triangle rectangle - Hachette

Chapitre 10
TRIANGLE
RECTANGLE
Triangle rectangle et cercle circonscrit
Triangle rectangle et médiane
« Agit -Prop-Tram #2 »
de Dennis John Ashbaugh,
1974.
125427-169-Chap10.qxd 8/03/07 9:55 Page 169

170
A CTIVITÉS
A CTIVITÉS
T RIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
Soit un triangle ABC tel que l’angle est droit.
1. a) En quel sommet le triangle ABC est-il rectangle ?
b) Quels sont les côtés du triangle ABC qui sont perpendiculaires ?
2. a) Quel est le côté opposé à l’angle droit ?
b) Quelle est l’hypoténuse du triangle ABC ?
1 Construire et conjecturer
1. Construire un triangle TAG rectangle en T .
Placer le point N tel que le quadrilatère TANG soit un rectangle.
2. On appelle O l’intersection des diagonales et .
Tracer le cercle de centre O et passant par le point A .
3. Que peut-on conjecturer pour le cercle et les points T et G ?
2 Démontrer
1. a) Que représente le point O pour chacune des diagonales et ? Citer la propriété utilisée.
b) Recopier et compléter chaque expression avec le bon symbole :
● OA … OG … ; ● ON … OT … .
2. a) Que peut-on dire des longueurs des diagonales AG et TN ? Citer la propriété utilisée.
b) Que peut-on en déduire pour les quotients et ?
3. Que peut-on déduire des questions 2. 1. et 2. 2. pour les longueurs
OA , OG et OT ?
4. a) Le point O est-il le centre du cercle circonscrit au triangle TAG ?
b) Le segment est-il un diamètre du cercle circonscrit au triangle
TAG ?
5. Recopier et compléter la synthèse :
Condition :
Un triangle est
…
Conclusion :
Le centre du cercle
…
à ce triangle est
…
.
Un diamètre du cercle
…
à ce triangle est
…
.
3 Appliquer
Un triangle ABC rectangle en B a une hypoténuse mesurant 6 cm.
Quelle est la longueur du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ?
A
CTIVITÉ 1
Dans un triangle rectangle
A
CTIVITÉ 2
Comment obtenir facilement le cercle circonscrit à un triangle rectangle ?
B
A
C
BAC
Comment obtient-on
le centre du cercle
circonscrit à un
triangle quelconque ?
TN[]
GA[]
TN[] GA[]
AG
2
--------
TN
2
-------
AG
2
--------
TN
2
-------
AG[]
125427-170-173-Act.fm Page 170 Jeudi, 8. mars 2007 10:05 10

10. TRIANGLE RECTANGLE 171
A
CTIVITÉS
A
CTIVITÉS
C OMMENT UTILISER LE CERCLE CIRCONSCRIT
POUR IDENTIFIER UN TRIANGLE RECTANGLE ?
1Observer et conjecturer
Le demi-cercle a pour diamètre le segment .
Les points I, J, K et L appartiennent tous au demi-
cercle
.
Les triangles ABI, ABJ, ABK et ABL sont donc tous inscrits
dans le demi-cercle de diamètre .
1. Que peut-on conjecturer pour la nature du triangle
ABI ?
2. Que peut-on conjecturer pour les triangles ABJ, ABK
et ABL ?
2Prouver
Dans la figure ci-contre, on a reproduit le triangle ABI et
on a complété le demi-cercle pour obtenir le
cercle .
Le point M du cercle est diamétralement opposé au
point I.
1. a) Que sait-on des segments et ?
b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AIBM ?
Citer la propriété utilisée.
2. a) Que peut-on conclure pour le triangle ABI ?
b) Que peut-on dire du segment ?
3. Que peut-on en déduire pour les triangles ABJ, ABK
et ABL de la partie 1 ?
4. Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Un triangle est … dans un demi-cercle dont le diamètre est … du triangle.
Conclusion : Le triangle est … et le diamètre est son … .
3Appliquer
1. Trois points R, S et T d’un même cercle
sont placés de telle façon que le segment est un
diamètre du cercle
. Que peut-on dire du triangle RST ?
2. Combien de triangles rectangles peut-on nommer dans la figure formée des deux cercles et qui
sont de diamètres respectifs et et qui sont sécants aux points O et U ?
ACTIVITÉ 3 Identifier un triangle rectangle
Comment reconnaît-
on qu’un quadrilatère
est un rectangle ?
AB[]
A
B
I
JK
L
$
AB[]
AB
M
I#
AB[] IM[]
AB[]
RS[]
AB[] EF[]
125427-170-173-Act.fm Page 171 Jeudi, 8. mars 2007 10:05 10

ACTIVITÉS
172
ACTIVITÉS
CERCLE ET ANGLE DROIT
1Construire et conjecturer
1. a) Construire un angle droit .
b) Placer un point M sur la demi-droite et un
point N sur la demi-droite .
c) Placer le milieu du segment , puis tracer le
cercle
de diamètre .
2. Le point O semble-t-il appartenir au cercle ?
2Démontrer
1. a) Que sait-on du triangle MON ?
b) Que représente le côté pour le triangle MON ? Que représente le côté pour le cercle ?
2. a) Justifier que le cercle est le cercle circonscrit au triangle MON.
b) Le point O appartient-il au cercle ?
3Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Un angle MON est … .
Conclusion : Le point … appartient au cercle de diamètre … .
Dans la figure, le point I appartient au disque de diamètre , le point J appartient au cercle de
diamètre , et le point K n’appartient ni au disque ni au cercle de diamètre .
1. Mesurer les angles , et .
2. La mesure de l’angle peut être obte-
nue sans utiliser d’instrument.
Quelle est la propriété qu’il faut utiliser pour
obtenir et justifier la mesure de l’angle ?
3. Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Un point J appartient au … .
Conclusion : L’angle … est … .
ACTIVITÉ 4 Comment prouver qu’un point appartient à un cercle ?
ACTIVITÉ 5 Comment prouver qu’un angle est droit ?
xOy
Ox)[
Oy)[
MN[]
MN[]
MN[]
MN[]
AB[]
AB[] AB[]
#
AB
I
K
J
AIB AJB AKB
AJB
AJB
125427-170-173-Act.fm Page 172 Jeudi, 8. mars 2007 10:05 10

10. TRIANGLE RECTANGLE 173
ACTIVITÉS
ACTIVITÉS
TRIANGLE RECTANGLE ET MÉDIANE RELATIVE À L’HYPOTÉNUSE
1Médiane dans un triangle quelconque
● Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
● La longueur d’une médiane est égale à la longueur du segment joignant le sommet et le milieu du côté opposé relatifs
à cette médiane.
Dans le triangle UTI ci-contre la droite est la médiane issue du
sommet U et relative au côté .
1. Reproduire le triangle UTI ci-contre.
2. a) Tracer la médiane issue du sommet I. Mesurer sa longueur.
b) Tracer la médiane relative au côté [UI].
2Médiane relative à l’hypoténuse d’un triangle rectangle
Dans la figure ci-contre, le triangle OPA est rectangle en A.
Le point I est le milieu du côté .
Le cercle est circonscrit au triangle OPA.
1. Que représente la droite pour le triangle OPA ?
2. Que peut-on dire des longueurs IA et PO ?
3. Synthèse
Si un triangle est rectangle, que peut-on en déduire pour la longueur de
son hypoténuse et la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse ?
1Construire et conjecturer
1. Tracer un segment et placer son milieu S. Tracer une droite passant
par le point S et y placer un point R tel que .
Tracer les côtés manquants du triangle TRE.
2. Quelle semble être la nature du triangle TRE ?
2Prouver
1. Que représente la droite pour le triangle TRE ? Que sait-on des longueurs TE et RS ?
2. Construire le symétrique I du point R par rapport à S. Quelle est la nature du quadrilatère TREI ?
3. Quelle est la nature du triangle TRE ?
4. Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Dans un triangle, un côté mesure … de la médiane … à ce côté.
Conclusion : Le triangle est … et ce côté est son … .
ACTIVITÉ 6 Médiane dans un triangle
ACTIVITÉ 7 Identifier un triangle rectangle
U
I
T
R
S
B
RU()
TI[]
A
O
P
I
#
PO[]
AI()
Deux points A et B
sont symétriques par
rapport à un point
O .
Que peut-on dire des
longueurs
OA et OB ?
TE[] d()
SE SR=
d()
125427-170-173-Act.fm Page 173 Jeudi, 8. mars 2007 10:05 10