STRUCTURER L`ESPACE PAR L`ETUDE DES POLYEDRES

STRUCTURER L'ESPACE
PAR L'ETUDE DES
POLYEDRES REGULIERS
III
ISOMETRIES DU CUBE EN 1°S ET TS
ESSAI PEDAGOGIQUE
1
J-P Daubelcour
IREM DE LILLE
3° PARTIE
ISOMETRIES DU CUBE
en 1°S et TS
ESSAI PEDAGOGIQUE
Chapitre I Généralités sur les figures isométriques de l'espace.
Chapitre II Isométries du cube et propriétés des isométries de l'espace
Chapitre III Synthèse sur les isométries de l'espace.
Liminaire
L'objectif est une étude des isométries de l'espace par l'étude des isométries qui agissent sur
une figure : en l'occurrence le cube.
Dans un cadre plus général, il s'agit de réintroduire les figures comme "objet d'étude " de la
géométrie élémentaire au Lycée.
Nous pensons que l'étude des polyèdres, notamment des polyèdres réguliers est une des
façons les plus simples de structurer fortement l'espace : un bon point de départ pour un
enseignement qui veut aller des structures fortes aux faibles, du particulier au général, du
concret à l'abstrait. On commencera par démontrer qu'il n'existe que cinq polyèdres réguliers.
1° PARTIE En premier lieu les lois d'incidences dans l'espace sont découvertes en étudiant
la section d'un cube et d'un tétraèdre régulier par un plan sécant. Puis les définitions et
propriétés concernées sont formalisées.
2° PARTIE En second lieu l'orthogonalité des droites et des plans peut se découvrir en
étudiant le cube et tétraèdre régulier. Le cube donne des situations d'orthogonalité
immédiates, puis le tétraèdre régulier révèle des orthogonalités moins évidentes et qui
nécessitent l'acquisition d'une méthode. L'observation est suivie de la formalisation du
concept d'orthogonalité dans l'espace. Le produit scalaire dans l'espace est défini à cette
occasion.
3° PARTIE Les propriétés des isométries de l'espace sont étudiées à l'occasion de la
recherche des isométries qui conservent le cube. Il ne s'agit pas en terminale S d'une étude
exhaustive allant jusqu'à la classification de toutes les isométries de l'espace ; notamment il ne
sera question ni de déplacement hélicoïdal ni de translation-réflexion. La méthode
d'exposition de ce cours utilise un rythme ternaire : "stade iconographique, celui du dessin et
de la construction", "stade manipulatoire ou calculatoire ", enfin " le stade formel ou la
démonstration"; étapes classiques de la pédagogie de Jérôme Bruner1. Cette méthode permet
l'alternance d'une démarche empirique avec le développement formel des propriétés générales
des isométries de l'espace, au fur et à mesure de leur nécessité pour retrouver les 48 isométries
du cube.
Quant au difficile problème qui consiste à se libérer du "mouvement par superposition" pour
établir un critère d'égalité de deux figures de l'espace, l'originalité de ce travail consiste à
1
J. Bruner fut enseignant à Harvard en 1960. Sa démarche pédagogique, parfois présente dès l'école maternelle, a été
introduite au Lycée en France dans les années 70-80 à une époque où le rôle des calculatrices programmables
cherchait à se définir dans un processus rationnel d'enseignement de l'analyse au Lycée. Le stade "manipulatoire"
est alors celui du calcul.
2
transporter un repère orthonormé ℜ(O, I, J , K) de l'espace et un point M(x,y,z) lié à ce repère
sur un repère orthonormé ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) en remarquant que l'homologue M' de M dans ce
transport a également pour coordonnées (x, y,z) dans le repère.
Cette méthode présente en particulier l'avantage de faire le lien avec l'algèbre linéaire,
après le baccalauréat. En effet on peut constater qu'il est aisé de faire correspondre à
chaque isométrie du cube sa matrice dans une base orthonormée liée au cube.
Les prérequis : Calcul vectoriel et notion de barycentre et d'isobarycentre.
Dans la 1° et la seconde partie de ce cours de géométrie dans l'espace certaines questions ont
déjà été étudiées. Notons les relations d'incidence droites et plans de l'espace, le parallélisme
dans l'espace, l'orthogonalité et le produit scalaire dans l'espace, droites orthogonales, droite
orthogonale à un plan et plans perpendiculaires. Notons également les problèmes
d'équidistance avec : plan médiateur d'un segment, axe d'un carré ou d'un triangle équilatéral,
repères orthonormés de l'espace. Enfin la notion de transformations de l'espace a été
rencontrée à l'occasion des translations de l'espace, de la symétrie par rapport à un plan P
dite ici " réflexion de miroir P", de la symétrie-point dans l'espace. Enfin la composition des
transformations de l'espace et les groupes de transformations sont évoquées à propos du
groupes des translations et des , groupe des homothéties- translations de l'espace.
3
CHAPITRE I
GENERALITES SUR LES FIGURES
ISOMETRIQUES DE L'ESPACE
I Axiomes définissant la relation d'égalité entre deux figures invariables de l'espace.
(Axiomes d'égalité par coïncidence).
• Par expérience, les corps solides ou indéformables se distinguent des corps fluides ou
déformables. Un objet métallique maintenue à température constante et non soumis à des
forces de déformation est un corps solide. Donc un corps solide est constitué de points tels
que la distance entre deux points donnés A et B existe est demeure constante. Si l'on
idéalise un corps solide, on obtient une figure invariable : ainsi un fil métallique idéalisé
est l'image d'une ligne ; une tôle métallique mince idéalisée est une l'image d'une surface ;
une règle métallique idéalisée est l'image d'un parallélépipède rectangle.
• Plus généralement soit une figure invariable S qui idéalise une salle de classe(un corps
solide)et la figure invariable F qui idéalise une règle métallique R tenue à un endroit
précis de cette salle par un élève. Soumis par l'élève à un mouvement quelconque, ce
solide R peut occuper plusieurs positions distinctes R', R"… par rapport à la salle S, plus
précisément par rapport à un repère orthonormé ℜ lié à S. Lorque ce solide R a quitté la
position initiale pour R', on sait dire où il se trouvait avant par rapport au repère ℜ , et où
ce trouvait un point précis de R : ainsi explique-t-on la notion de point M lié à un corps
solide, puis par abstraction la notion de point M lié à la figure invariable F. Par la
définition des figures, nous entrons ainsi dans le domaine de la géométrie de l'espace.
• A deux positions R' et R", lors du mouvement dans l'espace, de la règle R sont ainsi
associées deux figures invariables F' et F" : chaque point précis M' lié à F' peut venir en
coïncidence par ce mouvement avec un point précis M'' de F" : on dira que ces deux
figures "géométrique" invariables sont égales. Si la coïncidence point par point des
deux solides est irréalisable matériellement, nous convenons qu'elle soit possible pour les
figures géométriques idéales dont ces solides sont les images
• De même, considérons deux objets solides issus du même moule, ils sont images de deux
figures invariables ; de même que nous disons que les objets sont égaux, nous dirons que
les deux figures invariables ou "figures géométriques" associées sont égales.
Donc deux figures géométriques F' et F" sont égales si elles ont pour images deux positions
d'un même corps solide ou de deux corps solides issus du même moule.
• Désormais E désigne l'ensemble des points de l'espace idéalisation de l'espace
physique. Considérons les figures géométriques de l'espace dites simplement figures. La
relation d'égalité par superposition entre deux figures de l'espace est définie ainsi:
Définition 1 La figure F' de l'espace E est égale à la figure F" si on peut amener par un
mouvement dans l'espace F' en coïncidence point par point avec F".
Si F'est égale à F", tout point M' de F' peut venir en coïncidence avec un point M" de F" :le
point M" est l'homologue du point M'. Evidemment une partie donnée de F' vient en
coïncidence avec la partie "homologue" de F".
Propriété 1. La relation "égale par superposition" entre les figures géométriques est
réflexive, symétrique et transitive : c'est donc une relation d'équivalence.
La démonstration est aisée. En particulier la symétrie implique : si F' est une figure égale à F"
alors F" est égale à F : on peut donc dire que les figures F' et F"sont égales
Citons les autres axiomes les plus usuels : deux segments de même longueur sont des
figures égales.. Deux droites de l'espace sont deux figures égales, deux axes
4
x'1 O1x1 et x '2 O 2 x 2 sont deux figures égales ; de même: deux demi-droites. Deux plans de
l'espace sont deux figures égales.1 ci-jointe sont représentées deux figures qui sont les images
dans l'espace d'un même cube solide indéformable ; M un point du premier cube bleu et M' la
position de M après le déplacement de ce cube jusqu'au cube rouge. C'est ainsi qu'il est
possible d'envisager pour des solides de l'espace une coïncidence pont par point.
Figures 1 , 2, 3 et 4
II Orientation de l'espace. Repères orthonormés de même sens.
L'espace E1 est orienté lorsqu'on a choisi parmi les repères orthonormés2 de l'espace E (ou
simplement cartésiens) de désigner ceux qui sont de sens direct par la règle du bonhomme
d'Ampère rappelée ci-dessous sur la figure 2 : RAPPEL. Soit un repère cartésien R (OX,
OY, OZ) de l'espace et un "bonhomme" placé selon l'axe Z'OZ et regardant le plan XOY : si
le demi-axe OX est à sa main droite (figure 2) alors le repère est de sens direct, sinon il est dit
de sens rétrograde ou indirect. Orienter l'espace E c'est faire ce choix.
Théorème 1 (admis). On admet que ce procédé détermine une partition des repères
orthonormés de l'espace en deux classes ; ceux qui sont de sens direct et les autres qui sont
de sens rétrograde (ou indirect).
Si on considère uniquement les repères orthonormés dans l'espace orienté E, un plan
P( OIJ) de E est orienté de façon compatible par le choix d'une demi-normale dite positive.
Sur la figure 3 le repère orthonormé ℜ(O, I, J , K) est de sens direct : le plan P = (OI J)étant
1
E qui a pour image l'espace physique est muni d'une distance : la distance euclidienne.
Un repère orthonormé de l'espace est une " figure géométrique" indivisible. Les axes x'Ox, Y'Oy et Z'Oz sont
des parties de cette figure, notons surlces axes les points O, I, J, et K qui sont des points de cette figure. IL est
donc légitime d'envisager la relation d'égalité sur les repères orthonormés de l'espace.
2
5
→
orienté par le choix de la demi-normale [ OK ), le repère R(OIJ) est donc de sens direct. Sur la
figure 4, ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) est de sens indirect.
Propriété 2. Deux repères orthonormés ℜ( O, I, J , K) et ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) de l'espace orienté E
de même sens sont des figures géométriques égales.
Considérons deux repères deux orthonormés de sens directs ℜ( O, I, J , K) et ℜ' (O' , I' , J ' , K' )
(fig 3). La preuve est identique pour deux repères de sens indirects.
Les triangles isocèles rectangles OIJ et O'I' J' ayant leurs trois côtés égaux sont égaux, ils
peuvent donc coïncider, un mouvement amène O en O', I en I' et J en J'. Soit K1 la nouvelle
position de K dans ce mouvement : les repères ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) et ℜ1 (O' , I' , J ' , K1 ) sont
orthonormés et de même sens, les droites (O'K') et (O' K1 ) orthogonales en O' au plan (O' I'J')
sont confondues. Les repères ayant même sens les vecteurs unitaires de cette droite qui

→

→
portent la demi-normale positive au plan (O' I'J') sont égaux, O' K' = O' K1 donc les points
K' et K1 coïncident. Ce mouvement a donc amené en coïncidence ℜ( O, I, J , K) et
ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) , ils sont donc égaux.
III Critère de "l'égalité de deux figures "dans l'espace.
Définition 2. Un repère orthonormé ℜ( O, I, J , K) de l'espace E orienté est lié à une figure F
non incluse dans une droite de E si et seulement si les points O, I, et J, sont trois points
fixes de la figure F et si K est un point de l'espace E tel que ℜ( O, I, J , K) soit un repère
orthonormé de l'espace.
On suppose que la figure F n'est pas réduite à une droite. Les points O, I et J étant choisis dans
la figure F de façon que le triangle (IOJ) soit isocèle rectangle, il existe un point K et un seul
de l'espace, non nécessairement sur F tel que le repère orthonormé ℜ( O, I, J , K) soit de sens
→

→

direct. Le point K n'est pas nécessairement sur F. Le point K' définit par OK' = − OK définit
un repère orthonormé ℜ(O, I, J , K' ) de sens indirect lié à la figure F.
Si la figure F de l'espace est une partie d'une droite D, il suffit de choisir deux points O et I sur
F tels que OI = 1 et tout repère ℜ( O, I, J , K) orthonormé direct sera dit lié à la figure F.
Pour ne pas alourdir l'exposé non écartons désormais ces types de figures sur une droite.
Théorème 1. Une figure F de l'espace orienté E est égale à la figure F' si et seulement il
existe une correspondance1 point par point de F sur F' telle que, si O, I, et J sont trois
points non alignés de F tel que (IOJ) soit un triangle isocèle rectangle, ℜ( O, I, J , K) un repère
orthonormé de sens direct lié à la figure F et M un point variable de F ; leurs homologues,
O', I', J', K' et M', satisfont aux conditions suivantes :
i) ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) est un repère orthonormé de sens direct de l'espace E lié à la figure F'
ii) Si M a pour coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ( O, I, J , K) alors son homologue M' a
également pour coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) .
La symétrie de la relation "égalité par superposition" entraîne que sous les mêmes hypothèses
que ci-dessus F' est égale à F
1
De telle correspondance existe : par exemple une translation de l'espace.
6
1) Si une F est égale à F', par définition on peut amener en coïncidance point par point F sur
F'. Alors un repère orthonormé direct choisi lié à la figure F et un point M quelconque de F
vont venir coïncider respectivement avec un repère orthonormé direct lié à F' et avec M' de F'
tel que les relations i) et ii) sont réalisées.
2) Réciproquement si les conditions i) et ii) sont réalisées, puisque que le repère ℜ( O, I, J , K)
orthonormé de sens direct lié à F est une figure égale (propriété 2 ci-dessus) au repère
ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) lié à F' ; on peut faire
coïncider par mouvement dans l'espace
ℜ( O, I, J , K) avec ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) : O vient en O', I en I', J en J' et K en K'. Soit M1 la
nouvelle position d'un point M quelconque de F dans ce mouvement ; d'après ii) M1 a pour
coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ ' , les points M1 et M' ayant même coordonnées dans ℜ '
sont confondus et donc dans ce mouvement, M vient coïncider avec M'. On a donc réalisé la
coïncidence point par point de F avec F', ainsi F est une figures égale à F'.
La symétrie de la relation "d'egalité des figures " implique que si F est "égale "à F', alors F'
est aussi "égale" à F. Donc les conditions du Théorème 1 sont réalisées: ceci suppose donc
qu'il existe aussi une correspondance point par point entre les points de F' (par exemple celle
qui à M' deF' fait correspondre M de F dans l'énoncé du Th1)et les points de F et les
propriétés i) et ii) adaptées sont encore vraies.
REMARQUE . Ce théorème permet d'établir l'égalité de deux figures F et F' de l'espace
sans qu'il soit nécessaire désormais de faire référence à l'égalité par superposition, c'est à dire
au mouvement ; il suffit de trouver "une correspondance point par point" entre F et F'
tel que les conditions i) et ii) soient réalisées.
IV Relation "Figures isométriques" entre les figures de l'espace.
Dans deux figures égales F et F', deux segments homologues puiqu'ils peuvent coïncider ont
même longueur. Inversement, considérons deux figures F et F' qui se correspondent point
par point de manière que la distance de deux points quelconques M et N de F soit égale à la
distance de leurs homologues M' et N' de F' ; que peut-on dire de ces deux figures ?
Notons que de telles figures existent ; d'abord bien entendu deux figures égales, mais aussi
deux figures symétriques par rapport à un point ou à un plan ; dans ces deux derniers cas F
est isométriques à F', mais F ne peut pas être coïncider avec F' (cf. figure 5).
Définition. 3 On dit que la figure F et isométrique à la figure F' de l'espace lorsqu' il existe
une correspondance point par point de F sur F' de manière que la distance de deux
points M et N quelconques de F soit égale à la distance des deux points M' et N' homologues
de F'.
Propriété 3. La relation "isométriques" entre les figures de l'espace est une relation
d'équivalence. La symétrie implique que si F est isométrique à F' alors F' est isométrique à F
On dira que les figures F et F' sont isométriques.
Propriété 4. L'image d'un repère orthonormé ℜ( O, I, J , K) de l'espace orienté E par la
réflexion p par rapport au plan (OIJ) est un repère orthonormé ℜ' (O, I , J , K' ) de sens contraire
: On dit que le repère ℜ( O, I, J , K) est une figures isométrique et inégale à ℜ' (O, I , J , K' ) car
ils ne sont pas superposables. Si M a pour coordonnées (x,y,z) dan ℜ alors p( M ) = M' a les
mêmes coordonnées dans ℜ '. (cf. figure 5)
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Preuve. Le plan xOy étant le miroir de la réflexion (figure 5), si le repère orthonormé
ℜ( O, I, J , K) est de sens direct alors ℜ' (O, I , J , K' ) est de sens indirect puisque les vecteurs

→

→
unitaires OK et OK' des deux demi-normales du plan (OIJ) sont opposés : les deux repères ne
peuvent coïncider, la condition i) n'est pas réalisée.
figure 5
Figure 6
Exemple : Considérons une figure simple : soit F est une pyramide OABC qui réalise un
trièdre trirectangle en O avec OA=3, OB=4 et OC =2. (cf fig6). Soit ℜ( O, I, J , K) un repère
orthonormé direct lié à la figure F tel que les vecteurs OI, OJ et OK soient respectivement
colinéaires à OB, OC et OA (cf.figure6). L'image de F' par la réflexion s de miroir (xOy) est
la pyramide OA'BC. Si l'on applique à cette dernière le mouvement de rotation d'un demitour autour de x'Ox : O et B sont invariants, A' vient en A mais C vient en C 2 (cf figure6).
Ainsi on obtient OAB C 2 qui ne peut coïncider avec OABC ; en effet les deux pyramides ont
une face en commun AOB mais C et C 2 sont symétriques par rapport à O donc distincts.
Remarquons que le repère orthonormé ℜ( O, I, J , K) attaché à la figure F et son image par s
ℜ' (O, I , J , K' ) attachée à F' sont de sens contraires. Ceci nous amène à poser plus généralement
:
définition 4. Une figure F de l'espace E est isométrique et inégale à la figure F' si et
seulement si F" symétrique de F par rapport à un plan est une figure égale à F'.
On démontre aisément que la figure F a pour image par une symétrie point ou une réflexion
plane une figure F' isométrique et inégale.
Propriété 5. La relation "isométriques et inégales " entre les figures de l'espace est une
relation symétrique , non réflexive et non transitive. La symétrie implique que si F est
isométrique et inégale à F' alors F' est isométrique et inégale à F
On dira que les figures F et F' sont isométriques et inégales.
La démonstration porte sur le sens des repères orthonormés.
D'où le critère.
8
Théorème 2. Une figure F de l'espace orienté E est isométrique et inégale à la figure F' si
et seulement s'il existe une correspondance point par point de F sur F'de manière que,
si O, I, et J sont trois points non alignés de F tel que (IOJ) soit un triangle isocèle rectangle,
ℜ( O, I, J , K) un repère orthonormé de sens direct lié à la figure F et M un point variable de
F ; Alors leurs homologues, O', I', J', K' et M', satisfont aux conditions suivantes :
i) ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) est un repère orthonormé de sens indirect de l'espace E lié à la figure
F'
ii) Si M a pour coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ( O, I, J , K) alors M' a également
pour coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) .
a) Si F figure de l'espace orienté E est isométrique et
inégale à F' par définition F" symétrique de F par une réflexion plane est égale à F'. Donc un
mouvement de l'espace amène en coïncidence point par point F" sur F'.
Soit la réflexion p de miroir (OIJ), posons F" = p(F) : elle transforme un repère orthonormé
direct ℜ( O, I, J , K) = ℜ lié à F en un repère orthonormé indirect ℜ1 = ℜ(O, I, J, K 1 ) lié à F".
Et pour tout point M de F de coordonnées (x,y,z) dans ℜ : M 1 = p(M), et les coordonnées du
point M 1 de F"sont également (x,y,z).
Par la définition 4, F" est une figure égale à F', dont le théorème 1 implique qu'il existe une
correspondance point par point de F" sur F' vérifiant i) et ii) : dans cette correspondance,
ℜ(O, I, J, K 1 ) indirect lié à F" vient coïncider point par point avec un repère orthonormé
ℜ' (O' , I' , J ' , K' ) = ℜ ' indirect lié à F'. Tout point M de F" vient coïncider avec M' de F'
1
dont les coordonnées dans ℜ ' sont également (x,y,z). Par composition, il existe bien une
correspondance point par point de F sur F' vérifiant i) et ii) du Théorème 2.
b) Rappel : dans les prérequis de cette étude, la
définition du produit scalaire donne pour la distance dans un repère orthonormé de l'espace :
2
2
2
2
MN = ( x '− x ) + ( y'− y) + (z'− z)
Réciproquement : Si les hypothèses du Théorème2 sont satisfaites pour deux figures F et F',
les figures F et F' sont isométriques. En effet, soient M (x,y,z) et N (x',y',z') deux points de F,
et M' et N' leurs homologues respectifs de F', ils ont respectivement les mêmes coordonnées
que M et N donc M'N' =MN (cf.le rappel ci-dessus ). Cependant ces figures F et F' ne sont pas
égales car les repères liés à F et F' sont de sens contraireset ne peuvent coïncider donc F etF'
non plus. F et F' sont des figures isométriques et inégales.
Désormais ce théorème permet d'établir qu'une figure F de l'espace orienté E est
isométrique et inégale à une figure F' sans faire appel au mouvement.
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Chapitre II
ISOMETRIES DU CUBE
1° Partie : CONSTRUCTION ET ETUDE SOMMAIRE DU
CUBE
I L'observation et manipulation de l'objet cube.
Le patron du cube (fig 7) indique à l'élève comment il peut réaliser la
construction du cube par collage. On suppose pour des raisons de commodité
justifiées ultérieurement que la longueur du côté est 2 dans l'unité choisie. Après
collage on obtient "l'objet cube" représenté sur la figure 8. Pour représenter les
figures de l'espace nous utilisons la perpective cavalière.
L'observation des figures 8, 9, 10 et 11 et 12 donnent immédiatement les
résultats suivants : "le cube a huit sommets S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , S6 , S7 , S8 ; 12 arêtes
telle que [S1S2 ] ; 6 faces telle S1S2S3S4 ". Le segment [S1S3 ] est la diagonale d'une
face du cube et S1S3 = 2 2 (théorème de Pythagore). Les segments tel [S1S7 ]
joignant deux sommets situés sur des faces non consécutives du cube sont
appelés "diagonales du cube", il y en a quatre et S1S7 = 2 3 . Les faces hachurées
sur les figures 10 et 11 sont respectivement consécutives et opposées.
Sur la figure 12, notons I, J et K les centres respectifs ( point équidistant des 4
sommets d'une face) des trois faces du cube visibles par l'observateur et I1, J 1 et
K1 les centres respectifs des faces opposées aux précédentes. On peut
conjecturer que les droites(I I1), (J J 1 ) et (K K1) sont sécantes en un point O.
Manipulons. Si l'on perce l'objet cube avec une aiguille à tricoter selon la droite
(I I1), on peut conjecturer que (I I1) est orthogonale aux faces avant et arrière du
cube transpercées ; de même pour les droites (J J 1 ) et (K K1) orthogonales
respectivement aux autres faces.
Si l'on perce l'objet cube avec des aiguilles suivant les sommets opposés comme
S1 et S7 , suivant une diagonale, on peut aussi supposer que O appartient
également aux quatre diagonales du cube.
Sur les figures 13 et 14 et 15on observe respectivement en rouge et bleu, lors du
collage pour la construction de l'objet cube, le tétraèdre régulier T1 (S1S3S6S8 )
d'arête 2 2 inscrit dans le cube C sur la figure et le tétraèdre régulier
T2 (S7S2S4S5 ) d'arête 2 2 également inscrit dans le cube C.
Si l'on perce l'objet cube selon S1 et S7 , on peut conjecture que la diagonale
(S1S7 ) est orthogonale en O1 à la face (S3S8S6 ) du tétraèdre régulier
inscrit T1 (S1S3S6S8 ) (fig 13), donc (S1S7 ) serait "l'axe" du triangle équilatéral
S3S8S6 ; c'est à dire l'ensemble des points de l'espace E équidistants des trois
sommets du triangle. De même pour les autres diagonales qui serait les axes des
trois autres faces du tétraèdre inscrit T1. Les mêmes considérations peuvent être
faites pour le second tétraèdre inscrit T2 (S7S2S4S5 ) (fig 14).
10
Figure 7,8 et 9
Figure 10 et 11
11
Figures 12, 13, 14 et 15
∆3
∆2
∆1
12
II Démonstration des conjectures précédentes
a) incidence et distance. Si un point O est équidistant des 8 sommets
du cube, il est nécessairement l'intersection des plans médiateurs P , P' et P''
respectivement des arêtes S1S4 , S1S5 et S1S2 (fig 12 et 13). Ces trois plans
sont également médiateurs des arêtes S2S3 , S3S7 et S7S8 . Donc les points I et
I1 appartiennent au plan médiateur P de S1S4 mais aussi au plan P' médiateur
de S1S5 et la droite (I I1) est l'intersection des plans P et P'. De même la droite
(J J 1 ) est l'intersection des plans P' et P", enfin (K K1 ) est l'intersection des plans
P" et P. Donc O est l'unique point d'intersection des ces trois plans sécants deux
à deux ; on l'appelle le centre du cube. O est aussi le point d'intersection des
droites (I I1), (J J 1 ) et (K K1).
b) orthogonalité. Les trois plans P, P' et P" sont perpendiculaires deux
à deux plans, chacun contenant une droite orthogonale à l'autre. Posons
∆1 = (II1), ∆ 2 = (JJ1) et ∆ 3 = ( KK1) , ∆1incluse dans les plans P et P' est
orthogonale à S1S4 et S1S5 donc orthogonale à la face avant du cube
(S1S4S8S5 ) sur la figure 12. Ainsi les droites ∆ 1 , ∆ 2 et ∆ 3 sont respectivement
orthogonales en I, J et K aux trois faces "visibles" du cube. Ces trois droites
sont également orthogonales en I1, J 1 et K1 aux trois faces du cube
respectivement opposées aux précédentes. Donc (I I1) orthogonale à (S1S4S8S5 )
est aussi orthogonale au plan P' donc aux droites (J J 1 ) et (K K1) incluses dans ce
plan. Ainsi les trois droites ∆ 1 , ∆ 2 et ∆ 3 sont orthogonales deux à deux. Dans le
rectangle S1S2S8S5, le segment [I I1] qui joint les milieux des côtés a donc pour
longueur 2. En regroupant les huit sommets en deux parties de quatre points,
par associativité, leur isobarycentre est le milieu du segment [I, I1] ; de même
c'est aussi le milieu du segment [JJ'] et [KK'] : c'est donc le point O et il vient
OI = OJ =OK = 1. En conclusion (O,I,J,K) est un repère orthonormal de l'espace
E (figure 12). Dans toute la suite du texte, comme nous l'avons défini au
Chapitre I, nous dirons que le repère privilégié ℜ(O, I, J , K) est lié au cube. il y
a d'autres repères orthonormés ainsi liés au cube ; donner d'autres exemples.
Si nous associons les huit sommets du cube deux à deux tels S1S7 , S2S8 etc..par
associativité du barycentre les quatre diagonales du cube sont concourantes en
O. Après avoir montré jusqu'ici l'efficacité des propriétés de distance et
d'orthogonalité dans les démonstrations, nous conjuguerons dans la suite ces
propriétés avec la notion de barycentre.
13
Figure16 Le tétraèdre inscrit T1.
Figure 17 Le tétraèdre inscrit T2
Reprenons les figures 13, 14 et 15 de ce chapitre, les arêtes du tétraèdre T1 sont
les diagonales des carrés formés par des faces du cube : donc elles sont toutes
égales à 2 2 et T1 est régulier. Considérons le sommet S1 de T1 et la face
opposée (S3S8S6 ) du tétraèdre. Le triangle S3S8S6 est équilatéral. Soit L
l'ensemble des points de l'espace équidistants des trois sommets de S3S8S6 : L est
l'intersection des trois plans médiateurs des côtés S3S8 , S8S6 et S6S3 . Ces
plans sont distincts et sécants deux à deux ; de plus S1 et S7 appartiennent à L
donc au trois plans qui sont donc sécants selon la droite (S1S7 ) . La droite L=
(S1S7 ) est appelée l'axe du triangle équilatéral S3S8S6 . Cet "axe" (S1S7 ) est inclus
dans chacun des trois plans médiateurs des côtés donc est orthogonal à chacun
des trois côtés et par suite est orthogonale au plan de la face (S3S8S6 ) du
tétraèdre : c'est une hauteur du tétraèdre régulier, donc également la médiane
issue du sommet S1 . Elle perce le plan du triangle S3S8S6 en O1 ; ce point O1 est
le centre de gravité du triangle équilatéral S3S8S6 (fig 16. La diagonale S1S7 du
cube est donc la médiane-hauteur du tétraèdre T1 : pour les mêmes raisons les
diagonales du cube issues des sommets S6 , S3 et S8 sont les autres médianes du
tétraèdre régulier T1, donc elles sont sécantes au point de concours O des
diagonales du cube. Le point O est donc aussi le centre de gravité de T1. Nous
savons que O est alors au 3/4 de la médiane à partir du sommet S1 ; partageons le
segment S1S7 en six intervalles égaux, O est le milieu et S1O1 = 4/6S1S7 =2/3S1S7
(cf fig16).
La même étude faite avec l'autre tétraèdre inscrit T2 conduit au résultat analogue
suivant : S1S7 est médiane-hauteur du second tétraèdre et perce le plan (S2S4S5 )
14
en O2 centre de gravité du triangle équilatéral S2S4S5 , de plus S1O 2 = 1/3S1S7 (cf
fig 17). On peut énoncer la propriété suivante pour le cube :
Propriété. Le cube contient deux tétraèdres réguliers inscrits T1 et T2 dont les
sommets sont communs avec ceux du cube (figures 16 et 17). Chaque diagonale
du cube est une médiane-hauteur des deux tétraèdres, les centres de gravité des
tétraèdres sont confondus avec O le centre du cube. Soit une diagonale du cube
telle (S1S7 ) et les points O, O1 et O2 respectivement isobarycentres du cube, et
des triangles équilatéraux S3S8S6 et S2S4S5 . Ces points
sont tels que ::
SS
S7O1 = O1O2 = O2S1 = 1 7 .
3
Considérons le repère orthonormé ℜ(O, I, J , K) lié au cube,
conduits à donner une nouvelle définition du cube
nous sommes
Définition. Soit le cube C de côté 2 et ℜ(O, I, J , K) le repère orthonormé lié au
cube (figure12). Pour tout point M de l'espace E1 :
M( x, y, z) ∈C ⇔ − 1 ≤ x ≤ 1 ; − 1 ≤ y ≤ 1 ; − 1 ≤ z ≤ 1.
On considèrera ces relations comme les équations du cube C dans le repère
orthonormal ℜ(O, I, J , K) . Il est évident que les équations sont les mêmes pour
tout repère orthonormé construit à partir de l'origine O et des points I, J, K, I1 J 1
et K1.
1
Rappelons que l'espace E désigne une représentation mentale de l'espace physique. C'est un ensemble de points.
15
2° partie :
ISOMETRIES DU CUBE DIRECTEMENT
DEDUITES DE L'OBSERVATION
On considère dans un premier temps qu'une isométrie conserve le cube si et
seulement si elle conserve l'ensemble des huit sommets du cube. Nous verrons
dans la suite à élargir cette définition à tous les points du cube.
Les réflexions planes et les symétries- point ont été définies lors du chapitre sur
" l'orthogonalité dans l'espace". Précisons la définition d'une rotation autour d'un
axe d'une fraction de tour dans l'espace orienté E.
figure 18

→
Définition. Soit une droite D orientée par le vecteur unitaire k = OK et un réel θ ,
on appelle rotation f de l'espace orienté E d'axe D( k ) et d'angle θ une
application de E dans E qui laisse invariant tout point de D ; si M n'est pas sur
D, soit π le plan orthogonal en O à D, passant par M. Le plan π est orienté de
façon compatible par la demi-droite [OK) (la demi- normale positive). Alors
M' = f(M) est l'image de M par la rotation plane de centre O et d'angleθ . (figure
18 ci-dessus). L'application Identique de E sera considérée comme une rotation
d'axe quelconque et d'angle nul.
A - Recherchons les réflexions par rapport à un plan de l'espace E qui
conservent le cube par simple lecture des figures 12, 13 et 15 ; c'est à dire par
l'observation. Le centre O du cube est équidistant des 8 sommets donc toute
isométrie le transforme en un point équidistant des 8 sommets, c'est
nécessairement lui-même ; O est invariant par toute isométrie qui conserve le
cube
a) Il y a trois façons immédiates de "couper le cube en deux" :
(cf fig 19) par les trois plans médiateurs des trois arêtes issues de S1 , ceci donne
les trois réflexions par rapport aux trois plans médiateurs des arêtes
S1S2 , S1S4 et S1S5 . Leur action évidente sur les 8 sommets permet de prouver
qu'elles conservent le cube C.
b) On peut aussi couper le cube en deux (cf fig 19 et 20) par
les plans tel π = (S1S3S7S5 ) qui est défini par les deux diagonales S1S3 et S5S7 de
deux faces parallèles du cube. Appelons f la réflexion de miroir π , les quatre
sommets S1 , S3 , S7 et S5 sont invariants et les quatre autres sommets s'échangent
16
ainsi f (S4 ) = S2 , f (S2 ) = S4 , f (S8 ) = S6 et f (S6 ) = S8 ; on conclut que f conserve
les 8 sommets donc le cube. Il y a deux tels plans par paire de faces opposées ce
qui fait donc six plans et donc six nouvelles réflexions planes qui conviennent.
Ainsi on compte immédiatement 9 réflexions par rapport à un plan conservant
globalement le cube. Ces plans sont les plans médiateurs des arêtes du cube et
les plans médiateurs des diagonales des faces du cube.
B- Recherchons les rotations autour d'un axe qui conservent le cube par
simple lecture des figures 12, 13, 14, 15,16 et 17 et par manipulation du cube.
L'objet cube construit se prête à la rotation autour d'une aiguille à tricoter qui le
perce. Ayant ainsi percé "l'objet cube " construit dans la 1° partie, la question
est : quelles sont les positions de l'axe-aiguille et la fraction de tour associée
pour qu'il y ait conservation des 8 sommets ?
Puisque le centre O du cube est invariant on peut conjecturer que les axes des
rotations passent par O. Si l'axe-aiguille passant par O ne rejoint aucun sommet,
aucun sommet ne sera "invariant". Dans ce cas pour des raisons de conservation
des distances on peut conjecturer cet axe doit joindre O à un point équidistant
de deux ou plusieurs sommets du cube.
a) Il est évident que les axes ∆ 1 , ∆ 2 et ∆ 3 joignant le centre
O du cube au centre d'une face du cube conviennent chacun pour un quart de
tour de sens direct et un quart de tour de sens rétrograde (cf figure 21) . En
effet soit f le quart de tour direct autour de ∆1 : f (S1 ) = S4 , f (S4 ) = S8 , f (S8 ) = S5
f (S2 ) = S3 , f (S3 ) = S7 , f (S7 ) = S6 et f (S6 ) = S2 . On compte six telles rotations.
Ces mêmes trois axes conviennent également pour un demi-tour (cf figure 22)ce
qui ajoute trois autres rotations. Ce qui fait 9 rotations.
b)
Figure 18 bis
Si l'axe-aiguille est distinct de
∆ 1 , ∆ 2 et ∆ 3 et ne rejoint aucun sommet,
peut-il être l'axe d'une rotation cherchée ?
Nous avons conjecturé qu'il doit passer par
un milieu. En suivant cette idée, sur la
figure 18 bis, l'élève est guidé vers les
droites telle (AB) qui joignent les milieux
de deux arêtes opposées ; Soit f le demitour d'axe (AB), il est évident que les
quatre sommets S4 , S3,S5 et S6 sont
échangés deux à deux. Pour l'action de f
sur les autres sommets on propose
l'exercice suivant :
17
Figure 19
Figure 20
Figure 21
18
Figure 22
Figures 23 et 24
19
Exercice. Démontrons. Les notations sont celles de la figure 23. Soit f la
rotation dans l'espace d'axe ( M 26 M 48 ) et d'angle π , on l'appelle un demi-tour
d'axe ( M 26 M 48 ).
1° Démontrer que la droite ( M 26 M 48 ) est orthogonale au plan (S1S3S7S5 ).
2° En remarquant que ce plan est stable par f, préciser la rotation plane r qui est
la restriction de f à ce plan (S1S3S7S5 ) ?
3° En déduire que f conserve le cube C.
Il y a trois paires d'arêtes parallèles et non consécutives dans le cube C ; donc il
y a six demi-tours tels que f qui conviennent.
c) Manipulation. Si l'axe-aiguille passe par un sommet c'est
nécessairement une diagonale du cube telle (S1S7 ) puisqu'il passe aussi par O.
Existe-t-il une fraction de tour qui permet de conserver globalement les 6
sommets restant du cube ? En manipulant l'objet "cube" par rotation d'axe (S1S7 )
on peut conjecturer qu'un tiers de tour conviendra.
Observation de la figure. Nous pouvons poser cette question en l'accompagnant
de l'œuvre suivante du peintre Vasarély1 que nous nous autorisons à appeler par
commodité la figure 25 Si nous "regardons dans le plan" l'objet central de la
figure 25 et le contour extérieur, ils représentent respectivement un petit
hexagone régulier et un plus grand dont le centre est le point central et dont les
côtés sont parallèles deux à deux. Si l'on "regarde dans l'espace " la figure 25, le
petit et le grand hexagone représentent respectivement un petit et un grand cube
de même centre. Les projections orthogonales respectives de ces deux cubes sur
un plan orthogonal à une diagonale commune telle (S1S7 ) sont les deux
hexagones précédents. Puis le peintre choisit trois nuances distinctes de trois
couleurs partageant la figure en trois régions voisines et superposables dont les
frontières sont les trois arêtes issues d'un sommet tel S1 .
En second lieu, à l'intérieur du contour hexagonal, il crée l'effet de rotation d'un
solide par la déformation continue des petits cubes qui pavent le grand. Si l'on
s'en tient à la figure plane, la rotation plane dont le centre O' est la projection
orthogonale du centre O du grand cube et des deux sommets opposés tels
S1 et S7 sur le plan du tableau et dont l'angle est un tiers de tour dans le sens
direct conserve cet hexagone. Si l'on revient à l'espace sur la même figure 25, on
peut conjecturer que la rotation f d'axe (S1S7 ) et d'un tiers de tour dans le sens
direct conserve les 6 sommets restants qui se projettent suivant les sommets de
l'hexagone régulier. La rotation g de même axe et d'un tiers de tour dans le sens
rétrograde convient également. Ceci ajoute huit rotations supplémentaires d'axes
respectifs (S1S7 ), (S2S8 ) , (S3S5 ) et S4S6 dont on peut conjecturer qu'elles
conviennent.
1
Tirée d'une carte postale représentant une œuvre du peintre Vasarély exposée au Musée "Vasarély "de Gordes
en Haute -Provence.
20
Figures 25 et 26
21
Figure 27 et 28
22
d) Démontrons cette propriété du cube en considérant les
tétraèdres T1 et T2 inscrit dans le cube à partir de l'observation des figures 14 et
15, la diagonale (S1S7 ) est hauteur-médiane pour chacun des deux tétraèdres
réguliers.
Nous avons démontré (1° partie § II, fig16 et 17) que la même droite
→

orientée (S7S1 ) est "l'axe" des triangles équilatéraux t 1 = S3S8S6 et t 2 = S2S4S5 de
centre O1 et O2 . Elle est orthogonale respectivement en O1 et O2 aux plans de
ces triangles, lesquels sont donc parallèles. Ces triangles t 1 et t 2 sont inscrits
respectivement dans deux cercles Γ1 et Γ2 de centres respectifs O1 et O 2 (voir
Γ1 et Γ2 sur la figure 29 ). Orientons de façon compatible les plans π1 et π 2 de

→
ces triangles par la demi-normale S7S1 .
Reprenons la démarche du peintre (figures 25, 26, 27 et 28), projetons
orthogonalement le cube sur le plan π médiateur du segment [S7S1 ] (en vert sur
la figure 29).
Ce plan π est perpendiculaire à la diagonale (S7S1 ) ; les sommets S1 et S7 se
projettent en un point O = O' = S1' = S'7 . Les plans π1 et π 2 parallèles à π se
projettent selon le plan π et les triangles équilatéraux t 1 et t 2 situés
respectivement dans ces deux plans π1 et π 2 et les cercles circonscrits Γ1 et Γ2
se projettent en vraie grandeur selon 2 triangles t 1' (S'3S8' S'6 ) et t '2 (S'2S'4S5' )
équilatéraux inscrits dans un cercle Γ de centre O' (fig 30). Le plan Q =
(S1S3S7S5 ) qui contient deux arêtes opposées est perpendiculaire au plan π car il
contient la droite (S1S7 ) orthogonale à π : ce plan se projette donc sur π selon la
droite (S'3S5' ). Le plan Q passant par O, sa projection (S'3S5' ) passe donc par O =O'
le centre de Γ .
Ainsi (S'3S5' ) est un diamètre de Γ . En faisant la même remarque pour les autres
paires de sommets de l'hexagone, S8' et S'2 sont également diamétralement
opposés sur Γ , ainsi que S'6 et S'4 . Donc la symétrie centrale SO' dans le plan π
transforme le point S'3 en S5' et le triangle équilatéral t 1' (S'3S8' S'6 ) en un triangle
équilatéral également inscrit dans Γ ; il s'agit du triangle t '2 (S'2S'4S5' ) .Les
triangles équilatéraux t 1' (S'3S8' S'6 ) et t '2 (S'2S'4S5' ) étant symétriques par rapport au
centre O' de leur cercle circonscrit, l'hexagone S'2S'3S4' S8' S5' S6' est donc régulier
comme nous l'avions conjecturé sur la peinture (fig 27 et les suivantes).
23
Figure 29 et 30
24
Soit la rotation f d'un tiers de tour dans le sens direct autour de cet axe (S7S1 )
(cf figure 29) , les plans π1 et π 2 des triangles t 1 et t 2 sont orthogonaux à cet axe,
ils sont donc "stables" par f.. On peut donc considérer la rotation plane r
restriction de f à π1 , r a pour centre O1 et pour angle 1/3 de tour dans le sens
direct et le triangle t 1 est globalement invariant par r comme l'exprime la figure
29 ; S1 et S7 sont invariants par f, f (S3 ) = S8 , f (S8 ) = S6 et f (S6 ) = S3 . De la
même façon f a pour restriction au plan π 2 la rotation plane r' d centre O2 et
d'1/3 de tour dans le sens direct, elle permute les sommets du triangle
équilatéral S2S4S5 . Ceci nous permet de conclure que la rotation d'axe (S7S1 )
d'un tiers de tour dans le sens direct permute circulairement les sommets des
deux triangles équilatéraux S2S4S5 et S3S8S6 donc conserve globalement les 8
sommets du cube donc le cube C.
Chaque diagonale du cube donne deux rotations d'un tiers de tour, l'une dans le
sens direct et l'autre dans le sens rétrograde : les quatre diagonales donneront
donc 8 nouvelles rotations conservant le cube.
Propriété. Le cube C se projette orthogonalement sur tout plan orthogonal à une
diagonale suivant un hexagone régulier dont le centre est la projection de cette
diagonale et du centre du cube. Les huit sommets sont globalement invariants
par toute rotation d'un tiers de tour dont l'axe est une diagonale du cube.
C-Bilan de cette première phase observation- manipulation.
Le recensement des isométries de l'espace qui conservent le cube C donne à ce
stade 9 réflexions par rapport à un plan et 23 rotations. Ajoutons l'application
identique Id de l'espace et nous possédons alors 33 isométries conservant le
cube. Faisons le point sur la méthode.
Une observation d'abord naïve puis dirigée comme ci-dessus ne permet guère
d'aller plus avant. On appelle désormais G l'ensemble des isométries qui
"conservent" le cube. Nous pouvons envisager de composer entre elles selon une
"table de Pythagore" les 33 isométries déjà trouvées, le remplissage des trous
donnera de nouveaux éléments de G, mais la démarche sera pénible et longue,
de plus elle ne nous donnera pas la certitude de les avoir toutes. En conclusion il
est donc nécessaire de trouver une méthode pour d'une part déterminer le
nombre d'éléments de G s'il est fini et d'autre part déterminer les éléments
restants distincts des 33 déjà trouvés.
Il devient nécessaire de "formaliser " c'est à dire préciser les définitions naïves
des notions que nous avons rencontré dans la première phase, rechercher leurs
propriétés caractéristiques avec l'ambition de trouver un critère, une condition
nécessaire et suffisante pour qu'une isométrie conserve le cube C. Nous
resterons fidèles à une méthode géométrique fondée sur l'étude des figures.
25
3° partie
FORMALISATION ET RECHERCHE
EMPIRIQUE
Les réflexions planes et les rotations trouvées transforment un sommet en un
sommet du cube, une arête en une arête, une face en une face. Ces isométries
laissent O, le centre du cube, invariant. On peut conjecturer qu'elles
transforment une droite en une droite, un segment en un segment et un plan en
un plan. Est-ce là une propriété de toute isométrie de l'espace ?
Nous appelons E l'espace, l'ensemble de points qui est une image mentale de
l'espace physique. On suppose E muni d'une distance, le produit scalaire

→ 
→
euclidien est alors défini par AB. AC = AB. AC cosθ où θ est la mesure en radian
de l'angle géométrique
,BAC. Comme dans le plan c'est une forme bilinéaire
symétrique et positive (voir le cours sur l'orthogonalité dans l'espace).

→

→
∀( M, N ) ∈ E × E d ( M, N ) = ( MN ) 2 = MN
Pour simplifier l'écriture nous noterons selon l'usage d ( M, N ) = MN . Nous
identifierons dans le vocabulaire le réel positif MN à la mesure de la longueur
du segment [M,N].
I Distance et isométries : formalisation
Définition 1. On appelle isométrie de l'espace E toute application f de E dans E
qui conserve la distance. Si ℑ désigne l'ensemble des isométries de l'espace E
l'équivalence suivante est vraie: f ∈ℑ ⇔ ∀( M, N ) ∈ E × E, f ( M) f ( N ) = MN
Propriété 1. Pour toute isométrie f de ℑ : Si M ≠ N alors f ( M) ≠ f ( N ) . On dit
que f est injective.
En effet par contraposée : Si f ( M) = f ( N ) alors f ( M) F( N ) = 0 donc MN = 0 et
M=N.
Propriété 2. L'image d'un segment par une isométrie est un segment de même
longueur.
Etude directe. Soit le segment [A,B] et l'isométrie f. Par définition d'un segment1
M ∈ A , B ⇔ AM + MB = AB . La conservation de la distance entraîne pour les
images respectives de A, B et M par f : A'B'=AB et A ' M'+ M' B' = A ' B' . Cette
dernière égalité signifie que M' ∈ A ' B' . Donc f ( A , B ) ⊂ A ', B' (1).
1

→
Vectoriellement un segment est ainsi défini : A , B = M ∈ E / AM = t AB ; t ∈
définition en terme de distance
0,1
qui équivaut à la
26
Figure 31
Etude réciproque. (figure 31) Soit M'
un point du segment [A',B'] ; soit M
l'unique point de [A,B] tel que
AM=A'M', soit M" son image par f,
l'étude directe nous dit que
M"
appartient au segment [A',B'] alors
A'M" = A'M' donc M"=M'. Ainsi Tout
point M' de[A',B'] est l'image d'un
point unique M de [A,B]. D'où
l'inclusion [A',B']⊂ f ( A , B ) (2)
Les inclusions (1) et (2) entraînent l'égalité [A',B'] = f ( A , B )
Propriété 3. Toute isométrie de l'espace conserve le milieu d'un segment.
C'est une conséquence immédiate de la propriété précédente.
Propriété 4. Toute isométrie de l'espace transforme une droite en une droite.
Soit la droite D(AB), A ≠ B et l'isométrie f , posons f(A)=A' et f(B) = B'.
A ' ≠ B' d'après la propriété 1( f est injective) . Notons D' la droite (A'B').
Etude directe. Nous savons que Le
segment [A,B] a pour image par f le
segment [A',B']. Soit un point M de D
extérieur au segment [A,B] (fig 34), le
segment [A,M] a pour image un
segment [A', M'], selon la propriété 2 le
point B a pour image un point B" du
segment [A', M'] et sur ce segment
A'B"=A'B'; donc B"=B'. Ainsi A'B'
et M' sont alignés et M' appartient à D'.
Etude réciproque. On s'inspirera
de l'étude réciproque de la preuve de la
proposition 2. Donc D' est l'image de
D par f. (fig 32)
figure 32
27
Propriété 5. Toute isométrie de l'espace transforme un plan en un plan.
figure 33
Soit le plan P défini par les droites D et
∆ sécantes en I. La démonstration est
laissée au soin du lecteur sachant
qu'étant donné un pont M de P, il existe
une
droite
(A,B)
tel
que
A ∈ D, B ∈ ∆ et M ∈(A , B) . (fig 33)
I BIS Retour au cube
L'ensemble des huit sommets du cube est globalement invariant par une
isométrie conservant le cube (figure 12), par définition tout élément de G
transforme un sommet en un sommet. Nous avons appelé diagonale du cube les
segments tel [S1S7 ] de longueur 2 3 , le segment le plus grand inscrit dans le
cube : la conservation de la distance impose que cette diagonale a pour image
une diagonale.
P1. L'image par une isométrie du cube C d'une diagonale du cube est une
diagonale de ce cube.
P2 . L'image par une isométrie du cube C d'une arête est une arête.
P3 . L'image par une isométrie du cube C d'une face du cube est une face.
P4 . Le centre du cube est invariant par une isométrie du cube C.
P5 . L'image par une isométrie du cube C du milieu d'une arête est le milieu d'une
arête.
P6 . L'image par une isométrie du cube C du centre d'une face est le centre d'une
face.
Ces propriétés des isométries du cube sont des conséquences immédiates des
propriétés générales des isométries démontrées au paragraphe I. Pour la preuve
de P3 , remarquons qu'une face est un carré situé dans un plan passant par quatre
sommets, l'image de ce plan par une transformation de G est donc un plan
contenant quatre sommets distincts (propriété 1) formant un carré ; c'est donc
encore une face du cube C. Pour la preuve de P6 , le centre Ω d'une face est
transformé par une isométrie de G en un point Ω ' d'une face équidistant des
quatre sommets de celle-ci, Ω ' est donc le centre de celle-ci.
Reprenons le repère orthonormé direct ℜ(O, I, J , K) lié au cube C dont I est le
centre de la face (S1S4S8S5 ) sur la figure 10. Soit f une isométrie de G, f(I) est
donc le centre de la face ( f (S1 ) f (S4 ) f (S8 ) f (S5 )) . Or les centres des faces sont les
points I, I1, J , J 1, K, K1 sur la figure 12. On en déduit la propriété suivante où O
est le centre du cube C :
28
P7 . L'espace orienté E étant rapporté au repère orthonormé direct ℜ(O, I, J , K)
lié au cube C : Si f est une isométrie de G, I le centre de la face (S1S4S8S5 ) et
f(I) = I', f(J)=J' et f(K)=K' ALORS f(O)=O et J ' ∈ I, I1 , J , J 1, K, K1 − I' enfin
K' ∈ I, I1, J , J 1, K, K1 − I', J ' et les trois triangles I' OJ ', I' OK' et J ' OK' sont
isocèles rectangles en O.
Preuve : En effet les images I', J' et K' sont nécessairement des centres de l'une
des six faces du cube donc sont à choisir parmi les six points I, I1, J , J 1, K, K1 .
Si l'on tient compte de la propriété 2 des isométries en général (injective), il faut
exclure I' du choix pour f(J) et exclure I' et J' du choix pour f(K), sinon deux
sommets distincts pourraient avoir la même image par f. Il y a donc pour f(I) six
choix possibles, cinq pour f(J) et 4 pour f(K), par suite il y a 6 × 5 × 4 = 120
choix possibles pour l'image du quadruplet (O, I, J, K) par une isométrie de G.
Ainsi G est un ensemble fini d'isométries de l'espace.
Mais les triangles IOJ, IOK et JOK sont isocèles rectangles en O, leurs images
respectives par l'isométrie f de G sont des triangles isométriques donc également
isocèles rectangles en O. Si IOJ a pour image IO I1 par f , f n'est pas une
isométrie conservant le cube ; donc les 120 possibilités ne conviennent pas.
Il est donc nécessaire de formaliser à nouveau, en recherchant cette fois des
conditions sur l'image d'un repère orthonormé par une isométrie.
Ces premiers résultats sur les isométries du cube C posent donc les questions :
• L'espace E étant orienté, l'image ℜ' = f( ℜ(O, I, J , K) ) du repère orthonormé
direct ℜ(O, I, J , K) (fig 12) par une isométrie f de G est-elle un repère
orthonormé ?
• Si oui, deux repères orthonormés ℜ et ℜ' étant donnés existe-t-il une
isométrie f de G transformant ℜ en ℜ ' ?
II Orthogonalité et Isométries de l'espace : formalisation.
Théorème 1. Toute isométrie de l'espace conserve le produit scalaire. Soit deux

→

→
vecteurs u = AB et v = AC de l'espace et une isométrie f tel que f(A)=A',

→

→

→ 
→
f(B)=B' et f(C)=C' alors A ' B'. A ' C' = AB. AC .
Preuve.
La bilinéarité du produit scalaire donne

→

→

→

→ 
→
Puisque BC = AC− AB alors BC2 = AC2 − 2 AC. AB+ AB2 ;

→ 
→
1
il vient donc AB. AC = BC2 − AB2 − AC2 .
2
29
1
B' C'2 −A ' B'2 −A ' C'2 . Or par conservation de la
2
distance par une isométrie : A'B'=AB, A'C'=AC et B'C'=BC . Donc les deux
produits scalaires sont égaux.
Corollaire 1.1 Toute isométrie de l'espace conserve l'orthogonalité de deux
vecteurs, et par suite conserve l'orthogonalité de deux droites.
Corollaire 2.1 Toute isométrie de l'espace conserve le parallélisme de deux
droites et de deux plans.
Les corollaires 1.1 et 2.1 découlent de la conservation du produit scalaire.

→

→
De la même façon A ' B'. A ' C' =
Théorème 21. Si f est une isométrie de l'espace E et ℜ(O, I, J , K) = ℜ un repère
orthonormé de E, ALORS l'image de ℜ'(O', I', J ', K') = ℜ ' par f est un repère
orthonormé de E. De plus tout point M de E de coordonnées (x,y,z) dans le
repère ℜ a pour image par f un point M' qui a les mêmes coordonnées (x,y,z)
dans le repère ℜ '.
Preuve.
Soit ℜ(O, I, J , K) un repère orthonormé et f une isométrie de l'espace. Posons
f(O)=O', f(I)= I', f(J)= J' et f(K)=K'. Par conservation de la distance par f :
OI=O'I'=1, OJ=O'J'=1 et OK=O'K'=1.
Par hypothèse, la droite (OI) est orthogonale aux droites sécantes (OJ) et (OK), f
conservant l'orthogonalité des droites, (O' I') est orthogonale aux droites (O'J')
et (O'K'). En agissant de façon circulaire sur les trois couples de droites formés à
partir de (OI), (OJ) et (OK) ; donc (O'I'J'K') est un trièdre trirectangle. La
conservation de la distance implique O'I' = OI = 1, O'J' = OJ et O'K' = OK et le
résultat est démontré. De plus si M a pour coordonnées (x,y,z) dans ℜ ,

→

→

→

→

→ 
→

→

→

→

→
OM = x OI + y OJ + zOK avec x = OM. OI , y = OM. OJ et z = OM. OK .

→

→

→

→
La conservation du produit scalaire par f donne : x' = O' M'. O' I' = OM. OI = x
, de même y' = y et z' = z. Donc f transforme M de coordonnées (x,y,z) dans ℜ
en un point M' de cordonnées (x,y,z) dans ℜ ' (fig 34). On peut avoir l'intuition
de ce résultat en utilisant le logiciel Géospacw : sur la figure 34 ci-dessous,
sont représentés le point M(-2,5 ;3,3 ; 2,9) et ses projections orthogonales sur
les axes de ℜ ainsi que son image M' par une isométrie quelconque, on constate
que M' a les mêmes coordonnées (-2,5 ;3,3 ; 2,9) dans le repère ℜ ').
1
Cette propriété permetbde démontre aisément que l'aplication vectorielle associée à une isométrie est linéaire.
30
Figure 34
Corollaire 1.2 Toute isométrie de l'espace E est une transformation de E c'est
à dire est une bijection de E sur E. Son application réciproque est une isométrie
de E.
Rapportons l'espace à un repère orthonormal ℜ , son image par une isométrie f
est un repère orthonormal ℜ '. Soit un point quelconque M' de E et ses
coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ ', le théorème 2 nous permet d'affirmer que
M' est l'image d'un point M de coordonnées également (x,y,z) dans le repère ℜ .
Cet antécédent de M' par f est unique d'après la propriété 1(f injective). Cqfd.
f −1 transforme par définition le repère orthonormal ℜ ' en ℜ et si f −1 (M')=M et
f −1 (N') =N alors f(M)=M' et f(N) = N'. f étant une isométrie M'N'=MN, c'est à
dire f −1 (M') f −1 (N') = MN, donc f −1 est aussi une isométrie de E.
Corollaire 2.2. L'image par une isométrie f de l'espace d'une figure F est une
figure "F' isométrique à F ." au sens donné au Chapitre I.
C'est évident par conservation de la distance .
31
On peut conjecturer que les translations et les rotations de l'espace transforment
une figure F en une figure F' superposable donc isométrique et égale. Ce n'est
pas le cas pour les réflexions planes où F et F' sont isométriques et inégales
(Chapitre I). Précisons le vocabulaire.
Propriété . Nos admettrons1 que lorsque l'espace E est orienté, si les repères
orthonormés ℜ et ℜ ' sont de même sens, leurs images respectives f( ℜ ) et f( ℜ ')
par une isométrie f sont aussi de même sens.
Ainsi on peut démontrer le théorème suivant et poser la définition suivante
Théorème 3. Définition 2.
Si une isométrie f de l'espace orienté E est telle qu'un repère orthonormé donné
ℜ de E et ℜ ' = f( ℜ ) sont orthonormés et de même sens Alors tout repère
orthonormé ℜ1 et son image par ℜ1 ' = f( ℜ1 ) ont même sens. On dira que f est
un déplacement de l'espace. Si ℜ ' est de sens contraire, cela reste vrai pour tout
repère ℜ1 st f( ℜ1 )= ℜ1 ' ; alors f est appelé un anti-déplacement de l'espace.
Reprenons le théorème2 (§ III chapitre I ) : soit une figure F et un repère
orthonormé direct ℜ lié à la figure F et f une isométrie de l'espace ; F' = f(F) est
une figure isométrique à F et f( ℜ ) est un repère orthonormé de E lié à la figure
F'. ℜ et f (ℜ) sont deux repères orthonormés (cf. corollaire 12 du Théorème 2)
de l'espace, si de plus ils sont de même sens alors les relations i) et ii) sont
réalisées et les figures F et f(F) sont "égales" (cf Théorème2 §III Chapitre I ) ;
c'est à dire elles sont "superposables" par un mouvement, c'est pourquoi on dira
que l'on passe de F à F' = f(F) par un "déplacement" de l'espace. Si ℜ et f (ℜ)
sont de sens contraires, les conditions i) ii) du Théorème 3(Chap I) sont
réalisées, les figures F et F' sont dites "isométriques et inégales", c'est à dire on
ne peut les superposer par un mouvement, on dira que l'on passe de F à F' par un
"anti-déplacement" de l'espace.
Légitimons ces définitions. Soit une isométrie f de l'espace orienté E qui
transforme un repère orthonormé direct donné ℜ en un repère orthonormé direct
ℜ '=f( ℜ ). Considérons alors un repère orthonormé direct quelconque ℜ1 de
l'espace E et son image ℜ1 ' = f( ℜ1 ) ; le repère orthonormé ℜ1 ' est-il direct ?
Nous avons admis la propriété ci-dessus : si deux repères orthonormés ont même
sens, ici ℜ et ℜ1 sont de sens direct, leurs images respectives par une isométrie
quelconque, ici f, ont même sens. Ainsi f( ℜ ) et f( ℜ1 ) ont même sens donc ℜ1 '=
f( ℜ1 ) est aussi de sens direct. Ceci montre qu'il suffit qu'il y ait conservation du
sens par une isométrie d'un seul repère orthonormé pour que le sens de tous les
repères orthonormés de l'espace soit conservé ; d'où le théorème-définition.
Celui-ci réalise dans l'ensemble ℑ des isométries de l'espace une partition en
ℑ+ , l'ensemble des déplacements et ℑ − ℑ+ l'ensemble des anti-déplacements.
On en déduit une conséquence directe du théorème 2 du §II précédent.
1
2
Ceci suppose la connaissance du produit mixte de deux vacteurs.
cf. théorème 1 chapitre I de cette étude.
32
Détermination d'une isométrie de l'espace
Théorème 4. Etant donné deux repères orthonormés ℜ et ℜ ' de l'espace orienté
E, il existe une isométrie et une seule de l'espace transformant ℜ en ℜ '. Si les
repères ℜ et ℜ ' sont de même sens f est un déplacement, sinon c'est un antidéplacement de E. Ainsi une isométie est déterminée de façon unique par la
donnée de l'image d'un repère orthonormé de l'espace.
Preuve. Soient ℜ(O, I, J , K) et ℜ'(O', I', J ', K') deux repères orthonormés de
l'espace existe-t-il une isométrie f qui transforme ℜ(O, I, J , K) en ℜ'(O', I', J ', K')
?
Analyse. Si f existe, nécessairement O, I , J et K ont pour homologues
respectivement O', I' et J' et K' . Le point K' est tel que : la droite d' passant
par O' et image de la droite (OK) est orthogonale au plan (O' I' J') ; de plus O'K'
= OK =1 par conservation de la distance et de l'orthogonalité. Ceci donne deux
'
→
"
'
→
"
possibilités pour K' : les points K 1 et K 1 sur la droite d' tels que O' K 1 = − O' K 1 ;
ces deux vecteurs opposés étant de longueur 1. Les repères ℜ'(O', I', J ', K1' ) et
ℜ'(O', I', J ', K1") sont de sens opposés, on supposera que le premier est de sens
direct et le second de sens rétrograde.
Synthèse . Si ℜ(O, I, J , K) et ℜ'(O', I', J ', K') sont de même sens , soit f définie
'
par f(O) = O', f(I) = I', f(J)= J' et f(K) = K' = K 1 et transformant tout point
M(x,y,z) dans ℜ(O, I, J , K) en un point M'(x,y,z) dans ℜ'(O', I', J ', K') . C'est une
isométrie car on démontre que pour tout couple de point (N,M ) : M'N' = MN.
De plus c'est un déplacement (Th définition 3 ci-dessus).
"
Sinon K' = K 1 et le repère ℜ'(O', I', J ', K') est de sens indirect, on démontre que
f est aussi une isométrie donc un antidéplacement.
Les propriétés suivantes sont déduites aisément des propriétés et définitions
précédentes.
Propriété . La composée de deux déplacements de E est un déplacement.
Propriété . La composée de deux anti-déplacements de E est un déplacement.
Propriété . La composée d'un déplacement et d'un anti-déplacement est un antidéplacement.
Propriété . L'application réciproque d'un déplacement de l'espace E est un
déplacement.
Propriété . L'ensemble ℑ+ des déplacements de l''espace est un groupe de
transformations.
Propriété . Les translations de l'espace et les rotations autour d'un axe sont des
déplacements de l'espace.
Propriété . Les réflexions par rapport à un plan et les symétrie-points de l'espace
sont des anti-déplacements.
33
Les translations de l'espace sont au "sens pratique" des mouvements de
l'espace, elles font "coïncider" une figure F et son image F'. Prouvons que ce
sont des déplacements au sens théorique donné à ce terme. L'image d'un
segment orienté ou vecteur lié est un vecteur lié équipollent donc de même
longueur et de même sens. Les vecteurs images d'un repère orthonormé direct ℜ
et de f( ℜ ) = ℜ ' sont respectivement égaux deux à deux. Les deux bonhommes

→

→
d'Ampère selon OK et O' K' peuvent coïncider exactement et par suite si les

→

→
vecteurs égaux OI et O' I' sont à leurs mains droites, les vecteurs égaux

→

→
OJ et O' J ' sont à leurs mains gauches : les deux repères ont même sens par

→
définition. Soit une rotation f de l'espace orienté E d'axe D(OK) et d'angle θ et
un repère orthonormé direct tel que ℜ(O, I, J , K) . C'est également au sens
pratique un mouvement de l'espace : prouvons que c'est un déplacement au sens

→
propre que nous avons défini. Le vecteur OK est invariant par f, le plan (IOJ est
orthogonal à D donc stable par f et la restriction de f à ce plan est une rotation
plane de centre O et d'angle θ , elle transforme le repère orthonormé direct
(O,I,J) en un repère orthonormé direct (O,I',J') donc ℜ(O, I, J , K) et
ℜ'(O, I', J ', K) ont même sens, d'où la propriété .
Soit la réflexion g par rapport à un plan P, la figure 5 au chapitre I montre que
les repères orthonormés ℜ(O, I, J , K) et ℜ'(O, I, J , K') sont de sens opposés donc
g est un anti-déplacement de l'espace.
II BIS Retour au cube C.
Définition. Désormais nous dirons qu'un cube est invariant par une isométrie f
si et seulement si tout point M intérieur, au sens large, au cube a pour image
par f un point M' intérieur au cube C.
P8 . Pour que le cube C soit invariant par une isométrie f de l'espace il faut et il
suffit que ses huit sommets soient globalement invariants par f.
La "condition est nécessaire" est évidente.
Réciproquement. Soit une isométrie f de l'espace E qui conserve les 8 sommets.
Alors le repère ℜ lié au cube (fig12) a pour image par f selon le théorème2 cidessus un repère ℜ ' également orthonormal, il est aussi lié au cube car le centre
d'une face a pour image par f le centre d'une face. De plus si M un point du
cube de coordonnées (x,y,z) dans le repère orthonormal ℜ lié au cube, M'=
f(M), ses coordonnées sont (x,y,z) dans le repère ℜ ' = f( ℜ ) également lié au
cube. Les réels x, y et z sont compris entre -1 et 1 donc M' appartient au cube C.
34
Puisque f est une bijection, tout point M'(x,y,z) dans ℜ ' du cube est l'image d'un
point M (x,y,z) dans ℜ . Donc f( C )=C.
Essayons maintenant de répondre aux deux questions du paragraphe précédent.
Soit le repère orthonormé privilégié ℜ(O, I, J , K) lié au cube C (fig 12), l'image
par une isométrie f de G de ℜ(O, I, J , K) est un repère orthonormé ℜ'(O, I', J ', K') .
De plus à chaque couple de repère orthonormaux ℜ et ℜ ' construit à partir des
points I, I1, J , J 1, K, K1 correspond une isométrie f et une seule d'après le
théorème 2.
Cette propriété permet de considérer les 33 isométries trouvées avant comme
conservant le cube C au sens nouveau et définitif donné dans ce pararagraphe.
Reprenons le dénombrement des isométries qui conservent le cube. D'après
le théorème 4 ci-dessus, il suffit donc de dénombrer les repères orthonormaux
images possibles de ℜ(O, I, J , K) et ensuite de vérifier si les isométries ainsi
définies conservent le cube.
Il y a toujours six choix possibles pour f(I) = I1 parmi les points
I, I1, J , J 1, K, K1 . Notons SO la symétrie point O. Le triangle OI' J ' étant
nécessairement rectangle isocèle en O, pour que f soit injective et conserve
l'orthogonalité il faut donc distraire I' et SO (I') des images possibles pour J.
Pour l'image de K, I' et J' sont à exclure mais aussi SO (I') et SO (J ') . Ceci fait
donc 6 × 4 × 2 = 48 repères orthonormaux ℜ'(O, I', J ', K') images possibles de
ℜ(O, I, J , K) . Ainsi le théorème 2 permet de conclure qu'il y a 48 isométries
possibles.
Ces isométries conservent-elles le cube C ?
Soit une isométrie de l'espace f qui tranforme le repère orthonormé ℜ(O, I, J , K)
lié au cube en le repère orthonormé ℜ'(O, I', J ', K') également lié au l'isométrie f
échange également le cube en lui même puisque que tout sommet Si (1 ≤ i ≤ 8) a
ses coordonnées (x,y,z) dans le repère ℜ(O, I, J , K) égales à 1 et/ou – 1, donc
son image M' par f ayant les mêmes coordonnées dans ℜ'(O, I', J ', K') ; c'est
encore un sommet de C.
P9 Il existe 48 isométries de l'espace qui laisse le cube C invariant.
P10 . L'ensemble G des isométries qui conservent le cube est un groupe de
transformations de E.
- Il est évident que la composée de deux éléments de G est un élément de G.
- Id de E est aussi un élément de G.
Si f est un élément de G, c'est une transformation ( cette terminologie signifie
que f est une bijection de E sur E). Soit f −1 sa réciproque et ℜ(O, I, J , K) un
repère orthonormé lié au cube choisi parmi les six repères privilégiés (cf. figure
12) et ℜ'(O, I1 , J 1 , K1 ) son image par f , il est évident que les sommets du cube
sont globalement invariant : en effet si f (Si ) = S j alors f −1(S j ) = Si où i et j
sont des entiers compris entre 1 et 8.
35
On vérifie aisémant que les 33 isométries déjà dénombrées consevent le cube;
Parmi les 48 isométries qui conservent le cube ; il nous reste à identifier les 15
isométries restantes dont l'une est la symétrie point de centre O.
III BIS Dénombrement des déplacements et anti-déplacements du groupe G
du cube.
Si G désigne le groupe des isométries qui conserve le cube C, certaines sont des
déplacements : ainsi les 23 rotations autour d'un axe déjà trouvées. On peut y
ajouter Id, l'application identique de l'espace, considérée ici comme une rotation
dont l'axe est quelconque et l'angle égal à 0 modulo 2π . Donc G contient au
moins 24 déplacements de l'espace E. Par ailleurs, parmi les antidéplacements
de l'espace, dans G nous avons recensé 9 réflexions par rapport à des plans et
une symétrie point de centre O notée SO . Réalisons une partition des éléments de
G. On désigne par G + les déplacements de l'espace qui conservent le cube C , et
par G − les anti-déplacements de G. Ainsi G = G + ∪ G − et G + ∩ G − = ∅ .
Si f est un déplacement de G + , g = SO f est un antidéplacement de G − ;
considérons l'application ϕ de G + vers G − défini par ϕ : f → g = SO f = ϕ (f).
Calculons dans le groupe des isométries ℑ de l'espace : un anti-déplacement g
de G − étant donné, soit f = SO g est un déplacement de G + et de plus ϕ (f) =
ϕ( f ) = SO (SO g) = (SO SO ) g = g , car SO est involutive . Ceci prouve que g
admet un antécédent f = SO g dans G + par ϕ ; de plus celui-ci est unique car si
SO f = SO f '
SO (SO f ) = SO (SO f ') = f = f ' , car la composition des
application est associative et SO est involutive.
P11. L'application ϕ de G + vers G − défini par ϕ : f → g = SO f = ϕ (f) est une
bijection de G + sur G − . Ces ensembles étant finis ils ont donc le même nombre
d'éléments : G + et G − comptent chacun 24 isométries qui conservent le cube C.
Nous avons déjà dénombré 24 rotations de l'espace E dans G + , donc ce
dénombrement est terminé. Rappelons les résultats :
- Id de E
- 3 demi tours d'axe ∆1 , ∆ 2 et ∆ 3, et 6 demi-tours d'axes telle la droite (AB)
(cf figure 18). (rotations d'ordre 2 : f f = f 2 = Id )
- 3 quart de tours de sens direct et d'axe ∆1 , ∆ 2 et ∆ 3 et 3 quart de tour de sens
indirect et d'axes ∆1 , ∆ 2 et ∆ 3 (rotations d'ordre 4 : f 4 = Id )
- 8 rotations d'un tiers de tours dans le sens direct et rétrograde et d'axes les
quatre diagonales du cube ( 2° partie A, c). (rotations d'ordre 3 : f 3 = Id )
Pour les anti-déplacements, nous connaissons déjà 9 réflexions par rapport à un
plan et la symétrie point SO , il reste 14 anti-déplacements à déterminer.
Il est aisé de démontrer que SO est la composée commutatif d'un déplacement et
d'un anti- déplacement qui conserve le cube.
36
Propriété . Toute symétrie point O de l'espace peut se décomposer en un produit
commutatif d'un demi-tour d'axe D passant par O et d'une réflexion par rapport
au plan P orthogonal à D et passant par O ; par conséquent c'est un antidéplacement de l'espace. La droite D peut être choisie arbitrairement mais
passant par O. La symétrie point O s'appelle également une rotation-réflexion :
ici la rotation est un demi-tour d'axe D et la réflexion est de miroir P. (cf fig 35)
Considérons une droite D passant par le point O et le plan P orthogonal à D et
passant par O. Appelons f le demi-tour d'axe D et g la réflexion de miroir P.
Posons m = f(M) et M" = g(m) ; H est la projection orthogonale de m sur P et le
milieu du segment [m,M"] . Le plan Q=(D,M) est perpendiculaire au plan P car
il contient une droite D orthogonale à P. Soit la symétrie SO par rapport au point
O dans l'espace posons M' = SO (M). Le point m appartient à Q, ainsi que H et
M". Dans le triangle mM"M du plan Q, (HO) est la droite des milieux donc O
est milieu de [M,M"] et aussi de [M,M'] ; donc M' = M" et SO = g f .
Il est aisé de montrer que le demi tour f d'axe D est la composée de deux
réflexions dont les miroirs sont des plans perpendiculaires P1 et P2 passant par la
droite D. Ainsi, les plans P, P1 et P2 sont perpendiculaires deux à deux. Cette
rotation-réflexion particulière est une direction de recherche pour identifier les
14 antidéplacements restants qui conserve le cube. Formalisons à nouveau pour
généraliser ces transformations
IV Formalisation : Compositions des isométries , rotation-réflexions.
A-Compositions de deux réflexions par rapport à un plan.
Propriété. La composée de deux réflexions par rapport à des plans parallèles P

→
et P' est une translation. Le vecteur V de cette translation est le double du
vecteur v directeur de la translation qui transforme P en P'. (cf fig 36).

→
Réciproquement : toute translation de vecteur V de l'espace peut se
décomposer en produit de deux réflexions planes ; le premier plan P est choisi

→
arbitrairement tel que V soit un vecteur normal à P, P' se déduit de P dans la
translation de vecteur
→
1
V .
2
La figure 36 dirige la démonstration : pour tout point M de l'espace E,

→

→

→
MM ' = 2 OK = V donc un vecteur fixe. La reciproque s'en suit.
37
Propriété La composée de deux réflexions par rapport à des plans sécants P et

→
P' selon une droite D orientée par un vecteur unitaire k = OK est une rotation de
l'espace E (figure 37). L'axe de cette rotation est l'axe orientée D, k . L'angle de
la rotation est le réel 2θ où θ est l'angle du dièdre orienté ( P, k , P') .
Réciproquement toute rotation de l'espace d'axe D, k est d'angle α peut se
décomposer d'une infinité de façon en produit de deux réflexions : si P est choisi
arbitrairement et passant par D, P' se déduit de P dans la rotation d'axe D, k et
d'angle
α
.
2
Soit f = SP ' SP , la restriction r de f à tout plan Q orthogonal à D = P ∩ P' est la
composées de deux réflexions planes d'axes ∆ 1 = Q ∩ P et ∆ 2 = Q ∩ P' donc une
Figure 35
rotation plane dont le centre est sur D ; ceci entraîne le résultat. La réciproque
est évidente également. (cf fig 37)
Figures 36 et 37
38
Les propriété suivantes des isométries sont aisées à démontrer.
Propriété. La composée de deux translations de vecteur V et V' est une
translation de vecteur V+V'.
Propriété. La composée de deux rotations de l'espace E de même axe D est une
rotation d'axe D dont l'angle est la somme des angles.
Propriété. La composée commutative d'une translation de vecteur V non nul est
d'une rotation dont V soit un vecteur directeur de l'axe D est un déplacement
n'ayant pas de point invariant. On l'appelle "déplacement hélicoïdal"1
Propriété. La composée commutative d'une translation de vecteur V est d'une
réflexion de miroir P tel que V soit paralèle à P est un anti-déplacement n'ayant
aucun point invariant. On l'appelle une "translation- réflexion".
1
L'objet de ette étude n'est pas une étude exhaustive des isométries de l'espace ; c'est pourquoi je ne développe
pas le déplacement Hélicoïdal ni la translation- réflexion qui n'ont pas de point invariant.
39
B- Définitions des rotations-réflexions de l'espace orienté E
Plus généralement posons la définition suivante :

→
Définition 3. Soit dans l'espace orienté E une rotation f d'axe D(OK) passant
par O et d'angle θ ≠ o mod ulo 2π et une réflexion de miroir P , où P est le plan
orthogonal à D et passant par O. La composée h = g f est un anti-déplacement
de E appelée rotation- réflexion, de plus h = f g et h n'admet qu'un seul point
invariant O.
Figure 38
O est invariant par h. Si M appartient au plan P et distinct de O, il est invariant
par la réflexion, son image par h se réduit donc à l'action de la rotation, donc il
n'est pas invariant par h car celle-ci est distincte de l'Identité de l'espace. Si M
n'appartient pas au plan P son image M' par h est dans le demi-espace ouvert de
frontière P ne contenant pas M, donc M' ≠ M et le point M n'est pas invariant
par h.
IV BIS Retour au cube . Identification des 48 isométries du cube.
A- Identification des 14 anti-déplacements restants du groupe G.
Ces anti-déplacements ont au moins un point invariant, le centre O du cube.
Il n'y a donc évidemment pas d'autre symétrie-point que celle de centre O.
On peut utiliser le fait que les éléments de G − sont obtenus en composant SO
avec les 24 rotations. Soit D l'axe d'une rotation R 'D parmi les 24 rotations
π 2π
ou π . On peut décomposer SO ainsi
trouvées de G + d'angle θ = ± ,
2
3
40
SO = R D SP où P est un plan perpendiculaire à D et R D un demi-tour d'axe D.
Soit alors l'anti-déplacement f = R 'D SO = ( R 'D R D ) SP = R"D SP de G − .
Alors R"D est une rotation d'axe D dont l'angle est θ + π .
Si θ + π ≠ 2π , f se réduit pas à l'une des neuf réflexions déjà trouvées. Puisque D
est orthogonale à P, f est nécessairement une rotation- réflexion d'axe D. Donc
l'axe des 14 rotation- réflexions restantes est celui d'une rotation de G + .
a) Pour R 'D , il faut écarter les demi-tours de G + car f va redonner
une réflexion déjà trouvée. Ecartons donc les 9 demi-tours trouvés ci-dessus
d'axes ∆1 , ∆ 2 et ∆ 3 et ceux dont l'axe est telle la droite (AB) bissectrice de
( ∆ 2 , ∆ 3 ) (cf. figure 23 et 24)
b) Si la réflexion de miroir P = (IOJ) est composé avec R 'D le quart de
tour direct d'axe ∆ 3 (cf fig 39) alors f est la rotation-réflexion f = R '∆ 3 SIOJ .
Celle-ci permute les huit sommets du cube (cf. figure 39 et 40):
SP (S1) = S2 puis R '∆ 3 (S2 ) = S6 ; vérifier de même qu'il y a bien permutation des
autres sommets. Pour chaque axe tel ∆1 ou ∆ 2 ou ∆ 3 , deux rotations d'un quart
de tour direct et d'un quart de tour indirect génèrent deux rotation- réflexions
qui conservent le cube. Ceci fait donc six rotation-réflexions nouvelles qui
conviennent. Sur les figures 39 et 40 ci-jointe nous avons montré l'action de f.
c) Supposons que R 'D soit une des 8 rotations de G + dont l'axe est la

→
2π
diagonale (S1S7 ) orientée par S7S1 et l'angle - , (cf Chapitre II, 2° partie d))
3
alors P est le plan π médiateur du segment [S1S7 ] .

→

→

→ π
2π
Il vient : f = R D SO = R( S7S 1,− ) R(S7S1, π) Sπ = R(S7S1, ) Sπ .(cf
3
3
figures 41, 42 et 43.). Vérifier qu'il y a bien permutation des 8 sommets par f.
REMARQUE. On peut illustrer cette rotation- réflexion en raisonnant sur les
figures. Nous savons qu'en projetant le cube (cf. Chapitre II, 2° partie-B,d) sur
un plan orthogonal à la diagonale (S1S7 ) ; les deux tétraèdres réguliers inscrits
dans le cube se projettent suivant deux triangles équilatéraux inscrits dans le
même cercle Γ (cf figures 29 et 30) et de même centre O'=O. Sur la figure 41
ci-dessus, est représentée la diagonale (S1S7 ) . Le triangle équilatéral
t1(S3S6S8 ) situés dans le plan π1 a pour image par Sπ le triangle t1'(S'30 S'60 S'80 )
dans le plan π 2 . De même le triangle équilatéral t 2 (S4S2S5 ) situé dans le plan π 2
a pour image par Sπ le triangle t '2 (S'40 S'20 S'50 ) . Sur la figure 42 sont
représentés le cube C et son image C1 par la réflexion Sπ . Si l'on projette
orthogonalement les triangles t1'(S'3 S'6 S'8 ) et t '2 (S'4 S'2 S'5 ) sur le plan π (cf
Chapitre II, 2° partie d) ils se projettent orthogonalement sur π en vraie
grandeur suivant l'hexagone régulier dessiné en vert sur la figure 41.

→
Composons alors la rotation R d'axe (S1S7 ) orientée par la demi-normale S7S1 et
d'un sixième de tour dans le sens direct et la réflexion s de miroir π : les
41
propriétés énoncées ci-dessus et traduite sur la figure 43 permettent de vérifier
que la rotation-réflexion g = R Sπ conserve les huit sommets du cube C, donc
conserve le cube. En effet g(S1 ) = S7 ,
'
Sπ (S2 ) = S'20 et R(S20
) = S3 donc g(S2 ) = S3 : déterminer les images des autres

→ π
sommets. Soit R −1 = R(S7S1,− ) de même axe que R mais d'un sixième de
3
tour dans le sens indirect, alors on vérifie que la rotation réflexion
f −1 = R −1 Sπ conserve également le cube.
Avec les quatre diagonales du cube telle (S1S7 ) on obtient ainsi huit rotationréflexions qui conservent le cube. Ainsi à ce stade de la recherche empirique, les
antidéplacements sont au nombre de 9 réflexions, la symétrie point de centre O,
et 6+8= 14 rotation-réflexions : ce qui fait 24 anti-déplacements, c'est à dire tous
les éléments de G − .
B- RECAPITULONS LES ELEMENTS DU GROUPE DU CUBE
a) Les 24 déplacements ou rotations dans l'espace.
Nommons les demi-tours R 2 ou rotations d'ordre 2, c'est à dire telle que
2π
π
R R = R 2 = Id E ; et les rotations d'ordre 3 (angle
) et d'ordre 4 (angle )
3
2
respectivement R 3 , R 4 . Notons SO la symétrie de centre O.
• 3 +6 rotations d'ordre 2 et d'axes respectifs (OI), (OJ) et (OK) et les six
droites joignant les milieux de deux arêtes opposées du cube
• 8 rotations d'ordre 3 et dont l'axe est une diagonale du cube.
• 6 rotations d'ordre 4 dont l'axe est (OI), (OJ) et (OK)
• Id de E
b) Les 24 antidéplacements de l'espace.
• 3+6 = 9 réflexions par rapport à un plan.
• 15 rotations- réflexions dont SO .
42
Figures 39 et 40. Sur la figure 39 on applique la réflexion SP' de miroir P' plan
médiateur du segment [S1S5]. On pose SP' (S1 ) = S'1 , S P ' (S2 ) = S'2 etc..
→

Sur la figure 40 est esquissée la rotation d'axe ( ∆ ( OK ) et d'un quart de tour
direct qui agit sur le cube S'1 S'2 S'3 S'4 S'5 S'6 S'7 S'8 . On constate que S'1 va venir
coïncider avec S6 après un quart de tour direct; donc f = SP ' S∆ transforme
S1 en S6 . Il est facile de vérifier sur la figure que le cube est globalement
invariant par la rotation-réflexion f.
43
Figures 41 et 42. Sur la figure 41 ci-dessous on a appliqué la réflexion Sπ de
miroir π plan médiateur du segment S1S7 . S1 et S7 s'échangent ; on pose
S'20 = S π (S2 ) et de même pour les cinq autres sommets. Sur la figure 42 on a
dessiné (en noir) le cube initial C et (en rouge) son image C1 par la réflexion de
'
'
'
S'40S80
S'60S '20S1' S50
.
miroir π . C1 est le cube S'7S30
44
Figure 43
On distingue sur la figure l'action de la réflexion Sπ de miroir π sur les huits
sommets du cube initial C : S4 a pour image par Sπ le point S'40 . L'action de la
rotation d'axe [S7S1) et d'un sixième de tour direct sur ce point S'40 est esquissée
: il se trouve en S'4 position intermédiaire qui l'amènera en S8. Ainsi la rotation
→ π
réflexion g = R(S7S1, ) Sπ transforme S4 en S8. On vérifie aisément par
3
simple lecture des figures ci-dessus que le cube C est globalement invariant par
g.
45
Chapitre III
SYNTHESE SUR LES PROPRIETES DES
ISOMETRIES DE L'ESPACE
Il ne s'agit pas, comme nous l'avons annoncé, d'une étude exhaustive des
isométries de l'espace. Notamment nous ne ferons pas de classement des
isométries selon la dimension du sous espace des points invariants ; nous ne
définirons pas le déplacement hélicoïdal ni les translation-réflexions. Résumons
simplement les propriétés générales mises à jour dans le chapitre précédent.
I Distance et isométries
Définition 1. On appelle isométrie de l'espace E toute application f de E dans E
qui conserve la distance. Si ℑ désigne l'ensemble des isométries de l'espace E
l'équivalence suivante est vraie: f ∈ℑ ⇔ ∀( M, N ) ∈ E × E, f ( M) f ( N ) = MN
Propriété 1. Pour toute isométrie f de ℑ : Si M ≠ N alors f ( M) ≠ f ( N ) . On dit
que f est injective.
Propriété 2 L'image d'un segment par une isométrie est un segment de même
longueur.
Propriété 3. L'image du milieu d'un segment [A,B] par une isométrie est le
milieu du segment image.
Propriété 4. Toute isométrie de l'espace transforme une droite en une droite.
Propriété 5. Toute isométrie de l'espace transforme un plan en un plan.
II Orthogonalité et Isométries de l'espace .
Théorème 1. Toute isométrie de l'espace conserve le produit scalaire. Soit deux

→

→
vecteurs u = AB et v = AC de l'espace et une isométrie f tel que f(A)=A',

→

→

→ 
→
f(B)=B' et f(C)=C' alors A ' B'. A ' C' = AB. AC .
Corollaire 1. Toute isométrie de l'espace conserve l'orthogonalité de deux
vecteurs, et par suite conserve l'orthogonalité de deux droites.
Corollaire 2. Toute isométrie de l'espace conserve le parallélisme de deux
droites et de deux plans.
Corollaire 3. Toute isométrie de l'espace transforme un repère orthonormé de
l'espace en un repère orthonormé.
Théorème 2 . Si ℜ(O, I, J , K) et
ℜ'(O', I', J ', K') sont deux repères
orthonormaux de l'espace, ALORS il existe une isométrie de l'espace et une
seule f qui transforme ℜ en ℜ ' ; tout point M de E de coordonnées (x,y,z) dans
46
le repère ℜ a pour image par f un point M' qui a les mêmes coordonnées (x,y,z)
dans le repère ℜ '.
Corollaire Toute isométrie de l'espace E est une transformation de E c'est à
dire est une bijection de E sur E. Son application réciproque est aussi une
isométrie de E.
La translation se définit dans l'espace de la même façon que dans le plan.
Définition 2. Soit une droite D( k ) orientée
et un réel θ , on appelle rotation f d'axe D( k )
et d'angle θ une application de E dans E qui
laisse invariant tout point de D, si M n'est
pas sur ∆ , soit π le plan orthogonal en O à
∆ , passant par M. Le plan π est orienté de
façon compatible par l'axe D( k ) (la deminormale positive). Alors
M' = f(M) est
l'image de M par la rotation plane de centre
O et d'angleθ . (figure
ci-contre).
figure
L'application Identique de E sera considérée
comme une rotation d'axe quelconque et
d'angle nul.
III
Déplacements et anti-déplacements de l'espace.
Propriété 6. Nos admettrons que lorsque l'espace E est orienté, si les repères
orthonormés ℜ et ℜ ' sont de même sens, leurs images respectives f( ℜ ) et f( ℜ ')
par une isométrie f sont aussi de même sens.
Ainsi on peut démontrer le théorème suivant et poser la définition indépendante
de l'orientation choisie :
Théorème 3. Définition 2. Si une isométrie f de l'espace orienté E est telle
qu'un repère orthonormé donné ℜ de E et ℜ ' = f( ℜ ) sont orthonormés et de
même sens Alors tout repère orthonormé ℜ1 et son image par ℜ1 ' = f( ℜ1 ) ont
même sens. On dira que f est un déplacement de l'espace.
47
Corollaire Etant donné deux repères orthonormés ℜ et ℜ ' de même sens de
l'espace orienté E, il existe un déplacement f et un seul de E tel que f( ℜ ) = ℜ '.
Les propriétés suivantes sont déduites aisément des propriétés et définitions
précédentes.
Propriété 7. La composée de deux déplacements de E st un déplacement.
Propriété 8. La composée de deux anti-déplacements de E est un déplacement.
Propriété 9. La composée d'un déplacement et d'un anti-déplacement est un
anti-déplacement.
Propriété 10. L'application réciproque d'un déplacement de l'espace E est un
déplacement.
Propriété 11. L'ensemble ℑ+ des déplacements de l''espace est un groupe de
transformations.
Propriété 12. Les translations de l'espace et les rotations autour d'un axe sont
des déplacements de l'espace.
Propriété 13. Les réflexions par rapport à un plan et les symétrie-points de
l'espace sont des anti-déplacements.
IV Compositions de deux réflexions de l'espace par rapport à un plan.
Propriété 14. La composée de deux réflexions par rapport à des plans parallèles

→
P et P' est une translation. Le vecteur V de cette translation est le double du
vecteur v directeur de la translation qui transforme P en P'. (cf fig 36).

→
Réciproquement : toute translation de vecteur V de l'espace peut se
décomposer en produit de deux réflexions planes ; le premier plan P est choisi

→
arbitrairement tel que V soit un vecteur normal à P, P' se déduit de P dans la
translation de vecteur
→
1
V .
2
Propriété 15. La composée de deux réflexions par rapport à des plans sécants P

→
et P' selon une droite D orientée par un vecteur unitaire k = OK est une rotation
de l'espace E (figure 37). L'axe de cette rotation est l'axe orientée D, k . L'angle
de la rotation est le réel 2θ où θ est l'angle du dièdre orienté ( P, k , P') .
Réciproquement toute rotation de l'espace d'axe D, k est d'angle α peut se
décomposer d'une infinité de façon en produit de deux réflexions : si P est choisi
arbitrairement et passant par D, P' se déduit de P dans la rotation d'axe D, k et
d'angle
α
.
2
48
Propriété 16 . Toute symétrie point O de l'espace peut se décomposer en un
produit commutatif d'un demi-tour d'axe D passant par O et d'une réflexion par
rapport au plan P orthogonal à D et passant par O ; par conséquent c'est un antidéplacement de l'espace. La droite D peut être choisie arbitrairement mais
passant par O. La symétrie point O s'appelle également une rotation-réflexion :
ici la rotation est un demi-tour d'axe D et la réflexion est de miroir P.
Propriété17. La composée de deux translations de vecteur V et V' est une
translation de vecteur V+V'.
Propriété 18. La composée de deux rotations de l'espace E de même axe D est
une rotation d'axe D dont l'angle est la somme des angles.
Propriété 19. La composée commutative d'une translation de vecteur V non nul
est d'une rotation dont V soit un vecteur directeur de l'axe D est un déplacement
n'ayant pas de point invariant. On l'appelle "déplacement hélicoïdal"1
1
L'objet de ette étude n'est pas une étude exhaustive des isométries de l'espace ; c'est pourquoi je ne développe
pas le déplacement Hélicoïdal ni la translation- réflexion qui n'ont pas de point invariant.
49
Propriété 20. La composée commutative d'une translation de vecteur V est
d'une réflexion de miroir P tel que V soit parallèle à P est un anti-déplacement
n'ayant aucun point invariant. On l'appelle une "translation- réflexion".

→
Propriété 21. Soit dans l'espace orienté E une rotation f d'axe D(OK) passant
par O et d'angle θ ≠ o mod ulo 2π et une réflexion de miroir P , où P est le plan
orthogonal à D et passant par O. La composée h = g f est un anti-déplacement
de E appelée rotation- réflexion, de plus h = f g et h n'admet qu'un seul point
invariant O.
50