cours3 2016_print

Les buts de cet amphi
1. Comprendre la signification physique du formalisme mis en place
Quelle est l’information acquise lors d’une mesure ?
Mesure des grandeurs physiques
Formulation du principe 3, d’abord sous une
forme « faible », puis sous sa forme « forte »
2. Exploiter le lien entre « quantités physiques » et « opérateurs »
Valeurs propres et fonctions propres,
résolution de l’équation de Schrödinger
Chapitre 3
+
§3.3 du chapitre 4
Jean Louis Basdevant
12 Leçons de Mécanique
Quantique
2
Mesures de position et d’impulsion
Particule ponctuelle de fonction d’onde
(x)
Densité de probabilité pour la position
dP =: | (x)|2 dx
x⇥ =
1.
La mesure des grandeurs physiques :
position, impulsion, énergie, …
x | (x)|2 dx
interférence d électrons
(Hitachi)
| (x)|2
x
Mesure d’impulsion, par exemple par une expérience de temps de vol
(x)
TF
⇥ ⇥(p)
(p
dP = | (p)|2 dp
p⇥ =
qui s’écrit aussi (isométrie + dérivation) : p⇥ =
p | (p)|2 dp
(x)
d
dx
i dx
px )
Structure commune en termes d’opérateurs
Actions des opérateurs sur les états
A.  l'opérateur x̂ agit seulement sur la fonction ψ(x), et l'opérateur
p̂ agit seulement sur la transformée de Fourier ϕ(p) de ψ(x)
Valeur moyenne de la position
x⇥ =
B.  les opérateurs x̂ et p̂ agissent tous les deux sur ψ(x) et ϕ(p)
(x) [x̂ (x)] dx
=
: multiplication par x
x̂
(x) ⇥ x (x)
| x̂ ⇥
C.  l'opérateur Hamiltonien Ĥ (énergie totale) est le seul à agir à
la fois sur ψ(x) et ϕ(p)
Valeur moyenne de l’impulsion
p⇥ =
=
p̂
(x) [p̂ (x)] dx
à x (à
| p̂ ⇥
quantité physique
Principe 3 (version « faible »)
position
, on peut associer une « observable » Â
a⇥ =
h
i
⇤
(x) Â (x) dx =
Opérateur
hermitien :
Z
Z h
h
i
⇤
Â
1 (x) Â 2 (x) dx =
1
| Â
2⇥
= Â
1
|
2⇥
i⇤
1 (x)
|
i x
pˆ =
(x)
énergie totale
E=
| Â ⇥
2 (x)dx
ce qui entraîne en particulier que hai est réel
=
2⇥
Z
⇤
1 (x)
2 (x)
dx
associé à A ?
action de l’opérateur associé sur
p̂x =
impulsion
agissant dans l’espace des fonctions d’onde
Z
1
i
(⇥r)
multiplication par
 : opérateur linéaire hermitien
Si on prépare un grand nombre de systèmes identiques tous dans l’état
et qu’on mesure A sur chacun, la moyenne
des résultats vaut
d (x)
dx
p̂
Comment construire l’opérateur
La mesure d une grandeur physique
près)
(x) ⇥
Rappel du produit scalaire « naturel » dans L2 :
À toute grandeur physique
p̂x : dérivation par rapport
moment cinétique
L=r
Lz = xpy
pˆ2 =
Ĥ =
=
ypx
i z
2
p̂2
ˆ
+ V (r)
2m
2
2m
opérateur moment
ˆ
L = rˆ
cinétique
p
p̂z =
i y
i
Hamiltonien
p2
+ V (r)
2m
p̂y =
L̂z =
i
+ V (r)
pˆ
x
y
y
x
⇥
Définition générale
(x) est une fonction propre de l’opérateur  , associé à une
On dit que
quantité physique A, si cette fonction n’est pas identiquement nulle et si
(x) = a
Â
2.
Valeurs propres et fonctions propres d’un opérateur
(x)
Le nombre aα (même dimension que A) est la valeur propre associée à
(x)
Si l’opérateur  est hermitien, alors la valeur propre aα est réelle (à vérifier !)
Théorème spectral : en dimension finie, un opérateur hermitien (du type
de ceux qui sont associés aux grandeurs physiques) est diagonalisable :
on peut former une base de l’espace de fonctions avec ses vecteurs propres.
Subtilités avec notre espace de fonctions, qui est de dimension infinie...
L’exemple de l’opérateur impulsion
d
Valeurs propres q et fonctions
propres
:
p̂x q (x)
= q q (x) de l’impulsion p̂ =
i dx
p̂
q (x)
=q
d q
iq
=
dx
q (x)
q
Les fonctions propres de l’hamiltonien
Fonctions qui vont jouer un rôle crucial pour étudier l’évolution des systèmes
Ĥ
2
2m
d
2
E (x)
dx2
+ V (x)
E (x)
=E
E (x)
E (x)
=E
E (x)
(à une dimension)
La résolution de cette équation passe en général par un traitement numérique.
q (x)
= C eiqx/
Il existe cependant quelques cas solubles analytiquement :
Les fonctions propres de l’impulsion sont les ondes planes.
potentiel harmonique
Le spectre de l’impulsion (ensemble de ses valeurs propres)
est l’ensemble des nombres réels R .
potentiel coulombien
potentiel constant par morceau
Sandwich de
Al Ga As – Ga As – Al Ga As
V (x)
Le puits carré infini
Ĥ
E (x)
=E
Valeurs propres de l’énergie du puits carré infini
E (x)
pour simplifier les notations:
E (x)
Si on choisit E réelle négative : pas de solution
(x)
Pour E réelle et positive : posons k =
2
2m
x
L
0
(x) = E (x)
2mE/
s'écrit alors
Forme générale des solutions :
⇤(x) =
E = ~2 k 2 /2m
(x) =
k 2 (x)
sin(kx) + ⇥ cos(kx)
Limite en x = 0 : ⇥(0) = 0
=0
Limite en x = L : ⇥(L) = 0
sin(kL) = 0
sin(kL) = 0
Les vecteurs d’onde k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes :
conditions aux limites :
continue
Les fonctions propres de l’hamiltonien s’écrivent donc (à vérifier en exercice !)
sin(kn x)
avec
L
Normalisation :
|
0
kn =
2
n (x)|
n
L
et
En =
dx = 1
=
~2 kn2
~2 n2 2
=
2m
2mL2
2/L
L’ensemble des n forme une « base » orthonormée de l’espace des
fonctions d’onde telles que (0) = (L) = 0
L
orthonormalité :
⇥n (x) ⇥ (x) dx =
n,
0
développement d’une fonction d’onde sur cette « base » :
+
(x) =
+
Cn
n=1
n
L
n = 1, 2, . . .
et les valeurs propres pour l’énergie sont « quantifiées » : En = n2
Les « états stationnaires » du puits carré infini
⇥n (x) =
k = kn =
n (x)
n=1
|Cn |2 = 1
Similaire à un développement d’une fonction périodique en série de Fourier
Bilan pour le puits carré infini
E n = n 2 E1
E1 =
2 2
2mL2
n = 1, 2, . . .
⇥n (x)
2 2
2mL2
E
E3
sin(n x/L)
Ordres de grandeur
On considère :
- l'énergie E1 = EL d'un électron (masse me) dans
un puits quantique de largeur L = 6 10-9 m = 6 nm
- l'énergie E1 = EN d'un nucléon (masse 2000 me)
dans un noyau de diamètre L = 4 10-15 m = 4 fm
A.  El = 10 meV, EN = 10 MeV
B.  El = 10 meV, EN = 1 GeV
C.  El = 1 eV, EN = 10 MeV
D.  El = 1 eV, EN = 1 GeV
E2
E1
x
0
L
Émission de lumière par un puits quantique
nitrure de gallium
E2
3.
Quels résultats pour une mesure individuelle ?
L = 12
E1
L couches atomiques
L=6
Photon h ν = E2 - E1 = h c / λ
Quantité physique A, décrite par l’observable Â
L
0
Spectre de valeurs propres a discret (ce qui exclut l’opérateur « impulsion »)
Base orthonormée de fonctions propres
Photo: P. Reiss/CEA
for the invention of efficient blue light-emitting diodes which
has enabled bright and energy-saving white light sources"
Préambule 1 : lien entre « résultats
de mesure » et « valeurs propres »
pour tout
:
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique A
sur une particule préparée dans l état (x)
Le résultat de la mesure de A est certain (ou prédéterminé)
si et seulement si l’état (x) est un état propre de l’observable Â
C
(x) avec
,⇥
|C |2 = 1
Préambule 1 (suite)
E3
E2
E1
(x) =
⇥⇥ (x) ⇥ (x) dx =
:
Preuve du sens réciproque de l’équivalence
On suppose que la particule est dans un état (x) tel que la quantité A
est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure
a⇥ =
Alors,
a2 = 0
(x) [Â (x)] dx
(x) est état propre de  avec la valeur propre a⇥ .
Preuve du sens direct de l’équivalence
Si
(x) =
↵ (x) ,
alors le résultat de la mesure de A est certain.
a⇥ =
(x) [Â
a2 ⇥ =
(x) [Â2
(x)] dx =
(x)] dx = a2
(x) [a
Démonstration :
=
(x)] dx = a
a2 = ⇥a2 ⇤
0=
(⇥a⇤)2 = 0
Par exemple, un état propre de l’hamiltonien est un état d’énergie bien définie.
(Â
(x) [(Â
[(Â
⇥a⇤) (x) = 0
⇥a⇤)2 (x)] dx
⇥a⇤) (x)] [(Â
⇥a⇤) (x)] dx
 (x) = a⇥ (x)
Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état
de la particule est un état propre de . Le résultat est la valeur propre associée.
Préambule 1 (suite)
Préambule 2 : qu’attend-on d’une mesure ?
Preuve du sens réciproque de l’équivalence
La mesure d’une quantité physique fournit un nombre (ou un ensemble
de nombres) qui apporte une information sur le système étudié.
On suppose que la particule est dans un état (x) tel que la quantité A
est « bien définie » : pas de fluctuations des résultats de mesure
a⇥ =
a2 = 0
(x) [Â (x)] dx
taux d’apparition
Tailles d’une population :
(x) est état propre de  avec la valeur propre a⇥ .
Alors,
taille
Démonstration :
0=
=
(Â
(x) [(Â
[(Â
⇥a⇤)2 (x)] dx
⇥a⇤) (x)] [(Â
⇥a⇤) (x) = 0
⇥a⇤) (x)] dx
Pour que l’information fournie ne soit pas factice, il faut que la même
mesure d’une même quantité (ici la taille d’un individu donné) à deux
instants « très proches » donnent le même résultat (répétabilité).
 (x) = a⇥ (x)
Conclusion : le résultat de la mesure de A est certain si et seulement si l’état
de la particule est un état propre de  . Le résultat est la valeur propre associée.
Quel est l’état de la particule après une mesure ?
Exemple d’une mesure
d’énergie dans un puits
E3
E2
E1
état initial
(x) =
Cn n (x)
n
Les résultats possibles pour une mesure individuelle
à l’instant t2
à l’instant t1
mesure de
l’énergie :
résultat ε
Quelles sont les
valeurs possibles
de ε ?
Quel est l’état
après la mesure ?
une nouvelle
mesure de l’énergie
sur le même
système à un instant
t2 « très proche »
de t1 doit donner
avec certitude
le même résultat ε
cf. préambule 2
mesure à t1 :
(x) ⇥
n (x)
de  , alors le
Si la particule est avant la mesure dans l’état propre
résultat est avec certitude la valeur propre aα.
Si la particule est avant la mesure dans un état quelconque
=
C
|C |2 = 1
avec
alors le résultat sera aléatoirement une des valeurs propres aα.
Cette loi se déduit de :
(i) ε soit une des valeurs propres En de l’opérateur énergie
n de l’opérateur énergie à l instant
Si on mesure la quantité physique A, les seuls résultats de mesure possibles
sont les valeurs propres de l’opérateur  .
Quelle est la loi de probabilité correspondante ?
Pour que le résultat à l’instant t2 soit avec certitude égal à ε, il faut
(cf. préambule 1) que:
(ii) le système soit dans un état propre
« Instants très proches » : l’état du système n’évolue
pas de manière significative entre les deux mesures.
t2
a⇥ =
an ⇥ =
⇥
⇥
[Â ] dx = . . . =
[Ân ] dx = . . . =
Loi de probabilité pour aα : p
= |C |2
|C |2 a
|C |2 an
Version forte du principe de la mesure
Qu’apprend-on dans une mesure (I) ?
On s’intéresse à la mesure d’une quantité physique A , d’observable Â
Valeurs propres aα et fonctions
propres orthonormées ψα de Â
(x) =
Avant la mesure :
Â
(x) = a
(x)
Une mesure individuelle, sur une particule donnée, donne un renseignement
sur l’état du système après la mesure :
aα supposée ici non dégénérée
C
(x)
inconnu
|C |2 = 1
avec
Principe 3 (version « forte »)
Le résultat a d’une mesure individuelle de la grandeur physique A
est nécessairement une des valeurs propres aα de Â
La probabilité pα de trouver le résultat aα est p = |C |2
Juste après une mesure ayant donné le résultat aα , la fonction d onde
(x) , état propre associé à la valeur propre aα
de la particule est
p = |C |2
Â
=
appareil
de mesure
(classique)
0
a
1
a
2
a
3
Si le résultat est α2,
l'état après
cette mesure est :
=
2
100
C
On ne peut pas, avec cette seule mesure, reconstruire l’état
On sait seulement que p 2 n était pas nulle…
La fonction d’onde est modifiée de manière irréversible par la mesure :
« réduction du paquet d’ondes »
Qu’apprend-on dans une mesure (II) ?
Si on dispose de N particules préparées dans le même état
inconnu, on peut en effectuant une fois la mesure de A sur chaque
particule déterminer les probabilités pα
inconnu
appareil
de mesure
(classique)
0
=
aα1
p1=N1/N
aα2
p2=N2/N
aα3
p3=N3/N
4.
Etats propres de l’hamiltonien
et
Résolution de l’équation de Schrödinger
100
C
i
À partir de p
= |C |2, on peut reconstruire
(au moins partiellement)
⇥
= Ĥ
⇥t
Ĥ =
p̂2
+ V (x̂, t)
2m
On se limite ici au cas où V ne dépend pas du temps : V (x̂, t) = V (x̂)
Évolution d’un état quelconque
Évolution d’un état quelconque
On détermine les états propres de l’hamiltonien : Ĥ n (x) = En
Les états
n (x)
n (x) forment une « base » de l’espace des fonctions d onde
Fonction d’onde initiale de la particule :
(x, 0) =
Cn
n (x)
On détermine les états propres de l’hamiltonien : Ĥ n (x) = En
Les états
n (x) forment une « base » de l’espace des fonctions d onde
Fonction d’onde initiale de la particule :
(x, 0) =
n
Cn
Cn
n (x) e
iEn t/
(x, t) =
Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut :
⇥
(x, t) proposé est-il solution de i
= Ĥ (x, t)?
⇥t
⇥
⇤
iEn
=i
Cn n (x)
e iEn t/ =
Cn En n (x) e iEn t/
n
Ĥ (x, t) =
n
Cn Ĥ
n (x)e
iEn t/
=
n
Cn En
iEn t/
n
Démonstration : le
⇥
⇥t
n (x) e
Cn
n
i
n (x)
n
(x, t) =
Alors la fonction d’onde à l’instant t vaut :
n (x)
n (x) e
⇥
(x, t) proposé est-il solution de i
= Ĥ (x, t)?
⇥t
⇥
⇤
iEn
=i
Cn n (x)
e iEn t/ =
Cn En n (x) e iEn t/
Démonstration : le
i
⇥
⇥t
n
Ĥ (x, t) =
iEn t/
n
n
Cn Ĥ
n (x)e
iEn t/
n
=
Cn En
n (x) e
iEn t/
n
La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque
toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie.
La résolution d’un problème de mécanique quantique commence presque
toujours par la détermination des fonctions propres de l énergie.
Les états propres de l’hamiltonien sont des « états stationnaires »
Le chat de Schrödinger
Si on prépare la particule dans un de ces états à t = 0 :
(x, 0) =
n (x)
alors la solution de l’équation de Schrödinger à l’instant t est
(x, t) =
n (x) e
iEn t/
La probabilité de présence n’évolue pas : | (x, t)|2 = | n (x)|2
et il en va de même pour la valeur moyenne de toute quantité physique
a⇥(t) =
=
(x, t)[Â (x, t)] dx
n (x)[Â n (x)]
dx
Principe de superposition : si
« éligibles », alors la superposition
et
sont des fonctions d’onde
l’est aussi.
Électron dans l’expérience des trous d’ Young :
« passé dans le trou de gauche » ET « passé dans le trou de droite »
Le dispositif diabolique
de Schrödinger :
On attend un temps bien choisi
pour que la probabilité de
désintégration soit 0.5...
Le chat est-il dans l'état
???
Cette question est-elle bien posée ? Non ! (pas d'expérience)
Un état d’énergie bien définie n’est pas « en mouvement » !
Cette question est-elle absurde ? Non plus ! (expérience ?)
Le "chaton de Schrödinger" : expériences ?
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (I)
Image quantique simple d'un oscillateur harmonique "semi-classique"
Bonne question :
peut-on observer des superpositions
d'états quantiques "macroscopiquement distincts" ?
Beaucoup d'expériences possibles :
x(t) = X sin(ωt + ϕ), p(t) = P cos(ωt + ϕ), P = mωX
x(t)
Inégalités de Heisenberg ∆x ∆p ≥ !/2
S. Haroche: champ électromagnétique micro-onde dans une cavité résonnante;
D. Wineland: mouvement d'un ion dans un piège électromagnétique.
On peut construire un paquet d’onde Gaussien tel que
ϕ
Illustration avec un oscillateur harmonique "semi-classique » !
•  les valeurs moyennes sont x(t) et p(t)
2∆x0
•  ∆x = ∆x0 = (! / (2mω))1/2
•  ∆p = mω ∆x0 = (! mω / 2)1/2 => ∆x ∆p = !/2
• 
0.2
On a alors une oscillation "quasi-classique"
P(x)
0.1
- 5
l'amplitude X vérifie X >> ∆x0 ,
x
5
-5∆x0
+5∆x0
2
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (I)
Image quantique simple d'un oscillateur harmonique "semi-classique"
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (II)
Effets quantiques "macroscopiques" ?
x(t)
x(t) = X sin(ωt + ϕ), p(t) = P cos(ωt + ϕ), P = mωX
x(t)
Inégalités de Heisenberg ∆x ∆p ≥ !/2
-ϕ ϕ
On peut construire un paquet d’onde Gaussien tel que
•  les valeurs moyennes sont x(t) et p(t)
2∆x0
•  ∆x = ∆x0 = (! / (2mω))1/2
•  ∆p = mω ∆x0 = (! mω / 2)1/2 => ∆x ∆p = !/2
• 
0.2
- 5
l'amplitude X vérifie X >> ∆x0 ,
On a alors une oscillation "quasi-classique"
P(x)
0.1
-5∆x0
-ϕ ϕ
x
5
+5∆x0
Deux états de même amplitude X mais de phases
opposées ± ϕ sont "macroscopiquement distincts" :
équivalents des états "mort" et "vivant" ?
?
On suppose que l'oscillateur de période T est
placé à t = 0 dans l'état:
1
= p (
2
{X,+ }
+
{X,
})
Que se passe-t-il quand les deux "branches"
de son mouvement vont se croiser à t = T/4 ?
A.  rien de spécial, car l'oscillateur est présent
ou pas (c'est-à-dire soit "mort" soit "vivant")
B.  les deux "branches" se repoussent et
l'oscillateur fait demi-tour dans les deux cas
C.  la densité de probabilité de présence est
modulée spatialement
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III)
Interférences quantiques "macroscopiques" ?
x(t)
1
= p (
2
- Peut-on observer l'état
Interférences quantiques "macroscopiques" ?
{X,+ }
+
{X,
})
- On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure
x(t = 0) sur N états, et x(t = T/4) sur N autres états, et on
en déduit les distributions de probabilité correspondantes
-ϕ ϕ
0.1
50 0
+5E
x
- Lorsque X augmente, les franges sont de plus en plus serrées, et les
signes ± de la superposition se moyennent : perte de la "cohérence"
"ET" quantique
"OU" classique
décohérence
En résumé
À toute grandeur physique , on peut associer une « observable » Â ,
opérateur linéaire hermitien agissant dans l’espace des fonctions d’onde
Etats propres et valeurs propres du puits carré infini :
sin(kn x)
avec
kn =
n
L
et
En =
~2 kn2
~2 n2 2
=
2m
2mL2
Principe 3 « faible »: Si on prépare un grand nombre de systèmes tous dans
l’état (x) et qu’on mesure A sur chacun, la moyenne des résultats vaut
a⇥ =
Z
⇤
P(x, t = 0)
?
5
+5∆x0 x
h
i
(x) Â (x) dx =
| Â ⇥
Principe 3 « fort »: Le résultat a d’une mesure individuelle de la grandeur
physique A est nécessairement une des valeurs propres aα de Â
* La probabilité pα de trouver le résultat aα est p = |C |2
* Juste après une mesure ayant donné le résultat aα , la fonction d’onde
(x), état propre associé à la valeur propre aα
de la particule est
1
= p (
2
{X,+ }
+
{X,
})
- On prépare 2N fois cet état (c'est difficile !), on mesure
x(t = 0) sur N états, et x(t = T/4) sur N autres états, et on
en déduit les distributions de probabilité correspondantes
0.2
0.5
- Les interférences observées sur P(x, t =T/4) prouvent le caractère quantique
de la superposition ! (dépendent du signe ± dans {X,+ } ± {X, } )
⇥n (x) =
-ϕ ϕ
- Peut-on observer l'état
1 P(EX)
0.2
-5
-5∆x0
x(t)
– dans! ψ
P(x, t = T/4) signe
quantique
P(x, t = 0)
?
Le "chaton de Schrödinger" : expériences (III)
1 P(EX)
0.5
0.1
-5
-5∆x0
+ dans ψ
P(x, t = T/4) signe –
5
+5∆x0 x
50
+5E
0
xx
- En pratique, superpositions (et décohérence) observées pour des oscillateurs
optiques ou micro-ondes, ou pour le mouvement d'une particule piégée.
- Autres effets similaires : interférences de grosses molécules (virus ?),
cohérence quantique dans des boucles de supraconducteurs (SQUID), …
-  Importance pratique considérable
pour le développement de futurs « ordinateurs quantiques »…