Chapitre 1
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ENSEMBLES DE NOMBRES
Ne pas confondre « nombre » et « chiffre »
Les nombres servent à dénombrer, calculer….les chiffres servent à écrire les nombres.
Numération de position : Principe selon lequel la signification d'un chiffre dépend de sa
position dans le nombre. Par exemple, dans 3033, le 3 le plus à droite signifie 3, le second le
plus à droite 30, et le plus à gauche 3000.
Les nombres sont écrits à partir de 10 chiffres ou encore en base 10
ex. 2357 = 2×103+3×102+5×101+7
I - Les entiers naturels
1. Définition
L’ensemble des entiers naturels noté est celui des nombres obtenus (générés) par
addition à partir de 0 et 1.
= {0 ;1 ;…. ;n ;n+1 ;…}
L'ensemble des entiers naturels non nuls est noté
3 se lit 3 appartient à , 0
* se lit 0 n’appartient pas à étoile.
Deux autres définitions pour réfléchir :
Définition simple
L'ensemble des entiers naturels est noté est celui des nombres « sans virgule » plus
grands ou égale à 0. Il en existe une infinité
= {0 ,1 , 2 , 3, ...}
Les entiers naturels sont les premiers et les plus utilisés dans la vie courante.
En fait tout nombre qui sert à dénombrer une collection d'objets est un entier naturel.
A une collection vide c'est à dire sans objets (un sac vide par exemple) on fait
correspondre le nombre 0.
Définition d’un mathématicien nommé Peano
(Giuseppe Peano 27 août 1858 - 20 avril 1932) est un mathématicien italien. Il est l'auteur de plus de 200
publications, d'abord analyste, puis logicien, mais plus intéressé par la formalisation des mathématiques que
par la logique elle-même, il finira par consacrer la fin de sa vie à la mise au point et à la promotion du Latino
sine flexione, un latin à la grammaire très simplifiée, qu'il voyait comme une langue auxiliaire pour les échanges
internationaux, en particulier scientifiques)
La définition des entiers naturels de Peano est décrite par cinq axiomes :
1. l'élément appelé zéro et noté: 0, est un entier naturel.
2. Tout entier naturel n a un unique successeur, noté s(n) ou n+1.
3. Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
5. Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses
éléments, alors cet ensemble est égal à .