Exercice

M1 Universit´e de Versailles-Saint Quentin Alg`ebre
1. Anneaux et alg`ebres
Exercice 1. Soient A,B,C des anneaux et f: A →C, g: B →C des homomor-
phismes d’anneaux. Montrer que D = {(a, b)∈A×B|f(a) = g(b)}est un sous-
anneau de A ×B.
Exercice 2. Soit A un anneau.
(1) Montrer qu’il existe un unique homomorphisme d’anneaux fA:Z→A.
(2) Montrer qu’il existe un unique entier n>0 tel que Ker(fA) = nZ. On appelle
cet entier la caract´eristique de A.
(3) Montrer qu’un anneau fini est de caract´eristique non nulle.
(4) Montrer que la caract´eristique d’un anneau int`egre est soit 0, soit un nombre
premier.
(5) Soit ϕ: A →B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que la caract´eristique
de B divise celle de A.
Exercice 3. Un ´el´ement ad’un anneau A est nilpotent s’il existe un entier n>1
pour lequel on ait an= 0.
(1) Montrer que l’ensemble N des ´el´ements nilpotents de A est un id´eal de A.
(2) Montrer que A/N ne poss`ede pas d’´el´ement nilpotent non nul.
Exercice 4. Si A est un anneau, on note A×l’ensemble de ses unit´es.
(1) Soit A un anneau. Montrer que (A×,×) est un groupe.
(2) Soient A,B des anneaux. Montrer que (A ×B)×= A××B×.
Exercice 5. Soit ϕ: A →B un homomorphisme d’anneaux.
(1) Montrer que ϕ(A×) est inclus dans B×.
(2) On note ϕ×l’application de A×dans B×d´efinie par a7→ ϕ(a). Montrer que
c’est un homomorphisme de groupes.
(3) Si ϕest injective (resp. surjective, bijective), qu’en est-il de ϕ×?
(4) Si ϕ×est injective (resp. surjective, bijective), qu’en est-il de ϕ?
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Exercice 6. Soient A,B des anneaux. Discuter l’injectivit´e (resp. la surjectivit´e)
de l’application ϕ7→ ϕ×de Hom(A,B) dans Hom(A×,B×).
Exercice 7.
(1) Montrer que, pour n∈ {1,2,3,4}, il existe un anneau A tel que le groupe
A×soit d’ordre n.
(2) Montre qu’il n’existe pas d’anneau A tel que le groupe A×soit d’ordre 5.
(3) Montrer qu’il existe un anneau A tel que A×soit isomorphe `a Z.
2. Polynˆomes
Exercice 8. Soit kun corps de caract´eristique 0. D´eterminer l’ensemble des poly-
nˆomes f∈k[X] tels que le polynˆome d´eriv´e f0divise f.
Exercice 9. Soit kun corps de caract´eristique non nulle p.
(1) Soit f∈k[X]. Montrer que f0= 0 si, et seulement si, f∈k[Xp].
(2) D´eterminer l’ensemble des polynˆomes f∈k[X] tels que f0divise f.
Exercice 10. Soit f=a0+a1X + . . . +anXn∈Z[X] de degr´e n. On suppose que
fa une racine rationnelle, qu’on ´ecrit p/q avec p, q ∈Zpremiers entre eux et q6= 0.
Montrer que pdivise a0et que qdivise an.
Exercice 11. Pour f∈Z[X] non nul, on note c(f) le plus grand diviseur commun
aux coefficients de f, qu’on appelle le contenu de f.
(1) Soient f, g ∈Z[X] non nuls de contenu 1. Montrer que fg est de contenu 1.
(2) Soient f, g ∈Z[X] non nuls. Montrer que c(fg) = c(f)c(g).
(3) Soit f∈Z[X] non nul. Montrer que fest irr´eductible sur Zet si et seulement
si fest irr´eductible sur Qet de contenu 1.
Exercice 12. Crit`ere d’Eisenstein.
Soit f∈Z[X] un polynˆome unitaire de degr´e n>1, qu’on ´ecrit :
f= Xn+an−1Xn−1+··· +a1X + a0.
On suppose qu’il existe un nombre premier pdivisant chaque aipour 0 6i6n−1,
et tel que p2ne divise pas a0. Montrer que fest irr´eductible sur Q.
Exercice 13.
(1) Montrer que, pour tout n>1, le polynˆome Xn−2 est irr´eductible sur Q.
(2) Soit pun nombre premier et soit Φp= Xp−1+··· + X + 1. Montrer que le
polynˆome Φp(X+1) est irr´eductible sur Q. En d´eduire que Φpest irr´eductible
sur Q, puis d´eterminer le polynˆome minimal de exp(2iπ/p) sur Q.

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Exercice 14. Pour P ∈C[X] non nul, on pose P∗= Xdeg(P)P(1/X) ∈C(X).
(1) Pour P 6= 0, montrer que P∗est un polynˆome.
(2) Montrer que, pour k>1, il existe un unique polynˆome unitaire Uk∈Z[X]
tel que Xk+ X−k= Uk(X + X−1).
(3) Soit P 6= 0 tel que P∗= P et soit n= deg(P). Montrer qu’il existe Q ∈C[X]
de degr´e [n/2] tel que :
P = Xn/2Q(X + 1/X) si nest pair,
(X + 1)X(n−1)/2Q(X + 1/X) sinon.
(4) Montrer que les coefficients de P et ceux de Q engendrent la mˆeme sous-Z-
alg`ebre de C.
Exercice 15. Pour tout P ∈C[X] non nul, on pose P∗= Xdeg(P)P(1 −1/X). Quels
sont les polynˆomes v´erifiant P∗= P ?
Exercice 16. Soit un entier n>1 et soit ω= exp(2iπ/n)∈C. Montrer qu’un
polynˆome f∈C[X] v´erifie f(ωX) = fsi et seulement s’il appartient `a C[Xn].
Exercice 17. Soit un entier n>0.
(1) Montrer qu’il existe un unique polynˆome Tn∈Z[X] de degr´e nv´erifiant la
condition Tn(cos(θ)) = cos(nθ) pour tout θ∈R. Quelles sont ses racines
complexes ?
(2) Calculer Tnpour n67. Lesquels sont irr´eductibles sur Q?
(3) D´eterminer une relation de r´ecurrence lin´eaire d’ordre 2 entre les Tn,n>0.
En d´eduire que la s´erie g´en´eratrice T=Pn>0Tn(X)Yn∈Z[X][[Y]] v´erifie :
T=1−XY
1−2XY + Y2.
Exercice 18. Montrer que les polynˆomes X4+ 1 et X6+ X3+ 1 sont irr´eductibles
sur Q. Qu’en est-il du polynˆomes X3−5X2+ 1 ?
Exercice 19. Soit K un corps quelconque, et soient a, b ∈K avec a6= 0.
(1) Montrer que f7→ f(aX+b) d´efinit un automorphisme de K-alg`ebre de K[X],
qu’on notera θa,b.
(2) Montrer que tout automorphisme de K-alg`ebre de K[X] est de la forme θa,b.
(3) Montrer que le groupe AutK(K[X]) des automorphismes de K-alg`ebre de K[X]
est isomorphe au groupe affine GA1(K).

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Exercice 20. Soit P ∈Z[X] de degr´e >1. Montrer que pour tous n, k ∈Z, l’entier
P(n+kP(n)) est divisible par P(n). En d´eduire que P ne peut pas prendre que des
valeurs premi`eres sur Z.
Exercice 21. Soit kun corps et soit P ∈k[X] un polynˆome. Montrer que P(X)−X
divise P(P(X)) −X.
Exercice 22. Soit kun corps, et soit f∈k(t) une fraction rationnelle induisant
une application bijective de kdans kdont la r´eciproque soit aussi induite par une
fraction rationnelle `a coefficients dans k. Montrer que fest un polynˆome de degr´e
1 sur k.
3. Extensions de corps
Exercice 23. Calculer le polynˆome minimal sur Qde cos(2π/5), puis de cos(2π/7).
Exercice 24. On pose α=√2 + √3∈Cet K = Q(α).
(1) Montrer que Q(√2,√3) = K.
(2) Calculer le polynˆome minimal fde αsur Qet montrer que K contient toutes
les racines complexes de f.
(3) D´eterminer tous les sous-corps de K.
Exercice 25. Soit L une extension alg´ebrique d’un corps K, soit α∈L et soit f
le polynˆome minimal de αsur K.
(1) Montrer que K(α2)6= K(α) si et seulement si fest pair. Que pensez-vous
qu’il se passe lorsque fest impair ?
(2) A quelle condition portant sur fa-t-on K(α3)6= K(α) ?
Exercice 26. Est-il vrai que Q(3
√2 + 3 √3) = Q(3 √2,3 √3) ?
Exercice 27. Soit α=3
√2 et soit j= exp(2iπ/3). Quels sont les sous-corps du
corps K = Q(α, j) ?
Exercice 28. Soit α∈Cune racine de X3+X2+X+2 et soit K = Q(α). Exprimer
(α2+α+ 1)(α2+α) et (α−1)−1sous la forme aα2+bα +c, avec a, b, c ∈Q.
Exercice 29. Soit α=4
√2∈R. Quels sont les sous-corps de K = Q(α) ?
Exercice 30. Soit aun nombre rationnel strictement positif, et soit pun nombre
premier. On suppose que a1/p /∈Q. Montrer que le polynˆome Xp−aest irr´eductible
sur Q.
Exercice 31. D´eterminer le polynˆome minimal sur Qde √2 + √3 + √5.
Exercice 32. Calculer l’inverse de 3
√2−1 dans Q(3 √2).

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Exercice 33. On pose f= X4−2X2+ 9 ∈Q[X].
(1) Montrer que fest irr´eductible sur Q.
(2) D´ecomposer fen deux facteurs de degr´e 2 dans Q(i).
(3) Montrer que le corps de d´ecomposition de fdans Cest Q(i+√2).
Exercice 34. On note sin et cos les fonctions trigonom´etriques sinus et cosinus
vues commes ´el´ements de la R-alg`ebre C∞(I,R), avec I = ] −π/2, π/2[.
(1) Montrer que R(sin) et R(cos) sont des extensions transcendantes de R.
(2) Montrer que sin est alg´ebrique sur R(cos), et calculer son degr´e.
(3) On note tla fonction θ7→ tan(θ/2). Montrer que R(sin,cos) = R(t).
(4) Montrer que R(sin) ∩R(cos) = R(sin2) = R(cos2), qu’on note K. Calculer
le degr´e de R(sin), puis de R(cos), sur K.
(5) On pose tan = sin /cos. Montrer que R(tan) contient R(sin2). Calculer le
degr´e de R(t) sur R(tan), puis celui de R(tan) sur R(sin2).
Exercice 35. Pour n>1, on note Cnla fonction θ7→ cos(nθ) vue comme ´el´ement
de la R-alg`ebre C∞(R,R).
(1) Pour tout n>1, montrer que R(Cn) est une extension transcendante de R.
(2) Pour tout n>1, montrer que Cn∈R(C1) et que R(C1) est de degr´e fini sur
R(Cn). Calculer ce degr´e.
(3) Comparer R(C2,C3) et R(C1).
4. Homomorphismes d’extensions de corps
Exercice 36. On pose α=3
√2 et j= exp(2iπ/3).
(1) On pose K = Q(α). Montrer que le groupe AutQ(K) est trivial.
(2) On pose L = K(j). Montrer que le groupe AutQ(L) est isomorphe `a S3.
Exercice 37. Soit K = Q(√2+√3). Montrer que le groupe AutQ(K) est isomorphe
`a Z/2Z×Z/2Z.
Exercice 38. Soit L = F2(X) et soit K = F2(X2). Montrer que L est de degr´e 2
sur K et que AutK(L) est trivial.
Exercice 39. Trouver un polynˆome unitaire f∈Q[X] de degr´e 4 dont les nombres
complexes i√3 et 1 + i√3 soient des racines. Si K est le sous-corps de Cengendr´e
par les racines de f, existe-t-il un automorphisme σde K tel que σ(i√3) = 1+i√3 ?