TD 08 - Introduction à la mécanique quantique

TD 08
PCSI
TD 08 - Introduction à la mécanique quantique
1. Ordre de Grandeur
1. Calculer la longueur d’onde de de Broglie d’un homme de 75 kg marchant à 5,0 km.h−1 . Comparer à la largeur
de la porte de votre chambre et conclure.
2. Quelle énergie, en électron-volts, doit-on communiquer à des électrons, de masse me = 9,11 × 10−31 kg, pour que
leur longueur d’onde de de Broglie soit égale à 0,1 nm ?
3. Calculer les longueurs d’onde de de Broglie pour un électron et un proton, de masse mp = 1,67 × 10−27 kg, dont
les énergies cinétiques valent toutes 100 eV.
2. Inégalité de Heisenberg
1. Quelle est l’indétermination quantique minimale sur la vitesse d’un adénovirus dont la masse est égale à
2,4 × 10−16 g et dont la position est connue à 10 nm près (soit un dixième de sa taille) ?
2. Un radar autoroutier flashs une voiture de masse m = 1,3 t roulant à une vitesse de 150 km.h−1 . L’éclair du
flash dure 0,01 s. Quelle est l’indétermination sur la position de la voiture ? En déduire une minoration de
l’indétermination quantique de la vitesse. Conclure.
3. Diffusion Compton L’américain Arthur Compton a réalisé en 1923 l’expérience suivante. Il a envoyé des rayons
X durs (c’est-à-dire une onde électromagnétique de fréquence élevée, donc de très faible longueur d’onde λ ' 1 pm à
λ ' 1 nm) sur une mince feuille de graphite. Il a observé que l’onde était diffusée (déviée) dans une certaine gamme
de directions θ vérifiant :
h
λ0 − λ =
(1 − cos θ)
mc
où λ0 est la longueur d’onde diffusée et m la masse de l’électron.
1. Montrer que h/(mc) est homogène à une longueur et la calculer.
2. Pourquoi cette expérience est-elle intéressante spécialement pour des rayons X ?
3. Comment évolue l’énergie d’un photon dans cette expérience, que se passe-t-il ?
4. Pour des rayons X incidents tels que λ = 7,08 × 10−11 m, Compton a observé des rayons X diffusés à 90◦ . Quelle
est leur longueur d’onde ?
5. Quelle est l’énergie perdue par un photon ? Qu’en déduire sachant qu’une énergie d’ionisation est de l’ordre de
la dizaine d’eV ?
4. Équation de Schrödinger Un électron de masse m se propage dans le vide, ce qui correspond à un espace
d’énergie potentielle nulle V = 0. On considère la fonction d’onde :
Ψ(x, t) = Ψ0 exp(i(kx − ωt))
avec ω et k des constantes.
1. En injectant cette forme de fonction d’onde dans l’équation de Schrödinger :
−
~2 ∂ 2 Ψ
+ V(x) Ψ = E Ψ
2m ∂x2
et en utilisant la relation de de Broglie, trouver un lien entre l’énergie et la quantité de mouvement de l’électron.
Quelle relation bien connue retrouve-t-on ?
2. Interpréter en termes ondulatoires cette fonction (on pourra considérer sa partie réelle). Comparer au mouvement
classique de l’électron dans cette situation. Qu’en penser ?
3. Commenter un tel état par rapport à l’inégalité de Heisenberg.
Lycée Jean Jaurès – Montreuil
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