Topologie Générale

Première partie
TOPOLOGIE

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1. Espaces topologiques
Topologie sur un ensemble E
Définitions.− Une topologie est une famille de parties O ⊆P(E) vérifiant :
1) ∅ et E appartiennent à O
2) O est stable par réunion quelconque
3) O est stable par intersection finie.
On dit alors que E est un espace topologique. Les éléments de O sont appelés ouverts.
Deux exemples :
O = {∅,E} est appelée topologie grossière.
O = P(E) est appelée topologie discrète.
Remarques. − L’axiome 1) est en fait conséquence des deux autres car l’intersection d’une famille vide est E et
la réunion d’une famille vide est ∅. D’autre part, pour vérifier l’axiome 3), il suffit de vérifier que l’intersection
de deux éléments de O est dans O . On passe ensuite à une intersection finie par une récurrence facile.
On appelle fermés les complémentaires des ouverts. La famille F des fermés vérifie donc les
axiomes suivants :
1) ∅ et E appartiennent à F .
2) F est stable par intersection quelconque
3) F est stable par réunion finie.
Inversement, soit F une famille vérifiant ces axiomes. On vérifie facilement que
O ={Fc | F∈F } est une topologie. Par conséquent, une topologie peut être définie aussi bien
par ses fermés que par ses ouverts. On remarque que toute propriété des ouverts se traduit, en
passant aux complémentaires par une propriété des fermés, et inversement. Nous dirons que
ces propriétés sont « duales ».
Définition.− Etant données deux topologies O et O ’, on dit que O est moins fine que O ’ si
O ⊆O ’.
Exemples.− La topologie grossière est la moins fine. La topologie discrète est la plus fine.
1.1. Proposition. − Toute intersection de topologies est une topologie.

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Preuve :
Soit (O λ)λ∈Λ une famille quelconque de topologies et soit O = O
I
Λ∈ λ
λ.
Il est évident que {∅,E}⊆O . Soit (Ωi)i∈I une famille quelconque de parties appartenant à O .
Alors pour tout λ, on a U∈O
Ii
i
∈
Ωλ. Par suite ∈ O . Le troisième axiome se démontre de
la même façon. 
U
Ii
i
∈
Ω
Définitions.
• Si H est une famille de parties, on appelle topologie engendrée par H l’intersection des
topologies qui contiennent H (C’est donc la moins fine des topologies qui contiennent
H ).
• Soient O une topologie et G une famille de parties contenue dans O . On dit que G est une
base de O si tout ouvert de O est réunion d’ouverts appartenant à G.
1.2. Théorème. − Soient H ⊆P(E) et G la famille des intersections finies d’éléments de H.
Alors G est une base de la topologie O engendrée par H.
Preuve :
Soit U la famille constituée par les réunions d’éléments de G . On a :
H ⊆ G ⊆ U ⊆ O .
Il suffit de prouver que U est une topologie : on aura alors nécessairement U = O .
L’axiome 2 est évidemment vérifié. Pour montrer l’axiome 3, posons :
Ω = G
U
Ii∈
i et Ω’ = UG
Jj∈
j, avec Gi ,Gj∈G , donc Gi∩Gj∈G. Ainsi,
Ω∩Ω’ = U(G
ji,
i∩Gj)∈ U .
Considérons l'ensemble R des nombres réels (1). Soit
R
= R ∪{−∞,+∞}, avec l'ordre habituel
(−∞ < x < +∞ pour x∈R). Les intervalles ouverts de R sont de la forme ]a,b[ avec a,b∈
R
.
Les intervalles ouverts de
R
sont d'une part, les intervalles ouverts de R, d'autre part, les
intervalles de la forme [−∞,a[ et ]a,+ ∞], avec a∈
R
.
1.3. Proposition.
1) Les parties de R qui sont réunion d’intervalles ouverts constituent une topologie, qui
est appelée la topologie usuelle de R.
2) Les parties de
R
qui sont réunion d’intervalles ouverts constituent une topologie, qui
est appelée la topologie usuelle de
R
.
Preuve :
La démonstration est identique dans les deux cas. Appliquons le Théorème (1.2) avec pour H
la famille des intervalles ouverts. Il se trouve que G = H, donc H est une base de la topologie
engendrée . 
1 Toutes les propriétés de R que nous démontrerons reposent sur la définition suivante : R est un corps
commutatif totalement ordonné dans lequel toute partie non vide majorée possède une borne supérieure.

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Soient E un espace topologique pour la topologie O et E’ une partie de E. On peut définir une
topologie O ’ sur E’ en posant : O ’ = { Ω∩E’ | Ω∈O }. On appelle O ’ la topologie induite
sur le sous-espace (topologique) E’. On a O ’⊆O si et seulement si E’∈O . Les fermés de E’
sont obtenus en prenant F ’ = {F∩E’ | F∈F } . On a F ’⊆ F si et seulement si E’∈F .
Exemples. −
• La topologie usuelle de R est la topologie induite par la topologie usuelle de
R
. Noter qu'ici, R est ouvert
dans
R
, de sorte que tout ouvert de R est un ouvert de
R
.
• L’intervalle ]a,b] est un ouvert de [a,b], mais n'est pas un ouvert de R.
Définitions.
• Si A est une partie de E, on appelle voisinage de A toute partie qui contient un ouvert
contenant A.
• Nous noterons V (A) l’ensemble des voisinages de A (ou V E(A) s’il y a un risque
d’ambiguïté).
• Si S ⊆V (A), on dit que S est un système fondamental de voisinages de A si tout
V∈V (A) contient un V’∈S.
Exemple. − Dans R, les intervalles ouverts centrés en a constituent un système fondamental
de voisinages de a.
Remarques.
• V (A) est stable par intersection finie.
• Si V∈V (A) et V⊆W, alors W∈V (A).
• Si E’ est un sous espace de E et x∈E’, alors l’ensemble des voisinages de x dans E’ est
V E’(x) ={V∩E’ | V∈V E(x)}.
Remarque.− La notion de voisinage est relative à l'espace dans lequel on se place. Par exemple, ]a,b] est un
voisinage de b dans [a,b], mais pas dans R.
Adhérence, intérieur, frontière
Définitions
• Si A⊆E, on appelle adhérence de A l’intersection A des fermés qui contiennent A (c’est
donc le plus petit fermé contenant A).
• On dit que A est dense dans B si A= B.
• Si x∈A ,on dit que x est adhérent à A.
• Si x est adhérent à A\{x}, on dit que x est un point d'accumulation de A (2).
Remarque. − A est fermé si et seulement si A = A.
Exercice.− Montrer que BA ∪= A∪B.
1.4. Proposition. − A= {x∈E | ∀V∈V (x) V∩A ≠ ∅}
Preuve :
2 Noter que x peut appartenir ou ne pas appartenir à A.