Autour des nombres et des polynômes de Bernoulli

Autour des nombres
et des polynˆomes de Bernoulli
Ga¨etan Bisson
d’apr`es un cours de
Don Zagier
R´esum´e
En math´ematiques, les nombres de Bernoulli ont d’abord ´et´e ´etudi´es en cherchant `a
calculer les sommes du type Pm
k=0 kno`u met nsont deux entiers positifs.
Ils sont utilis´es fr´equemment en th´eorie des nombres mais apparaissent aussi dans bien
d’autres domaines des math´ematiques.
Don Zagier les a introduits dans le cours — cours intitul´e ”cours aux carr´es” — qu’il a
donn´e `a l’´ Ecole Normale Sup´erieure au premier semestre de l’ann´ee scolaire 2005–2006 pour
ensuite parler des sommes de Dedekind et de leurs lois de r´eciprocit´e.
Table des mati`eres
0 Motivation 2
1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires 3
1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Propri´et´es ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Autres d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 La relation de distribution 7
2.1 Pour les polynˆomes de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Pour les polynˆomes r´eduits de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Applications diverses 9
3.1 Des sommes de puissance d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Questions ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 De la fonction ζde Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Formule d’Euler–MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
R´ef´erences 13
Index 14

Autour des nombres et des polynˆ omes de Bernoulli 2/14
0 Motivation
Sur l’espace R[[x]] des s´eries formelles `a coefficients dans R, on a l’op´erateur ∆ qui `a une
s´erie formelle P(x) associe la s´erie formelle :
∆P(x) = P(x+ 1) −P(x)
On appelle ∆ l’op´erateur de pseudo-d´erivation en raison des nombreuses analogies qui le
relient `a l’op´erateur de d´erivation (que nous noterons ∂ou ∂xsi l’on veut pr´eciser la variable).
Il est int´eressant d’´etudier l’op´erateur ϕobtenu en composant `a droite ∆ par l’inverse
(`a droite) de ∂. On obtient alors l’op´erateur qui `a une s´erie formelle P(x) associe la s´erie
formelle :
ϕP (x) = „∆◦Z«P(x) = Zx+1
x
P
Proposition 0.1. L’op´erateur ϕ, restreint `a R[x], est un isomorphisme pr´eservant le degr´e.
D´emonstration.
Soit P(x) un polynˆome de R[x] et donnons-nous Q(x) sa primitive sans terme constant ;
alors ϕP (x) = Q(x+ 1) −Q(x).
En ´ecrivant P(x) = Pn
k=0 αkxkon a Q(x) = Pn k=0
αk
k+1 xk+1 et :
ϕP (x) =
n
X
k=0
αk
k+ 1 “(x+ 1)k+1 −xk+1”
`
A la vue de cette expression, il est clair que ϕest un endomorphisme de R[x]. Et il est
aussi clair que le degr´e de ϕP (x) est celui de P(x) ; cela implique que ϕest un isomorphisme.
L’image directe de la base canonique (xn)n∈Npar ϕse calcule sans peine : c’est la base
“(x+1)n+1−xn+1
n+1 ”n∈N
.
Ce n’est pas aussi ´evident de trouver son image r´eciproque ; notons donc Bn(x) l’unique
polynˆome (de degr´e n) tel que ϕBn(x) = xn— ie. (Bn(x))n∈Nest la base r´eciproque de
(xn)n∈Npar ϕ.
Pour ´etudier ces polynˆomes, on peut introduire leur s´erie g´en´eratrice S=P∞
n=0
Bn(x)
n!tn.
On a alors :
ϕS =∞
X
n=0
xn
n!tn=etx
Or, il est clair qu’un ant´ec´edant de etx par ϕest t
et−1etx.
Ainsi, on peut d´efinir des quantit´es Bn(x) comme ´etant les coefficients du d´eveloppement
en s´erie de la fonction t7→ t
et−1etx.
On pourra ensuite v´erifier que ces quantit´es ont bien les propri´et´es attendues ; en parti-
culier, qu’il s’agit bien de l’image r´eciproque de la base canonique de R[x] par ϕ.
∗
∗ ∗

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1 D´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires
1.1 D´efinitions
D´efinissons donc, comme sugg´er´e plus haut, les polynˆomes de Bernoulli `a partir de leur
s´erie g´en´eratrice :
D´efinition 1.1.1. La suite des polynˆomes de Bernoulli, not´ee (Bn(x))n∈N, est l’unique suite
telle qu’on ait le d´eveloppement en s´erie :
∞
X
n=0
Bn(x)
n!tn=tetx et−1
Voici les premi`eres valeurs des polynˆomes de Bernoulli que Lehonard Euler a obtenu en
1738 [Eul38] :
n Bn(x)
0 1
1x−1
2
2x2−x+1
6
3x3−3
2x2+1 2x
4x4−2x3+x2−1
30
5x5−5
2x4+5 3x3−1 6x
6x6−3x5+5
2x4−1 2x2+1 42
D´efinissons maintenant les nombres de Bernoulli qui ne sont que les termes constants des
polynˆomes de Bernoulli :
D´efinition 1.1.2. On note Bn=Bn(0) le n-i`eme nombre de Bernoulli. La suite des
nombres de Bernoulli est donc l’unique suite telle qu’on ait le d´eveloppement en s´erie :
∞
X
n=0
Bn
n!tn=t et−1
On peut calculer facilement les premi`eres valeurs des nombres de Bernoulli :
n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Bn1−1
2
1
60−1 30 01 42 0−1 30 05 66 0−691 2730
L’observation de ces valeurs motive cette proposition :
Proposition 1.1.3. Pour n≥2et nimpair, Bn= 0.
D´emonstration.
Cela ne fait que refl´eter le fait que la fonction t7→ t
et−1+1
2test paire. On a en effet :
t
et−1+1 2t=1 2tet+ 1 et−1
Et le r´esultat d´ecoule du fait que t7→ et+1
et−1est impaire :
e−t+ 1
e−t−1=
1
et+ 1
1
et−1=−e−t+ 1
e−t−1

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Cette proposition rend les polynˆomes de Bernoulli explicites lorsqu’on connaˆıt les nombres
de Bernoulli :
Proposition 1.1.4. On a la relation suivante :
Bn(x) =
n
X
k=0
Ck
nBkxn−k
D´emonstration.
Il suffit de d´evelopper par rapport `a xla s´erie qui d´efinit les polynˆomes de Bernoulli :
tetx
et−1=t et−1
∞
X
j=0
(tx)j
j!= ∞
X
k=0
Bk
k!tk! ∞
X
j=0
(tx)j
j!!
Et, par d´efinition, Bn(x) est le coefficient de tndans cette s´erie double :
Bn(x) = X
k+j=n
Bk
k!j!xj=
n
X
k=0
Ck
nBkxn−k
En particulier, le n-i`eme polynˆome de Bernoulli est un polynˆome de degr´e n.
x
Bn(x)
0
n= 1
n= 2
n= 3
n= 4
n= 5
Les premiers polynˆomes de Bernoulli
1.2 Propri´et´es ´el´ementaires
Tout d’abord, voici une propri´et´e de pseudo-d´erivation des polynˆomes de Bernoulli :
Proposition 1.2.1. On a, pour n≥1:
∆Bn(x) = Bn(x+ 1) −Bn(x) = nxn−1
D´emonstration.
On ´ecrit simplement :
∞
X
n=0
Bn(x+ 1) −Bn(x)
n!tn=tet(x+1) et−1−tetx et−1=text =∞
X
n=1
xn−1
(n−1)! tn
La proposition d´ecoule de l’identification des coefficients des s´eries.
L’application directe de cette formule est le th´eor`eme 3.1.1 ; mais il y a aussi ce r´esultat :

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Corollaire 1.2.2. On a la formule de r´ecurrence suivante :
Bn=−1
n+ 1
n−1
X
k=0
Ck
n+1Bk
D´emonstration.
Pour cela, il suffit de sp´ecialiser notre proposition en x= 0 ; alors, on obtient Bn+1 (1) =
Bn+1 (0) pour n≥1. En utilisant alors la proposition 1.1.4, on a :
n+1
X
k=0
Ck
n+1Bk=Bn+1, ou encore,
n
X
k=0
Ck
n+1Bk= 0
Et, en sortant le terme en Bnde la somme, on a le corollaire.
Notons que cette proposition nous permet d’affirmer, par r´ecurrence, le fait que les
nombres de Bernoulli sont rationnels — et donc, par la proposition 1.1.4, que les polynˆomes
de Bernoulli sont dans Q[x].
Proposition 1.2.3. On a la formule suivante :
Bn(1 −x) = (−1)nBn(x)
D´emonstration.
Il suffit de faire la petite transformation suivante :
∞
X
n=0
Bn(1 −x)
n!tn=tet(1−x) et−1=te−tx 1−e−t=∞
X
n=0
Bn(x)
n!(−t)n
La proposition n’est alors que l’identification des coefficients des s´eries.
En combinant cette proposition avec la proposition 1.2.1, et en la sp´ecialisant en x= 0,
on retrouve la nullit´e des Bnpour n≥2 impair.
D´emontrons encore deux ´egalit´es que nous utiliserons ensuite.
Ce premier r´esultat a ´et´e obtenu en 1882 par Paul ´ Emile Appell [App82] :
Proposition 1.2.4. On a, pour n≥1:
B′
n(x) = nBn−1(x)
D´emonstration.
Pour cela, il suffit de d´eriver par rapport `a xla s´erie qui d´efinit les polynˆomes de Bernoulli :
∞
X
n=0
∂xBn(x)
n!tn=∂x
tetx
et−1=t2etx et−1=∞
X
n=1
Bn−1(x)
(n−1)! tn
La proposition n’est alors que l’identification des coefficients des s´eries.
Proposition 1.2.5. On a, pour n≥1:
Z1
0
Bn(t)dt = 0
D´emonstration.
`
A l’instar de la proposition pr´ec´edente, on int`egre pour x∈[0; 1] la s´erie qui d´efinit les
polynˆomes de Bernoulli :
∞
X
n=0 R1
0Bn(x)dx
n!tn=R1
0tetxdx
et−1=et−1 et−1= 1
La proposition n’est alors que l’identification des coefficients des s´eries.