ensembles de nombres

Chapitre 1
ENSEMBLES DE NOMBRES
Ne pas confondre « nombre » et « chiffre »
Les nombres servent à dénombrer, calculer….les chiffres servent à écrire les nombres.
Numération de position : Principe selon lequel la signification d'un chiffre dépend de sa
position dans le nombre. Par exemple, dans 3033, le 3 le plus à droite signifie 3, le second le
plus à droite 30, et le plus à gauche 3000.
Les nombres sont écrits à partir de 10 chiffres ou encore en base 10
ex. 2357 = 2×103+3×102+5×101+7
I - Les entiers naturels
1. Définition
L’ensemble des entiers naturels noté
addition à partir de 0 et 1.
est celui des nombres obtenus (générés) par
= {0 ;1 ;…. ;n ;n+1 ;…}
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté
3
se lit 3 appartient à , 0 
*
se lit 0 n’appartient pas à
étoile.
Deux autres définitions pour réfléchir :
Définition simple
 L'ensemble des entiers naturels est noté est celui des nombres « sans virgule » plus
grands ou égale à 0. Il en existe une infinité
= {0 ,1 , 2 , 3, ...}
Les entiers naturels sont les premiers et les plus utilisés dans la vie courante.
En fait tout nombre qui sert à dénombrer une collection d'objets est un entier naturel.
A une collection vide c'est à dire sans objets (un sac vide par exemple) on fait
correspondre le nombre 0.
Définition d’un mathématicien nommé Peano
(Giuseppe Peano 27 août 1858 - 20 avril 1932) est un mathématicien italien. Il est l'auteur de plus de 200
publications, d'abord analyste, puis logicien, mais plus intéressé par la formalisation des mathématiques que
par la logique elle-même, il finira par consacrer la fin de sa vie à la mise au point et à la promotion du Latino
sine flexione, un latin à la grammaire très simplifiée, qu'il voyait comme une langue auxiliaire pour les échanges
internationaux, en particulier scientifiques)
 La définition des entiers naturels de Peano est décrite par cinq axiomes :
1.
2.
3.
4.
5.
l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.
Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou n+1.
Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses
éléments, alors cet ensemble est égal à .
1
Chapitre 1
2. Représentation sur une droite :
On remarque la régularité : les nombres se suivent de 1 en 1, il n'y a aucun entier
naturel entre 1 et 2 , 2 et 3 etc...
3. Opérations dans
Théorème 1 : La somme de deux entiers naturels est un entier naturel.
Théorème 2 : le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
Ces théorèmes ne sont pas valables pour la soustraction et la division.
4. Nombres premiers.
Définition : Un nombre est dit premier, s'il admet exactement 2 diviseurs distincts
(lui-même et l'unité). 1 n'est donc pas premier.
Crible d’Eratosthène (environ 276-194 av JC)

On écrit tous les nombres
 On élimine 1 et tous ceux qui
sont divisibles par 2
 puis par 3
 Ainsi de suite pour tous les
nombres les plus petits qui
restent.
Les nombres successifs qui restent
sont des nombres premiers
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9 10
19 20
29 30
39 40
49 50
59 60
69 70
79 80
89 90
99 100
Pour aller plus loin :
Pierre de Fermat (1601 ; 1665) est l’auteur de la plus célèbre conjecture des mathématiques :
« Soit n un entier au moins égal à trois. Il n'existe pas de nombres entiers non tous nuls
vérifiant l'équation xn + yn = zn. »
Fermat prétendait en détenir une preuve étonnante, mais il inscrivit dans la marge d’un
ouvrage de Diophante d'Alexandrie (IIIème siècle de notre ère) ne pas avoir assez de place
pour la rédiger !!! ? Il fallu attendre trois siècles et demi pour qu’en 1995, un anglais, Andrew
Wiles, en vienne à bout et empoche récompenses et célébrité.
Plus tard, Christian Goldbach (1690 ; 1764) affirmera que
« Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. »
A l’heure à l’heure actuelle, cette conjecture dont l’énoncé est pourtant très simple, reste sans
preuve.
2
Chapitre 1
5. Nombres composés
Définition : un nombre composé est un entier naturel différent de 0 et 1 qui n’est pas
premier.
Théorème 3 : Tout nombre supérieur ou égale à 2 est premier ou s’écrit sous la forme
d’un produit de nombres premiers.
Cette écriture est appelée décomposition du nombre en produit de facteurs
premiers et elle est unique.
6. Nombres premiers entre eux
Deux entiers naturels premiers entre eux sont des nombres qui n’ont pas d’autre
diviseur commun que 1. Leur PGCD est 1.
7. PGCD et PPCM de deux nombres à partir de leur décomposition en facteurs
premiers.
Le PGCD de deux nombres est le produit des facteurs premiers qui appartiennent à
l’une et à l’autre des décompositions en facteurs premiers à la plus petite puissance.
Le PPCM de deux nombres est le produit des facteurs premiers qui appartiennent à
l’une ou à l’autre des décompositions en facteurs premiers à la plus grande puissance.
ex. : Soit deux nombres A = 22×34×5×73 et B = 2×32×74×11
PGCD (A, B) = 2×32×73
A = 2×32×73×2×32×5
B = 2×32×73×7×11
PPCM (A, B) = 22×34×5×74×11= A×7×11 = B×2×32×5
Une curiosité : nombre palindrome
1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
11111111² = 123456787654321
111111111²= 12345678987654321
3
Chapitre 1
II – Entiers relatifs
1.
2.
3.
Définition : L’ensemble des entiers relatifs, ou entiers, noté est celui des entiers
naturels et de leurs opposés.
deux nombres opposés sont deux nombres dont la somme est 0.
Représentation sur une droite
Le nombre 1 est situé une unité à droite du 0, et on place le nombre -1 une unité à
gauche de 0, le nombre 2 est situé deux unités à droite de 0 et le nombre -2, deux unités
à gauche de 0 etc ...
on remarque que les entiers relatifs sont régulièrement répartis de 1 en 1 et à gauche et à
droite de 0.
Opérations dans :
Dans toutes les additions et toutes les soustractions sont possibles, on parle de somme
algébrique ou somme. (soustraire un nombre c’est ajouter son opposé)
Théorème 4 : la somme, ou le produit, de deux entiers relatifs est un entier relatif.
Remarques : toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans . ex 2 
3
Tout entier naturel est un entier relatif on dit que est inclus dans et on note
 ce qui signifie que si a  alors a  la réciproque est fausse.
III – Nombres décimaux
1. Définition : l’ensemble des nombres décimaux, noté , est celui des nombres qui
a
peuvent s’écrire sous la forme n avec a et n
10
(ou sous la forme a10n avec a  et n  )
1232
ex : 1,232 =
ou 1,232 = 123210-3.
3
10
2. Théorème 5 :
Dire qu’un nombre est un nombre décimal équivaut à dire que son écriture sous forme
d’une fraction irréductible a un dénominateur de la forme 2p5q avec p et q .
21
21 5 105
61
122 2  61


ex : 1,22 =
=
=
et
.
100 2²  5² 2  5²
2²  5 2²  5² 10²
Remarques : toutes les divisions ne sont pas encore possibles dans

(5 divisé par 3)

4
Chapitre 1
IV – Nombre rationnels
1. Définition :
L’ensemble des nombres rationnels, noté est celui des nombres qui peuvent s’écrire
sous la forme a avec a  et b  *. Faire réfléchir sur les ensembles pour a et b
b
2. Théorème 6 :
Tout nombre rationnel admet une écriture unique sous forme d’un fraction
irréductible.
Remarque : toutes les divisions (sauf par 0) sont possible dans mais on ne peut
quantifier la mesure de la longueur de la diagonale d’un carré de coté un par un
rationnel. (problème des Pythagoriciens)

Irrationalité de


2
Raisonnement par l’absurde :
Supposons que 2 est un nombre rationnel donc qu’il existe deux nombres entiers a et b,
premiers entre eux, tels que 2 = a . (cf. :th. 6)
b
Conséquence : si on prend les carrés: 2 = a² et donc a² = 2b² et donc a² est
b²
un nombre pair.
Comment reconnaitre, sans savoir qui il est , qu’un nombre est pair ?
si on peut l’écrire sous la forme a = 2p
de même pour un nombre impair :
si on peut l’écrire 2p+1.
Or (2p)² = 4p² donc dire qu’un nombre est pair signifie que son carré est pair
et réciproquement.
Si a² est pair alors a est un nombre pair et on peut écrire a=2p et a² =4p²
Si on rapproche les deux égalités encadrées on en déduit que :
2b²=4p² et b²=2p² donc b² est un nombre pair et donc b est un nombre pair.
2 est un nombre rationnel signifie (équivaut à) qu’il existe deux nombres
entiers a et b, premiers entre eux tels que 2 = a et on en déduit dans ce cas que a est
b
un nombre pair et b est un nombre pair . Il ya donc contradiction entre les
deux affirmations et donc 2 ne peut pas être un nombre rationnel.
La supposition
Il existe donc des nombres qui ne sont pas rationnels (autre exemple : π).
5
Chapitre 1
V – Nombres réels
1. Définition :
Soit une droite munie d’une origine O, d’un sens, et d’une unité OA = 1 (on peut dire munie
du repère (O ;A)) :
A tout point M de cette droite (OA) on associe un nombre x, appelé abscisse de M dans le
repère (O.A), tel que :
x = OM si x  [OA)
x = - OM si x  [OA).
L’ensemble de ces nombres est appelé ensemble des réels et est noté




Tout ce qui a une existence « réelle » peut être quantifié avec les réels, mais l’équation x²=-1
par exemple n’a pas de solution dans l’ensemble des réels….
2. Intervalles de :
L ’ensemble des réels est l’ensemble de tous les nombres compris entre moins
l’infini, noté - , et plus l’infini, noté + .
On note parfois = ] - ; + [ intervalle ouvert car - et + ne sont pas des nombres
réels, on ne peut jamais les atteindre
a et b étant deux réels donnés tels que a < b (donc a – b < 0), certaines parties de
sont appelés intervalles de et sont notés de la façon suivante.
Ensemble des réels x tels
que
Représentation
compléter avec les crochets
Intervalle
x<a
]- ;a[
a  x b
[a ; b]
a<x<b
]a;b[
a  x<b
[a ; b [
x a
[a ; + [
6
Chapitre 1
Intersection d’intervalles :
L’intersection de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui appartiennent
à l’un et à l’autre des deux intervalles. On le note I ∩ J.
Si les intervalles sont disjoints (n’ont aucun nombre commun) leur intersection est
l’ensemble vide, noté
Exemple : I = [-5 ; 7] et J = ]2 ;10[ I ∩J = ]2;7]
Réunion d’intervalles :
La réunion de deux intervalles est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’un ou
à l’autre des deux intervalles.
Exemple : I = [-5 ;7] et J = ]2 ;10[
I
J = [-5 ;10[
VI – Récapitulatif
Compléter le diagramme suivant correspondant aux ensembles de nombres :
7