Topologie Générale

Première partie
TOPOLOGIE
2
3
1. Espaces topologiques
Topologie sur un ensemble E
Définitions.− Une topologie est une famille de parties O ⊆P(E) vérifiant :
1) ∅ et E appartiennent à O
2) O est stable par réunion quelconque
3) O est stable par intersection finie.
On dit alors que E est un espace topologique. Les éléments de O sont appelés ouverts.
Deux exemples :
O = {∅,E} est appelée topologie grossière.
O = P(E) est appelée topologie discrète.
Remarques. − L’axiome 1) est en fait conséquence des deux autres car l’intersection d’une famille vide est E et
la réunion d’une famille vide est ∅. D’autre part, pour vérifier l’axiome 3), il suffit de vérifier que l’intersection
de deux éléments de O est dans O . On passe ensuite à une intersection finie par une récurrence facile.
On appelle fermés les complémentaires des ouverts. La famille F des fermés vérifie donc les
axiomes suivants :
1) ∅ et E appartiennent à F .
2) F est stable par intersection quelconque
3) F est stable par réunion finie.
Inversement, soit F une famille vérifiant ces axiomes. On vérifie facilement que
O ={Fc | F∈F } est une topologie. Par conséquent, une topologie peut être définie aussi bien
par ses fermés que par ses ouverts. On remarque que toute propriété des ouverts se traduit, en
passant aux complémentaires par une propriété des fermés, et inversement. Nous dirons que
ces propriétés sont « duales ».
Définition.− Etant données deux topologies O et O ’, on dit que O est moins fine que O ’ si
O ⊆O ’.
Exemples.− La topologie grossière est la moins fine. La topologie discrète est la plus fine.
1.1. Proposition. − Toute intersection de topologies est une topologie.
4
Preuve :
Soit (O λ)λ∈Λ une famille quelconque de topologies et soit O = I O λ.
λ∈Λ
Il est évident que {∅,E}⊆O . Soit (Ωi)i∈I une famille quelconque de parties appartenant à O .
Alors pour tout λ, on a U Ω i ∈O λ. Par suite U Ω i ∈ O . Le troisième axiome se démontre de
i∈I
i∈I
la même façon. 
Définitions.
• Si H est une famille de parties, on appelle topologie engendrée par H l’intersection des
topologies qui contiennent H (C’est donc la moins fine des topologies qui contiennent
H ).
• Soient O une topologie et G une famille de parties contenue dans O . On dit que G est une
base de O si tout ouvert de O est réunion d’ouverts appartenant à G.
1.2. Théorème. − Soient H ⊆P(E) et G la famille des intersections finies d’éléments de H.
Alors G est une base de la topologie O engendrée par H.
Preuve :
Soit U la famille constituée par les réunions d’éléments de G . On a :
H ⊆ G ⊆ U ⊆O.
Il suffit de prouver que U est une topologie : on aura alors nécessairement U = O .
L’axiome 2 est évidemment vérifié. Pour montrer l’axiome 3, posons :
Ω = U Gi et Ω’ = U Gj, avec Gi ,Gj∈G , donc Gi∩Gj∈G. Ainsi,
i∈I
j∈J
Ω∩Ω’ =
U
(Gi∩Gj)∈ U .
i, j
Considérons l'ensemble R des nombres réels (1). Soit R = R ∪{−∞,+∞}, avec l'ordre habituel
(−∞ < x < +∞ pour x∈R). Les intervalles ouverts de R sont de la forme ]a,b[ avec a,b∈ R .
Les intervalles ouverts de R sont d'une part, les intervalles ouverts de R, d'autre part, les
intervalles de la forme [−∞,a[ et ]a,+ ∞], avec a∈ R .
1.3. Proposition.
1) Les parties de R qui sont réunion d’intervalles ouverts constituent une topologie, qui
est appelée la topologie usuelle de R.
2) Les parties de R qui sont réunion d’intervalles ouverts constituent une topologie, qui
est appelée la topologie usuelle de R .
Preuve :
La démonstration est identique dans les deux cas. Appliquons le Théorème (1.2) avec pour H
la famille des intervalles ouverts. Il se trouve que G = H, donc H est une base de la topologie
engendrée . 
1
Toutes les propriétés de R que nous démontrerons reposent sur la définition suivante : R est un corps
commutatif totalement ordonné dans lequel toute partie non vide majorée possède une borne supérieure.
5
Soient E un espace topologique pour la topologie O et E’ une partie de E. On peut définir une
topologie O ’ sur E’ en posant : O ’ = { Ω∩E’ | Ω∈O }. On appelle O ’ la topologie induite
sur le sous-espace (topologique) E’. On a O ’⊆O si et seulement si E’∈O . Les fermés de E’
sont obtenus en prenant F ’ = {F∩E’ | F∈F } . On a F ’⊆ F si et seulement si E’∈F .
Exemples. −
• La topologie usuelle de R est la topologie induite par la topologie usuelle de R . Noter qu'ici, R est ouvert
dans R , de sorte que tout ouvert de R est un ouvert de R .
• L’intervalle ]a,b] est un ouvert de [a,b], mais n'est pas un ouvert de R.
Définitions.
• Si A est une partie de E, on appelle voisinage de A toute partie qui contient un ouvert
contenant A.
• Nous noterons V (A) l’ensemble des voisinages de A (ou V E(A) s’il y a un risque
d’ambiguïté).
• Si S ⊆V (A), on dit que S est un système fondamental de voisinages de A si tout
V∈V (A) contient un V’∈S.
Exemple. − Dans R, les intervalles ouverts centrés en a constituent un système fondamental
de voisinages de a.
Remarques.
• V (A) est stable par intersection finie.
• Si V∈V (A) et V⊆W, alors W∈V (A).
• Si E’ est un sous espace de E et x∈E’, alors l’ensemble des voisinages de x dans E’ est
V E’(x) ={V∩E’ | V∈V E(x)}.
Remarque.− La notion de voisinage est relative à l'espace dans lequel on se place. Par exemple, ]a,b] est un
voisinage de b dans [a,b], mais pas dans R.
Adhérence, intérieur, frontière
Définitions
• Si A⊆E, on appelle adhérence de A l’intersection A des fermés qui contiennent A (c’est
donc le plus petit fermé contenant A).
• On dit que A est dense dans B si A = B.
• Si x∈ A ,on dit que x est adhérent à A.
• Si x est adhérent à A\{x}, on dit que x est un point d'accumulation de A (2).
Remarque. − A est fermé si et seulement si A = A .
Exercice.− Montrer que A ∪ B = A ∪ B .
1.4. Proposition. −
A = {x∈E | ∀V∈V (x) V∩A ≠ ∅}
Preuve :
2
Noter que x peut appartenir ou ne pas appartenir à A.
6
On a les équivalences :
x∉ A ⇔ ∃F∈F A⊆F et x∉F ⇔ ∃Ω∈O A∩Ω = ∅ et x∈Ω ⇔ ∃V∈V (x) A∩V= ∅.
Exemple.− Q est dense dans R.
Définition. − On appelle intérieur de A la réunion A° des ouverts contenus dans A (c’est
donc le plus grand ouvert contenu dans A).
Exemples.− Pour la topologie usuelle de R, l’intérieur de [a ,b[ est ]a,b[ . L’intérieur de Q est vide.
Remarque. − A est ouvert si et seulement si A = A°.
1.5. Proposition. − A° = {x | A∈V (x)}.
Preuve : laissée en exercice.
1.6. Corollaire. − Une partie est ouverte si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses
points.
1.7. Proposition. − On a : ( A )c = (Ac)°.
Preuve :
L’application X 
→ Xc est une bijection de l’ensemble des fermés qui contiennent A sur
l’ensemble des ouverts contenus dans Ac qui inverse l’inclusion. Au plus petit fermé
contenant A correspond le plus grand ouvert contenu dans Ac. 
Définitions. − (Ac)° s’appelle l’extérieur de A. On appelle frontière le fermé
Fr(A) = A ∩ A c .
1.8. Proposition.− L’intérieur, l’extérieur et la frontière de A forment une partition de E.
Preuve :
On a : (Fr(A))c = ( A ∩ A c )c = ( A )c∪( A c )c = (Ac)° ∪((Ac)c)° = (Ac)° ∪A°.
Limites, espaces séparés
Définition. − Etant donné un ensemble E, on appelle base de filtre sur E une famille B de
parties de E, non vide , vérifiant :
1) ∅∉B
2) Pour tout A∈B et tout B∈B , il existe C∈B tel que C⊆A∩B.
Remarque. − l’intersection d’un nombre fini d’éléments d’une base de filtre n’est jamais vide.
Exemples. −
• Si A ≠ ∅, B = {X∈P (E) | A⊆X} est une base de filtre.
• Si E est un espace topologique et x∈E, V (x) est une base de filtre.
7
•
Dans N , posons Sn = {q | q ≥ n}. Alors B = {Sn}n∈N est une base de filtre, appelée base de
filtre de Fréchet . On munira N définitivement de cette base de filtre.
1.9. Proposition. − Si f est une application de E dans F, l’image d’une base de filtre est une
base de filtre.
Preuve : laissée en exercice.
Définition.− Si E est un espace topologique et B une base de filtre sur E, on dit que B
converge vers y ou que y est limite de B si pour tout V∈V (y), il existe A∈B tel que A⊆V.
1.10. Théorème. − Pour un espace topologique, les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Toute base de filtre admet au plus une limite.
b) Si x ≠ y , il existe V∈V (x) et W∈V (y) avec V∩W = ∅.
Preuve :
a)⇒b) Supposons par l’absurde que tout V∈V (x) rencontre tout W∈V (y). Alors
B ={V∩W | V∈V (x) et W∈V (y)} est une base de filtre qui converge à la fois vers x et vers y.
b)⇒a) Supposons, par l’absurde, que B a deux limites distinctes x et y. Soient V∈V (x) et
W∈V (y) avec V∩W= ∅. Il existe A,B∈B avec A⊆V et B⊆W. Il vient A∩B= ∅, ce qui est
absurde. 
Définition. − On dit que E est séparé s’il vérifie les conditions du Théorème précédent.
Exemple : R est un espace séparé.
Remarque : tout sous-espace d’un espace séparé est séparé.
Définition. − Soit f une application de l’ensemble I, muni de la base de filtre B , dans un
espace F séparé. On dit que y∈F est limite de f selon B et on écrit y = lim f(x) si y est limite de
B
la base de filtre f(B ).
Exemples
• Prenons I = N, muni de la base de filtre de Fréchet. Si la limite existe, on l’écrit lim f(n).
n →∞
•
On vient ainsi de définir la limite d’une suite dans F.
Supposons I topologique . Prenons a∈I et B = V (a). Si la limite existe, on l’appelle limite
de f « quand x tend vers a » et on la note lim f(x).
x →a
•
Supposons E topologique, I ⊆ E, f définie sur I et a∈ I . Prenons et B = {V∩I | V∈V (a)}.
Si la limite existe, on la note lim f(x).
x →a, x∈I
•
Quand {a} est un ouvert de E, on dit que a est isolé. Supposons que a ne soit pas isolé. En
posant I = {a}c , on a a∈ I (et donc a est un point d'accumulation de I). On a un cas
particulier de l’exemple précédent, qui se note : lim f(x) (3).
x → a, x ≠ a
3
Ce cas est très important pour la définition usuelle d’une dérivée.
8
Fonctions continues
Définitions.− Soient E et F deux espaces topologiques et f : E 
→ F.
• On dit que f est continue en a si f(a) est la limite de f quand x tend vers a.
Explicitement : pour tout W∈V (f(a)), il existe V∈V (a) tel que f(V)⊆W.
• On dit que f est continue si elle est continue en tout point de E.
• On dit que f est un homéomorphisme si elle est bijective, continue ainsi que sa
réciproque.
1.11. Théorème.− Soit G une base de la topologie de F. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
a) f est continue
b) L’image réciproque d’un ouvert est un ouvert.
c) L’image réciproque de tout G∈G est un ouvert.
d) L’image réciproque d’un fermé est un fermé.
Preuve :
a)⇒b) Soit Ω un ouvert de F. Si a∈f -1(Ω), on a Ω∈V (f(a)). Il existe V∈V (a) tel que f(V)⊆Ω.
Donc V⊆f -1(Ω). Ainsi f -1(Ω)∈V (a). On voit que f -1(Ω) est voisinage de chacun de ses
points.
b)⇒c) Evident.
c)⇒a) Soit W∈V (f(a)). Il existe G∈G tel que f(a)∈G⊆W. Ainsi V= f -1(G)∈V (a) et f(V)⊆W.
b)⇔d) par dualité. 
Exemple. − Soit I l’application identique d’un ensemble E sur lui-même. Munissons E de la
topologie O au départ et O ’ à l’arrivée. Alors :
• I est continue si et seulement si O est plus fine que O ’.
• I est un homéomorphisme si et seulement si O = O ’.
On observe qu’une application peut être bijective et continue sans que l’application
réciproque soit continue.
f
g
→
F
→
G, où F et G sont des espaces topologiques et I est
1.12. Théorème. − Soient I 
un ensemble muni d’une base de filtre B . Si y est limite de f selon B et si g est continue en y,
alors g(y) est limite de g o f selon B .
Preuve :
Soit W∈V (g(y)). Il existe V∈V (y) tel que g(V)⊆W. Il existe un A∈B tel que f(A)⊆V. Alors
g(f(A))⊆W. 
1.13. Corollaire. − Si (yn)n est une suite dans F qui converge vers y et si g est continue en y,
alors la suite (g(yn))n converge vers g(y).
1.14. Corollaire. − La composée de deux applications continues est continue.
9
1.15. Proposition. − Soient f et g deux applications continues de E topologique dans F séparé.
Alors X ={x∈E | f(x) = g(x)} est fermé.
Preuve :
Montrons que Xc est ouvert. Si f(a) ≠ g(a), il existe V1∈V (f(a)) et V2∈V (g(a)) tels que
V1∩V2 = ∅. On peut trouver U1∈V (a) tel que f(U1)⊆V1 et U2∈V (a) tel que g(U2)⊆V2.
Posons U = U1∩U2∈V (a). Pour tout y∈U, on a f(y)∈V1 et g(y)∈V2, donc f(y) ≠ g(y). On a
donc U⊆Xc et on a prouvé que Xc est voisinage de chacun de ses points. 
1.16. Corollaire (Principe de prolongement des identités). − Soient f et g deux applications
continues de E topologique dans F séparé. Si elles coïncident sur une partie dense, alors elles
coïncident partout.
Connexité
Définition. − Un espace topologique E est dit connexe si E et ∅ sont les seules parties à la
fois ouvertes et fermées.
1.17. Proposition (Critère de connexité). − Pour que E soit connexe, il faut et il suffit qu’on
ait l’implication suivante : si Ω1 et Ω2 sont des ouverts tels que Ω1∪Ω2 = E et Ω1∩Ω2 = ∅,
alors Ω1= ∅ ou Ω2 = ∅.
Preuve :
Dans cette situation, les Ωi sont à la fois ouverts et fermés. 
1.18. Proposition. − Si (Ci)i∈I est une famille de parties connexes qui se rencontrent deux à
deux, alors C = U Ci est connexe.
i∈I
Preuve :
Supposons par l'absurde que Ω1 et Ω2 soient des ouverts non vides de C tels que C = Ω1∪Ω2
et Ω1∩Ω2 = ∅. Soit a∈Ω1. Il existe un i tel que a∈Ci. Alors Ω1∩Ci et Ω2∩Ci sont des ouverts
complémentaires de Ci. Comme Ω1∩Ci ≠∅, on a Ci = Ω1∩Ci ⊆ Ω1. De même, il doit exister
un indice j tel que Cj ⊆ Ω2. On a donc Ci∩Cj = ∅, ce qui contredit l'hypothèse. 
1.19. Proposition. − Dans un espace topologique E, les parties connexes maximales (qui sont
appelées composantes connexes) existent et constituent une partition de E.
Preuve :
Pour tout x∈E, il est clair que {x} est connexe. La réunion des parties connexes qui
contiennent x est connexe (1.18) et évidemment maximale. Soient C et C’ deux parties
connexes maximales. Si C∩C’≠ ∅, alors C∪C’ est connexe, donc C = C∪C’ = C’. 
1.20. Proposition. − L’image continue d’un connexe est connexe.
Preuve :
→ F continue. Si Ω1 et Ω2 sont des ouverts complémentaires de f(E),
Soit f :E 
-1
f (Ω1) et f -1(Ω2) sont des ouverts complémentaires de E, donc l’un des deux est vide. 
10
1.21. Lemme. − Les intervalles de R sont les parties I caractérisées par l'implication suivante :
Si a < x < b et si a et b sont dans I, alors x est dans I.
Preuve : laissée en exercice.
1 .22. Théorème. − Les parties connexes de R sont les intervalles.
Preuve :
* Soit E⊆R connexe. Soient a < x < b et a,b∈E. Si x∉E, alors Ω1 = ]−∞,x[ ∩E et
Ω2 = ]x,∞[ ∩E sont deux ouverts non vides complémentaires de E, ce qui est contradictoire.
Par conséquent, E est un intervalle.
* Inversement, soit I un intervalle. Supposons par l’absurde I = Ω1∪Ω2 avec Ω1 ≠ ∅, Ω2 ≠ ∅
et Ω1∩Ω2 = ∅. Soient x∈Ω1,y∈Ω2, avec par exemple x < y. Soit z le plus petit majorant de
Ω1∩[x,y]. On a z∈[x,y]⊆I. Par suite, z∈Ω1 ou z∈Ω2.
• Si z∈Ω1, alors z <y. Il existe 0 < r < y – z tel que ]z − r ,z + r[⊆Ω1. Mais alors
z + r/2∈Ω1∩[x,y], ce qui contredit la définition de z.
• Si z∈Ω2, alors x < z. Il existe 0 < r < z − x tel que ]z − r,z + r[⊆Ω2. Mais alors z – r/2
majore tout élément de Ω1∩[x,y], ce qui contredit la définition de z. 
1.23. Corollaire (Principe des valeurs intermédiaires). − Soit f une application continue de E
connexe dans R. Si a,b∈f(E) et a < x < b, il existe u∈E tel que f(u) = x.
1.24. Proposition. − Soit f une application d’un intervalle I dans R. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
a) f est un homéomorphisme de I sur f(I).
b) f est continue et injective
c) f est continue et strictement monotone.
Preuve :
a)⇒b) Evident.
b)⇒c) Si f n’est pas monotone, il existe a, b, c, d∈I tels que :
a < b,
f(a) > f(b),
c < d,
f(c) < f(d).
Définissons la fonction g sur [0,1] par : g(t) = f(ta + (1 – t )c) – f(tb + (1 – t )d) . Elle est
continue, car composée d’applications continues. On a g(0) < 0 et g(1) > 0. D’après (1.23), il
existe u∈[0,1] tel que g(u) = 0. Si l’on pose x = ua + (1 – u)c et y = ub + (1 – u)d, on a x < y
et f(x) = f(y), en contradiction avec l’injectivité.
c)⇒a) On vérifie facilement que f est injective et que f(I) est un intervalle du même type que
I. Appelons h l’application réciproque de f(I) sur I. La topologie de I est engendrée par les
intervalles qui sont des traces sur I des intervalles ouverts de R. Si J est un tel intervalle,
h-1(J) = f(J) est un intervalle du même type dans f(I) et par conséquent il est ouvert. Le
Théorème (1.11) permet de conclure que h est continue. 
Définitions. − Soient E un espace topologique.
• Si a,b∈E, on appelle arc continu joignant a à b toute application continue f d’un
intervalle quelconque [α,β] dans E telle que f(α) = a et f(β) = b.
11
•
On dit que E est connexe par arcs si tout couple de points peut être relié par un arc
continu.
1.25. Proposition. − Un espace connexe par arcs est connexe.
Preuve :
Supposons E = Ω1∪Ω2 et Ω1∩Ω2 = ∅ avec Ω1 ≠ ∅ et Ω2 ≠ ∅. Soient a∈Ω1 et b∈Ω2. Soit f :
[α,β] 
→ E un arc continu joignant a à b. Alors f -1(Ω1) et f -1(Ω2) sont des ouverts non vides
complémentaires dans [α,β], ce qui contredit la connexité de cet intervalle. 
Compacité
Définition. − On appelle recouvrement de E’⊆E toute famille de parties de E dont la réunion
contient E’.
Rappelons par ailleurs que nous notons P *(I) l’ensemble des parties finies de I.
1.26. Proposition. − Pour un topologique E, les conditions suivantes sont équivalentes :
a) De tout recouvrement de E par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.
b) Si une famille de fermés a une intersection vide, il existe une sous-famille finie
d’intersection vide.
Preuve :
a)⇒ b) Soit (Fi)i∈I une famille de fermés d’intersection vide. Les Fic sont des ouverts et
U Fic = ( I Fi)c = E. Il existe J∈P *(I) tel que U Fic = E. Par suite :
i∈I
i∈I
i∈J
I
i∈J
Fi = ( U Fic)c = ∅.
i∈J
b)⇒a) laissé en exercice.
Définitions.
• Un espace est dit compact s’il est séparé et s’il vérifie une des conditions équivalentes du
Théorème précédent.
• Un espace est dit localement compact s’il est séparé et si tout point admet un voisinage
compact.
Exemple.− Un espace séparé fini est compact.
Remarque.− Un espace compact discret est fini : les singletons forment un recouvrement ouvert, donc ils sont en
nombre fini.
1.27. Proposition. − Tout fermé dans un compact est compact.
Preuve :
Appliquer la condition b) de la Proposition précédente. 
1.28. Proposition. (Critère de compacité). − Soit E’ un sous-espace séparé de Ε. Alors Ε’ est
compact si et seulement si de tout recouvrement par des ouverts de E, on peut extraire un
recouvrement fini.
12
Preuve :
Soit E’=
U
Ωi’ un recouvrement par des ouverts de E’. Soit Ωi un ouvert de E tel que
i∈I
Ωi’= Ωi∩E’. On a un recouvrement E’⊆ U Ωi par des ouverts de E.
i∈I
Inversement si E’⊆ U Ωi , on a E’ =
i∈I
U
(Ωi∩E’), c’est-à-dire un recouvrement par des
i∈I
ouverts de E’. 
1.29. Proposition. − Dans un espace séparé, une réunion finie de parties compactes est
compacte.
Preuve :
Soit K =
U
λ∈Λ
Kλ une telle réunion (Λ est fini). Supposons K⊆ U Ωi , où les Ωi sont des
i∈I
ouverts de E. Pour tout λ, il existe I(λ)∈P *(I) tel que Kλ ⊆
dans le recouvrement fini
U Uλ
λ∈Λ
U
Ωi. Alors K est contenu
i∈I( λ )
Ωi .
i∈I( )
1.30. Théorème. − Soient E séparé, K une partie compacte. Si a∉K, il existe des ouverts U et
V tels que : K⊆U, a∈V et U∩V = ∅.
Preuve :
Pour tout x∈K, il existe Ux∈V (x) et Vx∈V (a) tels que Ux∩Vx = ∅. On peut supposer Ux et
Vx ouverts. Comme K⊆ U Ux, il existe J∈P *(K) tel que K⊆ U Ux = U. Posons V =
x∈K
I
Vx. On a U∩V =
x∈J
U
x∈J
x∈J
(Ux∩V)⊆ U (Ux∩Vx) = ∅.
x∈J
1.31. Corollaire. − Une partie compacte d’un espace séparé est fermée.
1.32. Théorème. − Soit f une application continue de E compact dans F séparé. Alors :
1) f(E) est compact.
2) Si f est bijective, c’est un homéomorphisme.
Preuve :
1) Supposons f(E) ⊆ U Ωi. Alors E = U f -1(Ωi) et chaque f -1(Ωi) est ouvert puisque f est
i∈I
continue. Il existe J∈P *(I) avec E =
i∈I
U
i∈J
f -1(Ωi). Donc f(E)⊆
U
Ω i.
i∈J
2) Soit h l’application réciproque. Si H est fermé dans E, il est compact (1.27), donc
h-1(H) = f(H) est compact, et par conséquent fermé (1.31). On applique alors (1.11). 
1.33. Théorème (BOREL-LEBESGUE). − Les parties compactes de R sont les parties
fermées bornées.
Preuve :
13
Soit E une partie compacte. E est fermée (1.31). On a E⊆ U ]x – 1,x + 1[. Donc il existe
x∈E
F∈P *(E) avec E⊆ U ]x – 1,x + 1[. Par conséquent, E est borné.
x∈F
Inversement, supposons E fermé borné. E est contenu dans un intervalle A = [a,b]. Il suffit de
prouver que A est compact. Considérons un recouvrement ouvert A⊆ U Ωi. Il n’est pas
i∈I
restrictif de supposer Ωi = ]ci,di[. Soit H l’ensemble des x∈A tels que [a,x] puisse être
recouvert par un nombre fini de Ωi. H est non vide car a∈H.
Montrons qu’il est ouvert dans A. Si x∈H, [a,x] ⊆ Ωi1∪…∪Ωin. On a par exemple x∈Ωin. Si
y∈Ωin∩A, il est clair que [a,y] ⊆ Ωi1∪…∪Ωin. Donc y∈H.
Montrons que H est fermé dans I. Soit z∈ H . Il existe j tel que z∈Ωj, c’est-à-dire cj < z < dj. Il
existe x∈Ωj∩H. On a [a,x] ⊆ Ωi1∪…∪Ωin. Alors [a,z] ⊆ Ωi1∪…∪Ωin∪Ωj, donc z∈H.
Comme A est connexe, on conclut que A = H. 
Remarque. − R n’est pas compact, mais il est localement compact.
1.34. Théorème. − Soit f une fonction continue d’un compact E dans R. Alors f est bornée et
atteint se bornes.
Preuve :
f(E) est compact, donc borné. Puisqu’il est fermé, il inclut nécessairement ses bornes. 
Valeurs d’adhérence
Définitions. − Soit E un espace topologique muni d’une base de filtre B.
•
•
On appelle adhérence de B le fermé Adh(B ) =
I
A.
A∈B
Tout x∈Adh(B ) est appelé valeur d’adhérence. Explicitement : pour tout A∈B et tout
V∈V (x), A∩V ≠ ∅.
1.35. Proposition. − Dans un espace séparé, si une base de filtre B converge vers y, alors
Adh(B ) = {y}.
Preuve :
Soit y une limite de B . Soient A∈B et V∈V (y). Il existe B∈B avec B⊆V. Comme A∩B ≠ ∅,
a fortiori A∩V ≠ ∅.Ainsi y∈Adh(B ). Si x ≠ y, il existe W∈V (x) et V∈V (y) tels que
V∩W = ∅. Il existe B∈B avec B⊆V. On a W∩B = ∅, donc x∉Adh(B ).
Définition. − Soient B une base de filtre sur l’ensemble I, f une application de I dans E
topologique. On dit que y est valeur d’adhérence de f selon B si y est valeur d’adhérence de
la base de filtre f(B ).
14
Le cas le plus fréquent est celui d’une suite. Soit (yn)n une suite dans E. Le point y est valeur
d’adhérence de cette suite si pour tout V∈V (y), et pour tout n∈N, il existe un q ≥ n tel que
yq∈V.
Exercice.− Dans R, la suite yn = 0 si n pair et yn = 1 si n impair admet deux valeurs d’adhérence, mais pas de
limite.
Définition. − Un ensemble ordonné non vide est dit inductif si toute partie totalement
ordonnée admet un majorant.
1.36. Axiome de ZORN. − Tout ensemble inductif admet un élément maximal.
1.37. Proposition.− Toute base de filtre B est contenue dans une base de filtre maximale.
Preuve :
Soit X l’ensemble des bases de filtre qui contiennent B , ordonné par l’inclusion. Il suffit de
montrer qu’il est inductif. Soit (C i)i∈I une famille totalement ordonnée. Posons C = U C i.
i∈I
Evidemment, ∅∉C . Si A,B∈C , il existe un i tel que A∈C i et un j tel que B∈C j. On a C i ⊆C
ou C j ⊆C i. Supposons par exemple C i ⊆C j. Alors A,B∈C j. Il existe C∈C j ⊆C tel que
C⊆A∩B. On a prouvé que C est une base filtre. Donc C ∈X et c’est bien un majorant de la
famille. 
1.38. Proposition.− Soit B une base de filtre. Alors a est valeur d’adhérence de B si et
seulement si B est contenue dans une base de filtre maximale U qui converge vers a.
Preuve :
Nécessité : Supposons a∈Adh(B ). Montrons que
C = {C∈P (E) | ∃V∈V (a) ∃B∈B V∩B⊆C }
est une base de filtre. Il est clair que ∅∉C. Si C1,C2∈C, il existe Vi∈V (a) et Bi∈B tels que
Vi∩Bi ⊆Ci. Il existe B∈B tel que B⊆B1∩B2. Donc (V1∩V2)∩B⊆C1∩C2.
Soit U une base de filtre maximale contenant C .On a B ⊆C ⊆U et aussi V (a)⊆ C ⊆U , ce qui
implique que U converge vers a.
Suffisance : On a a∈Adh(U ) ⊆ Adh(B ). 
1.39. Théorème.− Pour un espace séparé E, les conditions suivantes sont équivalentes :
a) E est compact
b) Toute base de filtre a une valeur d’adhérence
c) Toute base de filtre maximale converge.
Preuve :
b)⇔c) d’après la Proposition précédente.
a)⇒b) Soit B une base de filtre. Si I A = ∅, il existe M ∈P *(B ) avec
A∈B
A fortiori
I
I
A = ∅.
A∈M
A = ∅, en contradiction avec la définition d’une base de filtre.
A∈M
b)⇒a) Soit (Fi)i∈I une famille de fermés telle que toute intersection finie soit non vide.
j
15
Alors B = { I Fi | J∈P *(I)} est une base de filtre et
i∈J
∅ ≠ Adh(B ) =
I
A∈B
A=I A=
A∈B
I
i∈I
Fi.
16
2. Espaces métriques
Topologie définie par une distance
Définitions.− Etant donné un ensemble E, on appelle distance (ou métrique) sur E une
application d : E×E 
→ R telle que :
1) Pour tout x et tout y, d(x,y) ≥ 0
2) d(x,y) = 0 si et seulement si x = y
3) Pour tout x et tout y, d(x,y) = d(y,x)
4) Pour tous x,y,z, d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)
On dit que d fait de E un espace métrique4.
B(a,r) ={x | d(a,x) < r} est la boule ouverte de centre a, de rayon r.
B’(a,r) = {x | d(a,x) ≤ r}est la boule fermée de centre a, de rayon r .
Exemple.− Toute partie de C est un espace métrique pour la distance d(x,y) = |x – y|. Dans Z, par exemple, on a
B(0,3/2) = {−1,0,+1}= B’(0,3/2).
2.1. Proposition. − Soit E un espace métrique. O = {Ω∈P(E) | ∀x∈Ω ∃r > 0 B(x,r)⊆Ω} est
une topologie séparée qui admet pour base l’ensemble des boules ouvertes.
Preuve :
Soit (Ωi)i∈I une famille contenue dans O et Ω = U Ωi. Si a∈Ω, il existe un i tel que a∈Ωi. Il
i∈I
existe un r > 0 tel que B(a,r) ⊆ Ωi ⊆ Ω. On voit que Ω∈O .
Supposons I fini. Soit a ∈ V = I Ωi. Pour tout i, il existe ri > 0 tel que B(a,ri) ⊆ Ωi. Posons
i∈I
r = inf ri. Alors r > 0 et B(a,r) ⊆ V. Nous avons prouvé que O est une topologie.
Par construction, tout ouvert est réunion de boules ouvertes. Montrons que toute boule ouverte
B(a,r) est ouverte. Si x ∈ B(a,r), on a ρ = r – d(x,a) > 0. Si y ∈ B(x,ρ), il vient
d(y,a) ≤ d(y,x) + d(x,a) < ρ + d(x,a) = r. Ainsi , B(x,ρ) ⊆ B(a,r).
Enfin, montrons que O est séparée. Si x ≠ y, alors r = d(x,y) > 0 et B(x,r/2)∩B(y,r/2) = ∅.
2.2. Corollaire. − Les boules B(a,r) (et aussi les boules B(a,1/n) )constituent un système
fondamental de voisinages de a.
4
Un espace métrique est en fait un couple (E,d). Cependant, pour alléger, nous dirons « l’espace métrique E ».
Lorsque plusieurs espaces métriques interviennent, nous noterons leur distance par le même symbole sauf s’il y a
un risque d’ambiguïté.
17
Soient E et F deux espaces métriques et f une application de E dans F.
2.3. Proposition. − f est continue en a si et seulement si pour tout ε > 0, il existe η tel que
d(x,a) < η entraîne d(f(x),f(a)) < ε. (1)
Preuve : ceci résulte du corollaire précédent. 
Remarque.− La proposition reste vraie si dans (1) on remplace une ou deux inégalités strictes par des inégalités
larges.
Définitions.
• On dit que f est une isométrie de E dans F si quels que soient x et y, d(f(x),f(y)) = d(x,y).
Si f est bijective, on parlera d’isométrie sur F.
• On dit que f est uniformément continue si :
Pour tout ε > 0 il existe un η tel que d(x,y) < η implique d(f(x),f(y)) < ε.
Listons un certain nombre de propriétés quasi évidentes.
• Toute isométrie est injective.
• La composée de deux isométries est une isométrie.
• Toute isométrie est uniformément continue, mais la réciproque n’est pas vraie .
• Toute application uniformément continue est continue, mais la réciproque n’est pas vraie5
• La composée de deux applications uniformément continues est uniformément continue.
Distance entre deux parties, diamètre
Etant donné deux parties A et B d’un espace métrique, on pose :
d(A,B) = inf d(a,b).
a∈A, b∈B
2.4. Proposition. −
|d(x,A) – d(y,A)| ≤ d(x,y).
Preuve :
Si a∈A, on a : d(x,A) ≤ d(x,a) ≤ d(x,y) + d(y,a). Par suite, d(x,A) – d(x,y) ≤ d(y,a) pour tout a.
En passant à la borne inférieure pour tous les a∈A, on obtient d(x,A) – d(x,y) ≤ d(y,A), donc
d(x,A) – d(y,A) ≤ d(x,y) .
En échangeant les rôles de x et y , on obtient aussi d(y,A) – d(x,A) ≤ d(x,y). 
→ d(x,A) est uniformément continue.
2.5. Corollaire. − L’application x 
2.6. Corollaire. − Les boules fermées sont fermées.
Preuve :
B’(a,r) est l’image réciproque de ]−∞,r] par l’application précédente.
Définitions. −
• On appelle diamètre d’une partie A le nombre (éventuellement infini) :
δ(A) = sup d(x,y).
x ∈A,y ∈A
5
Contre-exemple : l’application x 
→ x2 de R dans R.
18
•
Si δ(A) est fini, on dit que A est bornée.
Remarque.− Une boule de rayon r a un diamètre inférieur ou égal à 2r. Dans Z, le diamètre de B’(0,1) est 2, mais
le diamètre de B(0,1) est 0.
Exercice.− Montrer qu’une partie est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule.
2.7. Proposition. − Une réunion finie de parties bornées est bornée.
Preuve :
Il suffit de montrer que la réunion de deux parties bornées A et B est bornée. Fixons a∈A et
b∈B. Si x∈A et y∈B, il vient d(x,y) ≤ d(x,a) + d(a,b) + d(b,y) ≤ δ(A) + d(a,b) + δ(B). Les
autres cas possibles conduisent à la même majoration. Par conséquent :
δ(A ∪ B) ≤ δ(A) + d(a,b) + δ(B). 
Utilisation des suites
2.8. Proposition. − Soient b∈E et A ⊆ E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) b∈ A
b) Il existe une suite de points de A qui converge vers b
c) d(b,A) = 0.
Preuve :
a)⇒b) Pour tout n, il existe an ∈ B(b,1/n) ∩ A. Il est clair que la suite (an) converge vers b.
b)⇒c) Pour tout ε > 0, il existe un n tel que d(b,an) < ε, donc d(b,A) < ε. Comme ε est
arbitraire, d(b,A) = 0.
c)⇒a) Tout voisinage de b contient une boule ouverte B(b,r). Comme d(b,A) < r, il existe un
a∈B(b,r)∩A. 
2.9. Proposition. − Soient E et F métriques et f : E 
→ F . Les conditions suivantes sont
équivalentes:
a) f est continue en a
b) Pour toute suite (xn)n convergeant vers a, la suite (f(xn))n converge vers f(a).
Preuve :
La condition est nécessaire d’après (1.13). Inversement, supposons cette condition vérifiée. Si
f n’est pas continue en a, il existe un ε > 0 (désormais fixé) tel que pour tout n, il existe xn
avec d(xn,a) < 1/n et d(f(xn),f(a)) ≥ ε. La suite (xn)n converge vers a, mais la suite (f(xn))n ne
converge pas vers f(a). 
Définition. − Soit (xn)n une suite dans E (c’est-à-dire une application n 
→ xn de N dans E).
Soit k 
→ n(k) une application strictement croissante de N dans N. On dit que l’application
composée k 
→ xn(k) est une suite extraite.
2.10. Proposition.− Le point b est valeur d’adhérence de la suite (xn)n si et seulement si il est
limite d’une suite extraite.
Preuve :
19
Si b est valeur d’adhérence, pour tout ε > 0 et tout n, il existe q > n tel que d(b,xq) < ε. Posons
n(1) = 1 et définissons par récurrence n(k) comme le plus petit entier strictement supérieur à
n(k − 1) et tel que d(b,xn(k)) < 1/k. La suite (xn(k))k converge vers b.
La réciproque est laissée en exercice. 
Remarque. − Lues dans un sens, les trois propriétés précédentes sont vraies dans n’importe quel espace
topologique. Mais dans l’autre sens , elles reposent sur l’existence d’un système dénombrable de voisinages.
Espaces complets
Définition. − Une base de filtre B est dite de Cauchy si pour tout ε > 0 il existe un B∈B tel
que δ(B) ≤ ε.
Remarque. − Si (xn)n est une suite, posons Tn = {xq | q ≥ n} et B = (Tn)n. On retrouve la notion
classique de suite de Cauchy :
Pour tout ε > 0, il existe n tel que p ≥ n et q ≥ n entraînent d(xp,xq) ≤ ε.
2.11. Proposition. −
1) Une base de filtre convergente est de Cauchy.
2) Si une base de filtre de Cauchy B a une valeur d’adhérence b, elle converge vers b.
Preuve :
1) Si B converge vers a, alors pour tout ε > 0, il existe B∈B tel que B⊆B(a,ε/2), donc
δ(B) ≤ ε.
2) Soit ε > 0. Il existe A∈B tel que δ(A) < ε/2. Comme b∈ A , il existe a∈A tel que
d(b,a) < ε/2. Si x∈A, d(b,x) ≤ d(b,a) + d(a,x) < ε. Ainsi A ⊆ B(b,ε). 
2.12. Théorème. − Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Toute base de filtre de Cauchy converge.
b) Toute suite de Cauchy converge.
Preuve de b)⇒a) :
Soit B une base de filtre de Cauchy. On va définir une suite de parties (An)n telle que An∈B,
An+1 ⊆ An et δ(An) ≤ 1/n.
Soit A1∈B telle que δ(A) ≤ 1. Si An est définie, considérons B∈B tel que δ(B) ≤ 1/(n+1).
Prenons alors An+1∈B tel que An+1 ⊆ An ∩ B. Soit maintenant pour chaque n, xn ∈ An. C’est
une suite de Cauchy. Soit b = lim xn. Ce point est valeur d’adhérence de la base de filtre
n →∞
B’’ = {An}n. Comme B ’ est de Cauchy, b est limite de B ’, donc aussi de B. 
Définition. − Un espace métrique est dit complet s’il vérifie les conditions équivalentes du
Théorème précédent.
2.13. Théorème. − R est complet.
Preuve :
20
Soit (xn)n une suite de Cauchy. Il existe N tel que m,n ≥ N implique |xn − xm| ≤ 1. Pour n ≥ N,
on a donc xn ∈ [xN −1,xN + 1] = K. Comme K est compact, la suite (xn)n≥N a une valeur
d’adhérence, qui est limite d’après (2.11). 
2.14. Proposition. −
1) Tout sous-espace fermé d’un espace complet est complet.
2) Tout sous-espace complet d’un espace métrique est fermé.
Preuve :
1) Immédiat.
2) Supposons E complet dans F. Tout b∈ B est limite d’une suite (xn)n de points de E. Cette
suite est de Cauchy, donc elle converge vers un point a de E. Par unicité des limites, a = b. 
Espaces métriques compacts
2.15. Proposition. − Pour un espace métrique E, les conditions suivantes sont équivalentes :
a) Pour tout ε > 0, il existe un recouvrement fini de E par des ensembles de diamètre
inférieur à ε.
b) Pour tout ε > 0, il existe F∈ P *(E) telle que pour tout x ∈E, d(x,F) < ε.
Preuve :
a)⇒b) Considérons un recouvrement fini par des ensembles de diamètre inférieur à ε. Toute
partie F qui rencontre chacun de ces ensembles en un point convient.
b)⇒a) Soit F∈P *(E) avec d(x,F) < ε/4 pour tout x ∈ E. Alors E = U B(x,ε/4) et ces boules
x ∈F
ont un diamètre inférieur à ε. 
Remarque. − On obtient des formulations équivalentes de a) et b) en remplaçant les inégalités strictes par des
inégalités larges.
Définition. − Un espace métrique est dit précompact s’il vérifie les conditions équivalentes
de la Proposition précédente.
2.16. Proposition. − Tout sous-espace d’un espace précompact est précompact.
Preuve : immédiate en utilisant la première caractérisation. 
2.17. Proposition. − Tout espace précompact est borné.
Preuve :
Il est réunion finie de parties bornées. 
2.18. Lemme. − Si U est une base de filtre maximale, alors
1) A ⊆ X et A ∈ U entraînent X ∈ U.
2) A∪B ∈ U entraîne A ∈ U ou B ∈ U.
Preuve :
21
1) Soit B = {X∈ P(E) | ∃A∈U A⊆ X}. On vérifie facilement que B est une base de filtre qui
contient U , donc elle est égale à U .
2) Supposons A∪B∈U et A∉U . Montrons que B = {X | X∪A∈ U }est une base de filtre. On
a ∅∉B car A∉ U . Si X1,X2∈B, il existe C∈U tel que C ⊆ (X1∪A) ∩(X2∪A) = (X1∩X2)∪A.
D’après le 1), il en résulte (X1∩X2)∪A∈U , donc X1∩X2 ∈B. Comme U est maximale,
B = U . Par suite, Y∈U . 
2.19. Théorème. − Pour un métrique E, les conditions suivantes sont équivalentes :
a) E est compact
b) Toute suite a une valeur d’adhérence
c) E est précompact et complet.
Preuve :
a)⇒b) D’après (1.39).
b)⇒c) Toute suite de Cauchy a une valeur d’adhérence, donc elle converge (2.11). Supposons
que E ne soit pas précompact. Alors il existe un ε > 0 (désormais fixé) tel que pour tout
F∈P *(E) il existe un x avec d(x,F) ≥ ε. Partons de x1 quelconque et construisons par
récurrence une suite xn. Si x1,...,xn ont été définis, prenons F ={x1,...,xn} et xn+1 tel que
d(xn+1,F)≥ ε. Nous obtenons une suite telle que deux points quelconques sont à une distance
au moins égale à ε. Aucune suite extraite ne saurait converger. Elle n’a donc pas de valeur
d’adhérence (2.10).
c)⇒a) Soit U une base de filtre maximale. Si ε > 0, il existe des parties A1,...., An telles que
A1∪…∪An = E et δ(Ai) < ε. D’après le Lemme, il existe un i tel que Ai∈U . Ainsi U est de
Cauchy, donc elle converge. On peut conclure grâce à (1.39). 
Produit fini d’espaces métriques
Définition. − On dit que deux distances sur un ensemble sont équivalentes si elles définissent
la même topologie.
2.20. Proposition. − Considérons n espaces métriques (Ei,di). Soit E le produit E = E1×…×En.
Si x = (x1,…,xn) et y = (y1,…,yn) sont deux éléments de E, on pose :
d(x,y) = sup di(xi,yi), d’(x,y) = ∑ di(xi,yi) et d’’(x,y) = [ ∑ di(xi,yi)2]1/2.
i
i
i
Alors d, d’ et d’’ sont des distances équivalentes, qui rendent les projections pi uniformément
continues.
Preuve :
Vérifier d’abord en exercice que ce sont des distances et qu’on a les inégalités :
d ≤ d’’ ≤ d’ ≤ nd.
La première inégalité montre que l’application identique de (E,d’’) dans (E,d) est
uniformément continue. La topologie définie par d est donc moins fine que la topologie
définie par d’’. On procède de même pour les autres comparaisons. La propriété concernant
les projections est évidente pour d et s’étend aux deux autres grâce à nos inégalités. 
Définition.− La métrique d est appelée la métrique produit.
22
La propriété suivante est immédiate :
2.21. Proposition. − Une suite converge dans E si et seulement si ses projections convergent.
2.22. Théorème. − Si les espaces Ei sont complets (resp. précompacts, resp. compacts), alors
leur produit est complet (resp. précompact, resp.compact).
Preuve :
Remarquons qu’une suite est de Cauchy dans E si et seulement si ses projections sont de
Cauchy. Cette remarque, jointe à la Proposition précédente, montre la complétude.
Pour la précompacité, donnons nous un ε > 0. Pour chaque i, on peut trouver Fi∈P *(Ei) tel
que pour tout xi∈Ei on ait d(xi,Fi) ≤ ε. Soit F = F1×…×Fn. On a d(x,F) ≤ ε pour tout x∈E.
Pour la compacité, on peut utiliser le fait qu’un espace précompact et complet est compact. 
Exercice. − Etudier la réciproque de ce Théorème pluriel.
2.23. − Corollaire. Rn est complet.
Le Théorème suivant généralise le Théorème de Borel-Lebesgue :
2.24. Théorème. − Les parties compactes de Rn sont les parties fermées bornées.
Preuve :
Dans tout espace métrique, une partie compacte est fermée (1.31) et bornée (2.17).
Inversement, si F⊆Rn est bornée, elle est contenue dans un produit ∏ [ai,bi]. Ce produit est
compact (2.22). Si de plus F est fermée, elle est compacte (1.27). 
2.25. Corollaire. − Rn est localement compact.
Remarque.− Les trois propriétés précédentes s’appliquent à C, car il est isométrique à R2 muni de la distance
d’’.
2.26. Proposition. − Soit (E,d) un espace métrique. La distance est une application continue de
E×E dans R.
Preuve :
En utilisant (2.4), il vient :
|d(x,y) – d(x0,y0)|≤ |d(x,y) – d(x,y0)|+|d(x,y0) – d(x0,y0)|≤ d(y,y0) + d(x,x0) = d’((x,y),(x0,y0)).
2.27. Théorème (HEINE). − Soit f une application continue de E métrique compact dans F
métrique. Alors f est uniformément continue.
Preuve :
Supposons par l’absurde que f ne soit pas uniformément continue. On peut trouver un ε
(désormais fixé) tel que pour tout n, il existe un couple (xn,yn) avec d(xn,yn) ≤1/n et
23
d(f(xn),f(yn)) ≥ ε. Il existe une suite extraite (xn(k))k qui converge vers un point a. Comme
d(yn(k),a) ≤ d(yn(k),x n(k)) + d(x n(k),a), on a aussi lim yn(k) = a. Puisque d et f sont continues :
k →∞
lim d(f(xn(k)),f(yn(k))) = d(f(a),f(a)) = 0, en contradiction avec d(f(xn(k)),f(yn(k))) ≥ ε.
k →∞
24
3. Espaces fonctionnels
Topologie produit
Soit (Ei)i∈I une famille d’ensembles. Une famille (xi)i∈I avec xi∈Ei est une application f :
i
→ xi de I dans U Ei telle que pour tout i, f(i)∈Ei.
i∈I
Définitions.
• On appelle produit cartésien des Ei et on note E = ∏ Ei l’ensemble des familles (xi)i∈I
i∈I
•
•
avec xi∈Ei.
On appelle projection de E sur Ei et on notera pi l’application qui à f ∈ E associe f(i) = xi.
Dans le cas où tous les Ei sont égaux à un même ensemble F, le produit cartésien est
simplement l’ensemble des applications de I dans F, qui sera noté FI.
Supposons dorénavant chaque Ei est muni d’une topologie O i.
Définitions. –
• On appelle topologie produit sur E la topologie engendrée par la famille :
{pi-1(Ωi) | i∈I Ωi∈O i}.
• Dans le cas où Ei = F pour tout i, cette topologie est appelée topologie de la convergence
simple sur E = FI.
3.1. Proposition. – La topologie produit est la topologie la moins fine qui rend les projections
continues.
Preuve :
Une topologie rend la projection pi continue si et seulement si elle contient les pi-1(Ωi) pour
tout Ωi ∈ O i.
Définition. – On appelle ouvert élémentaire tout ensemble Ω de la forme
∏
Ωi avec
i∈I
Ωi∈O i pour tout i, et Ωi = Ei, sauf pour un nombre fini d’indices. En d’autres termes, il existe
J∈P *(I) avec Ω = I pi-1(Ωi).
i∈J
3.2. Proposition. – Les ouverts élémentaires forment une base de la topologie produit.
Preuve :
25
Toute intersection finie d’ouverts élémentaires est un ouvert élémentaire. Il suffit donc
d’appliquer (1.2).
3.3. Proposition. – Dans un produit d’espaces métriques E1×…×En , la topologie S définie
par la métrique produit est identique à la topologie produit O.
Preuve :
Comme la métrique produit rend les projections continues, on a O ⊆S .
Inversement, toute boule ouverte de S s’écrit B(x,r) =
n
∏
B(xi,r). C’est donc un ouvert
i =1
élémentaire de O. Puisque les boules ouvertes engendrent S , on a S ⊆ O. 
Exercice. – Trouver un ouvert de R2 qui ne soit pas un ouvert élémentaire.
3.4. Théorème. – Soit B une base de filtre sur E = ∏ Ei. Elle converge vers y = (yi)i∈I si et
i∈I
seulement si, pour tout i, la base de filtre pi(B ) converge vers yi.
Preuve :
La condition est nécessaire car les pi sont continues. Inversement, soit Ω =
I
pi-1(Ωi) un
i∈J
ouvert élémentaire contenant y. Pour tout i∈J, il existe Ai∈B tel que pi(Ai) ⊆ Ωi. Il existe
A∈B tel que A ⊆ I Ai. On a alors A ⊆ Ω.
i∈J
3.5. Corollaire. – Une suite (fn)n dans FI converge vers f pour la topologie de la convergence
simple si et seulement si fn(i) converge vers f(i) pour tout i∈I.
3.6. Corollaire. – Soit g une application de G topologique dans le produit E. Pour que g soit
continue en a, il faut et il suffit que pi o g soit continue en a pour tout i.
Preuve :
On applique le Théorème à la base de filtre g(V (a)). 
3.7. Corollaire. – Tout produit d’espaces séparés est séparé.
Preuve :
Si une base de filtre B avait deux limites, l’une des base de filtre pi(B ) aurait deux limites. 
3.8. Lemme. – Soient U une base de filtre maximale d’un ensemble E et f une surjection de E
sur F. Alors f(U ) est maximale.
Preuve : Soit B’ une base de filtre telle que f(U ) ⊆ B. Soit A∈B. On a donc Ac ∉f(U ) . A
cause de la surjectivité, on a Ac = f(f -1(Ac)). Donc on a f -1(Ac)∉U, c’est-à-dire f -1(A)c∉U.
.D’après (2.18), f -1(A)∈U , donc A = f(f -1(A))∈ f(U ). 
3.9. Théorème (TYCHONOV). – Tout produit d’espaces compacts est compact.
26
Preuve : reprenons les notations initiales et appliquons le Théorème (1.39) en considérant une
base de filtre maximale U . D’après le lemme, chaque pi(U ) est une base de filtre maximale,
donc elle converge. En appliquant (3.4), on voit que U converge. 
Convergence uniforme
Définitions. Soient X un ensemble et F un espace métrique.
• Si f,g ∈ FX, on appelle écart de la convergence uniforme :
d(f,g) = sup d(f(x),g(x)).
x∈X
•
On définit la topologie de la convergence uniforme sur FX par ses ouverts : Ω est ouvert
si pour tout f ∈ Ω, il existe un ε > 0 tel que d(f,g) < ε entraîne g ∈ Ω.
La vérification des axiomes d’une topologie se fait comme dans (2.1). Cette topologie restitue
pour une suite la notion bien connue de convergence uniforme : une suite (fn)n converge
uniformément vers une fonction f si pour tout ε >0, il existe un N tel que n ≥ N entraîne
d(fn,f) ≤ ε.
Comparons formellement la convergence uniforme (1) et la convergence simple (2) :
∀ε > 0 ∃N ∀x ∀n ≥ N d(fn(x),f(x)) ≤ ε
(1)
∀ε > 0 ∀x ∃N ∀n ≥ N d(fn(x),f(x)) ≤ ε
(2).
→ F est
Définition. – Soient X un ensemble et F un espace métrique. On dit que f :X 
bornée si f(X) est borné. On notera B (X,F) l’ensemble des applications bornées.
3.10. Proposition. – B (X,F) est un espace métrique pour la distance d(f,g) = sup d(f(x),g(x)),
qui est appelée distance de la convergence uniforme. Il est fermé dans FX.
x∈X
Preuve :
Si x0∈X est fixé, on a pour tout x ∈ X :
d(f(x),g(x)) ≤ d(f(x),f(x0)) + d(f(x0),g(x0)) + d(g(x0),g(x))
≤ δ(f(X)) + d(f(x0),g(x0)) + δ(g(X))
< ∞.
On vérifiera en exercice que c’est bien une distance.
Si f∈ B (X, F) , il existe g∈B (X,F) tel que d(g,f) ≤ 1. Si x,y ∈X, on a :
d(f(x),f(y)) ≤ d(f(x),g(x)) + d(g(x),g(y)) + d(g(y),f(y)) ≤ δ(g(X)) + 2.
Donc f ∈ B (X,F). 
Remarque.− Si X est fini toute f est bornée. B (X,F) est un produit fini d’espaces métriques au sens du chapitre
précédent .
Définition. – On dit qu’une suite (fn)n dans FX est une suite de Cauchy si pour tout ε > 0, il
existe N tel que n ≥ N et m ≥ N impliquent d(fn,fm) ≤ ε.
3.11. Théorème. – Si F est complet, toute suite de Cauchy dans FX converge. Par suite,
B (X,F) est complet.
27
Preuve :
Soit (fn)n une suite de Cauchy dans FX. Pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N et m ≥ N
impliquent d(fn(x),fm(x)) ≤ ε pour tout x ∈ X. Pour x fixé, la suite (fn(x))n est une suite de
Cauchy dans F, qui converge vers un point que nous appellerons f(x). En vertu de la
continuité de la distance, on a d(fn(x),f(x)) ≤ ε pour tout x et tout n ≥ N. 
Définitions. – Si E est topologique et F métrique, nous noterons C (E,F) l’ensemble des
applications continues de E dans F et C *(E,F) = C (E,F)∩B (E,F).
3.12. Proposition. – Si K est compact, C (K,F) = C *(K,F).
Preuve :
Si f est continue, f(K) est compact, donc borné. 
3.13. Théorème. – Pour la topologie de la convergence uniforme, C (E,F) est fermé dans FE.
En particulier, toute limite uniforme de fonctions continues est continue.
Preuve :
Soit f ∈C (E, F) . Soient a∈E et ε > 0. Il existe g∈C (E,F) tel que d(g,f) ≤ ε. Il existe V∈V (a)
tel que y∈V implique d(g(y),g(a)) ≤ ε. Si y∈V, on a :
d(f(y),f(a)) ≤ d(f(y),g(y)) + d(g(y),g(a)) + d(g(a),f(a)) ≤ 3ε.
3.14. Corollaire. – Si F est complet, C *(E,F) est complet.
Preuve :
Il est fermé dans B (E,F), qui est alors complet. 
Convergence uniforme sur tout compact
Soient E séparé et F métrique. Soit K l’ensemble des parties compactes de E. Si f ∈ FE et
K∈K, soit fK la restriction de f à K. Notons V(f,K,ε) = {g ∈ FE | d(fK,gK) ≤ ε}.
3.15. Proposition. – Les ensembles V(f,J,ε), où J est une partie finie de E constituent un
système fondamental de voisinages de f pour la topologie de la convergence simple.
Preuve :
Rappelons que la topologie de la convergence simple est la topologie la moins fine qui rend
continues les applications pi : f 
→ f(i).
On a g∈V(f,J, ε) si et seulement si g(i)∈B’(f(i),ε) pour tout i∈J . Par conséquent ,
V(f,J,ε)= I pi-1(B’(f(i),ε).
i∈J
Cet ensemble contient
I
i∈J
-1
pi (B(f(i),ε), qui est un ouvert (élémentaire) contenant f.
28
Inversement, soit
I
pi-1(Ωi) un ouvert élémentaire contenant f. Pour tout i∈J, f(i)∈ Ωi. Il
i∈J
existe un εi > 0 tel que B’(f(i),εi) ⊆Ωi. Soit ε = inf εi > 0. Alors B’(f(i),ε)⊆Ωi pour tout i∈J.
Finalement :
V(f,J,ε) = I pi-1(B’(f(i),ε)⊆ I pi-1(Ωi). 
i∈J
i∈J
3.16. Théorème.
1) Il existe sur FE une unique topologie telle que pour tout f, les V(f,K,ε), où K est une partie
compacte de E, constituent un système fondamental de voisinages de f.
2) Elle est séparée.
3) Pour cette topologie, une suite (fn)n converge vers f si et seulement si il y a convergence
uniforme sur tout compact.
4) Elle est plus fine que la topologie de la convergence simple.
Preuve :
1) L’unicité vient du fait qu’une topologie est entièrement caractérisée par la donnée des
voisinages de chaque point : les parties ouvertes sont celles qui sont voisinage de chacun de
leurs points. L’application ϕ définie par :ϕ(f) = (fK)K∈K est une injection de FE dans ∏ FK.
K∈K
En effet, si deux fonctions coïncident sur tout compact, elles coïncident sur tout singleton,
donc elles sont égales. Munissons chaque FK de la topologie de la convergence uniforme et FE
de la topologie induite par la topologie produit. Tout ouvert élémentaire contenant f contient
une intersection finie I V(f,Ki,εi). Il suffit de montrer que celle-ci contient un ensemble de
i∈J
la forme V(f,K,ε). Pour cela il suffit de prendre K =
U
Ki , qui est compact (1.29) et
i∈J
ε = inf εi, qui est strictement positif.
i∈J
2) Cette topologie est séparée (3.7).
3) Il suffit d’appliquer (3.4).
4) D’après (3.15), tout voisinage selon la topologie convergence simple est un voisinage pour
cette topologie. 
Définition. – La topologie qui vient d’être définie s’appelle topologie de la convergence
compacte.
Exercice.− Trouver une suite qui converge simplement sans converger uniformément sur tout compact.
Equicontinuité
Définitions.− Soient E topologique, F métrique et H ⊆ FE.
• Si a∈E, on dit que H est équicontinue en a si, pour tout ε > 0, il existe V∈V (a) tel que
pour tout f∈H et pour tout x∈V, on ait d(f(x),f(a)) ≤ ε.
• On dit que H est équicontinue si elle est équicontinue en tout a∈E.
Exercice.− Montrer qu’une partie H finie est équicontinue.
29
3.17. Proposition. – Si H est équicontinue en a, son adhérence H* dans FE pour la topologie
de la convergence simple l’est aussi.
Preuve :
Soit ε > 0 . Il existe un V∈V (a) tel que f∈H et x∈V impliquent d(f(x),f(a)) ≤ ε.
Soit g∈H*. Soit x∈V. Il existe f ∈ V(g,{a,x},ε)∩H. Alors :
d(g(x),g(a)) ≤ d(g(x),f(x)) + d(f(x),f(a))) + d(f(a),g(a)) ≤ 3ε.
3.18. Proposition. – Soit H ⊆ FE équicontinue. La topologie de la convergence simple
coïncide sur H avec la topologie de la convergence compacte.
Preuve :
Compte tenu de (3.16-4), il suffit de montrer que tout V(f,K,ε) contient un voisinage de f
pour la topologie de la convergence simple.
Pour tout x∈K, il existe Vx∈V (x) tel que g∈Η et y∈Vx entraînent d(g(y),g(x)) ≤ ε/3. Il existe
A∈P *(K) telle que K ⊆ U Vx. Montrons que V(f,A,ε/3)∩H ⊆ V(f,K,ε).
x∈A
Soit g∈V(f,A,ε/3)∩H. Si z∈K, il existe un a∈A avec z∈Va. Alors :
d(g(z),f(z)) ≤ d(g(z),g(a)) + d(g(a),f(a)) + d(f(a),f(z)) ≤ ε.
Notation.− Si H ⊆ FE et x∈E, on notera H(x) = {h(x) | h∈H}.
3.19. Théorème (ASCOLI). – Soient E localement compact, F métrique, et H ⊆C (E,F).
Pour que l’adhérence H selon la topologie de la convergence compacte soit compacte, il faut
et il suffit que :
1) H soit équicontinue
2) Pour tout x, H(x) soit compact.
Preuve :
Nécessité :
1) Soient a∈E, K∈V (a) compact et ε > 0. Pour tout f ∈ H , V(f,K,ε) est un voisinage de f. Il
existe A ∈ P *( H ) tel que H ⊆
U
V(f,K,ε). Pour tout f ∈ A, il existe Uf ∈V (a) tel que y∈
f∈A
Uf implique d(f(y),f(a)) ≤ ε. Soit U = K∩ I Uf ∈V (a). Soient z∈U et h∈H. Il existe f∈A
f∈A
tel que h ∈ V(f,K,ε). Par conséquent,
d(h(z),h(a)) ≤ d(h(z),f(z)) + d(f(z),f(a)) + d(f(a),h(a)) ≤ 3ε.
2) H (x) est compact, comme image continue d’un compact, donc il est fermé. Ainsi,
H(x) ⊆ H (x) est lui aussi compact.
Suffisance : Soit H* l’adhérence de H pour la topologie de la convergence simple. On a
H*(x)⊆ H(x) . En effet si f∈H*, alors pour tout ε > 0, il existe h∈H tel que d(f(x),h(x)) < ε.
→ (h(x))x∈E est un homéomorphisme de H* dans l’espace
L’application ϕ : h 
∏
H(x) ,
x∈E
qui est compact d’après Tychonov. H* est donc compact pour la topologie de la convergence
30
simple. D’après les deux Propositions précédentes, il l’est aussi pour la topologie de la
convergence compacte. Comme H est fermé dans H*, le Théorème en résulte. 
31
4. Espaces normés
Normes
Nous traiterons simultanément les espaces normés réels et complexes. Dans toute la suite, K
désignera le corps R ou bien le corps C. Soit E un espace vectoriel sur K.
Définition. − Une norme sur E est une application x 
→ ||x|| de E dans R vérifiant :
1) ||x||≥0
2) ||x|| = 0 si et seulement si x = 0
3) ||λx|| = |λ| ||x||
4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Tout espace normé peut être considéré comme un espace métrique avec la distance :
d(x,y) = ||x – y||.
Remarque.− La distance vérifie d(x + z,y + z) = d(x,y) et d(λx,λy) = |λ| d(x,y).
4.1. Proposition. − On a :
| ||x|| − ||y|| | ≤ ||x – y||
Preuve : Comme ||x|| = d(x,0), il suffit d’appliquer (2.4).
4.2. Corollaire. − L’application x 
→ ||x|| est uniformément continue.
Si (Ei)i∈I est une famille d’espaces vectoriels, E = ∏ Ei est un espace vectoriel si l’on pose :
i∈I
(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi + yi)i∈I et λ(xi)i∈I = (λxi)i∈I.
En particulier, FX est un espace vectoriel pour les lois :
(f + g)(x) = f(x) + g(x) et (λf)(x) = λf(x).
4.3. Lemme. − Soient X un ensemble, E un espace normé et f : X 
→ E. Alors f est bornée si
et seulement si sup ||f(x)|| < ∞.
x∈X
Preuve :
Dire que f bornée équivaut par définition à f(X) borné, donc à f(X)∪{0}borné, donc à
l’inégalité sup ||f(x)|| < ∞.
x∈X
32
4.4. Proposition. − Soient X un ensemble et E un espace normé. L’espace B (X,E) est un
sous-espace vectoriel de EX qui est normé par :
||f|| = sup ||f(x)||.
x∈X
Cette norme est appelée la norme de la convergence uniforme.
Preuve :
Soient f,g∈B (X,E). On a :
||λf|| = sup ||λf(x)|| = sup |λ| ||f(x)|| = |λ| sup ||f(x)|| = |λ| ||f|| < ∞.
x∈X
x∈X
x∈X
Ainsi, λf∈B (X,E). D’autre part, on a pour tout x∈X,
||(f + g)(x)|| = ||f(x) + g(x)|| ≤ ||f(x)|| + ||g(x)|| ≤ ||f|| + ||g||.
En passant au sup, on obtient : ||f + g || ≤ ||f|| + ||g|| < ∞. Par conséquent, f + g∈B (X,E) .
Remarque.− La distance associée à cette norme n’est autre que la distance de la convergence uniforme.
4.5. Proposition.− Si E1,…,En sont des espaces normés sur K. L’espace E = E1×…×En est
normé par :
||(x1,…,xn)|| = sup ||xi||.
i
Cette norme est appelée norme produit.
Preuve :
Laissée en exercice. 
Remarque.− La métrique associée à cette norme n’est autre que la métrique produit.
Applications multilinéaires continues
Définition.− Considérons des vectoriels E1,…,En et F. Une application u de E1×…×En dans F
est dite n-linéaire si, quel que soit l’indice i et quels que soient
a1,...,ai-1,ai+1,...,an l’application xi 
→ u(a1,...,ai-1, xi,ai+1,...,an) est linéaire.
4.6. Théorème. − Soit u une application n-linéaire de E1×…×En dans F. Définissons les
nombres a,b,c ∈[0,∞] par :
a = sup { ||u(x1,…,xn)|| | ||(x1,…,xn) || ≤ 1}
b = sup { ||u(x1,…,xn)|| | ∀i ||xi|| = 1}
c = inf { t ≥0 | ∀(x1,…,xn) ||u(x1,…,xn)|| ≤ t ||x1|| … ||xn|| }
Alors a = b = c.
Preuve : On va montrer que b ≤ a ≤ c ≤ b.
b ≤ a : évident.
a≤c:
Soit t tel que pour tout (x1,…,xn) on ait ||u(x1,…,xn)|| ≤ t ||x1|| … ||xn||. Si ||xi|| ≤ 1 pour tout i,
on a ||u(x1,…,xn) || ≤ t. En passant au sup, a ≤ t. Donc en passant à l’inf des t : a ≤ c.
c≤b:
Soient x1,…,xn non nuls. On a ||u(x1/||x1||,…,xn/||xn||)|| ≤ b. On en déduit
||u(x1,…,xn)|| ≤ b||x1|| … ||xn||. Cette inégalité est vraie aussi lorsqu’un xi est nul. Donc c ≤ b. 
33
Notation. − On pose : ||u|| = a = b = c.
4.7. Proposition. − On a : ||u(x1,…,xn)|| ≤ ||u|| ||x1|| … ||xn||.
4.8. Théorème (Critère de continuité). − Les conditions suivantes sont équivalentes :
a) u est continue
b) u est continue en 0
c) ||u|| < ∞
d) Il existe 0 ≤ α < ∞ tel que pour tout (x1,…,xn), ||u(x1,…,xn)|| ≤ α||x1|| … ||xn|| .
Preuve :
a)⇒b) Evident.
b)⇒c) Il existe r tel que ||(x1,…,xn)|| ≤ r entraîne || u(x1,…,xn) || ≤ 1.
Si ||(x1,…,xn)|| ≤ 1, on a ||(rx1,…,rxn)|| ≤ r, donc ||u(rx1,…,rxn)|| ≤ 1. Il en résulte
||u(x1,…,xn) || ≤ 1/rn. Donc ||u|| ≤ 1/rn < ∞.
c)⇒d) D’après (4.7).
d)⇒a) Fixons (a1,…,an). On a :
||u(x1,…,xn) – u(a1,…,an)|| = ||u(x1 – a1,x2,…,xn)+u(a1,x2 – a2,…,xn)+…u(a1,…,an-1,xn – an)||
≤ α[||x1 – a1|| ||x2||…||xn|| + …+ ||a1||…||an-1|| ||xn – an||].
Quand (x1,…,xn) tend vers (a1,…,an), chaque terme du crochet tend vers 0. 
4.9. Proposition. − Soit E un espace normé.
1) L’application (x,y) 
→ x + y de E×E dans E est linéaire continue.
2) L’application (λ,x) 
→ λx de K×E dans E est bilinéaire continue.
Preuve :
Le critère de continuité s’applique car ||x +y|| ≤ ||x|| +||y|| ≤ 2 ||(x,y)|| et ||λx|| ≤ |λ| ||x|| .
4.10. Corollaire. − Si F est un sous-espace vectoriel de E, son adhérence F l’est aussi.
4.11. Corollaire.− Soient E topologique et F normé. Alors
1) C (E,F) est un sous-espace vectoriel de FE.
2) C *(E,F) est un sous-espace vectoriel de B (E,F).
Preuve :
Soient f,g∈C (E,F) et λ∈K. La fonction f + g est la composée des applications continues
→ (f(x),g(x)) et (z,t) 
→ z + t . Et λf est la composée de f et de x 
→ λx.
x 
4.12. Proposition. − L’espace L (E1,…,En ;F) des applications n-linéaires continues, muni de
||u|| est un espace normé.
Preuve :
Il est clair que ||u|| ≥ 0 et d’après l’inégalité (4.7), ||u|| = 0 implique u = 0.
||λu|| = sup{ ||λu(x1,…,xn) || | ∀i ||xi|| = 1}
= sup{|λ| ||u(x1,…,xn) || | ∀i ||xi|| = 1}
= |λ| sup{ ||u(x1,…,xn) || | ∀i ||xi|| = 1}
34
= |λ| ||u||.
Supposons ||x1|| =…= ||xn|| = 1. Alors,
||(u + v)(x1,…,xn) || ≤ ||u(x1,…,xn)|| + ||v(x1,…,xn)|| ≤ ||u|| + ||v||.
En passant au sup pour tous ces n-uples, ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.
Notation.− Lorsque tous les Ei sont égaux à un même espace E, on notera
L (E1,…,En ;F) = L n(E,F).
4.13. Proposition. − L’application (u,v) 
→ u o v de L (F,G)×L (E,F) dans L (E,G) est
bilinéaire continue et ||u o v|| ≤ ||u|| ||v||.
Preuve :
Pour tout x∈E, on a ||u(v(x))|| ≤ ||u|| ||v(x)|| ≤ ||u|| ||v|| ||x||. Donc ||u o v|| ≤ ||u|| ||v||.
Isomorphismes et isométries linéaires
Définitions. Soient E et F deux espaces normés.
• On appelle isomorphisme de E sur F un isomorphisme de vectoriels qui est aussi un
homéomorphisme.
• On appelle isométrie linéaire de E dans F un isomorphisme de vectoriels qui est aussi
une isométrie (c’est-à-dire qui conserve la norme). Si c’est une bijection de E sur F, on
parlera d’isométrie de E sur F.
Exemple.− Dans un espace normé E, l’homothétie x 
→ λx est un isomorphisme de E sur E si λ ≠ 0 et une
isométrie linéaire si |λ| = 1.
→ f(1) est une
4.14. Proposition. − Si E est un espace normé sur K, l’application f 
isométrie linéaire de L (K,E) sur E.
Preuve : il est clair que cette application est linéaire. C’est une isométrie car :
||f|| = sup ||f(x)|| = sup ||f(x1)|| = sup ||xf(1)||= sup |x| ||f(1)|| = ||f(1)||.
x =1
x =1
x =1
x =1
Si a∈E, posons f (λ) = λa. Alors f∈L (K,E) et f(1) = a. 
4.15. Proposition. − L p(E,F1×…×Fn) est en isométrie linéaire avec L p(E,F1)×…×L p(E,Fn).
Preuve :
Soit pi la projection de F1×…×Fn sur Fi. Si u∈L p(E,F1×…×Fn), posons u$ = (p1 o u,…,pn o u).
→ u$ est linéaire. C’est une isométrie car :
L’ application u 
|| u$ || = sup ||pi o u|| = sup sup ||(pi o u)(x)|| = sup sup ||(pi o u)(x)||= sup ||u(x)|| = ||u||.
i
i
x =1
x =1
i
x =1
Elle admet comme application réciproque l’application qui à (u1,…,un) associe u définie par
u(x) = (u1(x),…,un(x)). 
4.16. Proposition. − L (E1,...,Ep ;L (Ep+1,...,En ;F)) est en isométrie linéaire avec
L (E1,...,En ;F).
35
Preuve :
Si u∈L (E1,...,Ep ;L (Ep+1,...,En ;F)) , posons : u$ (x1,…,xn) = u(x1,…,xp) (xp+1,…,xn) .
Il est clair que u$ est multilinéaire et que u 
→ u$ est linéaire. On a :
|| u$ || = sup || u$ (x1,…,xn)||
∀i xi =1
=
=
sup
sup
∀i ≤ p xi =1 ∀i > p xi =1
sup
∀i ≤ p xi =1
||u(x1,…,xp) (xp+1,…,xn)||
||u(x1,…,xp)||
= ||u||.
Ceci montre que u 
→ u$ est une isométrie linéaire.
Pour montrer la surjectivité, prenons v∈L (E1,...,En ;F). Pour tout (x1,…,xp), nous définissons
u(x1,…,xp)∈L (Ep+1,...,En ;F) par u(x1,…,xp) (xp+1,…,xn) = v(x1,…,xn).
Le même calcul que précédemment montre que ||u|| = ||v|| < ∞, donc u est continue.
Evidemment, u$ = v. 
Remarque.− Lorsqu’il existe une isométrie linéaire canonique entre deux espaces normés (comme c’est le cas
dans les trois exemples précédents), on pourra identifier ces espaces chaque fois que ce sera expédient.
Définition. − On dit que deux normes N1 et N2 sont équivalentes si elles définissent la même
topologie.
Il revient au même de dire que l’application identique I de E muni de N1 sur E muni de N2 est
un isomorphisme. En utilisant le critère de continuité :
4.17. Proposition. − Les normes N1 et N2 sont équivalentes si et seulement si il existe α,β > 0
tels que N1(x) ≤ αN2(x) et N2(x) ≤ βN1(x) pour tout x.
Exemple.− Sur E1×...×En, les normes sup ||xi|| ,
∑
||xi|| et
∑x
i
2
sont équivalentes (Voir (2.20) ).
4.18. Proposition. − Sur Kn, toute les normes sont équivalentes.
Preuve :
Soient N1(x) = sup |xi| la norme produit et N2 une autre norme.
Montrons d’abord que N2 est continue par rapport à N1. Soit {e1,...,en} la base canonique.
Pour x = (x1,…,xn) et y = (y1,…,yn), il vient :
|N2(x) − N2(y)| ≤ N2(x − y) = N2( ∑ (xi − yi)ei) ≤
i
∑
|xi − yi|N2(ei) ≤ N1(x − y)
i
∑
N2(ei).
i
La sphère unité S = {x | N1(x) = 1} est compacte pour la topologie définie par N1 (2.24).
Soient λ = sup N2(x) et µ = inf N2(x). Pour tout x ≠ 0, on a : µ ≤ N2(x / N1(x)) ≤ λ . Donc
S
S
pour tout x, µN1(x) ≤ N2(x) ≤ λN1(x). 
4.19. Proposition. − Tout espace normé de dimension n est isomorphe à Kn.
36
Preuve :
Soit {e1,...,en} une base de E. L’application ϕ : x = (x1,…,xn) 
→ ∑ xiei est un
i
isomorphisme de vectoriels . Si on pose N2(x) = ||ϕ(x)||, on obtient une norme sur Kn. Elle est
équivalente à toutes les autres normes. Ainsi, ϕ est une isométrie linéaire si l’on prend sur Kn
la norme N2 et un isomorphisme si on choisit une autre norme. 
4.20. Proposition. − Si E est de dimension finie, toute application linéaire dans un normé F est
continue.
Preuve :
D’après le Corollaire précédent, il n’est pas restrictif de supposer E = Kn. Soit {e1,...,en} sa
base canonique. Si x = ∑ xiei , on a , en appelant pi les projections,
i
u(x) =
∑
xiu(ei) =
i
∑
pi(x) u(ei).
i
Comme les pi sont continues, u apparaît comme composée de fonctions continues. 
Espaces de Banach
Définition. − On appelle espace de Banach un espace normé complet.
Nous reformulons dans la Proposition suivante un certain nombre de propriétés qui ont été
déjà démontrées dans le cadre des espaces métriques.
4.21. Proposition.
1) Tout sous-espace vectoriel fermé d’un Banach est un Banach.
2) Si E1,…,En sont des Banach, leur produit est un Banach.
3) Si X est un ensemble et E un Banach, alors B (X,E) est un Banach.
4) Si X est topologique et E un Banach, C *(X,E) est un Banach.
4.22. Proposition. −Soit u un isomorphisme de E sur F. Si E est un Banach, il en est de même
de F.
Preuve :
Soit (yn)n une suite de Cauchy dans F. On a ||u-1(yn) – u-1(ym)|| ≤ ||u-1|| ||yn – ym||. Ceci montre
que (u-1(yn))n est une suite de Cauchy dans E. Soit a sa limite. On a u(a) = lim yn car u est
n →∞
continue. 
4.23. Proposition. − Tout espace normé de dimension finie est un Banach.
Preuve :
Un normé de dimension n est isomorphe à Kn. 
4.24. Corollaire. − Dans un espace normé, tout sous-espace de dimension finie est fermé.
Preuve :
Il est fermé car complet (2.14). 
37
4.25. Théorème. −Soient E1,…,En des normés et F un espace de Banach. Alors L (E1,…,En ;F)
est un espace de Banach.
Preuve :
Raisonnons par récurrence sur n. Pour n = 1 : soit (un)n une suite de Cauchy dans L (E1,F).
Pour tout x∈E1, on a :
||un(x) – um(x)|| ≤ ||un – um|| ||x||.
Ainsi (un(x))n est une suite de Cauchy dans F, qui converge vers un point u(x). L’application u
ainsi définie est linéaire (comme limite simple d’applications linéaires).
Soit ε > 0. Il existe N tel que n ≥ N et m ≥ N impliquent ||un – um|| ≤ ε. Pour tout x :
||un(x) – um(x)|| ≤ ε||x||.
En passant à la limite pour m→ ∞, on obtient pour tout n ≥N et tout x :
|| un(x) – u(x)|| ≤ ε||x||.
Ceci entraîne deux conséquences :
D’une part, ||u(x)|| ≤ ||uN(x)|| + ε||x|| ≤ (||uN|| + ε)||x||. On voit que u∈L (E1,F).
D’autre part, cela implique ||un – u|| ≤ ε. Ceci montre que u est la limite de la suite (un)n dans
l’espace L (E1,F).
Si la propriété est vraie pour n – 1 , L (E2,…,En ;F) est un Banach, donc aussi
L (E1,L (E2,…En ;F)) = L (E1,…,En ;F). 
4.26. Théorème. − Soient E un normé, S un sous-espace vectoriel dense et F un Banach.
1) Tout u∈L (S,F) admet un prolongement unique u ∈L (E,F)
2) L’application u 
→ u est une isométrie linéaire de L (S,F) sur L (E,F).
Preuve :
1) Soit a∈E. Il existe une suite xn∈S qui tend vers a. C’est une suite de Cauchy. Comme
||u(xp) – u(xq)|| ≤ ||u|| ||xp – xq||, la suite (u(xn))n est une suite de Cauchy dans F. Sa limite
existe. Elle ne dépend que de a car si (yn)n est une autre suite qui converge vers a, la distance
||u(xn) – u(yn)|| ≤ ||u|| ||xn – yn || tend vers 0. Notons u (a) cette limite. Si a∈S, on peut prendre
naturellement xn = a, de sorte que u (a) = u(a). En laissant varier a, nous définissons une
application u . On vérifie sans difficulté qu’elle est linéaire. De plus, ||u(xn)|| ≤ ||u|| ||xn|| donne
à la limite : || u (a)|| ≤ ||u|| ||a||. Il en résulte que u est continue et que || u || ≤ ||u||.
2) Il est clair que u 
→ u est linéaire. Si a∈S et ||a|| ≤ 1, on a ||u(a)|| = || u (a)|| ≤ || u ||. Donc
||u|| ≤ || u ||. Finalement ||u|| = || u ||. C’est donc une isométrie. Si v∈L (E,F), soit u sa restriction
à S. On a u = v d’après le principe de prolongement des identités (1.16).
Séries
Considérons dans un espace normé E une suite (xn)n.
Définition et notations. − On dit que « la série de terme général xn est convergente, de somme
m
s » si la suite des sommes partielles sm =
∑
0
∞
xm a pour limite s. On écrit : s = ∑ xn .
0
38
Remarque.− Une longue tradition veut que cette notation désigne aussi la série elle-même, qu’elle soit
convergente ou divergente6.
4.27. Proposition (Critère de CAUCHY).− Dans un espace de Banach, la série de terme
général xn converge si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un N tel que m ≥ n ≥ N
m
entraîne || ∑ xi|| ≤ ε.
n
Preuve :
Il suffit d’appliquer le critère de Cauchy à la suite (sm)m. 
Définition. − On dit que « la série de terme général xn est absolument convergente » si la
série à termes réels positifs ||xn|| est convergente.
4.28. Proposition .− Pour qu’un série à termes réels positifs xn soit convergente, il faut et il
m
suffit que : α = sup ∑ xn < ∞.
m
0
Preuve :
Si α < ∞, on va montrer que α =
∞
∑
xn. Soit ε > 0. Il existe un N tel que :
0
α–ε ≤
N
∑
xn ≤ α . Pour tout m ≥ N, on a
0
N
∑
0
m
m
0
0
xn ≤ ∑ xn ≤ α , donc | ∑ xn – α | ≤ ε.
m
Inversement, si la série est convergente, la suite sm =
∑
xm est convergente, donc bornée. 
0
4.29. Corollaire .− Soient
∞
∑
xn et
0
∞
∑
yn deux séries à termes réels positifs avec xn ≤ yn
0
pour tout n. Si la seconde est convergente, la première l’est aussi.
4.30. Proposition .− Dans C, la série « géométrique »
∞
∑
zn est absolument convergente, de
0
1
somme
si |z| < 1.
1− z
Preuve :
m
Lorsque m tend vers l’infini,
∑
0
vers
n
|z| =
1− z
m +1
1− z
tend vers
1
et
1− z
m
∑
0
zn =
1 − z m +1
tend
1− z
1
.
1− z
4.31. Théorème. − Pour un espace normé E, les conditions suivantes sont équivalentes :
a) E est un espace de Banach.
b) Toute série absolument convergente est convergente.
6
Une série n’est rien d’autre qu’une suite (xn)n , mais on souhaite souligner qu’on s’intéresse non pas à la
convergence de cette suite, mais à celle de la suite (sm)m.
39
Preuve :
a)⇒b) Supposons la série de terme général xn absolument convergente. Pour tout ε > 0, il
existe un N tel que m ≥ n ≥ N entraîne
m
∑
n
m
||xi|| ≤ ε, et donc || ∑ xi|| ≤ ε. En appliquant le
n
critère de Cauchy, on voit que la série de terme xn est convergente.
b)⇒a) Soit (yn)n une suite de Cauchy. On construit une suite extraite (yn(k))k en partant de
yn(0) = y0. Soit n(k+1) le plus petit entier strictement supérieur à n(k) et tel que p,q ≥ n(k+1)
entraînent ||yp – yq|| ≤ 1 / 2k+1. Si on pose xk = yn(k+1) – yn(k), on a ||xk|| ≤ 1 / 2k. Ainsi, la série de
terme général xk est absolument convergente, donc convergente. Soit s sa somme. On a :
r
s = lim
r →∞
∑
xk = lim yn(r) est valeur d’adhérence de la suite (yn)n, donc limite puisqu’il s’agit
r →∞
0
d’une suite de Cauchy (2.11). 
4.32. Lemme (Critère de d’ALEMBERT).− Si une série à termes réels positifs xn est telle que
lim (
n →∞
x n +1
xn
) < 1, elle est convergente.
Preuve :
Soit α tel que lim (
n →∞
x n +1
xn
) < α < 1. Il existe un entier N tel que n ≥ N entraîne
x n +1
xn
≤α .
On a donc pour tout k : xN+k ≤ xN αk qui est, à un facteur près, le terme général d’une série
∞
∑
géométrique convergente. On en déduit la convergence de la série
∞
xN+k donc de
k =0
∞
4.33. Proposition .− Dans C, la série
∑
0
0
zn
est absolument convergente.
n!
Preuve :
Posons un =
z
n
n!
. On a
z
u n +1
=
qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini. 
un
n +1
Définition. − On appelle exponentielle de z la fonction exp(z) =
∞
∑
0
zn 7
( ).
n!
Approximation des fonctions numériques
Dans tout ce paragraphe, K désigne un espace compact et nous munissons
C (K,R) = C *(K,R) de la norme de la convergence uniforme.
4.34. Lemme ( DINI). – Soit K compact. Si une suite monotone fn∈C (K,R) converge
simplement vers une fonction g continue, elle converge uniformément.
7
Cette fonction sera étudiée au Chapitre 11.
∑
xn.
40
Preuve :
Supposons par exemple la suite décroissante, de sorte que g ≤ fn. Prenons ε > 0. Posons :
Fn = {x | |fn(x) – g(x)| ≥ ε} = {x | fn(x) – g(x) ≥ ε}.
C’est un fermé (comme image réciproque d’un intervalle fermé par une application continue).
De plus m ≥ n implique fm ≤ fn , donc Fm ⊆Fn. Pour tout x, il existe un n tel que
|fn(x) – g(x)| < ε, ce qui équivaut à x ∉Fn. Par suite, I Fn = ∅. Comme K est compact, il
n≥ 0
existe un N tel que m ≥ N implique Fm = ∅, c’est à dire |fm(x) – g(x)| < ε pour tout x.
Définition.− Si A est une partie de C (K,R), on dit que A sépare les points de K si pour tous
x,y∈K avec x ≠ y, il existe f∈A avec f(x) ≠ f(y).
4.35. Proposition. – Pour un sous-espace vectoriel V de C (K,R) les conditions suivantes sont
équivalentes :
a) f∈V et g∈V entraînent inf(f,g)∈V
b) f∈V et g∈V entraînent sup(f,g)∈V
c) f∈V entraîne | f |∈V.
Preuve :
a)⇒b) car
b)⇒c) car
c)⇒a) car
sup(f,g) = − inf(−f,−g).
|f | = sup(f,−f).
1
(f + g − |f – g|).
inf(f,g) =
2
Définition. – Un sous-espace vectoriel V de C (K,R) vérifiant les conditions précédentes est
dit réticulé.
4.36. Proposition. Soient K un compact et V un sous-espace réticulé de C (K,R), contenant les
constantes et séparant les points de K. Alors V est dense.
Preuve :
Soit f ∈ C (K,R). Montrons d’abord que pour tout couple (x,y), il existe g∈V telle que
f(x) = g(x) et f(y) = g(y). Si f(x) = f(y), il suffit de prendre la fonction constante égale à f(x).
Si f(x) ≠ f(y), il existe j∈V telle que j(x) ≠ j(y). Alors on peut prendre la fonction:
f(y) − f(x)
g = f(x) +
( j − j(x)) .
j(y) − j(x)
Soit ε > 0. Fixons x ∈ K. Pour tout y ∈ K, il existe gxy ∈ V telle que gxy(x) = f(x) et
gxy(y) = f(y). Soit Uy = {t | gxy(t) < f(t) + ε}. C’est un ouvert (c’est l’image réciproque d’un
intervalle ouvert par l’application continue gxy − f). On peut recouvrir K par des Uy avec y∈A
finie. Posons gx = inf gxy. Alors gx∈V.
y∈A
Si t∈ K, il existe un y∈A tel que t∈Uy. On a donc gx(t) ≤ gxy(t) < f(t) + ε .
Soit Sx = {t | gx(t) > f(t) – ε}. On a gx(x) = inf gxy(x) = f(x) , donc x∈Sx. De plus, les Sx sont
y∈A
des ouverts.
41
On peut recouvrir K par des Sx avec x∈B fini. Posons g = sup gx∈V. On a g(t) > f(t) – ε pour
x∈B
tout t∈K et de plus, g(t) = sup gx(t) < f(t) + ε.
x∈B
Finalement, on a bien trouvé g∈V tel que d(f,g) ≤ 2ε.
4.37. Lemme. – Il existe une suite de fonctions polynômes qui converge uniformément vers
t sur [0,1].
Preuve :
On prend P1 = 0. On définit par récurrence : Pn+1(t) = Pn(t) +
1
(t – Pn(t)2).
2
Montrons, par récurrence, que Pn(t) ≤ t . On a :
1
1
( t – Pn(t) )( t +Pn(t)) = ( t –Pn(t))(1 –
( t +Pn(t))).
t – Pn+1(t) = t – Pn(t) –
2
2
1
Donc si Pn(t) ≤ t , il vient ( t + Pn(t)) ≤ t ≤ 1, et par suite t – Pn+1(t) ≥ 0.
2
1
De plus, Pn(t) ≤ t entraîne (t – Pn(t)2) ≥ 0, donc Pn+1(t) ≥ Pn(t).
2
Pour tout t ∈ [0,1], la suite Pn(t) est croissante et bornée, donc tend vers une limite g(t). On a
t − g(t)2 = 0, donc g(t) = t . D’après le Lemme de Dini, la convergence est uniforme. 
4.38. Théorème (STONE-WEIERSTRASS). – Soient K un compact et A un sous-anneau de
C (K,R) contenant les constantes et séparant les points de K. Alors A est dense.
Preuve :
Nous allons appliquer (4.36) à V = A . On vérifie facilement que A est un sous-anneau.
Comme il contient les constantes, c’est aussi un sous–espace vectoriel. Il nous faut montrer
f2
qu’il est réticulé. Soit f ∈ A . Posons a = ||f||. On a : a Pn( 2 )∈ A . Cette suite converge
a
2
f
uniformément vers a 2 = | f |. Par conséquent, | f | ∈ A = A .
a
4.39 Corollaire. – Si K est une partie compacte de Rn, toute fonction numérique continue sur
K est limite uniforme de fonctions polynômes.
Preuve :
On prend pour A l’anneau des fonctions polynômes. La propriété de séparation est satisfaite
car les projections sont des polynômes, et séparent évidemment les points de K. 
4.40. Théorème. –Soient K un compact, A un sous-anneau de C (K,C) contenant les
constantes et séparant les points de K. Si f∈A entraîne f ∈ A, alors A est dense.
Preuve :
Soit A0 = {f∈Α | f(K) ⊆ R}. On a A = A0 + i A0 . En effet, si f ∈ A,
42
1
1
(f + f )∈A et Im(f) = (f − f )∈A. D’après (4.38), A0 est dense dans C (K,R).
2
2i
Donc A = A0 + i A0 est dense dans C (K,R) + i C (K,R) = C (K,C). 
Re(f) =