Quelques résultats d`algèbre non associative

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ONIQUE B ERTRAND
Quelques résultats d’algèbre non associative
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 19, no 2 (1965-1966), exp. no 18,
p. 1-13
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Séminaire
18-01
(Algèbre et théorie des nombres)
n° 18
19e année,
1965/66,
18 avril 1966
QUELQUES RÉSULTATS
D’ALGÈBRE
NON ASSOCIATIVE
par Mme Monique BERTRAND
1.
Rappels.
On
étudier quelques
va
définies
sur un
Etant donné
propriétés
algèbres
concernant certaines
associatives
non
corps.
corps de
un
base, noté F,
une
algèbre
non
A
associative
est
alors :
-
un anneau non
-
un
espace vectoriel
pour tout
On
associatif,
se
et tout
x
borne
aux
Il existe dans
de
y
algèbres
A ~
F ;
sur
n
A ~
pour tout a
de dimension
éléments
finie,
... ,
et
dont
en
de
tout p
on
rappelle
formant
une
F~
on a :
la définition :
base,
que :
D’autre
part,
notés
C’est
les axiomes
(i = 1 ,
ce
que l’on
A tout x
tiplications
de
...,
appelle
A ,
on
précédents
entraînent l’existence d’éléments de
n, j = 1 ,
la table de
... ,
n,
k = 1 , ..., n)
multiplication
associe les transformations
à droite et à gauche définies par
de
A .
R
et
ce
x
x, avec, pour tout
F
tels que
sont les mul"y
E
A ,
les résultats suiv ant s :
rappelle alors
On
l’algèbre A possède un élément unité, tout x E A est racine des équations caractéristiques des transformations
R et L .
Quelle que soit 1 ‘algèbre A définie sur F, il existe une équation à droite,
unique, vérifiée par tout x de A, telle que son degré soit minimum ; son pre-
Si
-
mier coefficient est
1 ,
ses
autres coefficients sont des
polynômes
... ,
~n
x ).
C’est l’équation minime à droite de x, ou équation principale à droite de A ,
ou équation au rang à droite de
A ; son degré est le degré à droite de A.
En particulier, si A ne possède pas d’élément unité, le polynôme premier
bre de l’équation au rang, n’a pas de terme constant.
(composantes
de
Mêmes résultats à
gauche.
2. Algèbre des transformations de A .
Soit donc
façon
algèbre A ;
une
on
et les
xi
transformation identique
I.
des transformations linéaires
est la dimension de
n
est donc de dimension finie
algèbre
On
se
va
polynômes P[R
~1
,
... ,
éléments quelconque s de
sont des
y,
A , notée T (A ) ,
mations de
Si
de la
suivante :
On considère l’ensemble des
les
définit l’algèbre des transformations de A
L
où
... ~
,
~1
A ; l’algèbre
des transfor-
l’algèbre engendrée par ces polynômes et la
T(A) est alors une sous-algèbre de l’algèbre M(A)
est
sur
A .
algèbre M(A)
inférieure ou égale à n2
A
cette
est de dimension
, puisque
c’est
n .
T(A)
une sous-
M(A) .
de
s’intéresser à la dimension de l’algèbre associative
restreindre
au cas
où
A
est
commutative, c’est-à-dire
T(A) ,
Rx=
L
x
et pour cela
pour tout
x E A .
si donc
T(A)
est
On
peut
désigne
r
r +
se
le nombre
R
ei
linéairement indépendants, la dimension de
1 .
demander
si, réciproquement,
la
propriété
R
x
R
y
=
Rz ,
vraie pour
(x , y)
tout
A , entra1ne
E
l’ associativité de
A ô à
sujet,
ce
a
démon-
tré les résultats suivants s
algèbre A ~ ayant un élément unité à gauche, e st asso ciative si, et seulement si, R(A) ~ espace vectoriel des multiplications à droite de A , est une
algèbre.
Soit
AO une algèbre associative de dimension n > 1 sur un corps F infini ; on suppose que AO possède un élément unité ; R(A ) est alors une algèbre;
-
Une
-
il existe alors
2° Si
r
A
n’est
n .
+ 1 et
Soit
N
-Si
N=r+
R..
Si N
=
> r
en
On
on
+ 1 ,
on
(I , R
est
comprise
nombre
des
R
el
à
1
serait
... ,
,
trouvé
+ r +
s ,
-Si
~3>l
+r+
s, on forme
N
N
d’éléments
s
(I,
on a
entre
T(A) .
.
une
T (A) ~
I’ R ,
de
T(A) définis
R..
, ... , R ) ,
er
ainsi et la dimension
un
(de
couple i, j
I~T ~ 1
procède
pour base de
considère les éléments
.. Si
Le nombre
T(A)
T(A) 1
peut prendre
fonction de
indépendants
et lion
R(AO) = R(A) .
telle que
A..
définir alors la notion de "grade" de
pour tout
Il existe donc
et
va
1,
s’exprimeraient
eux
de
pas associative : la dimension de
la dimension de
RR
pas tous
A
associative
non
T(A)
3. Grade de
-
isotope
une
el
r).Les
ne
R .
~r
par :
s’expriment
sinon tous les éléments de
r +
T(A)
1 .
linéairement
R..
R.
... ,
indépendants
entre
R ) e
er
T(A) .
base de
de même.
étant fini, cette suite
d’opérations
s’ arrête, et la base obtenue
.
s’ écrit :
L’entier
.
q, qui est le nombre maximum
éléments de la base, est
appelé
le
(ou ordre)
de facteurs
grade de T(A) . L’entier q
R
formant les
e.
ne dépend
pas en
effet de la
et, pour une
base
choisie;
base
(e’) ~
T(A)
R
soit
...
car
un
si pour
q’t
entier
une
(e~) ,
base
q ,
un
on
obtenait
élément de la
R , s’exprimerait linéairement
en
entier
un
première
q,
base de
fonction d’éléments tels
~q
~1
que
donc
en
fonction d t élémen’cs tels que
Gondition
T(À)
a
nécessaire et suffisante
pour
T(À)
pour que
ait
pour grade
q’ c’est dire que tout élément de la forme
grade
"
°
’
.
est combinaison linéaire d’éléments de la forme
Quel que soit l’élément
Rappelons
d’autre
e~ ,
part
en
R
. * .
e , ~l
Re ... Re ,
~l
~p
T(A)
remplaçant e k
soit de
grade
q :
produit non associatif est le nombre
produit : ainsi l’altitude de [(ab) cJd est
q
au
plus,
il faut et il suffit que tous les
expre ssions
par tous les éléments de la base de
du
En
A s
on
q
+
1 ,
et cela de
obtient toutes les
système.
L’introduction de cette notinn
tique.
p ,
que l’altitude d’un
produits d t éléments de la base de A, d’ ordre q + 2 et d’ altitude
s’expriment linéairement en fonction des produits d’ordre inférieur’
manière compatible s c’est-à-dire que, dans l’expression
autre s
avec
résulte la condition suivante :
Pour que
en
R
e.
e.
on aura :
de "générations" donnant naissance au
3 , et celle de (ab)(cd) est 2 .
Il
I,
q : dire que
effet, étant donnée
une
a
été
suggérée
population
à
par des
laquelle
problèmes d’algèbre généon
fait subir
un
nombre
quelconque de croisements successifs, on sait alors qu’il suffit de lui faire subir au plus q croisements successifs pour connaître le résultat. On va maintenant appliquer ces notions à l’étude de quelques algèbres non associatives parti-
culières,
4.
que l’on rencontre
"Spécial
train
algèbres
Ces
certains cas,
Tout
N
tative est dite
-
est
rd
algèbre
est dite
A
"spécial
train
algebra"
tous les
nilpotent d’altitude
duits d’altitude
k)]
Nous
produits d’altitude
homomor-
c~
sont nuls.
des combinai sons linéaires de pro-
une
telle
algèbre,
il existe
une
base :
d’ idempotents dans de telles algèbres : elles
idempotent non nul, unique sous certaines conditions.
général
plaçons
un
dans
ce
cas x
la base est alors donnée par :
Nous allons donner les résultats relatifs à de telles
est
un
rang.
alors étudié l’existence
en
nous
s’il existe
F
au
sont des idéaux.
On démontre alors que, dans
possèdent
Inéquation
lorsque:
(ensemble
a
sur
voir que, dans
E ~ qui soit un homomorphisme d’algèbre non singulier. Si
de w , A - N est de dimension 1 . Une algèbre pondérée commu-
N
GONSHOR
pondérée
va
---~
est le noyau
-
.
al ebras" .
une
A
eu :
o
ont été introduites par I. M. H. ETHERINGTON. On
le grade de telles algèbres se déduit du degré de
d’ abord~
phisme
en
nilpotent
d’altitude
1,
et
nilpotent
d’ altitude
algèbres quand
2 .
le noyau
Inéquation
On forme
ou
avec
encore,
au
rang de
A ~
des racines éventuellement
complexes:
nécessairement
(en supposant
que
F
a une
On
de
peut
degré
De
plus,
tion s
de
T(A)
est donc
voir d’autre
n , vérifie
part
2 ).
1 .
que
l’équation
tout élément
de
T(A) :
On voit alors que dans
grade
caractéristique différente
T
de
R x ,qui
degré
de
T~A~ ,
’
vérifie
son
équation caractéristique,
2 :
qui s’écrit
T = aI
+
R x ,vérifie
l’équa-
Donc~
Le
grade
est donc
Ici encore,
ce
l’équation
dire que
R
qui équivaut
Les racines de
x
2
vérifie
au
rang est de
plus .
une
à la relation :
l’équation :
degré 3 ,
équation
du 3e
degré :
c’ est dire que :
sont
ce
D’autre
part,
o n
qui prouve en même temps
puisque ce sont les X..
nue
va
distincts sont
vo it f acilement p ar ré currence que
ce
On
que les
qui prouve
prouver que le
que les racines de
grade
est k
au
plus,
ce s
au
nombre de
k
au
plus.
racine s sont :
1; équation
au rang
sont
réell.e s,
c’ est~à..dire que la base est conte-
dans :
Montrons tout d’abord que :
En
ajoutant
re :
membre à membre les
k
premières égalités,
et
en
utilisant la derniè-
Donc,
si
1
n’est pas racine de
l’équation
dont les coefficients sont les
Cette condition est nécessaire et suffisante pour que
1
on a alors
des
Re
s’exprime
en
a. :
fonction
R" ~ jk:
D’autre
part,
on
voit facilement que
Le
grade est donc
On
peut voir
encore
k
au
que
plus.
R
x
vérifie
une
équation
de
degré
k
+
1 . On pose :
Cette identité doit être vraie pour tout
est
Ce
équivalente
système
part que,
de
au
3
et tout
03B4j ;
on
voit alors
qu’elle
système :
relations
si l’on écrit :
ne
permet
pas de
conalure ; mais
.
on
voit d’ autre
relation que l’on adjoint
d’ordre
4
s’ expriment
aux
en
3
précédentes.
fonction des
produits
vérifient pas la condition de
dérer des produits d’ordre plus élevé.
les relations
On voit alors que les
ne
d’ordre
compatibilité.
Le calcul montre que la base est contenue dans :
précédent,
D’où,
comme au cas
Et
utilisant la relation
en
D’où le
système
3
relations.
précédente :
de relations :
produits
inférieur, et cependant,
Il faut donc consi-
Le calcul montre que le
et
une
grade est 5 .
autre ralotion liant les
inférieur.
K
autres
produits d’ordre k
+
1
à
aeux
d’ordre
18-13
Considérons les produits d’ordre
teus donnés par les relations du
2k . Ce sont :
tableau,
et
où
peut être remplacé par sa valeur. Tous les produits d’ordre 2k s’expriment en fonction des produits d’ordre inférieur, cependant la condition de compatibilité n’est pas remplie. Le calcul montre que le grade est en fait de 2k - 1 .
Lorsque le
noyau est d’altitude
quelconque,
les calculs deviennent
compliqués.
BIBLIOGRAPHIE
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