Solutions exactes de la théorie quantique des champs et interaction

Solutions exactes de la th´eorie quantique des champs et
interaction de deux particules - (Communication
pr´eliminaire)
Guido Beck
To cite this version:
Guido Beck. Solutions exactes de la th´eorie quantique des champs et interaction de deux
particules - (Communication pr´eliminaire). J. Phys. Radium, 1939, 10 (4), pp.200-201.
<10.1051/jphysrad:01939001004020000>.<jpa-00233658>
HAL Id: jpa-00233658
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233658
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SOLUTIONS
EXACTES DE LA THÉORIE
QUANTIQUE
DES
CHAMPS
ET INTERACTION
DE DEUX PARTICULES
(Communication
préliminaire.)
Par
M. GUIDO
BECK.
Institut
de
Physique
atomique.
Faculté
des
Sciences
de
Lyon.
Sommaire. 2014
Des
solutions
exactes des
équations
de la théorie
quantique
des
champs peuvent
être
obtenues dans
le
cas
particulier
où les
particules produisant
le
champ peuvent
être considérées comme
immobiles
dans
l’espace :
Ri =
Const.
Ces solutions nous
permettent
d’étudier des
propriétés caractéristiques
de la
théorie
des
champs.
La fonction de
Hamilton du
système
des
oscillateurs
représentant
un
champ
en
interaction avec
une
parti-
cule est donnée -
dans
le
cas le
plus simple
d’un
champ
scalaire
non
chargé
-
par :
Ici
A
est une constante
d’interaction,
Uk
=
ei’k.R/L3/2,
R
=
Const.
indique
la
position
de
la
particule.
Les
abréviations
p0
et
q0sont
utilisées
pour :
La
solution
générale
de
(1)
est donnée
par :
si les
hn
sont les
fonctions
propres
d’un
oscillateur
ordinaire.
L’influence
de la
particule
sur
l’état
du
champ
se
montre
dans le fait
que, d’après (2)
les
amplitudes qk
du
champ présentent
des
fluctuations
autour
d’une
valeur
moyenne
q~,
tandis
que
dans le
cas
du
vide,
les
valeurs
moyennes des q,
sont
égales
à
zéro. Les valeurs
moyennes q°
sont en
relation
étroite avec les
coeffi-
cients de Fourier
du
champ
«
classique
»
et on
montre
facilement
que
dans
notre
cas,
si
nous
posons
R
=
0,
à E
représente
l’énergie
propre
de
notre
champ.
Il
est
facile
de
généraliser
nos formules
pour
le cas
de deux
particules
de coordonnées
respectives
RI
et
Rz.
Dans
ce
cas,
les
p0et
q0représentent
la
somme
des
amplitudes
moyennes
excitées
par
chacune
des deux
particules
et
l’expression A E
contient,
en
dehors de la
somme
des deux
énergies
propres,
un
terme d’inter-
action
2
°
1
Pour
discuter
la solution
(2)
du
point
de vue
de
la
théorie
des
perturbations qui, jusqu’ici,
a
été
appliquée
exclusivement
à
ces
problèmes,
nous
devons
développer
(2)
en
série de Fourier suivant
les
fonctions
propres
du
vide,
où les
coefficients
cnm
déterminent
les
probabilités
de
«
trouver
»
le
champ
dans
une
certaine
configuration
«
virtuellement
excitée
»
par
la
présence
de
la
parti-
cule. Nous
obtenons facilement
pour
l’état fondamental
du
champ
(2),
nk
=
0,
P.
1
oa
d
.
Puisque
la
w
02
tend vers
co
si
nous
tenons
Puisque
la
somme ,
tend vers
00
si
nous
tenons
compte
de
tous les
oscillateurs
de
champ
de
fréquence
très
élevée,
tous
les coefficients
com
tendent vers
zéro,
tandis
que S
l Com
2
=
1.
m
Le
comportement
de la
solution
(2)
nous
permet
donc d’arriver aux conclusions suivantes :
1. Le
changement d’énergie produit par
la
présence
d’un
système
de
particules
est
proportionnel
à
A2
et est
identique
à
l’énergie
de
perturbation
du
second
ordre.
Cependant, d’après
la
théorie
exacte,
ce
changement
d’énergie
doit être
interprété
-
comme
dans la théorie
classique
du
champ - par
une
super-
position
d’amplitudes
excitées
par
les différentes
parti-
cules,
plutôt
que
par
un
«
échange
virtuel de
quanta
».
2.
Du
point
de vue de la théorie des
perturbations,
une
particule
est
toujours
«
virtuellement
entourée»
par
un
nombre infini
de
quanta,
dont
la
plupart
corres-
pondent
à des
énergies
très
élevées.
Cependant,
à
un
domaine
d’énergie
fini
ne
correspond
qu’un
nombre
fini de
quanta,
qui
interviennent
dans
les
phénomènes
physiques
généralement
considérés.
En
effet,
ce nombre
est
identique
au nombre calculé
à l’aide
de
la
théorie
de
perturbations
en
première approximation.
3.
Ce
mécanisme
est
indispensable pour
comprendre
le
comportement
des
forces nucléaires
dues
à
l’exis-
tence
d’un
champ
de
particules chargées.
D’après
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01939001004020000

201
la
théorie
du
champ,
un
proton
ou
neutron sera
« virtuellement
entouré »
par
un nombre infini
d’élec-
trons
lourds
positifs
et
négatifs,
N+
=
N- +
0,
1 -
oo ,
dout
la
plupart
correspondent
à des
énergies
très
élevées.
La
probabilité
de trouver le
champ
d’un
proton
chargé
(N+
=
N-
+
1)
sera
égal
à
la
probabi-
lité
de trouver
une
configuration
du
champ
non
chargé
(N+
=
N-) (*).
De
même,
il
existe autant
de
possibi-
lités de rencontrer
un
électron lourd
positif
« virtuel
»
d’une certaine
énergie
dans le
champ
d’un
proton
qu’un
électron
lourd
négatif
de la
même
énergie
dans
ce
champ.
(Du
point
de
vue de la théorie
exacte,
les
amplitudes
des oscillateurs de
champ
des deux
signes
seront
toujours
excitées simultanément
par
la
présence
d’un
proton
ou
neutron.)
On
peut
essayer
d’utiliser
des fonctions
propres :
indique
la
charge
totale du
champ
et
qui
obéissent à
un
système
d’équations
du
type :
pour
la
description
d’un
tel
champ
(Proton :
lVl
=
0,
lVl
+ 1
=1;
Neutron : M
= -1,
M +
1
=
0).
4.
Evidemment,
dans une
théorie,
basée sur
les
prin-
cipes
d’une théorie du
champ,
même
l’énergie
d’inter-
action entre
un
proton
et
un
neutron
-
due
à
une
superposition d’amplitudes
des oscillateurs de
champ
des deux
signes
-
dépend
essentiellement
du méca-
nisme
indiqué
plus
haut et
ne
peut
pas
être
obtenue
par
un
calcul de
perturbation.
Une
telle
tbéorie four-
nit
immédiatement
une interaction
du
même ordre
de
grandeur
entre
deux
protons
et entre
un
proton
et un
neutron.
5. La
théorie
quantique
du
champ
nous
apprend
que
la
description
complète
d’un
système
de deux
parti-
cules
implique
essentiellement une
fonction
propre
du
champ.
Dans le
cas,
où le
mouvement
des deux
parti-
cules est suffisamment lent
pour
permettre
au
champ
de
suivre
adiabatiquement
le
mouvement,
le
système
peut
être caractérisé
par
une
fonction
propre :
(*)
Le
degré
de
dissociation
d’un
proton
ou neutron est
donc
1/2,
comme l’auteur
l’a
déjà
montré
par
des considérations
élé-
mentaires,
Nature,
1938,1.41,
609. Voir
cependant
C.
R.,
1939,
208, 332.
si nous
pouvons
négliger
les détails de
l’interaction
provenant
du
spin.
Dans
(4), ~
représente
la
fonction
ordinaire
de
Schrôdinger,
S est une fonction
impliquant
schématiquement
les
deux
spins
s,
et est la fonc-
tion
propre
du
champ. L’énergie potentielle
du
mouve-
ment
est
fournie
par
la valeur
propre
de
l’énergie
du
champ,
qui,
d’après
(2),
dépend
elle-même des coor-
données
~1
et
R2.
Cette
description
est tout
à
fait
ana-
logue
à
la
description
d’une
molécule,
pour
laquelle
la
fonction
propre
électronique
joue
le
rôle
de
la fonction
du
« champ
de
la
liaison
chimique ».
Dans
cette
approxi-
mation,
la théorie
quantique
du
champ
contient la
théorie
de
Schrôdinger
comme
cas
limite
qui,
cepen-
dant,
néglige
l’introduction
explicite
de la
fonction
propre
du
champ.
6.
Si
la
généralisation
de la
mécanique
ondulatoire,
impliquée
dans la théorie
quantique
du
champ,
est
correcte,
nous devons
tenir
compte
du
fait,
que
la
fonction du
champ
Il’
dépend
elle-même des coordon-
nées
RI
et
R2
(et
dans une
approximation
d’ordre
plus
élevée aussi des
spins).
Par
conséquent,
la
théorie
quan-
tique
du
champ
demande une révision de toutes les
considérations de
symétrie,
qui
étaient
appliquées
au
cas
de
plusieurs
particules
identiques
dans
les théories
précédentes.
Nous devons nous
attendre à ce
que
la
fonction
propre
du
champ
de deux
particules
iden-
tiques
soit
toujours
symétrique
par
rapport
aux
variables définissant
les deux
particules.
7. Nous
devons,
cependant, envisager
un
schéma
plus
général
si nous
considérons
des
particules
non iden-
tiques
comme
proton-neutron
ou,
peut-être,
électron-
positron.
Dans
ce
cas,
nous obtenons
le
schéma
suivant
pour
la
symétrie
des
fonctions
propres :
(s
= symétrique, a
=
antisymétrique).
Evidemment,
les
deux niveaux 1S et 3S du deuton
correspondent
respectivement
à
1
et
3 dans notre
schéma.
Bien
que
nous ne
puissions pas
encore
à
présent,
obtenir
des résultats
quantitatifs pour
les forces
nucléaires,
nous
pouvons
dire
que
le
schéma
général
de
la
théorie
quantique
des
champs
ne
conduit
pas
à des
forces de
Heisenberg
et de
Majorana.
Par
conséquent,
il est
possible
que
la
séparation
des niveaux ’S et
3S
du deuton soit
contenue dans la théorie
d’une
façon
plus
simple
et
n’implique
pas
une interaction
non rela-
tiviste
des
spins.
L’auteur
remercie
M.
Jean
Thibaud,
qui
lui
a
donné
la
possibilité
de travailler
dans son institut.
Manuscrit
reçu
le 30 décembre 1938.