Liste d`exercices n 5 Géodésiques Algèbre tensorielle et extérieure

Université de BORDEAUX
Géométrie Différentielle L3/2016
Liste d’exercices n◦ 5
Géodésiques
Exercice 1
1. Soit S une surface contenant une droite D. Montrer que la droite D parcourue à vitesse
constante est une géodésique.
2. Montrer qu’un grand cercle de S2 de parcouru à vitesse constante est une géodésique.
Exercice 2
Soit c un arc birégulier tracé sur une surface S. Montrer que c est porté par une géodésique
de S si et seulement si son plan osculateur est en tout point normal à S.
Exercice 3
p
On considère le tore d’équation ( x2 + y 2 − R)2 = z 2 = r2 . Montrer que les méridiens
(parcourus à vitesse constante) sont des géodésiques. Parmi les quatre parallèles passant par les
points (R + r, 0, 0), (R − r, 0, 0), (R, 0, r) et (R, 0, −r) (parcourus à vitesse constante), lesquels
sont des géodésiques ?
Algèbre tensorielle et extérieure
Exercice 4
Soit V un espace vectoriel réel de dimension finie et soient f ∈ Lk (V ), g ∈ L` (V ) deux
tenseurs. Montrer que f ⊗ g = 0 ∈ Lk+` (V ) si et seulement si f = 0 ou g = 0.
Exercice 5
Soit V un espace vectoriel et soit (l1 , . . . , lk ) une famille de formes linéaires sur V (k ≥ 1).
1. Montrer (l1 , l2 ) est liée si et seulement si l1 ∧ l2 = 0.
2. Établir plus généralement que (l1 , . . . , lk ) est liée si et seulement si l1 ∧ . . . ∧ lk = 0.
Exercice 6 (formes alternées décomposables)
Soit V un espace vectoriel de dimension finie n. Une k-forme linéaire alternée α ∈ ∧k V ∗ est
dite décomposable s’il existe des formes linéaires l1 , . . . , lk ∈ V ∗ telles que α = l1 ∧ . . . ∧ lk .
1. Dans cette question on prend n = 4. Soit (li )i=1,...,4 une base de V ∗ et soit ω = l1 ∧l3 +l2 ∧l4 .
Calculer ω ∧ ω et montrer que ω n’est pas décomposable.
2. Vérifier que toute forme de degré maximal n est décomposable.
3-a. Soit α ∈ ∧n−1 V ∗ . On définit ψ ∈ L(V ∗ , ∧n V ∗ ) par ψ(l) = l ∧ α. En considérant une
base de Ker ψ prouver que α est décomposable.
3-b. On suppose que n = 3. Soit (l1 , l2 , l3 ) une base de V ∗ . Donner une décomposition de
α = l1 ∧ l2 + l2 ∧ l3 + l3 ∧ l1 .
4. Soit l ∈ V ∗ \ {0} et soit α ∈ ∧k V ∗ (1 ≤ k ≤ n). Établir qu’il existe β ∈ ∧k−1 V ∗ telle que
α = l ∧ β si et seulement si l ∧ α = 0 [on pourra compléter l en une base de V ∗ ].
Formes différentielles
N.B. : Toutes les formes différentielles sont de classe C ∞ .
Exercice 7
Soient ω1 et ω2 des formes différentielles fermées (de degrés arbitraires) sur un ouvert U de
l’espace Rn .
1. Vérifier que ω1 ∧ ω2 est fermée.
2. Si de plus ω1 est exacte sur U , montrer que ω1 ∧ ω2 est exacte sur U .
Exercice 8
Soit ω ∈ Ω1 (R3 ) définie par ω = (12x3 z + 2xy 3 )dx + 3x2 y 2 dy + 3x4 dz.
1. Vérifier que ω est fermée. Que peut-on en conclure ?
2. Déterminer toutes les fonctions différentiables f : R3 → R telles que df = ω.
Exercice 9
1. Soit U un ouvert connexe de Rn et soit ω = df (f ∈ C ∞ (U, R)) une 1-forme exacte sur U .
Déterminer les fonctions g ∈ C ∞ (U, R) telles que dg = ω.
2. Soit U1 et U2 deux ouverts étoilés de Rn d’intersection connexe. Montrer que toute 1-forme
différentielle fermée sur U1 ∪ U2 est exacte.
3. Si n ≥ 3, prouver que toute 1-forme différentielle fermée sur Rn \ {0} est exacte.
4. Discuter le résultat précédent quand n = 2 [cf. exercice 12].
Exercice 10
On définit une 2-forme σ ∈ Ω2 (R3 \ {0}) par
σ(p) · (u, v) = det(p, u, v)
(p ∈ R3 \ {0}, u ∈ R3 , v ∈ R3 ).
1. Exprimer σ dans les coordonnées usuelles (x, y, z) de R3 .
2. La forme σ est-elle fermée ? On pose f (p) = hp, pi1/2 (p ∈ R3 \ {0}). Montrer qu’il existe
un unique α ∈ R tel que f α σ soit fermée.
3. Vérifier que la forme f −3 σ est invariante par les homothéties (de rapport > 0) centrées à
l’origine.
4. Donner un système de coordonnées sphériques ψ défini sur U = ]0, 2π[×] − π/2, π/2[ à
valeurs dans la sphère unité. Prouver, sans l’expliciter, que la forme
ψ ∗ (σ) ∈ Ω2 (U ) est fermée.
R
5. Expliciter ψ ∗ (σ) sous la forme g(θ, ϕ)dθ ∧ dϕ et calculer U g(θ, ϕ)dθdϕ.
6. Vérifier la relation
f ∗ (dt/t) ∧ σ = dx ∧ dy ∧ dz
((x, y, z) ∈ R3 \ {0}).
Exercice 11
Toutes les courbes considérées dans cet exercice sont supposées de classe C 1 par morceaux.
Soit U un ouvert de Rn et soit ω ∈ Ω1 (U ). Pour toute courbe γ : [a, b] → U , on définit
R
Rb
0
γ ω = a ω(γ(t)) · γ (t)dt (appelée intégrale de ω le long de γ).
R
R
1. Soit ϕ un C 1 -difféomorphisme de [c, d] sur [a, b]. Montrer que γ◦ϕ ω = γ ω avec = 1
(resp. −1) si ϕ est croissante (resp. décroissante).
R
2. On suppose que ω est exacte et que γ est fermée (γ(a) = γ(b)). Montrer que γ ω = 0.
R
3. On suppose ici que γ ω = 0 pour toute courbe fermée γ : [a, b] → U . Soit p ∈ U fixé.
R
3-a. Soit x ∈ U et soit γ une courbe qui joint p à x. Prouver que γ ω est indépendant du
R
choix de γ. On pose f (x) = γ ω.
3-b. Établir que f est différentiable sur U avec df = ω.
4. Énoncer une caractérisation des 1-formes exactes sur U .
Exercice 12
Soit ω ∈ Ω(R2 \ {0}) définie par ω(x, y) = (xdy − ydx)/(x2 + y 2 ).
1. Vérifier que ω est fermée.
Soit I un intervalle ouvert de R et soit γ : I → R2 une courbe régulière de classe C 2 .
2. Expliciter γ 0∗ ω sous la forme f (t)dt (t ∈ I). Interpréter géométriquement la fonction |f |.
3. À partir du cas où γ(t) = eit (t ∈ R), prouver que ω n’est pas exacte.
4. On considère la carte polaire Φ :]0, ∞[×] − π, π[→ R2 \] − ∞, 0] définie par Φ(ρ, θ) = ρeiθ .
4-a. Exprimer Φ∗ (ω).
5. On suppose de plus que γ(I) ⊂ R2 \] − ∞, 0].
5-a. Montrer qu’il existe une fonction (r, ϕ) : I →]0, ∞[×] − π, π[ de classe C 2 telle que
γ(t) = r(t)eiϕ(t) pour tout t ∈ I R[on vérifiera que Φ est un difféomorphisme].
5-b. Si [a, b] ⊂ I, exprimer γ|[a,b] ω en fonction de ϕ, a et b ; énoncer géométriquement le
résultat obtenu.
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