Sans nom1 - Eklablog

MULTIPLICATIONSETDIVISIONS
Multiplication :loidecompositioninternedansl'ensembleIN,quelsquesoientlesdeuxentiers
naturelsaetb,ilexisteunentiernaturelcdéfiniparc=axb.L'entiernaturelcestappelé
produitdeaparbetchacundesnombresaetbestappeléfacteurdelamultiplication
Signedelamultiplication :x(fois),maisparconventiondanslesécrituresalgébriquesilpeut
êtreremplacéparaucunsigne(ab=axb)ouparunpoint(2.a=2xa)
Lamultiplicationestcommutative:axb=bxa
Lamultiplicationestassociative:(axb)xc=ax(bxc)=axbxc
Lamultiplicationpossèdeunélémentneutre:1.Pourtoutentiernatureln:1xn=nx1=n
Unproduitdefacteursestnulsietseulementsiaumoinsl'undesfacteursestnul
Puissanced'unnombre :lorsqu'unproduitestcomposédefacteurstouségaux,onutiliseles
puissances(3x3=32)
Divisioneuclidienne :opérationquiàdeuxentiersnaturelsaetb,appelésdividendeetdiviseur
associedeuxentiersqetr,appelésquotientetreste
a=bxq+ret0≤r‹b
Multiple :soitaunnombreentier,onappellemultipledeatoutnombredutypenxaavecn
entiernaturel
–28=4x7
–28estunmultiplede4
–28estunmultiplede7
Diviseur :soit2nombresentiersaetb,b≠0,onditquebdiviseasietseulementsiil
existeunnombreentierktelquea=kxb
–28=4x7
–4estundiviseurde28(ou4divise28)
–7estundiviseurde28(ou7divise28)
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Critèresdedivisibilitépar 2ou5:
–unnombreestdivisiblepar2lorsqu'ilseterminepar0,2,4,6,8
–unnombreestdivisiblepar5lorsqu'ilseterminepar0ou5
Critères dedivisibilit é par4ou25:
–unnombreestdivisiblepar4lorsquelenombreforméparses2dernierschiffresestun
multiplede4
–unnombreestdivisiblepar25lorsquelenombreforméparses2dernierschiffresest
unmultiplede25
Critères dedivisibilit é par3ou9:
–unnombreestdivisiblepar3lorsquelasommedeschiffresdecenombreestun
multiplede3(autrementditseramèneà3,6ou9)
–unnombreestdivisiblepar9lorsquelasommedeschiffresdecenombreestun
multiplede9
(autrementditseramène9)
Critères dedivisibilit é par11:
–unnombreestdivisiblepar11lorsqueladifférenceentrelasommedeseschiffresde
rangpairetlasommedeseschiffresderangimpairestunmultiplede11
Critères dedivisibilit é par6,10ou12:
–unnombreestdivisiblepar6s'ilestdivisiblepar2etpar3
–unnombreestdivisiblepar10lorsqu'ilseterminepar0,etsic'estunmultiplede2et
de5
–unnombreestdivisiblepar12s'ilc'estunmultiplede3etde4
Nombrepremier:unnombrepremierestunnombreentierquiadmetexactementdeux
diviseursdistincts,àsavoir1etlui-même:
–ilexisteuneinfinitédenombrespremiers:(2,3,5,7,11,13,17,23,29,31etc...)
–lenombre1admetcommediviseur1etluimême,c'est-à-dire1,iln'aqu'undiviseur
donciln'estpaspremier
–toutnombreentiersupérieurà2est:
–soitpremier
–soits'écritdefaçonuniquecommeproduitdenombrespremiers
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PGCD:leplusgrandcommundiviseurde2nombresentiersestleplusgranddiviseur
communàces2nombres
PPCM:lepluspetitcommunmultiplede2nombresentiersestlepluspetitnombrenonnul
quiestmultipleàlafoisdecesdeuxnombres
Méthodes
Décomposerunnombreenproduitdefacteurspremiers :
1. Diviserlenombrepar2sipossible,sinonpar3,ou5etainsidesuitepourtrouverun
premierdiviseurpremier
2. Diviserdenouveaulenombreobtenupar2sipossible,ou3,ou5,etc...
3. Répétercetteopérationjusqu'àcequelenombreàdivisersoit1
4. Ecrire:nombrededépart=produitdefacteurstrouvésàchaqueétape
44102
22053
7353
2455
497
77
1
Déterminerlenombredediviseursd'unentier :
1. Décomposerlenombreenproduitdefacteurspremiers
2. Utiliserlaformule:<<sin=amxbpxcqx…,alorsnadmet(m+1)x(p+1)x(q+1)...
diviseurs>>.Ajouter1àchaqueexposantduproduitdefacteurspremiers
3. Multiplierentreeuxlesnombrestrouvés
1722
862
4343
1
Soit4410=2x32x5x72
Soit172=22x43
Lesexposantsdespremiersfacteurssont2et1
Enlesaugmentantde1etenlesmultipliantona3x2=6
172a6diviseurs
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Trouvertouslesdiviseursd'unentier :
1. Décomposerlenombreenunproduitdefacteurspremiers
2. Multiplierlesfacteurspremiersobtenusentreeuxdeuxpardeux
3. Lesmultiplierentreeuxtroispartrois,quatreparquatre,etcselonlenombreinitialde
facteurs
4. Ecriretouslesrésultatsobtenusainsique1
5. Vérifierquetouslesdiviseursontététrouvés
3842
1922
962
482
242
122
62
33
1
Déterm inerlePPCMdedeuxnombres :
1. Décomposerchaquenombreenproduitdefacteurspremiers
2. Ecrireleproduitdetouslesfacteurspremiersprésentsdansl'uneoul'autredeces
deuxdécompositions
3. Elevercesfacteursàleurplusgrandepuissance
4. Calculerleproduitobtenu
DéterminerlePGCDdedeuxnombres :
1. Décomposerchaquenombreenproduitdefacteurspremiers
2. Effectuerleproduitdesfacteurspremiersapparaissantdanslesdeuxdécompositions
engardantlesfacteursavecleurpluspetitexposant
3. EcrirelePGCDcommelerésultatdeceproduit
42=2x3x7
63=32x7
doncPPCM(42;63)=2x32x7=126(touslesfacteursavecleurplusgrandexposant)
PPCM(42;63)=126
doncPGCD(42;63)=3x7=21(facteurscommunsavecleurpluspetitexposant)
PGCD(42;63)=21
Onadeuxfacteurspremiers:2et3,doncdéjà2diviseurs
Lesautresdiviseurspossiblessont
1,2,22,23,24,25,26,27,2x3,22x3,23x3,24x3,25x3,26x3,27x3
Soit1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48,64,96,128,192,384
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