Raisonnement Mathématique

Le raisonnement mathématique
avec exercices
tirés d’extraits de la Première Partie du Chapitre I
Sur la nature du raisonnement mathématique
de La Science et l’hypothèse de Henri Poincaré :

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Le raisonnement mathématique 
25/05/2016
Les exercices n°1 et n°2 portent sur les premiers paragraphes de la
Première partie de La Science et l’hypothèse de Jules-Henri Poincaré
(1901)
Exercice n°1
Écrire sous la dictée :
Première partie
Le nombre et la grandeur
Chapitre premier
Sur la nature du raisonnement mathématique.
La possibilité même de la science mathématique (1) ____________ une contradiction insoluble. Si
cette science (2) __________ déductive qu'en apparence, (3) _______ lui (4) __________ cette
parfaite rigueur que (5) ____________ ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les
propositions qu'elle énonce (6) _____________ se tirer les unes des autres par les règles de la
logique formelle, comment la mathématique ne se (7) ____________-elle pas à une immense
tautologie ? Le syllogisme ne peut (8) ____________ nous apprendre d'essentiellement
(9) _____________ et, si tout (10) _____________ sortir du principe d'identité, tout
(11) _____________ aussi pouvoir s'y ramener. (12) ______________-t-on donc que les énoncés
de (13) ________ ces théorèmes qui (14) ________________ tant de volumes ne
(15) ___________ que des manières détournées de dire que A est A?
(Henri Poincaré, Science et Hypothèse, 1901)

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Exercice n°2
Compléter la suite du texte de la dictée précédente en insérant dans
chaque espace un mot pris dans la liste qui suit :
aucun – axiomes – clef - conclusions – davantage – général – il faut – pas – plus -
syllogistique –
Sans doute, on peut remonter aux (16) ______________ qui sont à la source de tous les
raisonnements. Si on juge qu'on ne peut les réduire au principe de contradiction, si on ne
veut pas non plus y voir des faits expérimentaux qui ne pourraient participer à la nécessité
mathématique, on a encore la ressource de les classer parmi les jugements synthétiques
a priori. Ce n'est pas résoudre la difficulté, c'est seulement la baptiser ; et lors même que
la nature des jugements synthétiques n'aurait plus pour nous de mystère, la contradiction
ne se serait pas évanouie, elle n'aurait fait que reculer ; le raisonnement (17)
______________ reste incapable de rien ajouter aux données qu'on lui fournit ; ces
données se réduisent à quelques axiomes et on ne devrait pas
retrouver autre chose dans les (18) ______________ .
(19) ______________ théorème ne devrait être nouveau si dans sa démonstration
n'intervenait un axiome nouveau ; le raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités
immédiatement évidentes empruntées à l'intuition directe ; il ne serait (20)
______________ qu'un intermédiaire parasite et dès lors n'aurait-on (21)
______________ lieu de se demander si tout l'appareil syllogistique ne sert pas
uniquement à dissimuler notre emprunt ?
La contradiction nous frappera (22) ______________ si nous ouvrons un livre quelconque
de mathématiques ; à chaque page l'auteur annoncera l'intention de généraliser une
proposition déjà connue. Est-ce donc que la méthode mathématique procède du particulier
au (23) ______________ et comment alors peut-on l'appeler déductive ?
Si enfin la science du nombre était purement analytique, ou pouvait sortir analytiquement
d'un petit nombre de jugements synthétiques, il semble qu'un esprit assez puissant
pourrait d'un seul coup d'œil en apercevoir toutes les vérités ; que dis-je ! on pourrait
même espérer qu'un jour on inventera pour les exprimer un langage assez simple pour
qu'elles apparaissent ainsi immédiatement à une intelligence ordinaire.
Si l'on se refuse à admettre ces conséquences, (24) ______________ bien concéder que
le raisonnement mathématique a par lui-même une sorte de vertu créatrice et par
conséquent qu'il se distingue du syllogisme.
La différence doit même être profonde. Nous ne trouverons pas par exemple la
(25) ______________ du mystère dans l'usage fréquent de cette règle d'après laquelle
une même opération uniforme appliquée à deux nombres égaux donnera des résultats ide
ntiques.
Tous ces modes de raisonnement, qu'ils soient ou non réductibles au syllogisme
proprement dit, conservent le caractère analytique et sont par cela même impuissants.
(Henri Poincaré, Science et Hypothèse, 1901)

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Exercice n°3
Axiome – Hypothèse – Syllogisme - Tautologie – Théorème
Compléter ces définitions avec les verbes proposés (une seule
occurrence pour chaque verbe , donné à l’infinitif, mais conjugable) :
Axiome : (du grec axioma : j'estime, je crois vrai) Vérité
que l’on ______________ sans démonstration et sur
laquelle se fonde les théories mathématiques. L'axiome est
une " évidence ", contrairement au postulat qui ne l'est pas
forcément.
Admettre (1)
Découler (1)
Démontrer (1)
Fonder (1)
Hypothèse : Proposition que l'on accepte comme vraie et à
partir de laquelle on ______________ pour
______________ un problème, ou ______________ un
théorème.
Formuler (1)
Raisonner (1)
Résoudre (1)
Syllogisme : Raisonnement qui ______________ une
conclusion sur deux propositions ou prémisses (appelées
aussi majeure et mineure) posées comme vraies.
Tautologie : Phrase ________________ de telle façon
qu’elle ne puisse être que vraie.
Théorème : Proposition démontrée à l'intérieur d'un
système mathématique. Un théorème ________________
des axiomes et postulats qu'on a posé auparavant.

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Corrigé de la dictée Exercice n°1
Sur la nature du raisonnement mathématique.
La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si
cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que
personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle
énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle,
comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le
syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir
du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. Admettra-t-on donc que les
énoncés de tous ces théorèmes qui remplissent tant de volumes ne soient que des
manières détournées de dire que A est A?
(Henri Poincaré, Science et Hypothèse, 1901)
corrigé Exercice n°2
Sans doute, on peut remonter aux (16) axiomes qui sont à la source de tous les
raisonnements. Si on juge qu'on ne peut les réduire au principe de contradiction, si on ne
veut pas non plus y voir des faits expérimentaux qui ne pourraient participer à la nécessité
mathématique, on a encore la ressource de les classer parmi les jugements synthétiques
a priori. Ce n'est pas résoudre la difficulté, c'est seulement la baptiser ; et lors même que
la nature des jugements synthétiques n'aurait plus pour nous de mystère, la contradiction
ne se serait pas évanouie, elle n'aurait fait que reculer ; le raisonnement (17) syllogistique
reste incapable de rien ajouter aux données qu'on lui fournit ; ces données se réduisent à
quelques axiomes et on ne devrait pas retrouver autre chose dans les (18) conclusions.
(19) Aucun théorème ne devrait être nouveau si dans sa démonstration n'intervenait un
axiome nouveau ; le raisonnement ne pourrait nous rendre que les vérités immédiatement
évidentes empruntées à l'intuition directe ; il ne serait (20) plus qu'un intermédiaire
parasite et dès lors n'aurait-on (21) pas lieu de se demander si tout l'appareil syllogistique
ne sert pas uniquement à dissimuler notre emprunt ?
La contradiction nous frappera (22) davantage si nous ouvrons un livre quelconque de
mathématiques ; à chaque page l'auteur annoncera l'intention de généraliser une
proposition déjà connue. Est-ce donc que la méthode mathématique procède du particulier
au (23) général et comment alors peut-on l'appeler déductive ?
Si enfin la science du nombre était purement analytique, ou pouvait sortir analytiquement
d'un petit nombre de jugements synthétiques, il semble qu'un esprit assez puissant
pourrait d'un seul coup d'œil en apercevoir toutes les vérités ; que dis-je ! on pourrait
même espérer qu'un jour on inventera pour les exprimer un langage assez simple pour
qu'elles apparaissent ainsi immédiatement à une intelligence ordinaire.
Si l'on se refuse à admettre ces conséquences, (24) il faut bien concéder que le
raisonnement mathématique a par lui-même une sorte de vertu créatrice et par
conséquent qu'il se distingue du syllogisme.