Optique quantique 2 : Photons

Promotion 2004
Année 3
Majeure 2
PHY557A
Optique quantique 2 : Photons
Tome 2
Édition 2006
Réimpression 2007
Alain Aspect, Philippe Grangier
MAJEURE DE PHYSIQUE

Table des matières
4 Équations de Heisenberg en optique quantique 7
4.1 Le point de vue de Heisenberg en mécanique quantique . . . . . . . . . . . 7
4.2 Équations de Heisenberg pour le champ électromagnétique . . . . . . . . . 9
4.2.1 Évolution du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2.2 Équations de Maxwell-Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Interférométrie avec des champs quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3.1 Champ « monomode » (onde plane monochromatique) . . . . . . . 11
4.3.2 « Traitement quantique » de lame séparatrice . . . . . . . . . . . . 11
4.3.3 L’interféromètre de Mach-Zehnder : description quantique . . . . . 13
4.3.4 Détection d’ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.5 Le bruit quantique dans un interféromètre . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3.6 Le rôle de la voie habituellement vide . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.3.7 Les états comprimés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3.8 La réduction du bruit quantique : en théorie... . . . . . . . . . . . . 18
4.3.9 Et en pratique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Équations de Heisenberg-Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4.2 Opérateurs pour un système à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . 19
4.4.3 Les trois composantes de l’hamiltonien pour un système à deux
niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.4 Évolution des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.5 Équations de Heisenberg du système atome-champ . . . . . . . . . 21
4.4.6 Intégration des équations d’évolution . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.4.7 Approximation de « mémoire courte » . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.8 Équations de Heisenberg-Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.4.9 Évolution des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4.10 Retour sur l’état de l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.5 Équations de Heisenberg-Langevin en présence d’un laser . . . . . . . . . . 25
4.5.1 Système étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5.2 Évolution des valeurs moyennes : équations de Bloch optiques . . . 27
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3

4TABLE DES MATIÈRES
5 Matrice Densité et Équations de Bloch Optiques 29
5.1 L’opérateur densité en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.1.2 Formulation de la mécanique quantique en termes de
projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.3 La matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.1.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Description d’un sous-système.
Intrication quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.1 Matrice densité d’un sous-système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2.2 Exemple de systèmes intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2.3 Quelques considérations sur les systèmes intriqués . . . . . . . . . . 34
5.3 Équations de Bloch optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3.1 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.3.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Absorption et diffusion de lumière laser par un atome . . . . . . . . . . . . 38
5.4.1 Solution typique des EBO en régime transitoire . . . . . . . . . . . 38
5.4.2 État stationnaire des EBO : populations . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4.3 État stationnaire des EBO : cohérences . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.4 Nombre de photons diffusés par l’atome . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.5 Spectre de fluorescence d’un atome irradié par une onde laser . . . . . . . . 41
5.5.1 Spectre de fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5.2 Expression du spectre de fluorescence . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.5.3 Spectre de fluorescence inélastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Complément 5A : Le dégroupement de photons 47
5A.1 Système étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5A.2 Lien entre le champ rayonné et le dipôle émetteur . . . . . . . . . . . . . . 48
5A.3 Corrélation d’intensité en fonction du dipôle émetteur . . . . . . . . . . . . 48
5A.4 Dégroupement de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Complément 5B : Traitement de la relaxation dans le formalisme de la
matrice densité 53
5B.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5B.2 Systèmes à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Complément 5C : Traitement perturbatif de la matrice densité 59
5C.1 Résolution par itération de l’équation d’évolution . . . . . . . . . . . . . . 59
5C.2 Atome interagissant avec un champ oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Optique non-linéaire 65
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

TABLE DES MATIÈRES 5
6.2 Traitement semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.1 Susceptibilité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2.2 Susceptibilité non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.3 Propagation dans un milieu non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Mélange à 3 ondes : traitement semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.1 Addition de fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3.2 Accord de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.3 Mélange à 3 ondes : évolutions couplées . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3.4 Amplification paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.5 Fluorescence paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.4 Traitement quantique de la fluorescence paramétrique . . . . . . . . . . . . 81
6.4.1 Nécessité et intérêt d’un traitement quantique . . . . . . . . . . . . 81
6.4.2 Traitement quantique du mélange à 3 ondes . . . . . . . . . . . . . 82
6.4.3 Traitement perturbatif de la fluorescence paramétrique . . . . . . . 83
6.4.4 Paires de photons jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.5 Interférence à deux photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4.6 Discussion : photons jumeaux intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Complément 6A : Optique non-linéaire dans les milieux Kerr optiques 95
6A.1 Exemples de non-linéarités Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6A.1.1 Réponse non-linéaire d’atomes à deux niveaux . . . . . . . . . . . . 96
6A.1.2 Non-linéarités par pompage optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6A.1.3 Autres non-linéarités Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6A.1.4 Propagation des champs dans un milieu Kerr . . . . . . . . . . . . . 103
6A.2 Bistabilité optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6A.2.1 Milieu Kerr dans une cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6A.2.2 Transistor optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6A.2.3 Les conditions de la bistabilité optique . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6A.2.4 Processeur optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6A.3 Miroir à conjugaison de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6A.3.1 Mélange dégénéré à quatre ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6A.3.2 Conjugaison de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6A.3.3 Coefficient de réflexion. Amplification par conjugaison de phase . . 120
6A.3.4 Conjugaison de phase par diffusion stimulée . . . . . . . . . . . . . 123
6A.4 Propagation d’une onde dans un milieu Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6A.4.1 Autofocalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6A.4.2 Onde autoguidée. Filamentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6A.4.3 Soliton spatial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6A.5 Propagation d’une impulsion dans un milieu Kerr . . . . . . . . . . . . . . 129
6A.5.1 Automodulation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6A.5.2 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131