Théorie des nombres

6CHAPITRE 1. UN COFFRE D’OUTILS
1.2 Th´eorie des nombres
La th´eorie des nombres s’int´eresse aux propri´et´es des entiers, c’est-`a-dire des ´el´ements de
l’ensemble ZZ ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}.
1. Les nombres figur´ es.
Il est souvent commode de visualiser les entiers positifs `a l’aide d’arrangements de
points dispos´es selon des formes g´eom´etriques particuli`eres ; on parle alors de nombres
figur´es (ou encore de nombres g´eom´etriques). Pour une forme g´eom´etrique donn´ee, par
exemple un certain polygone r´egulier, on obtient une suite de nombres d’une mˆeme
famille. Voici quelques familles c´el`ebres.
–Les nombres carr´es
1 4 9 16
. . .
Le nenombre carr´e est donn´eparn2=n×n.
–Les nombres triangulaires
1 3 6 10
. . .
Appelons Tnle nenombre triangulaire ; nous avons alors
T1=1,
T2=1+2 =T1+2,
T3=1+2+3 =T2+3,
.
.
.
Tn=1+2+···+n=Tn−1+n.
On se convainc facilement du fait que
Tn=n(n+1)
2.
La figure suivante en fournit une preuve visuelle (Tncorrespond `a la moiti´e des points
formant un rectangle de cˆot´es net n+1).

1.2. TH ´ EORIE DES NOMBRES 7
–Les nombres pentagonaux
. . .
15 12
On peut v´erifier que le nenombre pentagonal est donn´eparn(3n−1)
2.
Le proc´ed´epeutˆetre poursuivi ; on obtiendra ainsi des nombres hexagonaux, hepta-
gonaux, octogonaux, etc. On peut aussi passer `a 3 dimensions : on parlera alors de
nombres cubiques, pyramidaux, etc.
L’usage a consacr´e l’expression carr´e parfait pour d´esigner un entier qui est le carr´e
d’un entier, comme on vient de le voir ; cette expression vise `a insister sur le fait que
mˆeme si un nombre comme 5 pourrait ˆetre vu comme un carr´e(`a savoir de √5), ce
n’est pas vraiment ce qu’on a `a l’esprit lorsqu’on parle d’un entier qui est un carr´e. De
la mˆeme fa¸con, on a la notion de cube parfait.
2. Divisibilit´ e.
On dit qu’un entier best divisible parunentiera= 0 s’il existe un entier xtel que
b=ax, auquel cas on ´ecrit a|b. Dans le cas contraire, on ´ecrit a | b.Sia|b,ondit
aussi que aest un diviseur ou un facteur de b,queadivise bou encore que best un
multiple de a. Dans le cas o`ua|bet a=b, on dit que aest un diviseur propre de b.Il
est `a noter que pour tout entier non nul a,ona,pard´efinition mˆeme, a|0.
Exemple:
120 poss`ede 16 diviseurs : 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120.
Les principales propri´et´es de la relation de divisibilit´e sont les suivantes ; elles d´ecoulent
imm´ediatement de la d´efinition.
(i) 1|xet x|x, quel que soit l’entier x;
(ii) a|bet b|c⇒a|c;
(iii) a|b⇒a|bx, quel que soit l’entier x;
(iv) a|bet a|c⇒a|(b±c);

8CHAPITRE 1. UN COFFRE D’OUTILS
(v) a|bet a|(b±c)⇒a|c;
(vi) a|bet b|a⇒a=±b;
(vii) a|bet b=0⇒|a|≤|b|.
D´emonstration:
Nous d´emontrons la propri´et´e (vi). Comme a|b,ilexisteunentierutel que b=au.De
mˆeme, puisque b|a,ilexisteunentiervtel que a=bv.Maisalorsa=bv =(au)v=a(uv),
d’o`u il suit que uv = 1. Mais les seuls cas possibles de produits d’entiers donnant 1 sont 1 ×1
et −1×−1. On a donc v=±1, c’est-`a-dire a=±b.
On ´ecrit aibpour signifier que ai|bmais que ai+1  | b.Lorsqueaib,iest donc
l’exposant de la plus grande puissance de adivisant b.
Un nombre pair est un multiple de 2 ; il est donc de la forme 2kpour un certain entier
k.Lesnombresimpairs sont de la forme 2k+1.
Exemples:
(a) impair +impair =pair ;impair ×impair =impair.
Calculons : (2j+1)+(2k+1)=2j+2k+2=2(j+k+1)et (2j+1)×(2k+1)=
4jk +2j+2k+ 1 = 2(2jk +j+k)+1.
(b) Montrer que n2est pair si et seulement si nest pair. De mˆeme en rempla¸cant le mot
“pair” par “impair”.
Cela d´ecoule du fait que pair ×pair =pair et que impair ×impair =impair.
(c) Montrer que la diff´erence entre des carr´es parfaits successifs est un nombre impair.
(n+1)
2=n2+(2n+ 1). La figure ci-dessous illustre le cas n= 4. On remarquera que
le nombre impair qui constitue la diff´erence croˆıt avec n.
(d) Montrer que n2−nest pair, quel que soit l’entier n.
Remarquons que n2−n=n(n−1). Il y a deux cas `a examiner. Si nest pair, donc de
la forme 2k, alors n2−n=2k(2k−1) = 2m,avecm=k(2k−1). Et si nest impair,
donc n=2k+ 1, alors n2−n=(2k+ 1)2k=2p,avecp=k(2k+ 1). Dans les deux cas,
n2−nest divisible par 2.
(e) Montrer que n2−1est divisible par 8 lorsque nest impair.
Nous ´ecrivons n2−n=(n+ 1)(n−1). Il est commode de voir les entiers impairs comme
´etant de la forme 4k+ 1 ou 4k+3. Si n=4k+ 1, alors n2−1=(4k+ 2)4k=8m,
avec m=k(2k+ 1). Et si n=4k+ 3, alors n2−1=(4k+ 4)(4k+2) = 8p,avec
p=(k+ 1)(2k+ 1). Dans les deux cas, n2−nest divisible par 8.
(f) Montrer qu’il n’existe pas d’entier ntel que 4|(n2+2).

1.2. TH ´ EORIE DES NOMBRES 9
Si n=2k, alors n2+2=4k2+ 2. Comme 4k2est un multiple de 4, le multiple de 4
suivant est donc 4k2+ 4, ce qui fait que 4k2+ 2 ne peut ˆetre un multiple de 4. Et si
n=2k+ 1, alors n2+2=4k2+4k+1+2=4(k2+k) + 3 ; comme pr´ec´edemment, ce
nombre ne peut pas ˆetre un multiple de 4.
3. La division euclidienne.
Le r´esultat suivant joue un rˆole fondamental en th´eorie des nombres ; il nous dit com-
ment diviser dans ZZ.
Soit aet bdeux entiers, a>0 ; alors il existe des entiers q(le quotient)etr(le reste ),
tous deux uniques, tels que b=qa +r,o`u0≤r<a;deplus,sia | b, alors 0 <r<a.
Exemples:
(a) a=3etb= 14 ; alors 14 = 4 ×3+2.
(b) a=3etb=−14 ; alors −14 = −5×3+1.
La division par 2 donne deux restes possibles : 0 ou 1. Les entiers sont donc de la
forme 2k(les pairs) ou 2k+ 1 (les impairs). De mˆeme, en divisant par 3, on voit que
les entiers sont soit de la forme 3k, soit 3k+ 1, soit 3k+2.
Exemple:
Montrer qu’`a l’exception de 2 et de 3, tout nombre premier est voisin d’un multiple de 6.
R´epartissons les naturels en six cat´egories, selon leur reste dans la division par 6 ; ils sont
donc de l’une des formes suivantes :
6k, 6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.
Mais remarquons que 6k+ 2 et 6k+ 4 sont forc´ement divisibles par 2, que 6k+ 3 est divisible
par 3 et bien sˆur que 6kest divisible par 6. Les seules cat´egories qui ne sont pas ´elimin´ees
a priori sont 6k+ 1 et 6k+ 5. Et on peut r´e´ecrire 6k+ 5 comme 6(k+1)−1. Ceci montre
donc que tout premier, sauf 2 et 3, est de la forme 6j±1o`uj∈IN∗.
Par exemple, 29 = 6 ·5−1et31=6·5+1.
4. Le plus grand commun diviseur de deux entiers.
Soit aet bdeux entiers diff´erents de z´ero. Le plus grand commun diviseur (pgcd)de
aet best l’unique entier positif gqui divise `alafoisaet bet qui est tel que si c|aet
c|b, alors c≤g.Onled´esigne par le symbole pgcd(a, b), ou tout simplement — si le
contexte ne porte pas `a confusion avec la notion de couple — par (a, b).
Exemples:
(9,24) = 3,(9,−18) = 9,(9,14) = 1 .
Voici quelques propri´et´es du pgcd de deux nombres.
(i) Si c|aet c|b, alors c|(a, b);
(ii) (a, b)=(b, a);
(iii) pour chaque entier positif m,ona(ma, mb)=m(a, b);
(iv) si g=(a, b), alors a
g,b g=1;
(v) (a, b +ma)=(a, b), pour m∈ZZ.

10 CHAPITRE 1. UN COFFRE D’OUTILS
D´emonstration:
Nous d´emontrons la propri´et´e (v). Posons d=(a, b)etg=(a, b +ma). Puisque d|aet d|b,
alors d|(b+ma). Mais alors d|gest une cons´equence de d|aet de d|(b+ma). Par ailleurs,
g|aet g|(b+ma) impliquent que g|aet g|b, donc g|d. Comme d|get g|det que det
gsont positifs, on conclut que d=g.
Puisque 1 |aet 1 |b, on a toujours (a, b)≥1. On dit de deux entiers aet bqu’ils
sont relativement premiers lorsque (a, b) = 1. Par exemple, 9 et 14 sont relativement
premiers.
(vi) (a, a +1)=1;
(vii) si (a, b)=1et a|bc, alors a|c;
(viii) si (a, b)=1et (a, c)=1, alors (a, bc)=1.
D´emonstration:
Nous d´emontrons la propri´et´e (vi). Soit dest un diviseur commun de aet a+ 1. Comme
a=dk pour un certain k, le multiple suivant de dest d(k+1)=a+d; mais ce multiple ne
peut co¨ıncider avec a+1 que si d= 1. (Les propri´et´es (vii) et (viii) peuvent se d´emontrer en
consid´erant les factorisations premi`eres des nombres en cause.)
5. L’algorithme d’Euclide.
Conjuguons la propri´et´e(v) de la section qui pr´ec`ede avec la relation de division eu-
clidienne : si rest le reste de la division de upar v, c’est-`a-dire si u=qv +r,ona
alors
(u, v)=(v, r).
Appliquant cette ´egalit´e`ar´ep´etition, on obtient ainsi une m´ethode commode de calcul
d’un pgcd :l’algorithme d’Euclide.
Exemple:
Voici comment trouver (867,748).
867 = 1 ×748 + 119
748 = 6 ×119 + 34
119 = 3 ×34 + 17
34 = 2 ×17 + 0 .
Il s’ensuit que (867,748) = (748,119) = (119,34) = (34,17) = (17,0) = 17.
Ces mˆemes calculs nous permettent de voir que le pgcd de aet bpeut toujours s’´ecrire
sous la forme
(a, b)=xa +yb
pour des entiers xet yconvenablement choisis.
Exemple:
Reprenons le calcul pr´ec´edent, mais en le parcourant de bas en haut.
17 = 119 −3·34