Polynômes chromatiques des graphes

Polynômes chromatiques
des graphes
Olivier Hudry
École nationale supérieure des télécommunications

Historique
* 1912 : G.D. Birkhoff tente de démontrer le
théorème des quatre couleurs en étudiant le
nombre de colorations d’un graphe à l’aide de
c couleurs.
* 1932 : H. Whitney poursuit l’étude.
* 1946 : introduction des polynômes chroma-
tiques par G.D. Birkhoff et D.C. Lewis.
* 1954 et 1970 : W.T. Tutte contribue à
l’étude des polynômes chromatiques.
* 1968 : synthèse sur les polynômes chroma-
tiques proposée par R.C. Read.
(* 1976 : méthode de K. Appel et W. Haken
pour la C4C).
* 2002 : nouvelle synthèse par B. Jackson.

Définitions et notations
* G = (X, E) un graphe simple fini non orienté
à k composantes connexes et b blocs non
réduits à des points isolés.
* Une c-coloration de G est une application C
de X dans {1, 2, ..., c} vérifiant :
{x, y} ∈ E ⇒ C(x) ≠ C(y).
* Polynômes chromatiques :
P(G, c) = nbre de c-colorations différentes de G.
* Ex.
P(Kn, c) = c(c – 1)(c – 2)...(c – n +1).
P(Kn
– , c) = c n.
* Rq. C4C ⁄ ∀ G planaire, P(G, 4) ≠ 0.
* Soit e ∉ E. On note G + e le graphe obtenu
en ajoutant e dans G et G|e le graphe obtenu en
superposant les extrémités de e dans G.
* P(G, c) = P(G + e, c) + P(G|e, c).

Un exemple
Rappel : P(G, c) = P(G + e, c) + P(G|e, c).
P(G, c) = P(K5, c) + 2 P(K4, c) + P(K3, c)
= c(c – 1)(c – 2)(c – 3)(c – 4)
+ 2 c(c – 1)(c – 2)(c – 3)
+ c(c – 1)(c – 2)
= c(c – 1)(c – 2)(c2 – 5c + 7)