Le triangle

Le triangle
Bernard Ronk
27 aoˆut 2009
Table des mati`eres
1 Le triangle en tant que polygone de Poncelet 2
1.1 Calcul de la distance d=OI .................... 2
1.2 Lieux g´eom´etriques des points remarquables . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Autres lieux g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Cercles inscrit et exinscrits - Points li´es 10
2.1 Rappels - Th´eor`emes de C´eva et de M´en´ela¨us . . . . . . . . . . . 10
2.2 Cercles inscrit et exinscrits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Autrespointsli´es........................... 15
3 Transformations point↔point et point↔droite 21
3.1 Points isotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Pointsisogonaux ........................... 22
3.3 Correspondance harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Application - Courbes associ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Annexes 27
A Rappel sur les polaires 28
B Syst`emes de coordonn´ees 32
B.1 Coordonn´ees angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.2 Coordonn´ees tripolaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
B.3 Coordonn´ees trilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
B.4 Coordonn´ees barycentriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1

Les propri´et´es de cette figure ayant ´et´e abondamment ´etudi´ees par ailleurs1,
il serait sans int´erˆet de les reprendre ici. Toutefois, certaines propri´et´es sp´ecifi-
quement li´ees `a l’approche retenue pour cette ´etude sont signal´ees dans la
premi`ere section. Il s’agit essentiellement des lieux g´eom´etriques d´ecrits par
les points remarquables du traingle lorsque celui-ci tourne entre son cercle cir-
conscrit et l’un de ses cercles, inscrit ou exinscrits.
La g´eom´etrie du triangle pr´esente un nombre incalculable de propri´et´es dans
de multiples domaines et l’amateur est `a mˆeme d’en d´ecouvrir sans arrˆet de
nouvelles, `a charge pour lui d’en apporter les d´emonstrations.
La seconde section rappelle `a cet ´egard les propri´et´es classiques des cercles
inscrits et exinscrits auxquels sont li´es les points de Gergonne et Nagel et montre
ensuite comment ces notions de points remarquables peuvent ˆetre g´en´eralis´ees
pratiquement sans limite.
Enfin, une troisi`eme partie rappellera quelques transformations point↔point
et point↔droite pouvant ´egalement conduire `a des propri´et´es remarquables.
1 Le triangle en tant que polygone de Poncelet
•Le triangle est le polygone poss´edant le plus petit ordre. A cet ´egard, sa pro-
pri´et´e la plus sp´ecifique est sans doute que tout triangle est un triangle de Poncelet.
•Tout triangle est convexe et poss`ede trois cercles exinscrits.
•Tout triangle peut ”tourner” entre son cercle circonscrit et son cercle ins-
crit.
•De la mˆeme mani`ere, tout triangle peut ”tourner” en conservant ses som-
mets sur son cercle circonscrit et ses cˆot´es tangents `a l’un, au choix, de ses
cercles exinscrits. Bien entendu, les sommets ne peuvent parcourir la partie du
cercle circonscrit int´erieure au cercle exinscrit.
1.1 Calcul de la distance d=OI
On consid`ere (voir figure 1 ci-dessus), dans un syst`eme de coordonn´ees ad-
mettant Apour origine :
– le triangle ABC
– son cercle circonscrit de rayon Ret ayant son centre en O, d’abscisse nulle
et d’ordonn´ee R
– son cercle inscrit de rayon ret ayant son centre en Ide coordonn´ees Ixet
Iy.
L’´equation du cercle circonscrit s’´ecrit :
x2+y2−2.R.y = 0
1Voir en particulier le tr`es complet La G´eom´etrie du triangle par Trajan LUPASCO
Vuibert 1952
2

Fig. 1 – Position du triangle dans le rep`ere cart´esien
tandis que celle du cercle inscrit s’´ecrit :
(x−Ix)2+ (y−Iy)2=r2
On cherche d’abord les pentes m1et m2des droites AB et AC, tangentes
au cercle inscrit issues de A. Pour cela, il suffit d’´ecrire que le syst`eme :
(x−Ix)2+ (y−Iy)2=r2
y=m.x
admet une racine double.
Pour cela, en rempla¸cant ypar m.x dans la premi`ere ´equation et en annulant
le d´eterminant du trinˆome en xainsi obtenu, on trouve :
m2.(r2−I2
x)+2.m.Ix.Iy+ (r2−I2 y)=0
´equation dont les racines sont les valeurs cherch´ees m1et m2et d’o`u on tire en
particulier :
m1+m2=−2.Ix.Iy
r2−I2
x
et m1.m2=r2−I2
y
r2−I2
x
D’autre part, en r´esolvant le syst`eme :
x2+y2−2.R.y = 0
y=mi.x (avec i = 1, 2)
on trouve les coordonn´ees de Bet de Csoit :
Bx=2.R.m1
1 + m2
1
et By=2.R.m2
1
1 + m2
1
3

Cx=2.R.m2
1 + m2
2
et Cy=2.R.m2
2
1 + m2
2
On peut alors ´ecrire l’´equation de la droite BC, par exemple `a partir de :
y−By
y−Cy
=x−Bx
x−Cx
soit, en rempla¸cant par les coordonn´ees de Bet de Cci-dessus et apr`es simpli-
fication :
y.(1 −m1.m2)−x.(m1+m2)+2.R.m1.m2= 0
puis, apr`es remplacement par les valeurs de m1.m2et m1+m2:
y.(−I2
x+I2 y)+2.Ix.Iy.x + 2.R.(r2−I2 y)=0
Il ne reste plus qu’`a ´ecrire que cette droite est tangente au cercle inscrit.
Pour cela on tire yde cette derni`ere ´equation et on le reporte dans celle du
cercle inscrit. On annule alors le d´eterminant pour imposer une racine double
soit, tous calculs effectu´es :
(r2−I2
y).(Iy−R)2+I2 x−R2+ 2.R.r.(Iy−R)2+I2 x−R2−2.R.r= 0
Le facteur r2−I2
yest une solution parasite introduite au cours du calcul. Il ne
reste finalement que deux lieux g´eom´etriques pour I:
(y−R)2+x2=R.(R−2.r) correspondant au cercle inscrit
(y−R)2+x2=R.(R+ 2.r) correspondant au cercle exinscrit
Ainsi, la distance dvaut respectivement :
d=pR.(R−2.r) pour le cercle inscrit.
di=pR.(R+ 2.ri) avec i= 1,2 ou 3 pour les cercles exinscrits.
La distance entre les centres ne d´epend effectivement que des rayons Ret r.
1.2 Lieux g´eom´etriques des points remarquables
D’une fa¸con g´en´erale, les points remarquables issus de l’intersection de 3
c´eviennes2admettent pour lieux g´eom´etriques des cercles centr´es sur l’axe OI
tandis que les points remarquables issus d’une division des cˆot´es d´ecrivent des
courbes plus complexes sym´etriques par rapport `a l’axe OI.
Ainsi, soit un triangle admettant pour cercle inscrit le cercle (CI) de rayon
ret de centre I, et pour cercle circonscrit le cercle (C) de rayon Ret de centre
O. La longueur OI vaut alors d=pR.(R−2.r).
Lorsque ce triangle tourne entre ses deux cercles, les points remarquables
suivants d´ecrivent des cercles dont les centres sont align´e sur l’axe OI, trac´e ici
en pointill´e (voir figure 2). :
2Les c´eviennes sont des droites passant par les sommets
4

– Le centre de gravit´e G, point d’intersection des m´edianes d´ecrit un cercle
de rayon R−2.r
3et de centre gtel que −→
Ig =
−→
IO
3
– L’orthocentre H, point d’intersection des hauteurs, d´ecrit un cercle de
rayon R−2.r et de centre htel que −→ IH =−−→ IO
D’autre part, le cercle inscrit est tangent aux cˆot´es en Ti. On sait que
les points de tangence T0
ide ces mˆemes cˆot´es avec les cercles exinscrits sont
sym´etriques des Tipar rapport aux milieux Mi. (voir figure 2).
– Le point de Nagel N, intersection des droites joignant chaque sommet au
point de contact du cˆot´e oppos´e avec le cercle exinscrit correspondant,
d´ecrit un cercle de centre Iet de rayon R−2.r.
– Enfin, le point de Gergonne Ge, intersection des droites joignant chaque
sommet au point de contact du cˆot´e oppos´e avec le cercle inscrit, d´ecrit
lui aussi un cercle.
Fig. 2 – Lieux g´eom´etriques de quelques points remarquables
Les diff´erents cercles r´ef´erenc´es ci-dessus sont rassembl´es dans le tableau ci-
dessous :
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