Assimilation de données images Stage de recherche en mathématiques appliquées Mots clés : Calcul scientifique, Schéma d’interpolation, Assimilation de données Responsables Vincent Chabot Maëlle Nodet Arthur Vidard Lieu du stage Laboratoire LJK (Laboratoire Jean Kuntzmann, mathématiques appliquées), équipeprojet INRIA MOISE Tour IRMA, 51 rue des Mathématiques Campus Universitaire de Saint Martin d’Hères, Grenoble Contacts [email protected] [email protected] [email protected] Contexte scientifique Les systèmes de prévision numérique du temps sont très sensibles aux états initiaux de l’atmosphère et de l’océan. Cependant, les véritables états de l’atmosphère et de l’océan, à un instant donné, ne sont pas accessibles. En effet, on dispose uniquement d’observations incomplètes et entachées d’erreurs de ces derniers. Les erreurs sur les conditions initiales peuvent se propager et s’amplifier dans le temps et de ce fait nuisent fortement à la qualité de la prévision. Pour réduire ces erreurs et se rapprocher au maximum de l’état réel de l’atmosphère, les schémas d’assimilation de données utilisent au mieux toutes les informations disponibles, c’est à dire les observations, une ébauche (fournie par une prévision à courte échéance issue d’une analyse précédente) et les équations du modèle. Les dernières décennies ont vu croître en densité et en qualité la couverture satellitaire produisant, entre autres, des séquences d’images montrant l’évolution de certains phénomènes géophysiques tels que les dépressions et les fronts. Ces séquences d’images sont jusqu’à présent sous-utilisées en assimilation de données. Objectif du stage Découverte de l’assimilation de données Ce stage sera l’occasion pour l’étudiant de se familiariser avec le domaine de l’assimilation de données. Soit M un modèle régissant 1 l’évolution de variables x représentant l’état du système physique. Soit y un ensemble d’observations de M(x(t)). Soit x0 une ébauche de l’état initial fournie par une prévision précédente. L’idée de l’assimilation de données est de trouver x(t0 ) tel que l’état du système physique coïncide "au mieux" avec les observations, tout en restant "assez proche" de l’ébauche initiale fournie. Cela est fait en minimisant la fonction coût suivante : J (x(t0 )) = kx0 −x(t0 )k2 +ky−H(M(x(t)))k2 , où H est un opérateur d’observation permettant de faire passer les variables d’état du modèle dans l’espace des observations. Création des images synthétiques Les images satellites présentent des mesures indirectes des variables du modèle. Celles-ci peuvent par exemple présenter la concentration d’un traceur passif (par exemple la concentration en phytoplancton dans l’océan). Afin de comparer les images observées et l’état du modèle, il est nécessaire de créer des "images synthétiques", c’est à dire tirées du modèle. La création de cette image synthétique définit l’opérateur H. En notant q(x, y, t0 ) la concentration initiale du traceur, les images synthétiques sont créées en utilisant l’équation d’advection-diffusion suivante : ∂t q(x, y, t) + u(x, y, t)∂x q(x, y, t) + v(x, y, t)∂y q(x, y, t) − νT ∆q(x, y, t) = 0 Dans l’équation précédente, u(x, y, t) et v(x, y, t) (respectivement les vitesses zonales et méridionales de l’océan) sont les variables du modèle utilisées pour créer les images synthétiques. La concentration initiale, q(x, y, t0 ), doit être connue en tout point de l’image. Inpainting Les observations satellitaires de l’océan présentent, en général, des données manquantes dûes aux occlusions de la surface de l’océan par des nuages. Il est en pratique impossible d’avoir accès à une image initiale sans données manquantes. Cependant la connaissance de la concentration initiale, q(x, y, t0 ), est requise en tout point de l’image afin de pouvoir créer des images synthétiques q(x, y, ti ) aux différents temps ti . Il est donc nécessaire de pouvoir reconstruire, à partir d’une séquence d’images présentant des données manquantes, une image de concentration initiale "sans trous", aussi proche que possible de la réalité. Ce stage sera l’occasion d’aborder le problème de la reconstruction des données occultées de l’image initiale via des techniques d’inpainting. La sensibilité de la reconstruction sur la prévision finale devra être étudiée. Compétences requises Goût prononcé pour les mathématiques appliquées et la programmation. Des compétences en Fortran et/ou en C/C++ seraient appréciées. Ce stage est accessible à un étudiant de niveau M1 ou M2. Le contenu du stage sera adapté en fonction du niveau. Durée du stage 4 à 6 mois 2