Logique Propositionnelle

Syntaxe Sémantique Propriétés de la logique propositionnelle Déduction naturelle
Logique Propositionnelle
Automates et Logiques
Cédric Lhoussaine
University of Lille, France
Janvier 2012

Syntaxe Sémantique Propriétés de la logique propositionnelle Déduction naturelle
1Syntaxe
2Sémantique
3Propriétés de la logique propositionnelle
4Déduction naturelle
Le système {∧,⇒,⊥}
Le système {∧,∨,⇒,⇔,¬,⊥}

Syntaxe Sémantique Propriétés de la logique propositionnelle Déduction naturelle
Formules logiques
P={p,q,r, . . .}un ensemble de variables propositionnelles.
⊥,¬,∧,∨,⇒et ⇔sont appelés connecteurs logiques.
L’ensemble des formules propositionnelles F0={ϕ, ψ, . . .}
est le plus petit ensemble qui contient les variables
propositionnelles et le connecteur ⊥(“absurde”) et, si ϕ∈ F0
et ψ∈ F0alors les termes suivants sont aussi des formules
propositionnelles:
conjonction de ϕet ψ:ϕ∧ψ
disjonction de ϕet ψ:ϕ∨ψ
ϕimplique ψ:ϕ⇒ψ
ϕéquivalent à ψ:ϕ⇔ψ
négation de ϕ:¬ϕ
parenthésages: (ϕ)
Les formules pet ⊥sont appelées formules atomiques.

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Formules logiques
L’ordre de priorité des connecteurs est le suivant:
¬>{∧,∨} >{⇒,⇔}. Les connecteurs binaires sont
associatifs à gauche.
Étant donnée la nature récursive de la définition des formules,
leurs propriétés seront démontrées par induction.
Théorème
(Principe d’induction) Soit A une propriété des formules, si
A(p), pour tout p ∈ P, et A(⊥);
A(ϕ)et A(ψ)impliquent A(ϕ∧ψ), A(ϕ∨ψ), A(ϕ⇒ψ)et
A(ϕ⇔ψ);
A(ϕ)implique A(¬ϕ)et (ϕ),
alors A(ϕ)pour toute formule ϕ∈ F0.

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Valuation de variable propositionnelle
La valeur de vérité des variables propositionnelles est
déterminée par une valuation, i.e. une application vdes
variables propositionnelles dans les valeurs de vérité:
v:P → {0,1}