Correction dm 5

Correction dm 5 :
Partie A : Soient a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
Si a ≡ b [n] et c ≡ d [n], alors a + c ≡ b + d [n] et ac ≡ bd [n].
De plus, pour tout p entier naturel, ap ≡ bp [n].
Démontrons la relation sur le produit.
a ≡ b [n], donc a – b = kn, avec k ∈ Z
c ≡ d [n], donc c – d = k’n, avec k’ ∈ Z.
ac – bd = ac – ad + ad – bd = a (c – d) + d (a – b) = ak’n + d kn = n (ak’ + dk) avec ak’ + dk ∈ Z,
donc ac ≡ bd [n].
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Partie B : 1°) 1) N1 = β1α = 11 × 12 2 +1 × 12 +10 = 1584 + 22 = 1606 .
2) 122 < N2 < 123.
N2 = 1 131 = 144 × 7 + 123 = 122 × 7 + 12 × 10 + 3 = 122 × 7 + 12 × α + 3,
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donc N 2 = 7α 3 .
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2°) 1) N = an an −1 ... a1a0 = an × 12 n + ...+ a1 × 121 + a0 × 12 0 = 3( an × 3n −1 × 4 n + ...+ a1 × 4 ) + a0
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Or an × 3n −1 × 4 n + ...+ a1 × 4 ∈ N, donc N ≡ a0 [3].
Un nombre N est divisible par 3 si son chiffre des unités dans son écriture en base 12 est un multiple de 3.
2) Le chiffre des unités de N2 écrit en base 12 est 3, qui est un multiple de 3, donc N2 est divisible par 3.
Un nombre écrie en base 10 est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
N2 = 1 131, or 1 + 1 + 3 + 1 = 6, multiple de 3, donc N est divisible par 3.
3°) 1) 12 = 11 + 1 ≡ 1 [11], donc pour tout i entier naturel, 12i ≡ 1 [11], et donc ai × 12i ≡ ai [11].
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Ainsi N = an an −1 ... a1a0 = an × 12 n + ...+ a1 × 121 + a0 × 12 0 ≡ an + an −1 + ...+ a1 + a0 [11] .
Un nombre N est divisible par 11 si la somme des chiffres de son écriture en base 12 est un multiple de 11.
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β + 1 + α = 11 + 1 + 10 = 22
€ N1 = β1α
22 est un multiple de 11, donc N1 est un multiple de 11.
N1 = 1 606 = 146 × 11, donc N1 est un multiple de 11.
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4°) N = x4 y .
Si N est divisible par 33, alors N est divisible par 3 et par 11.
Donc pour que N soit divisible par 33, il faut que y soit un multiple de 3 et que x + 4 + y soit un multiple
de 11.
Soit k tel que y = 3 k. 0 ≤ y ≤ 11, donc 0 ≤ k ≤ 3.
De plus, il faut que x + y + 4 = 11 k’, avec k’ entier naturel.
• si k = 0 :
y = 0 et x = 11 k’ – 4
0 ≤ x ≤ 11, donc k’ = 1 et x = 7
(7 ; 0) convient.
• si k = 1 :
y = 3 et x = 11 k’ – 4 – 3 = 11 k’ – 7 0 ≤ x ≤ 11, donc k’ = 1 et x = 4
(4; 3) convient.
• si k = 2 :
y = 6 et x = 11 k’ – 4 – 6 = 11 k’ – 10
0 ≤ x ≤ 11, donc k’ = 1
et
x=1
(1 ; 6) convient.
• si k = 3 :
y = 9 et x = 11 k’ – 4 – 9 = 11 k’ – 13
0 ≤ x ≤ 11, donc k’ = 2
et
x=9
(9 ; 9) convient.
S = {(7 ; 0) ; (4 ; 3) ; (1 ; 6) ; (9 ; 9)}
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Les nombres N = x4 y divisibles par 33 sont donc : N = 740 , N = 443 , N = 146 et N = 949 .
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