triangle rectangle - Hachette

125427-169-Chap10.qxd
8/03/07
Chapitre
9:55
Page 169
10
TRIANGLE
RECTANGLE
Triangle rectangle et cercle circonscrit
Triangle rectangle et médiane
« Agit -Prop-Tram #2 »
de Dennis John Ashbaugh,
1974.
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ACTIVITÉS
TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
ACTIVITÉ 1
Dans un triangle rectangle
Soit un triangle ABC tel que l’angle BAC est droit.
C
1. a) En quel sommet le triangle ABC est-il rectangle ?
B
b) Quels sont les côtés du triangle ABC qui sont perpendiculaires ?
2. a) Quel est le côté opposé à l’angle droit ?
b) Quelle est l’hypoténuse du triangle ABC ?
ACTIVITÉ 2
1
A
Comment obtenir facilement le cercle circonscrit à un triangle rectangle ?
Construire et conjecturer
1. Construire un triangle TAG rectangle en T.
Placer le point N tel que le quadrilatère TANG soit un rectangle.
Comment obtient-on
le centre du cercle
circonscrit à un
triangle quelconque ?
2. On appelle O l’intersection des diagonales [ TN ] et [ GA ] .
Tracer le cercle de centre O et passant par le point A.
3. Que peut-on conjecturer pour le cercle et les points T et G ?
2
Démontrer
1. a) Que représente le point O pour chacune des diagonales [ TN ] et [ GA ] ? Citer la propriété utilisée.
b) Recopier et compléter chaque expression avec le bon symbole :
●
AG
OA … OG … -------- ;
2
●
TN
ON … OT … ------- .
2
2. a) Que peut-on dire des longueurs des diagonales AG et TN ? Citer la propriété utilisée.
AG
TN
b) Que peut-on en déduire pour les quotients -------- et ------- ?
2
2
3. Que peut-on déduire des questions 2. 1. et 2. 2. pour les longueurs
OA, OG et OT ?
4. a) Le point O est-il le centre du cercle circonscrit au triangle TAG ?
b) Le segment [ AG ] est-il un diamètre du cercle circonscrit au triangle
TAG ?
5. Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Un triangle est …
Conclusion : Le centre du cercle … à ce triangle est … .
Un diamètre du cercle
3
…
à ce triangle est
….
Appliquer
Un triangle ABC rectangle en B a une hypoténuse mesurant 6 cm.
Quelle est la longueur du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ?
170
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ACTIVITÉS
CTIVITÉS
COMMENT UTILISER LE CERCLE CIRCONSCRIT
POUR IDENTIFIER UN TRIANGLE RECTANGLE ?
ACTIVITÉ 3
1
Identifier un triangle rectangle
Comment reconnaîton qu’un quadrilatère
est un rectangle ?
Observer et conjecturer
Le demi-cercle a pour diamètre le segment [ AB ] .
Les points I, J, K et L appartiennent tous au demicercle .
J
Les triangles ABI, ABJ, ABK et ABL sont donc tous inscrits
dans le demi-cercle de diamètre [ AB ] .
K
I
$
1. Que peut-on conjecturer pour la nature du triangle
ABI ?
2. Que peut-on conjecturer pour les triangles ABJ, ABK
et ABL ?
2
L
A
B
Prouver
Dans la figure ci-contre, on a reproduit le triangle ABI et
on a complété le demi-cercle pour obtenir le
cercle .
Le point M du cercle est diamétralement opposé au
point I.
#
I
1. a) Que sait-on des segments [ AB ] et [ IM ] ?
b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AIBM ?
Citer la propriété utilisée.
A
B
2. a) Que peut-on conclure pour le triangle ABI ?
b) Que peut-on dire du segment [ AB ] ?
M
3. Que peut-on en déduire pour les triangles ABJ, ABK
et ABL de la partie 1 ?
4. Recopier et compléter la synthèse :
Un triangle est … dans un demi-cercle dont le diamètre est
Conclusion : Le triangle est … et le diamètre est son … .
Condition :
3
…
du triangle.
Appliquer
1. Trois points R, S et T d’un même cercle sont placés de telle façon que le segment [ RS ] est un
diamètre du cercle . Que peut-on dire du triangle RST ?
2. Combien de triangles rectangles peut-on nommer dans la figure formée des deux cercles et qui
sont de diamètres respectifs [ AB ] et [ EF ] et qui sont sécants aux points O et U ?
10. TRIANGLE RECTANGLE
171
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ACTIVITÉS
CTIVITÉS
CERCLE ET ANGLE DROIT
ACTIVITÉ 4
1
Comment prouver qu’un point appartient à un cercle ?
Construire et conjecturer
1. a) Construire un angle droit
x Oy .
b) Placer un point M sur la demi-droite [ O x ) et un
point N sur la demi-droite [ Oy ) .
c) Placer le milieu du segment [ MN ] , puis tracer le
cercle de diamètre [ MN ] .
2. Le point O semble-t-il appartenir au cercle ?
2
Démontrer
1. a) Que sait-on du triangle MON ?
b) Que représente le côté [ MN ] pour le triangle MON ? Que représente le côté [ MN ] pour le cercle ?
2. a) Justifier que le cercle est le cercle circonscrit au triangle MON.
b) Le point O appartient-il au cercle ?
3
Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Un angle MON est … .
Conclusion : Le point … appartient au cercle de diamètre … .
ACTIVITÉ 5
Comment prouver qu’un angle est droit ?
Dans la figure, le point I appartient au disque de diamètre [ AB ] , le point J appartient au cercle de
diamètre [ AB ] , et le point K n’appartient ni au disque ni au cercle de diamètre [ AB ] .
K
J
#
1. Mesurer les angles AIB , AJB et AKB .
B
A
2. La mesure de l’angle AJB peut être obtenue sans utiliser d’instrument.
Quelle est la propriété qu’il faut utiliser pour
obtenir et justifier la mesure de l’angle AJB ?
3. Recopier et compléter la synthèse :
Un point J appartient au
Conclusion : L’angle … est … .
Condition :
I
172
….
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ACTIVITÉS
CTIVITÉS
TRIANGLE RECTANGLE ET MÉDIANE RELATIVE À L’HYPOTÉNUSE
ACTIVITÉ 6
1
Médiane dans un triangle
Médiane dans un triangle quelconque
Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
La longueur d’une médiane est égale à la longueur du segment joignant le sommet et le milieu du côté opposé relatifs
à cette médiane.
●
●
T
Dans le triangle UTI ci-contre la droite ( RU ) est la médiane issue du
sommet U et relative au côté [ TI ] .
R
S
1. Reproduire le triangle UTI ci-contre.
2. a) Tracer la médiane issue du sommet I. Mesurer sa longueur.
b) Tracer la médiane relative au côté [UI].
2
I
U
B
Médiane relative à l’hypoténuse d’un triangle rectangle
Dans la figure ci-contre, le triangle OPA est rectangle en A.
Le point I est le milieu du côté [ PO ] .
Le cercle est circonscrit au triangle OPA.
#
P
A
1. Que représente la droite ( AI ) pour le triangle OPA ?
I
2. Que peut-on dire des longueurs IA et PO ?
3. Synthèse
Si un triangle est rectangle, que peut-on en déduire pour la longueur de
son hypoténuse et la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse ?
ACTIVITÉ 7
1
O
Identifier un triangle rectangle
Construire et conjecturer
1. Tracer un segment [ TE ] et placer son milieu S. Tracer une droite ( d ) passant
par le point S et y placer un point R tel que SE = SR .
Tracer les côtés manquants du triangle TRE.
Deux points A et B
sont symétriques par
rapport à un point O.
Que peut-on dire des
longueurs OA et OB ?
2. Quelle semble être la nature du triangle TRE ?
2
Prouver
1. Que représente la droite ( d ) pour le triangle TRE ? Que sait-on des longueurs TE et RS ?
2. Construire le symétrique I du point R par rapport à S. Quelle est la nature du quadrilatère TREI ?
3. Quelle est la nature du triangle TRE ?
4. Recopier et compléter la synthèse :
Condition : Dans un triangle, un côté mesure … de la médiane …
Conclusion : Le triangle est … et ce côté est son … .
à ce côté.
10. TRIANGLE RECTANGLE
173
125427-174-Savoir.fm Page 174 Jeudi, 8. mars 2007 10:10 10
SAVOIR
1
1 TRIANGLE RECTANGLE
TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT
➞ exercices 1 à 5
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle
circonscrit et le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
● Exemple : Le triangle ABC est rectangle en A.
On déduit que son hypoténuse [ BC ] est le diamètre de son cercle circonscrit
et que le milieu M de son hypoténuse [ BC ] est le centre de son cercle
circonscrit.
A
B
C
M
Propriété
Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle,
alors le triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
une MÉTHODE pour démontrer qu’un triangle est rectangle
E
Le point E appartient au cercle de diamètre [ DF ] .
?
Le triangle DEF est-il rectangle en E ?
D
F
On repère le diamètre du cercle et
➞
On sait que : le triangle DEF est inscrit dans le demi-cercle de
➞
On utilise la propriété : « Si un triangle est inscrit dans un demi-cercle dont le
le troisième sommet du triangle.
On énonce la propriété.
diamètre [ DF ] .
diamètre est un côté du triangle, alors le triangle est rectangle et ce diamètre
est son hypoténuse. »
On conclut.
➞
Donc le triangle DEF est rectangle en E, et le segment [ DF ] est son hypoténuse.
2
CERCLE ET ANGLE DROIT
➞ exercices 6 à 9
Propriétés
Si un angle AMB est droit, alors le point M appartient au cercle de diamètre [ AB ] .
● Si un point M appartient à un cercle de diamètre [ AB ] , alors l’angle AMB est droit.
●
● Exemples :
L’angle AMB est
droit. La première
propriété permet de
conclure que le point
M appartient au cercle
de diamètre [ AB ] .
●
174
A
Le point M appartient
au cercle de diamètre
[ AB ] . La deuxième
propriété permet de
conclure que l’angle
AMB est droit.
●
M
B
M
B
A
125427-175-ExoApp.fm Page 175 Jeudi, 8. mars 2007 10:11 10
APPLIQUER
ET CERCLE CIRCONSCRIT
Triangle rectangle et cercle circonscrit
1
Quelles propriétés peut-on utiliser :
1. pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un
triangle rectangle ?
2. pour conclure qu’un triangle est rectangle ?
4
Le point I appartient au segment [ VO ] .
C
E
EXEERCCICCE GUIDÉ
T
Corrigé p. 301
2
On veut construire un triangle TRI et son cercle circonscrit sachant que :
TRI = 90° , RT = 3 cm et TI = 8 cm .
1. Tracer et coder un schéma du triangle TRI.
2. Construire le triangle TRI.
3. Quelle est la nature du triangle TRI ? Que peuton en déduire pour le centre O de son cercle
circonscrit ? Le placer avec une règle graduée.
4. Tracer le cercle circonscrit au triangle TRI.
3
1. Tracer un losange MATH de centre O.
2. Le point O appartient-il au cercle de diamètre [ MA ] ?
3. Dans cette figure, peut-on tracer d’autres cercles
passant par le point O ? Si oui, préciser leur diamètre
et leur centre.
V
I
U
O
R
Justifier chacune des affirmations :
1 Le point E est le centre du cercle circonscrit au
triangle VIC.
2 Le point I appartient au cercle de diamètre [ CO ] .
3 Le segment [ OV ] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle COV.
5
1. a) Tracer un segment [ AB ] de longueur 6 cm,
puis tracer un demi-cercle de diamètre [ AB ] .
b) Placer le point D sur tel que AD = 2 ,3 cm .
c) Construire le point E qui est le symétrique du point
A par rapport au point D.
2. a) Quelle est la nature du triangle ABD ?
b) Quelle est la nature du triangle ABE ?
Cercle et angle droit
Avec les bons mots
6
1. Quelles propriétés peut-on utiliser pour
conclure qu’un point appartient à un cercle ?
2. Quelles propriétés peut-on utiliser pour conclure
qu’un angle est droit ?
I
Le segment [ CM ] est
un diamètre du cercle ?
qui passe par le point I.
36°
1. Quelle est la mesure de C
l’angle CIM ?
2. Quelle est la mesure de l’angle CMI ?
Le cercle de diamètre [ IO ] est circonscrit au
triangle SOI et le cercle de diamètre [ MO ] est
circonscrit au triangle TOM.
O
7
Le cercle a pour dia#
mètre le segment [ PM ] :
27°
1. Calculer la mesure de
P
l’angle POM .
2. Le point O appartient-il au cercle ?
9
?
63°
T
$
M
#
M
8
I
O
1. La phrase suivante est-elle vraie ?
$
?
S
M
« Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un
côté du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce côté est
l’hypoténuse. »
2. Prouver que le segment [ MO ] est l’hypoténuse du
triangle TOM.
10. TRIANGLE RECTANGLE
175
125427-176-Savoir.fm Page 176 Jeudi, 8. mars 2007 10:12 10
SAVOIR
1
2 TRIANGLE RECTANGLE
MÉDIANE DANS UN TRIANGLE QUELCONQUE
➞ exercices 10 à 13
Définitions
Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé
à ce sommet.
● La longueur d’une médiane est égale à la longueur du segment joignant le sommet et le milieu
du côté opposé relatifs à cette médiane.
●
● Exemple :
Dans le triangle ABC, la droite ( AM ) est issue du sommet A et
passe par le milieu M du côté [ BC ] : c’est la médiane issue du
sommet A.
AM est la longueur de la médiane relative au côté [ BC ] .
2
A
B
M
C
TRIANGLE RECTANGLE ET MÉDIANE RELATIVE À L’HYPOTÉNUSE
➞ exercices 14 à 18
Propriété
Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse est
égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
une MÉTHODE pour calculer la longueur de la médiane relative à l’hypoténuse
H
THE est un triangle rectangle en H.
Le point G est le milieu du côté [ TE ] et TE = 5 cm .
Quelle est la longueur du segment [ GH ] ?
On repère la médiane relative à
E
G
➞
On sait que : la droite ( GH ) est la médiane relative à l’hypoténuse
➞
On utilise la propriété : « Si un triangle est rectangle, alors la médiane
l’hypoténuse et la longueur connue.
On énonce la propriété utilisée.
?
T
[ TE ] et TE = 5 cm .
relative à l’hypoténuse mesure la moitié de l’hypoténuse. »
On conclut.
➞
Donc le segment [ HG ] mesure 2,5 cm.
Propriété Si un côté d’un triangle mesure le double de la longueur de la médiane relative à ce
côté, alors le triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.
● Exemple :
Dans le triangle RIM, le côté [ RM ] mesure 4 cm et la médiane relative au côté [ RM ] mesure 2 cm. On déduit que le triangle RIM est rectangle en I et que le segment [ RM ] est son hypoténuse.
176
I
?
R
2 cm
4 cm
M
125427-177-ExoApp.fm Page 177 Jeudi, 8. mars 2007 10:13 10
APPLIQUER
ET MÉDIANE
Médiane dans un triangle quelconque
10 Dans quels cas la droite ( d ) est-elle la médiane
issue du sommet M ?
1
2
M (d)
M (d)
3
12 1. Construire un triangle LOU tel que :
OU = 4 ,5 cm , LOU = 50° et OUL = 55° .
2. Placer le point P tel que la droite ( LU ) soit la
médiane relative au côté [ OP ] du triangle POL.
M (d)
13 1. a) Tracer un triangle BCM isocèle en M tel que :
A
B
C
D
E
F
11 1. Construire un triangle SIR tel que :
IS = 5 cm , IR = 7 cm et SIR = 45° .
2. a) Tracer la médiane issue du sommet I.
b) Mesurer et donner la valeur approchée, au millimètre près, de sa longueur.
BC = 3 cm et BM = 5 cm .
b) Placer le point A qui est le symétrique du point C par
rapport au point B.
c) Placer le point D qui est le symétrique du point B par
rapport à la droite ( MC ) .
2. La droite ( BM ) est-elle une médiane du triangle
ACM ? Si oui, quelle est sa longueur ?
3. Tracer, puis mesurer la médiane issue du point M
dans le triangle BDM.
Triangle rectangle et médiane relative à l’hypoténuse
14 1. Quelle est la propriété qui permet de comparer les longueurs de la médiane relative à l’hypoténuse
et de l’hypoténuse d’un triangle
E
rectangle ?
2. Quelle est la longueur du
A
segment [ AB ] sachant que
B
D
BE = 3 dm ?
EXEERCCICCE
GUIDÉ
Corrigé p. 301
15 Le point A est le milieu du segment [ MT ] .
16
Soit un triangle TIR isocèle en I. Le point
O est le symétrique du point T par rapport au point I.
1. Faire une figure et la coder.
2. Quelle est la nature du triangle TRO ?
17 Les points C, U et T sont alignés.
Trois triangles
rectangles sont
« cachés » dans
la figure ci-contre.
Les nommer.
R
O
30°
C
U
T
Prouver que le triangle SHA est équilatéral en suivant les étapes ci-dessous :
Avec les bons mots
H
S
18 On utilise la figure de l’exercice 15.
Recopier et compléter le texte suivant :
60°
M
A
T
1. a) Prouver que : AS = AM et AH = AM .
b) En déduire que le triangle SHA est isocèle en A.
2. En utilisant une donnée de l’énoncé et la question 1, conclure que le triangle SHA est équilatéral.
Le triangle MHT est … en H, d’hypoténuse [ … ] .
La droite ( AH ) est la … issue du sommet … .
Dans le triangle TSM rectangle en … , la droite ( SA ) est
la médiane … au côté [ MT ] qui est l’ … du triangle.
Les … de ces deux médianes sont … à MA.
Les points M, S, H et T appartiennent au même … de
centre … et de rayon … .
10. TRIANGLE RECTANGLE
177
125427-178-184-Exos.fm Page 178 Jeudi, 8. mars 2007 10:14 10
SS’’ÉÉVALU
VALU ER
QCM
CM
Q
Pour chacun des exercices suivants, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s).
A
❍
19
X
❍
❍B
Dans quelle(s) figure(s) le point I
est-il le centre du cercle
circonscrit au triangle ?
C
❍
Si échec, voir :
I
ex. 1 à 4
[ DU ]
ex. 1 à 4
I
I
20
21
Un diamètre du cercle circonscrit
à un triangle SUD rectangle en U est
le côté :
[ SU ]
Dans quelle(s) figure(s) le point O
est-il le centre du cercle circonscrit
au triangle ABC ?
[ DS ]
B
A
C
A
22
C
Dans quels cas le triangle TIP est-il
rectangle en I ?
R
Dans quel(s) quadrilatère(s) les
sommets appartiennent-ils tous
au cercle de diamètre [ AB ] ?
M
Le cercle
circonscrit
OT = OI = OP ;
au triangle TIP
et TOP = 180° .
a pour diamètre
[ TP ] .
R
A
25
26
27
ex. 6 et 7
B
C
F
B
A
C
B
A
B
U
D
E
ex. 6 et 8
B
A
E
C
Un triangle CDE est rectangle en D
et A est le milieu de son
hypoténuse. On a sûrement :
AE = ED
CD = DE
AC = AD
ex. 14 et 15
Si le point O est le milieu d’un segment [ AC ] et si OA = OB , alors
le triangle ABC est rectangle en :
A
B
C
ex. 16 et 17
Dans un triangle RST, le point I est
le milieu du côté [ RS ] mesurant
4 cm et IT = 2 cm .
Le triangle RST est-il rectangle ?
oui
non
on ne sait pas
ex. 16 et 17
Vérifier les réponses en page 301
178
D
ex. 5 et 9
T
A
S
N
[ AC ] et [ AE ] sont les diamètres
respectifs des demi-cercles.
Dans quel(s) cas l’angle ABC
est-il droit ?
C
C
B
A
24
ex. 1 à 4
O
A
B
P appartient
au cercle de
diamètre [ TI ] .
T
B
O
O
S
23
❍
B
❍
125427-178-184-Exos.fm Page 179 Jeudi, 8. mars 2007 10:14 10
EXERCICES
S’ENTRAÎNER
Utiliser la bonne propriété
Repérer les données
28 Le point E appartient au demi-cercle de
1
diamètre [ AI ] . Le cercle 2 a pour diamètre [ EI ] et le
cercle 3 a pour diamètre [ AE ] .
Le point O est l’intersection des cercles 2 et 3 .
#3
#1
E
33 Le cercle a pour diamètre l’hypoténuse [ PI ]
de milieu S.
L
#2
P
#
S
I
Quelles propriétés ci-dessous peut-on utiliser pour
prouver que le cercle passe par le point L ?
A
1 Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse
est un diamètre de son cercle circonscrit.
I
O
1. a) Quelles données doit-on choisir pour déterminer la nature de chacun des triangles AEI, AEO et
EIO ?
b) Donner la nature de ces trois triangles.
2. Quelles nouvelles données doit-on choisir pour
prouver que les points A, O et I sont alignés ?
29 Soit un cercle de diamètre [ MN ] et de centre
O. Quelle donnée permet de dire qu’un point R
appartient au cercle ?
RON = 90° ;
MRO = 90° ;
2 Si un triangle est rectangle, alors le milieu de son
hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
3 Dans un cercle, si un triangle a pour sommet les
extrémités d’un diamètre du cercle et un point du
cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point.
4 Si un angle AMB est droit, alors le point M appartient au cercle de diamètre [ AB ] .
34 On considère un triangle ABC rectangle en A.
C
B
MRN = 90° .
30 Un point E appartient à un cercle de diamètre
[ SN ] . Les points A et D sont les symétriques respectifs des points S et N par rapport au point E.
1. Tracer un schéma.
2. Quelles sont les données qui permettent de justifier que le quadrilatère DANS est :
a) un parallélogramme ? b) un losange ?
31 OISE est un parallélogramme et SI = 7 cm .
Pour déterminer la longueur TI, quelles données
doit-on choisir ? Dans quel
ordre les utilise-t-on ?
32 Pour
démontrer
que le triangle ROI est
rectangle en O, quel
côté, quelle médiane et
quelles longueurs doiton choisir ?
35 Sachant qu’un point O appartient à un cercle de
E
T
O
O
A
diamètre [ BL ] , quelle(s) propriété(s) peut-on utiliser
pour prouver que :
a) le triangle BOL est rectangle en O ?
b) l’angle BOL est droit ?
36 Dans un triangle PIN, le point O est le milieu du
B
R
C
Quelle(s) propriété(s) ci-dessous peut-on appliquer
au triangle ABC ?
1 Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse
est un diamètre de son cercle circonscrit.
2 Si un triangle est rectangle, alors la longueur de
la médiane issue du sommet de l’angle droit est
égale à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
S
L
I
A
I
côté [ NP ] et OP = OI .
Quelle propriété doit-on utiliser pour déterminer la
nature du triangle PIN ?
10. TRIANGLE RECTANGLE
179
125427-178-184-Exos.fm Page 180 Jeudi, 8. mars 2007 10:14 10
EXERCICES
Bien conclure
Enchaîner les étapes
37 Sachant que le triangle HIP est rectangle en I,
41 On considère le quadrilatère VIES suivant :
que peut-on conclure au sujet du côté [ HP ]
lorsqu’on utilise la propriété : « Si un triangle est
rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de
son cercle circonscrit. » ?
I
E
70°
?
50°
110°
38 On considère un demi-cercle de diamètre [ RI ]
70°
et deux points O et T de ce demi-cercle.
T
S
?
V
O
I
R
Que peut-on conclure pour les triangles RIO et TIR en
utilisant la propriété : « Si un triangle est inscrit dans
un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle, alors le triangle est rectangle et le diamètre est
son hypoténuse. » ?
1. a) Calculer la mesure de l’angle SVE .
b) Quelle est la nature du triangle VIS ?
c) Le segment [ SI ] est-il un diamètre du cercle circonscrit au triangle VIS ?
2. a) Quelle est la nature du triangle VIE ?
b) Calculer la mesure de l’angle VEI .
c) Quelle est la nature du triangle IES ?
d) Le point E appartient-il au cercle ?
3. Construire le quadrilatère VIES avec VI = 6 cm ,
puis tracer le cercle .
39
Un segment [ AC ] est un diamètre d’un
cercle de centre O et B est un point de ce cercle.
Quelles sont les déductions correctes ?
a Le triangle BCO est isocèle en O.
b Le triangle ABO est équilatéral.
c L’angle ABC est droit.
d Les angles CAB et ACB sont supplémentaires.
42
Le point A appartient au demi-cercle 1
de diamètre [ IJ ] .
Le demi-cercle 2 de diamètre [ AJ ] coupe le segment [ IJ ] au point B.
Le cercle 3 de diamètre [ AB ] coupe le segment
[ AJ ] au point C et coupe le segment [ AI ] au point D.
e Les angles AOB et BOC sont supplémentaires.
#3
A
I
B
f Le point O est le milieu du segment [ AC ] .
C
#1
40 Le point I est le milieu du segment [ BC ] et
AI = 5 cm .
A
C
D
I
B
Que peut-on en déduire pour :
a) les longueurs BC et CI ?
b) la droite ( AI ) ?
c) les longueurs AI et BC ?
d) le triangle ACI ?
e) la mesure de l’angle ABC ?
f) la mesure de l’angle IAB ?
g) le cercle de centre I et de rayon 5 cm ?
180
J
#2
L’objectif est de déterminer la nature du quadrilatère
ACBD.
1. Prouver que l’angle IAJ est droit et en déduire que
l’angle DAC est droit.
2. Prouver que les angles ACB et ADB sont droits.
3. Quelle est la nature du quadrilatère ACBD ?
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EXERCICES
Construire
43 1. Tracer un cercle, puis effacer son centre.
2. Comment peut-on retrouver le centre de ce cercle
en n’utilisant que la règle non graduée et l’équerre ?
44 1. Tracer un segment [ AB ] de longueur 6 cm
et placer son milieu O. Tracer une droite ( d ) passant
par le point A (les droites ( d ) et ( AB ) ne doivent pas
être perpendiculaires).
2. Placer, à la règle non graduée et au compas, deux
points I et J tels que les triangles ABI et ABJ soient
isocèles en B et la droite ( d ) soit la hauteur issue de
A dans chacun des deux triangles ABI et ABJ.
45 1. Construire un triangle FER tel que :
FE = 7 cm ; ER = 6 cm ; FR = 10 cm .
2. En utilisant uniquement le compas et la règle
graduée, tracer les trois hauteurs du triangle FER.
3. Justifier la construction de la hauteur issue du
sommet E.
46 Tracer un cercle de diamètre [ RS ] . Placer un
point O à l’intérieur du disque de diamètre [ RS ] et
un point E à l’extérieur de ce disque.
1. En utilisant la règle :
a) Tracer la droite ( d ) passant par le point S et
perpendiculaire à la droite ( RE ) .
b) Tracer la droite ( e ) passant par le point R et
perpendiculaire à la droite ( OS ) .
2. Justifier chaque construction.
Démontrer
49 1. Tracer un triangle RST rectangle en R et
placer le milieu M de son hypoténuse.
2. Le point M appartient-il à la médiatrice du côté
[ RS ] ?
50
1. Placer quatre
points G, O, A et L alignés dans
cet ordre. Les demi-cercles de
diamètres respectifs [ GA ] et
[ OL ] sont sécants au point S.
2. Quelle est la nature des
triangles GAS et SOL ?
3. Les mesures des angles
GSO et ASL sont-elles égales ?
51
1. Tracer un triangle AOC rectangle en
C. Tracer le cercle de diamètre [ OC ] ; il coupe l’hypoténuse du triangle AOC au point I.
2. Le point I appartient-il au cercle de diamètre
[ AC ] ?
52
Les points M et N appartiennent au
demi-cercle de diamètre [ IE ] .
#
M
Les mesures des
angles MIN et MEN
sont-elles égales ?
N
E
I
47 1. Reproduire
B 4 cm C
le trapèze ABCD de
bases [ BC ] et [ AD ] .
5 cm
2. a) Placer un point
M tel que le triangle
9 cm
A
D
ABM soit isocèle en
M et le triangle CDM soit rectangle en M.
b) Justifier la construction.
3. Combien de solutions obtient-on en fait pour le
point M ?
48 1. Tracer un segment [ MN ] mesurant 8 cm.
2. En utilisant uniquement une équerre, placer un
point O qui appartient au cercle de diamètre [ MN ].
3. Justifier la construction.
53 Les points I et J sont les milieux respectifs des
segments [ AB ] et [ CD ] qui sont de même longueur.
O
Prouver que les longueurs OI et OJ sont
égales.
D
A
J
I
B
C
54
1. Tracer un segment [ MR ] mesurant
6 cm et placer son milieu A. Placer un point S tel que
le triangle MAS soit isocèle en A.
2. Quelle est la nature du triangle MSR ?
10. TRIANGLE RECTANGLE
181
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EXERCICES
Calcul mental
Devoir à la maison
55 Dans quel cas le milieu du côté [ AI ] est-il le
centre du cercle circonscrit au triangle AMI ?
a A = 27° et I = 63° ;
b A = 34° et I = 57° ;
61 La feuille sur laquelle est tracé le triangle ABS a
été déchirée.
c A = 45° et le triangle AMI est isocèle en M.
A
56 Calculer la longueur AM dans chaque cas.
1
B
2
A
M
BC = 6,8 cm
A
C
B
B
M
C
BC = 4,9 cm
1. Bien que le triangle ABS soit incomplet, il est possible d’effectuer les constructions suivantes sans sortir du cadre.
a) Décalquer le cadre et la partie visible du triangle
ABS.
b) Construire, au compas et à la règle non graduée,
le milieu M du côté [ AS ] .
c) Construire, à l’équerre, le milieu N du côté [ BS ].
2. Justifier chaque construction.
57 On considère la figure ci-dessous.
I
J
L
K
1. Calculer la longueur IJ lorsque KL = 13 dm .
2. Calculer la longueur KL lorsque IJ = 4 ,3 cm .
S
58 Le triangle RIS est-il rectangle
lorsque :
a) OI = 5 ,6 cm et RS = 11 ,2 cm ?
O
3
3
b) OI = --- dm et RS = --- dm ?
4
2
R
59 Dans chaque cas, calculer le péri-
I
C
A
mètre du triangle AOC.
a) AB = 10 cm et AC = 4 cm ;
b) OA = 7 cm et AC = 9 cm ;
c) OA = AC = 3 ,5 cm .
O
B
60 Calculer la valeur de x dans chaque figure.
1
2
62 1. Tracer un demi-cercle de diamètre [ RT ]
mesurant 5 cm. Le point S appartient au demi-cercle
et RS = 2 cm . Le point E est le symétrique du point
T par rapport au point S. Le point I est le symétrique
du point T par rapport au point R.
2. a) Quelle est la nature du triangle TRS ?
b) Que représente la droite ( RS ) pour le segment
[ TE ] ? Quelle est la nature du triangle TRE ?
c) Que représente la droite ( ER ) pour le triangle ETI ?
Quelle est la nature du triangle ETI ?
63
Le segment [ CR ] est un diamètre du
cercle . Le point E appartient au cercle .
Le point F est le symétrique du point E par rapport à
la droite ( CR ) .
E
4+x
12
12
4+x
3
4
12
x–4
182
x–4
12
1. Le triangle CER est-il
rectangle en E ?
2. Quelle est la nature
du triangle CFR ?
3. Le point F appartient-il au cercle ?
#
R
C
F
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EXERCICES
SE PERFECTIONNER
Concrètement
A
64 Une échelle de 4 m de long est appuyée contre
un mur vertical. Au début, le pied P de l’échelle est en
contact avec le pied du mur. Ensuite, l’échelle glisse
jusqu’au sol, son sommet S restant toujours en
contact avec le mur.
S
P
B
80 m
100°
D
100 m
C
S
S
M
80°
M
Dans l’espace
M
P
P
1. Sur quelle distance le pied P de l’échelle s’est-il
déplacé ?
2. Justifier que le milieu M de l’échelle parcourt un
quart de cercle dont on précisera le centre et le rayon.
3. Quelle est la distance, au centimètre près, parcourue par le milieu M de l’échelle ?
65 ABCD est un cadre rectangulaire tel que :
AB = 12 cm et AD = 8 cm .
Les extrémités E et F
A
B
d’une tige métallique de
longueur 5 cm peuvent
F
coulisser sur les côtés du
M
cadre.
C
D
E
1. Représenter le cadre ABCD en vraie dimension.
2. a) Quel est le trajet décrit par le milieu M de la tige
lorsque l’extrémité E parcourt tout le cadre ?
b) Construire ce trajet.
3. Quelle est la longueur de ce trajet ?
67 est un cylindre droit.
Les bases du prisme droit A
sont inscrites dans les cercles
de diamètres respectifs [ AC ]
#
et [ DF ] .
On donne :
AB = 3 cm ; BC = 4 cm ;
AC = 5 cm ; AD = 6 cm.
D
C
3
B
F
E
1. a) Justifier que l’angle DEF est droit.
b) Calculer le volume du prisme.
2. a) Calculer l’aire de la base du cylindre. Donner la
valeur exacte en fonction de et une valeur approchée au mm2 près.
b) Calculer le volume du cylindre. Donner la valeur
exacte en fonction de et une valeur approchée au
mm3 près.
68 Une tige coulisse dans un cylindre creux de
hauteur 80 mm. La section de la tige est un triangle
rectangle d’hypoténuse 50 mm et les arêtes latérales
de la tige sont au contact du cylindre.
66 Quatre maisons sont construites sur un terrain.
Les propriétaires souhaitent creuser un puits
commun pour alimenter en eau chaque maison.
Les points A, B, C et D sur le plan désignent les
arrivées d’eau pour chaque maison.
Pour équilibrer les frais entre eux, ils souhaitent que
le puits soit à la même distance de chacune des
maisons.
1. Reproduire le plan en prenant 1 cm pour 10 m.
2. Vérifier, par un calcul, que l’angle en B est droit.
3. Placer l’endroit où creuser le puits. Justifier.
1. Quel est le diamètre intérieur du cylindre ?
2. Le diamètre extérieur du cylindre est de 60 mm.
a) Calculer l’épaisseur de la paroi cylindrique.
b) Calculer le volume de la paroi cylindrique. Donner
la valeur exacte en fonction de et une valeur approchée au mm3 près.
10. TRIANGLE RECTANGLE
183
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EXERCICES
69
1. Tracer un triangle RST acutangle,
c'est-à-dire un triangle dont les trois angles sont
aigus.
Le cercle de diamètre [ RS ] coupe le côté [RT ] au
point A et le côté [ST ] au point E.
2. Justifier que les points A et E sont les pieds des
hauteurs respectivement issues des sommets S et R
du triangle RST.
70 1. a) Construire un trapèze TRIA de bases [RT ]
et [ AI ] tel que :
AI = 12 cm , AT = 6 cm , TR = 8 cm et TAI = 80° .
b) Construire les bissectrices des angles du trapèze.
c) La bissectrice de l’angle A coupe la bissectrice de
l’angle T au point N et elle coupe la bissectrice de
l’angle I au point G. La bissectrice de l’angle R coupe
la bissectrice de l’angle I au point L et elle coupe la
bissectrice de l’angle T au point E.
2. L’objectif est de démontrer que les points G, L, E et
N appartiennent à un même cercle.
a) Démontrer que les angles RTA et IAT sont
supplémentaires.
b) En déduire que les angles NTA et NAT sont
complémentaires.
c) En déduire que l’angle TNA est droit.
d) En déduire que l’angle GNE est droit.
3. L’angle GLE est-il droit ?
4. Démontrer que les points G, L, E et N appartiennent à un même cercle.
71 1. Construire un triangle ACE rectangle et isocèle en C tel que CE = 6 cm . Le point B est le milieu
de l’hypoténuse et le point I est le milieu du côté
[ AC ] . Le point D est le symétrique du point B par rapport au point I.
2. L’objectif est de prouver que le quadrilatère ABCD
est un carré.
a) Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
b) Démontrer que les longueurs BA et BC sont
égales.
c) En déduire que le quadrilatère ABCD est un
losange.
d) Calculer les mesures des angles EAC et ABC .
e) Déduire des réponses précédentes que le quadrilatère ABCD est un carré.
SUR LE CHEMIN DU BREVET
72 1. Tracer une figure à partir des éléments suivants :
[ AB ] est un segment tel que AB = 10 cm ;
● ( d ) est la médiatrice de [ AB ] ;
● E et F sont deux points de la droite ( d ) situés de
part et d’autre du segment [ AB ] ;
● est le cercle de centre E passant par A ;
1
● est le cercle de centre F passant par A ;
2
● G est le symétrique de B par rapport à E ;
● H est le symétrique de B par rapport à F.
2. a) Le point B est-il situé sur les cercles 1 et 2 ?
Pourquoi ?
b) Démontrer que les points G et H sont respectivement situés sur les cercles 1 et 2 .
3. En précisant la nature des triangles AGB et AHB,
démontrer que les points G, A et H sont alignés.
●
Sujet complémentaire, 2001
184
73 Sur la figure suivante :
les points A, B et C sont situés sur le cercle de
centre O ;
● AOB = 100° et BOC = 170° .
●
A
#
D
C
O
B
1. Déterminer les mesures des angles du triangle
ABC. Justifier les réponses.
2. La droite ( OB ) coupe le cercle en D.
Calculer les mesures des angles du triangle BAD.
Justifier les réponses.
D’après un sujet complémentaire, 2004