Exercice

M1 Université de Versailles-Saint Quentin
Algèbre
1. Anneaux et algèbres
Exercice 1. Soient A, B, C des anneaux et f : A → C, g : B → C des homomorphismes d’anneaux. Montrer que D = {(a, b) ∈ A × B | f (a) = g(b)} est un sousanneau de A × B.
Exercice 2.
Soit A un anneau.
(1) Montrer qu’il existe un unique homomorphisme d’anneaux fA : Z → A.
(2) Montrer qu’il existe un unique entier n > 0 tel que Ker(fA ) = nZ. On appelle
cet entier la caractéristique de A.
(3) Montrer qu’un anneau fini est de caractéristique non nulle.
(4) Montrer que la caractéristique d’un anneau intègre est soit 0, soit un nombre
premier.
(5) Soit ϕ : A → B un homomorphisme d’anneaux. Montrer que la caractéristique
de B divise celle de A.
Exercice 3. Un élément a d’un anneau A est nilpotent s’il existe un entier n > 1
pour lequel on ait an = 0.
(1) Montrer que l’ensemble N des éléments nilpotents de A est un idéal de A.
(2) Montrer que A/N ne possède pas d’élément nilpotent non nul.
Exercice 4.
Si A est un anneau, on note A× l’ensemble de ses unités.
(1) Soit A un anneau. Montrer que (A× , ×) est un groupe.
(2) Soient A, B des anneaux. Montrer que (A × B)× = A× × B× .
Exercice 5.
Soit ϕ : A → B un homomorphisme d’anneaux.
(1) Montrer que ϕ(A× ) est inclus dans B× .
(2) On note ϕ× l’application de A× dans B× définie par a 7→ ϕ(a). Montrer que
c’est un homomorphisme de groupes.
(3) Si ϕ est injective (resp. surjective, bijective), qu’en est-il de ϕ× ?
(4) Si ϕ× est injective (resp. surjective, bijective), qu’en est-il de ϕ ?
1
2
Exercice 6. Soient A, B des anneaux. Discuter l’injectivité (resp. la surjectivité)
de l’application ϕ 7→ ϕ× de Hom(A, B) dans Hom(A× , B× ).
Exercice 7.
(1) Montrer que, pour n ∈ {1, 2, 3, 4}, il existe un anneau A tel que le groupe
A× soit d’ordre n.
(2) Montre qu’il n’existe pas d’anneau A tel que le groupe A× soit d’ordre 5.
(3) Montrer qu’il existe un anneau A tel que A× soit isomorphe à Z.
2. Polynômes
Exercice 8. Soit k un corps de caractéristique 0. Déterminer l’ensemble des polynômes f ∈ k[X] tels que le polynôme dérivé f 0 divise f .
Exercice 9.
Soit k un corps de caractéristique non nulle p.
(1) Soit f ∈ k[X]. Montrer que f 0 = 0 si, et seulement si, f ∈ k[Xp ].
(2) Déterminer l’ensemble des polynômes f ∈ k[X] tels que f 0 divise f .
Exercice 10. Soit f = a0 + a1 X + . . . + an Xn ∈ Z[X] de degré n. On suppose que
f a une racine rationnelle, qu’on écrit p/q avec p, q ∈ Z premiers entre eux et q 6= 0.
Montrer que p divise a0 et que q divise an .
Exercice 11. Pour f ∈ Z[X] non nul, on note c(f ) le plus grand diviseur commun
aux coefficients de f , qu’on appelle le contenu de f .
(1) Soient f, g ∈ Z[X] non nuls de contenu 1. Montrer que f g est de contenu 1.
(2) Soient f, g ∈ Z[X] non nuls. Montrer que c(f g) = c(f )c(g).
(3) Soit f ∈ Z[X] non nul. Montrer que f est irréductible sur Z et si et seulement
si f est irréductible sur Q et de contenu 1.
Exercice 12. Critère d’Eisenstein.
Soit f ∈ Z[X] un polynôme unitaire de degré n > 1, qu’on écrit :
f = Xn + an−1 Xn−1 + · · · + a1 X + a0 .
On suppose qu’il existe un nombre premier p divisant chaque ai pour 0 6 i 6 n − 1,
et tel que p2 ne divise pas a0 . Montrer que f est irréductible sur Q.
Exercice 13.
(1) Montrer que, pour tout n > 1, le polynôme Xn − 2 est irréductible sur Q.
(2) Soit p un nombre premier et soit Φp = Xp−1 + · · · + X + 1. Montrer que le
polynôme Φp (X+1) est irréductible sur Q. En déduire que Φp est irréductible
sur Q, puis déterminer le polynôme minimal de exp(2iπ/p) sur Q.
3
Exercice 14.
Pour P ∈ C[X] non nul, on pose P∗ = Xdeg(P) P(1/X) ∈ C(X).
(1) Pour P 6= 0, montrer que P∗ est un polynôme.
(2) Montrer que, pour k > 1, il existe un unique polynôme unitaire Uk ∈ Z[X]
tel que Xk + X−k = Uk (X + X−1 ).
(3) Soit P 6= 0 tel que P∗ = P et soit n = deg(P). Montrer qu’il existe Q ∈ C[X]
de degré [n/2] tel que :
n/2
X Q(X + 1/X)
si n est pair,
P=
(X + 1)X(n−1)/2 Q(X + 1/X)
sinon.
(4) Montrer que les coefficients de P et ceux de Q engendrent la même sous-Zalgèbre de C.
Exercice 15. Pour tout P ∈ C[X] non nul, on pose P∗ = Xdeg(P) P(1 − 1/X). Quels
sont les polynômes vérifiant P∗ = P ?
Exercice 16. Soit un entier n > 1 et soit ω = exp(2iπ/n) ∈ C. Montrer qu’un
polynôme f ∈ C[X] vérifie f (ωX) = f si et seulement s’il appartient à C[Xn ].
Exercice 17.
Soit un entier n > 0.
(1) Montrer qu’il existe un unique polynôme Tn ∈ Z[X] de degré n vérifiant la
condition Tn (cos(θ)) = cos(nθ) pour tout θ ∈ R. Quelles sont ses racines
complexes ?
(2) Calculer Tn pour n 6 7. Lesquels sont irréductibles sur Q ?
(3) Déterminer une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 entre les Tn , n > 0.
P
En déduire que la série génératrice T = n>0 Tn (X)Yn ∈ Z[X][[Y]] vérifie :
T =
1 − XY
.
1 − 2XY + Y2
Exercice 18. Montrer que les polynômes X4 + 1 et X6 + X3 + 1 sont irréductibles
sur Q. Qu’en est-il du polynômes X3 − 5X2 + 1 ?
Exercice 19.
Soit K un corps quelconque, et soient a, b ∈ K avec a 6= 0.
(1) Montrer que f 7→ f (aX + b) définit un automorphisme de K-algèbre de K[X],
qu’on notera θa,b .
(2) Montrer que tout automorphisme de K-algèbre de K[X] est de la forme θa,b .
(3) Montrer que le groupe AutK (K[X]) des automorphismes de K-algèbre de K[X]
est isomorphe au groupe affine GA1 (K).
4
Exercice 20. Soit P ∈ Z[X] de degré > 1. Montrer que pour tous n, k ∈ Z, l’entier
P(n + kP(n)) est divisible par P(n). En déduire que P ne peut pas prendre que des
valeurs premières sur Z.
Exercice 21. Soit k un corps et soit P ∈ k[X] un polynôme. Montrer que P(X)−X
divise P(P(X)) − X.
Exercice 22. Soit k un corps, et soit f ∈ k(t) une fraction rationnelle induisant
une application bijective de k dans k dont la réciproque soit aussi induite par une
fraction rationnelle à coefficients dans k. Montrer que f est un polynôme de degré
1 sur k.
3. Extensions de corps
Exercice 23. Calculer le polynôme minimal sur Q de cos(2π/5), puis de cos(2π/7).
√
√
On pose α = 2 + 3 ∈ C et K = Q(α).
√ √
(1) Montrer que Q( 2, 3) = K.
Exercice 24.
(2) Calculer le polynôme minimal f de α sur Q et montrer que K contient toutes
les racines complexes de f .
(3) Déterminer tous les sous-corps de K.
Exercice 25. Soit L une extension algébrique d’un corps K, soit α ∈ L et soit f
le polynôme minimal de α sur K.
(1) Montrer que K(α2 ) 6= K(α) si et seulement si f est pair. Que pensez-vous
qu’il se passe lorsque f est impair ?
(2) A quelle condition portant sur f a-t-on K(α3 ) 6= K(α) ?
√
√ √
√
Exercice 26. Est-il vrai que Q( 3 2 + 3 3) = Q( 3 2, 3 3) ?
√
Exercice 27. Soit α = 3 2 et soit j = exp(2iπ/3). Quels sont les sous-corps du
corps K = Q(α, j) ?
Exercice 28. Soit α ∈ C une racine de X3 +X2 +X+2 et soit K = Q(α). Exprimer
(α2 + α + 1)(α2 + α) et (α − 1)−1 sous la forme aα2 + bα + c, avec a, b, c ∈ Q.
√
Exercice 29. Soit α = 4 2 ∈ R. Quels sont les sous-corps de K = Q(α) ?
Exercice 30. Soit a un nombre rationnel strictement positif, et soit p un nombre
premier. On suppose que a1/p ∈
/ Q. Montrer que le polynôme Xp − a est irréductible
sur Q.
√
√
√
Exercice 31. Déterminer le polynôme minimal sur Q de 2 + 3 + 5.
√
√
Exercice 32. Calculer l’inverse de 3 2 − 1 dans Q( 3 2).
5
Exercice 33.
On pose f = X4 − 2X2 + 9 ∈ Q[X].
(1) Montrer que f est irréductible sur Q.
(2) Décomposer f en deux facteurs de degré 2 dans Q(i).
(3) Montrer que le corps de décomposition de f dans C est Q(i +
√
2).
Exercice 34. On note sin et cos les fonctions trigonométriques sinus et cosinus
vues commes éléments de la R-algèbre C ∞ (I, R), avec I = ] − π/2, π/2[.
(1) Montrer que R(sin) et R(cos) sont des extensions transcendantes de R.
(2) Montrer que sin est algébrique sur R(cos), et calculer son degré.
(3) On note t la fonction θ 7→ tan(θ/2). Montrer que R(sin, cos) = R(t).
(4) Montrer que R(sin) ∩ R(cos) = R(sin2 ) = R(cos2 ), qu’on note K. Calculer
le degré de R(sin), puis de R(cos), sur K.
(5) On pose tan = sin / cos. Montrer que R(tan) contient R(sin2 ). Calculer le
degré de R(t) sur R(tan), puis celui de R(tan) sur R(sin2 ).
Exercice 35. Pour n > 1, on note Cn la fonction θ 7→ cos(nθ) vue comme élément
de la R-algèbre C ∞ (R, R).
(1) Pour tout n > 1, montrer que R(Cn ) est une extension transcendante de R.
(2) Pour tout n > 1, montrer que Cn ∈ R(C1 ) et que R(C1 ) est de degré fini sur
R(Cn ). Calculer ce degré.
(3) Comparer R(C2 , C3 ) et R(C1 ).
Exercice 36.
4. Homomorphismes d’extensions de corps
√
On pose α = 3 2 et j = exp(2iπ/3).
(1) On pose K = Q(α). Montrer que le groupe AutQ (K) est trivial.
(2) On pose L = K(j). Montrer que le groupe AutQ (L) est isomorphe à S3 .
√ √
Exercice 37. Soit K = Q( 2+ 3). Montrer que le groupe AutQ (K) est isomorphe
à Z/2Z × Z/2Z.
Exercice 38. Soit L = F2 (X) et soit K = F2 (X2 ). Montrer que L est de degré 2
sur K et que AutK (L) est trivial.
Exercice 39.
√ Trouver√un polynôme unitaire f ∈ Q[X] de degré 4 dont les nombres
complexes i 3 et 1 + i 3 soient des racines. Si K est le sous-corps√de C engendré
√
par les racines de f , existe-t-il un automorphisme σ de K tel que σ(i 3) = 1 + i 3 ?
6
Exercice 40. Soit f = X3 + aX + b un polynôme irréductible dans Q[X], et soit
D son corps de décomposition sur Q. On pose d = −27b2 − 4a3 et on note x1 , x2 , x3
les trois racines de f dans D.
(1) On note K1 = Q(x1 ). Montrer que D est une extension de K1 de degré 6 2,
engendrée par x2 . Décrire les éléments de HomQ (K1 , D), et en déduire que
le groupe G = Aut(D) est d’ordre 3 ou 6, selon que D = K1 ou non.
(2) Montrer que tout σ ∈ G définit une permutation σ̄ ∈ S3 telle que :
σ(xi ) = xσ̄(i) ,
i ∈ {1, 2, 3}.
Montrer que σ 7→ σ̄ est un homomorphisme injectif de groupes de G dans
S3 , d’image notée Ḡ. En déduire que Ḡ contient le groupe alterné A3 .
(3) On pose :
∆ = (x1 − x2 )(x1 − x3 )(x2 − x3 ) ∈ D× .
Montrer que ∆2 = d et en déduire que Q(∆) est de degré 6 2 sur Q. (On
pourra remarquer que ∆2 = −f 0 (x1 )f 0 (x2 )f 0 (x3 ).)
(4) On suppose que d est un carré de Q× . Montrer que Ḡ = A3 . (On pourra
étudier l’action de S3 sur ∆.) En déduire que D est galoisienne et de degré
3 sur Q.
(5) On suppose que d n’est pas un carré de Q× . Montrer que [D : Q] = 6 et que
Ḡ = S3 . (On pourra utiliser Q(∆).) Montrer que D est galoisienne sur Q.
Exercice 41. Soit K un corps de caractéristique 6= 2 et soit L une extension de K
de degré 2.
(1) Soit α ∈ L. Montrer que L = K(α) si et seulement si α ∈
/ K.
(2) Montrer qu’il existe un α ∈ L× tel que α2 ∈ K× et L = K(α). En déduire
que AutK (L) est isomorphe au groupe Z/2Z.
Exercice 42. Soit K un corps de caractéristique égale à un nombre premier p, et
soit a ∈ K. On note τa le K-automorphisme de K(X) défini par X 7→ X + a. Montrer
que le sous-corps des τa -invariants de K(X) est égal à K(fa ), avec fa = Xp − ap−1 X.
Exercice 43.
Soit K un corps.
(1) Montrer que l’application de AutK (K(X)) dans K(X) définie par σ 7→ σ(X)
est injective.
(2) Montrer que son image, notée HK , est constituée des homographies de K(X),
c’est-à-dire des fractions de la forme :
aX + b
, ad − bc 6= 0.
cX + d
7
(3) Montrer que HK , muni de la loi (f, g) 7→ f ◦ g, est un groupe, et montrer que
σ 7→ σ(X) est un isomorphisme de groupes.
(4) Montrer que l’application :
aX + b
a b
∈ GL2 (K) 7→
∈ HK
c d
cX + d
est un homomorphisme surjectif de groupes. Quel est son noyau ?
5. Correspondance de Galois
Exercice 44.
On pose :
√
1+ 5
.
α=
2
√
(1) Montrer que L = Q(α) contient K = Q( 5), et calculer le degré de L sur K.
s
(2) Montrer que L est galoisienne sur K et que K est galoisienne sur Q.
(3) Déterminer le polynôme minimal de α sur Q et calculer ses racines complexes.
(4) En déduire que L n’est pas galoisienne sur Q.
Exercice 45.
On pose :
q
√
α = 3 + 3.
(1) Trouver un polynôme de degré 4 dans Q[X] annulant α, puis calculer le degré
de α sur Q.
√
√
(2) Montrer que 2 ∈
/ Q(α), puis que K = Q(α, 2) est le corps de décomposition
de f sur Q.
(3) Montrer que Gal(K/Q) est non abélien et d’ordre 8. Est-il isomorphe à D4
ou à Q8 ?
Exercice 46.
Soit :
q
√
3
α = 2 + 2.
(1) Trouver un polynôme de degré 6 dans Q[X] annulant α.
(2) Calculer le degré de α sur Q.
(3) Calculer le polynôme minimal de α2 sur Q.
√
(4) On pose j = exp(2iπ/3). Montrer que E = Q(α, 3 2, j) est le corps de décomposition de PminQ (α) sur Q.
√
(5) Montrer que 3 2 n’appartient pas à Q(α). En déduire la valeur de [E : Q].
(6) Calculer Gal(E/Q).
8
Exercice 47.
Soit :
q
√
w = 2− 2+i
2 − 1.
p
p√
√
(1) Montrer que |w| = 1, et en déduire que w−1 = 2 − 2 − i
2 − 1.
q
√
(2) Trouver un polynôme de degré 4 dans Q[X] annulant β = (w + w−1 )/2.
(3) Montrer que les racines complexes du polynôme f = X4 − 4X2 + 2 sont :
q
q
q
q
√
√
√
√
x1 = 2 + 2, x2 = 2 − 2, x3 = − 2 + 2, x4 = − 2 − 2.
p
√
(4) Montrer que le corps de décomposition E de f sur Q est Q( 2 − 2).
(5) Montrer qu’il existe un unique σ ∈ G = Gal(E/Q) tel que σ(x1 ) = x2 .
(6) Montrer que σ opère sur les racines de f comme le cycle (1 2 3 4) ∈ S4 , et
que G est engendré par σ. En déduire que G ' Z/4Z.
√
2
(7) Montrer que Eσ = Q( 2). En déduire qu’il
√ existe un unique homomorphisme surjectif de groupes Φ : G → Gal(Q( 2)/Q) ' Z/2Z.
(8) Montrer que les quatre racines complexes du polynôme g = X4 − 2X2 − 1
sont :
q
q
q
q
√
√
√
√
y1 =
2 + 1, y2 = i
2 − 1, y3 = −
2 + 1, y4 = −i
2 − 1.
p√
(9) Montrer que le corps de décomposition E0 de g sur Q est Q(i,
2 + 1).
(10) Montrer que la conjugaison complexe z 7→ z̄ est un élément de G0 = Gal(E0 /Q)
que l’on notera γ.
(11) Montrer qu’il existe un unique automorphisme σ 0 ∈ G0 tel que σ 0 opère sur
les racines de g comme le cycle (1 2 3 4) ∈ S4 , et montrer que γ opère comme
la transposition (2 4).
(12) Montrer que G0 est engendré par σ 0 et γ.
(13) Trouver le sous-groupe Π de S4 tel que G0 opère sur les racines de g comme
Π.
√
(14) Montrer que Q(√ 2) est un sous-corps de E0 , et déterminer le sous-groupe
H = Gal(E0 /Q( 2)). On note Φ0 l’homomorphisme surjectif :
√
G0 → Gal(Q( 2)/Q) ' Z/2Z
de noyau H.
(15) Montrer que G0 possède cinq sous-groupes d’ordre 2 et trois sous-groupes
d’ordre 4. Les déterminer explicitement, ainsi que les sous-corps d’invariants
qui leur correspondent. Lesquels sont des extensions galoisiennes de Q ?
(16) Trouver un polynôme P unitaire de degré 8 dans Q[X] annulant w.
9
(17) Déterminer toutes les racines complexes de P (on remarquera que les coefficients de P sont symétriques).
(18) Montrer que Q(w) est de degré 8 sur Q. En déduire que P est irréductible
sur Q.
(19) Montrer que le corps de décomposition de P sur Q, qu’on note L, est égal
au corps de décomposition de f g sur Q.
(20) Montrer que G = {(a, a0 ) ∈ G × G0 | Φ(a) = Φ0 (a0 )} est un sous-groupe de
G × G0 , qui est isomorphe à Gal(L/Q).
Exercice 48. Soit E une extension galoisienne de degré 4 de Q dont le groupe de
Galois est cyclique, c’est-à-dire isomorphe à Z/4Z.
(1) Montrer
qu’il existe d ∈ Q× qui n’est pas un carré dans Q et qui est tel que
√
Q( d) soit l’unique sous-extension de degré 2 de E sur Q.
(2) Montrer qu’il existe
Q
tels que d(a2 − db2 ) soit un carré non nul de Q
pa, b ∈ √
a+b d .
et tel que E = Q
(3) Montrer que d est une somme de deux carrés de Q.
p
√ (4) Si a0 , b0 ∈ Q vérifient E = Q
a0 + b0 d , montrer que d(a02 − db02 ) est un
carré non nul de Q.
(5) Inversement, soient des nombres rationnels d, a, b ∈ Q tels que d ne soit pas
un carré dans Q et tel que d(a2 − db2 ) soit un carré non nul dans Q. Montrer
que l’extension :
q
√
0
a+b d
E =Q
est une extension galoisienne de Q de degré 4 dontple groupe de Galois est
√
cyclique. Puis montrer que le polynôme minimal de a + b d sur Q est égal
à X4 − 2aX2 + (a2 − db2 ).