droites sont concourantes ? (11)
Comment comparer des longueurs ? (13)
24
Bissectrice
La bissectrice de l'angle Ô est l'ensemble des points situés à égale distance des deux côtés de
l'angle.
Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du
cercle inscrit à ce triangle (cercle tangent aux trois côtés du triangle).
SF :
Comment justifier que des droites sont concourantes ? (11)
Comment comparer des longueurs ? (13)
25
Positions relatives d'une droite et d'un cercle
Soient un cercle C de rayon r, une droite d et |Od| la distance du centre à la droite.
1er cas : la droite est extérieure au cercle,
|Od| > r
2ème cas : la droite est tangente au cercle,
|Od| = r
3ème cas : la droite est sécante au cercle.
|Od| < r
Dans tous les cas, la droite OX est axe de symétrie de la figure.
26
Positions relatives de deux cercles
Soient deux cercles C et C' dont r et r' sont les rayons respectifs (r > r').
1er cas : les deux cercles sont disjoints,
|OO'|> r + r'
|OO'| < r - r'
2ème cas : les deux cercles sont tangents,
|OO'| = r + r'
|OO'|= r - r'
3ème cas : les deux cercles sont sécants.
r - r' < |OO'| < r + r'
Dans tous les cas, la droite comprenant les centres O et O’ est axe de symétrie de la figure.
27
Synthèses descriptives pour la troisième
Pythagore
1. ABC est un triangle rectangle en B.
2. L’aire du carré construit sur
l’hypoténuse c3 est égale à la somme
des aires des carrés c1 et c2.
3. si |AB| = r, |BC| = s et |AC| = t alors
r² + s² = t²
mais aussi, si on construit d’autres figures que des carrés : k r² + k s² = k t²
1
8
k = π pour des demi-cercles et k =
SF :
1
3 pour des triangles équilatéraux
4
Comment calculer des longueurs ? (16)
Comment justifier que des droites sont perpendiculaires ? (9)
Comment calculer des amplitudes ? (18)
28
Figures semblables
Deux polygones semblables :
Les côtés homologues sont proportionnels :
|XY| = k × |AB|
|YZ| = k × |BC|
|ZT| = k × |CD|
|XT| = k × |AD|
Aire XYZT = k² × aire ABCD
Les angles homologues sont égaux :
 = X̂
B̂ = Ŷ
Ĉ = Ẑ
D̂ = T̂
Cas particulier des triangles semblables :
SF :
Comment justifier que des triangles sont semblables ? (20)
Cas de similitudes
Comment comparer des amplitudes ? (15)
Comment calculer des longueurs ? (16)
Comment comparer les longueurs ? (13)
Comment comparer des aires ? (14)
29
Trigonométrie
| AC |
| BC |
| AB |
cos B̂ = sin Ĉ =
| BC |
| AB |
tg Ĉ =
| AC |
| AC |
tg B̂ =
| AC |
cos Ĉ = sin B̂ =
Relation fondamentale : sin² Â + cos² Â = 1
Valeurs particulières :
Angle
Sinus
Cosinus
Tangente
30°
0,5
3
2
3
3
2
2
1
45°
60°
SF :
2
2
3
2
0,5
3
Comment calculer des amplitudes ? (18)
Comment calculer des longueurs ? (16)
30
Constructions d’irrationnels
Relations métriques dans un triangle rectangle :
BC|² = |AB|² + |AC|²
|AD|² = |BD| |DC|
|AB|² = |BD| |BC|
|AC|² = |CD| |BC|
En se basant sur ces relations on peut construire des irrationnels.
Voici quelques exemples pour 20
31
Thalès
« Machine » à multiplier les longueurs :
XY // BC
|AX| × r = |AB|
|AY| × r = |AC|
|XY| × r = |BC|
|AX| × k = |AY|
|XB| × k = |YC|
|AB| × k = |AC|
r est la valeur absolue de l’abscisse
de B dans le repère (A, X)
k est le coefficient de
projection de AB sur AC
XY // AB // DC
|AX| × k = |BY|
|XD| × k = |YC|
|AD| × k = |BC|
k est le coefficient de
projection de AD sur BC
« Machine » à fabriquer des égalités de rapports :
XY // AB // DC
| AX | | XD | | AD |
=
=
| BY | | YC | | BC |
32
XY // BC
| AX | | XB | | AB |
=
=
| AY | | YC | | AC |
Cas particulier des milieux :
M est le milieu de [AB]
N est le milieu de [AC]
MN // AB
|MN| = ½ |BC|
MN // AB // DC
M est le milieu de [AD]
N est le milieu de [BC]
|MN| = ½ ( |AB| + |DC| )
SF :
Comment justifier que des droites sont parallèles ? (10)
Comment calculer des longueurs ? (16)
33
Figures isométriques
Deux polygones isométriques :
Les côtés homologues sont de même longueur :
|XY| = |AB|
|YZ| = |BC|
|ZT| = |CD|
|XT| = |AD|
Aire ABCD = aire XYZT
Les angles homologues sont égaux :
 = X̂
B̂ = Ŷ
Ĉ = Ẑ
D̂ = T̂
Cas particulier des triangles isométriques :
SF :
Comment justifier que des triangles sont isométriques ? (19)
Cas d’isométries
Comment comparer des amplitudes ? (15)
Comment comparer les longueurs ? (13)
Comment comparer des aires ? (14)
34
Angles
1. Angles et cercle
L’angle au centre Ô interceptant l’arc BC est le
double de l’angle inscrit  interceptant le même arc.
L’angle tangentiel B̂ interceptant l’arc BC est égal
à l’angle inscrit  interceptant le même arc.
[BC] est un diamètre.
 = 90°
ABC est un triangle rectangle ; il est inscrit
dans un demi-cercle.
2. Angles à côtés parallèles
3. Angles à côtés perpendiculaires
 = B̂1 et  + B̂2 = 180°
SF :
Comment comparer des amplitudes ? (15)
35
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