IE2_2013

PEIP Polytech Paris-Sud
2012-2013
Interrogation écrite de Mécanique n°2
Mercredi 20 Mars 2013. Durée 1h30
Les documents sont interdits. Les calculatrices simples sont autorisées.
Les exercices sont indépendants. N’oubliez pas de décrire vos calculs avec des phrases et de
mettre en valeur les résultats.
I.
Questions de cours
1- Enoncer les 3 lois de Newton dans un référentiel galiléen. Comment sont-elles modifiées dans
un référentiel non galiléen ?
2- Enoncer le théorème de l’énergie cinétique en précisant les hypothèses.
3- Rappeler la définition d’une force à circulation conservative.
II.
Météorite de Tcheliabinsk en Russie.
La météorite tombée en Russie en février 2013 avait une masse m estimée de 10 tonnes. Au moment
de son entrée dans la stratosphère (à une altitude z0 de 50 km), elle avait une vitesse initiale v0 de
26km/s orientée suivant un angle α de 30° orienté vers le bas par rapport à l’horizontale. On travaillera
dans le référentiel terrestre, galiléen, défini par la base ( , , ) dont l’origine est au niveau du sol à
l’aplomb du point d’entrée dans la stratosphère. Dans tout l’exercice, on prendra l’accélération de la
pesanteur constante, g=9.8 m/s². Contrairement à ce qui s’est passé le 15 février dernier, nous
supposerons que la météorite ne se désintègre pas dans le ciel.
1) Dans un premier temps, on suppose qu’il n’y a pas d’atmosphère autour de la Terre, ce qui revient à
négliger les frottements de l’air. En effectuant un raisonnement énergétique, déterminer l’expression
de l'énergie cinétique de la météorite au moment de l’impact à la surface du sol. Effectuer l’application
numérique.
2) Dans un modèle plus réaliste, il faut tenir compte des frottements de l’air. La densité de
l’atmosphère ne devient importante qu’en dessous de 10 km d’altitude. On supposera que l’air agit


comme un frottement fluide f  kv avec k=11800 kg/s indépendant de l’altitude. Dans cette partie,
on prendra z0  10 km et on considèrera que les autres quantités n’ont pas évoluées entre les altitudes
z=50km et z=10km. On a donc v0  26 km / s et   30 à z0  10 km .
a) Faire un bilan des forces s’appliquant sur la météorite et les placer sur un schéma. On indiquera
également de manière approximative, le vecteur vitesse.
b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique. Projeter la relation sur les directions Ox et Oz
pour obtenir les équations différentielles du mouvement reliant x(t) et z(t), leurs dérivées premières et
secondes.
c) Réécrire les équations différentielles en fonction de v x (t )  x (t ) et v z (t )  z(t ) . Résoudre ces
équations différentielles pour obtenir les composantes du vecteur vitesse. On pose   m / k . On
montrera que :
v x (t )  v0 cos exp t /  

v z (t )  g exp t /    1  v0 sin  exp t /  
d) Sachant que la météorite s’écrase au sol au bout de t=2 s, déterminer la norme du vecteur
vitesse au moment de l’impact.
e) En déduire la valeur de l’énergie cinétique au moment de l’impact. Comparer la valeur à celle
obtenue à la question 1) et commenter.
III.
Record du monde du saut le plus long en voiture
Lors des 500 miles d’Indianapolis du 1er Juin 2011, un saut en voiture a eu lieu afin d’essayer de battre
le record du monde de saut. Une voiture (et son pilote) de masse totale m=500kg s’élancent du haut
d’une rampe au point A avec une vitesse initiale nulle. Le pilote laisse la voiture descendre la rampe
sans accélérer (force moteur nulle). Arrivé au point B, il accélère avec une force motrice constante de
Fm=1kN jusqu’au point D puis prend son envol pour essayer d’atteindre le point E qui est à la même
altitude que le point D.
Données : L1=25m, L2=50m, L3=10m, L4=100m, α=45°, β=30°;
On négligera les frottements solides de la rampe et les frottements fluides de l’air.
A. Descente de la rampe entre A et B :
1- Faire un bilan de forces s’appliquant sur la voiture entre le point A et le point B.
2- Calculer le travail de chacune de ces forces.
3- En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, en déduire la vitesse au point B en m/s puis en
km/h.
B. Accélération entre B et D :
1- Calculer le travail de la force motrice sur le trajet BC.
2- En déduire l’expression de la vitesse
de la voiture au point C puis la calculer en km/h.
3- Calculer le travail de la force motrice sur le trajet CD.
4- En déduire l’expression de la vitesse
de la voiture au point D puis la calculer en km/h.
C. Envol de la voiture entre D et E :
Sachant que la trajectoire de la voiture pendant son envol est définie par :
z ( x)  x tan  
2 vD2
g
x2
2
cos 
1- Calculer la portée xp de la voiture en fonction de la vitesse vD de décollage de la voiture en D.
On fera attention à bien préciser l’altitude z=0 dans l’équation précédente. On rappelle que
2sin(a)cos(a) = sin(2a).
2- Déterminer si l’accélération due à la force motrice est suffisante pour que la voiture atteigne le
point E.
3- Quelle doit être la force motrice minimale du moteur pour que la voiture atteigne le point E
puis la vitesse au point D correspondante.